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TitelderOriginalausgabe: u,H. CMHpHOB Hypc Bblcweß MBTeMBTlfKlI, TOI\I 111, tIBCTb2 Mocaaa-Jlexanrpant949 DieAusgabein deutscherSprache(nachder5.russischenAuflage) besorgten: LotharUhlig(Übersetzer), HeleneSuchlandt(WissenschaftlicheRedaktion) ISBN 3-326-00047-2 ISSN0073-2842 ®derdeutachsprachigen Ausgabe: 1955 VEB DeutscherVerlag derWissenschaften, DDR-1080 Berlin, Postfach 1216 . Lizenz-Nr.206.435/75/87 Printedin the German Democratic Republic Satz: Druckhaus EinheitLeipzig111/18/211 FotomechanischerNachdruck undbuchbinderische Verarbeitung: VEB Druckerei Themas MüntzerU 5820 Bad Langensalsa H , LSV 1034 Bestellnummer: 5693947 02480 INHALTSVERZEICHNIS Kap. I. .AIüangsgrOndeder Funktionentheorie 1.Funktioneneinerkomplexen Veränderlichen................ 1 2.Ableitungen .......................................................... 6 3.Konforme Abbildung.................................................. 10 4.Das Integral 13 5.Der CAUCHYsche Integralsatz 15 6.Die fundamentalen FormelnderIntegralrechnung 18 7.Die CAUCHYsche IntegralformeI......................................... 20 8.Integralevom CAUCHYschen Typ....................................... 25 9.Folgerungen aus der CAUCHYschen Formel 27 10.Isoliertesinguläre Punkte............................................. 29 11.Unendliche Reihen mit komplexen Gliedern............................ 31 12.Satz von WEIERSTRASS ............................................... 33 13.Potenzreihen ......................................................... 36 14.Die TAYLORBche Reihe................................................ 37 15.LAURBNTsche Reihen................................................. 40 16.Einige Beispiele...................................................... 43 17.Isolierte singuläre Punkte. Derunendlich ferne Punkt.................... 47 18.Analytische Fortsetzung._.............................................. 50 19.Beispiele mehrdeutiger Funktionen..................................... 56 20. Singuläre Punkte analytischer Funktionen und RIEJUNNsche Flächen..... 63 21.Der Residuensatz 66 22. Sitze überdie AnzahlderNullstellen 69 23.UmkehrungvonPotenzreihen .......................................... 72 24.DasSpiegelungsprinzip 75 25.TAYLORBche Reihen aufdem Rande des Konvergenzkreises 78 26.Der Hauptwerteines Integrals ......................................... 80 27.Der Hauptwerteines Integrals (Fortsetzung) 84 28.CAUCHYsC'heIntegrale.................................................. 88 Kap.II. Konforme Abbildungundebene Felder 29.Konforme Abbildung . 95 30.Die lineare Abbildung . 98 31.Die allgemeinelineare Abbildung . 99 ,,1 . 32.Die Funktion tD = 107 33.Die Funktion w = ~(z+}) . 108 34. Zweieckund Streifen.................................................• 111 35.Hauptsatz der Theorie der konformen Abbildung . 113 36.Die CHRISTOFFEIBohe Formel.....•.••.•.••............................ 115 37. Einig~Spezialfille . 122 38.DasAußere eines Vielecks ............................................• 125 VIII Inhaltsverzeichnis 39.Minimaleigenschaft der Abbildung auf den Kreis 127 40.Das Verfahren der konjugierten trigonometrischen Beihen , 130 41.Diestationäreebene Flüssigkeitsströmung 137 42.Beispiele , 139 43.Das Problem der Umströmung ................ 142 44.DieFormel von JOUKOWSKI 143 45.Das ebene elektrostatischeProblem..................................... 145 46.Beispiele............................................................. 147 47.Das ebene Magnetfeld ISI 48.DieSCHWARZSeheFormel.............................................. ISI 49.Der Kem ctg'-;, 154 50.Randwertprobleme .................................................... IS7 SI. Die biharmonische Gleichung .......................................... 161 52.Die Wellengleichung und analytische Funktionen ........................ 164 53.Hauptsatz............................................................ 166 54.Beugungebener Wellen 171 55.Reflexion vonelastischenWellen an geradlinigen Begrenzungen 17S Kap.II!. Anwendung der Residuentheorie; ganze undgebrochene Funktionen 56.DasFREsNELscheIntegral ..........•............................... 181 57.Integration von Ausdrücken mittrigonometrischen Funktionen 183 58.Die Integration einer rationalen Funktion ·..·· 184 59.Einige neue Integraltypen mittrigonometrischenFunktionen .....•....... 186 60.:Lemmavon JORDAN ..................................•..........••... 189 61.Darstellungeiniger Funktionendurch Kurvenintegrale................•••. 190 62.Beispiele von Integralenmehrdeutiger Funktionen ..............•.......• 194 63.Integration eines Systems linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .....................................................•..• 198 64.PartialbrnchzerlegungeinermeromorphenFU:rJ;ktion....................•.• 202 65.Die F'unktion ctg z.................................................... 205 66.Die KonstruktioD. meromorpherFunktionen 208 67.Ganze FunktioneD. ...................................................• 209 68.Unendliche Produkte............................................•.•... 211 69.KonstruktioneinerganzenFunktion aus ihren Nullstellen ......•......... 214 70.Integrale, die von einem Parameter abhängen .......••.....•............ 217 71.])ieInte~dalBtellungder G~ion 219 72.])ie EULEBscheBetafunktion ..........................................• 223 73.Das unendlicheProduktfürdie Funktion [F(z)]-l ........••.•............ 225 74.Darstellungvon F(z)durchein KurvenintegraJ........................... 230 7S.Die STIRLJNOscheFormel 232 76.Die EULEBscbeSummenformel......................................... 237 77.DieBERNOULLIsohenZahlen........................••...........•...... 240 78.DieMethode des größtenGefilles ........•.......•....•..•••.•.......... 242 79.Abtrennungdes Hauptbestandtei1eseines Integrals....................... 244 80.Beispiele...........................••••••..•..••.••••••.•.•.........• 250 Kap.IV. FunktionenmehrererVeränderlicherundFunktionenvon Matrizen 81.Regulire Funktionen mehrerer Veränderlicher.........•..............•.• 2ö9 82.])as Doppelintegral unddie CAUCBYsche Formel .................•••..••• 2ö9 83.Potenzreihen .................................•......................• 261 84.Analytische Fortsetzung....•....................•.•..•.•.•..........•• 268 Inh&ltsverzeichnis IX 85.Funktionen von Matrizen. Einführende Begriffe.......................... 268 86.Potenzreiheneiner Matrix.............................................. 269 87.Multiplikation von Potenzreihen. Umkehrung von Potenzreihen 272 88.VVeitere Jronvergenzuntersuchungen 275 89.Interpolation von Polynomen ............................•............. 278 90.DieCAYLEYscheIdentität und die SYLVESTERScheFormel 280 91.Analytische Fortsetzung , 282 92.Beispiele mehrdeutiger Funktionen 284 93.Systemelinearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 287 94.Funktionen mehrerer Matrizen 292 Kap.V.Lineare Differentialgleichungen 95.Entwicklung von Lösungen in Potenzreihen.............................. 295 96.Analytische Fortsetzungeiner Lösung................................... 299 97.Die Umgebung eines singulären Punktes 300 98.Au.ßerwesentlich singuläre Punkte •..................................... 304: 99.Differentialgleichungender FucBS8chen Klasse 311 100.Die GAusS8cheDifferentialgleiohung.................................... 314 101.Die hypergeometrische Reihe 316 102.Die LEGBNDRBsohenPolynome..•...................................... 320 103.Die JAcoBIschen Polynome............................................ 326 104:.Konforme Abblldung und GAussache Differentialgleichung................ 330 105.VVesentIichsingulärePunkte.......•.................................... 334 l06.As~ptotische ~twicklungen 337 107.Die LAPLACE-Transformation 340 108.Verschiedene Wahl der Lösung 342 109.As~ptotische Darstellung einer Lösung................................ 346 110.Vergleich der erhaltenenResultate 350 111.DieBE88ELsohe Differentialgleiohung 351 112.Die HANXELsohenFunktionen.......................................... 355 113.Die BE88ELschenFlunktionen 359 114.Die LAPLACB-Transformationin allgemeineren}'ällen 360 115.Die verallgemeinerten LAGuB.RREBohenPolynome 362 116.Positive Parameterwerte•.............................................. 365 117.Eine ~tartungder GAu88schenDüferentialgleichung..................... 367 118.DUferentiaJgleichungen mitperiodisohen Jroeffizienten 369 119.~aJytisobe Jroeffizienten 375 120.Systemelinearer DUferentialgleichungen................................. 376 121.AußerwesentIichBin~ Punkte 378 122.Reguläre DifferentiaJgleichungssysteme.................................. 381 123.DarstellungeinerLösungin derUmgebungeines singulärenPunktes....... 387 124.KanonischeLösungen.......................•.......................... 390 126.Der Zusammenhangmitden regulären Lösungen vom FucBS8chenTyp .... 393 126.Der FallbeliebigerU, •....•...•••.•••.•.•........•....•..•............ 394 127.Die Entwioklungin derUmgebungeines wesentlichsingulären Punktes 397 128.~twick1ungeningleichmäßig konvergente Reiben 404 Kap.VI. SpezielleFunktionen der mathematischenPhysik §1. Kugelfunktionen und LBGBNDRBBche Funktionen 411 129.Definitionder Kugelfunktionen 411 130.Explizite Ausdrf1ckeder Kugelfunktionen •.............................. 413