Lehrgang der Höheren Mathematik - Teil III/1

321 Pages·1979·5.615 MB·German

by  W. I. Smirnow

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Mocasa 1967
Übersetzung nach der fünftenAuflage von einerArbeitsgemeinschaft
unterAnleitung von Prof. Dr, L. Kaloujnine
Überarbeitung der zweitenAuflage der Übersetzunge Prof. Dr, H. KarJ
Überarbeitung nach derimJahre 1967 erschienenen neunten, berichtigten russischen
Auflage: Dr, G. Pfister
VerantwortlicheVerlagslektoren: DipJ.-Math. E. Amdt, Dipl.-Math. B. Mai
\~ derdeutschsprachigen Ausgabe:
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,Berlin 1954 und 1973
Printed in the German Democratic Republic
Lizenz-Nr. 206 . 435/112/79
Schutzumschlag: Hartwig Hodtmann
Satz: VEB Druckhaus ..Maxim Gorki", Altenburg
Offsetdruck und buchbinderische Verarbeitung:
Volksdruckerei Zwickau
LSV1024
Bestellnummer: 5697817
DDR 15,- M

INHALT
I.Determinantenunddie Auflösungvon Gleichungssystemen . 11
§1.DieDeterminanteundihreEigenschaften . 11
1. Definitionder Determinante. . . . . . . . . 11
2. Permutationen . . . . . , . . . . . . . . 15
3. GrundlegendeEigenschaftender Determinante 19
4. Berechnungvon Determinanten . . . . . 24
5. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . 25
6. Der Multiplikationssatzfür Determinanten 31
7. RechteckigeSchemata . . . . . . . . . 34
§2.Die AuflösunglinearerGleichungssysteme. 37
8. DieCramerscheRegel 3;
9. DerallgemeineFall 39
10. HomogeneSysteme . 43
11. Linearformen . . . . 45
12. Der n-dimensionaleVektorraum . 47
13. Das innereProdukt . . . . . . 52
14. GeometrischeDeutunghomogenerSysteme . 54
15. InhomogeneSysteme. . . . . . . . . . . 57
16. Die GramscheDeterminante.Die HadamardscheUngleichung. 60
17. SystemelinearerDifferentialgleichungenmitkonstantenKoeffizienten 63
18. Funktionaldeterminanten . . . . . . . . . . . 6;
19; ImpliziteFunktionen. . . . . . . . . . . . . 71
11.LineareTransformationenundquadratischeFormen. 75
§3.LineareTransformationen . • ... • . . . . . 75
20. Koordinatentransformationim dreidimensionalenRaum 75
21. AllgemeinelineareTransformationendes reellendreidimensionalenRaumes . 79
22. Kovarianteundkontravarianteaffine Vektoren 85
23. DerBegriffdes Tensors. . . . . . . 88
24. Beispiele affin-orthogonalerTensoren 91
25. Dern-dimensionalekomplexeRaum . 93
26. ElementederMatrizenrechnung . . . 98
27. Eigenwerteunddie TransformationeinerMatrixauf die kanonischeForm 102
28. UnitäreundorthogonaleTransformationen. . . . 108
29. Die Cauchy-SchwarzscheUngleichung . . . . . . 112
30. Eigenschaftendes innerenProduktsundder Norm 113
31. Das OrthogonalisierungsverfahrenfürVektoren . . 115
8 Inhalt
§4.QuadratischeFormen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
32. DieTransformationeiner quadratischenFormauf eineSumme von Quadraten. 117
33. MehrfacheWurzelnder charakteristischenGleichung . 121
34. Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
35. Klassifikationder quadratischenFormen . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
36. DieFormel vonJACOBI .••••••••.••••••••••••••• 132
37. Gleichzeitige Reduktion zweier quadratischer Formen auf eine Summe von
Quadraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
38. Kleine Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
39. ExtremaIeigenschaftenvon EigenwertenquadratischerFormen 137
40. HermitescheMatrizen undhermitescheFormen . 139
41. VertauschbarehennitescheMatrizen. . . . . . . . 144
42. Umformung unitärerMatrizen auf Diagonalform .. 147
43. Projektionsmatrizen . . . . . . . 150
44. Matrizenfunktionen . . . . . . 155
45. Der unendlichdimensionaleRaum . . . 158
46. KonvergensvonVektoren . . . 163
47. OrthonormierteSysteme . . . . 167
48. Lineare Abbildungenin unendlichvielenVeränderlichen . 170
49. Der FunktionenraumL2 • • • • • • • • • • • • • • 174
50. Der Zusammenhangzwischenden Räumen"und L2 • 175
51. Lineare OperatoreninLa . . . . . . . . . . . . . . 176
III. ElementederGruppentheorieund lineare DarstellungenvonGruppen .. 181
§5.AllgemeineGrundbegriffe der Gruppentheorie . . 181
52. GruppenlinearerTransformationen 181
53. DieGruppen der regulärenPolyeder 184
54. DieLorentz-Transformation. 186
55. Permutationen . . 193
56. AbstrakteGruppen. . . . 197
57. Untergruppen. . . . . . 200
58. Klassen undNormalteiler. 203
59. Beispiele . . . . . . . . 206
60. Isomorpheundhomomorphe Gruppen . -207
61. Beispiele . . . . . . . . . . . . . .209
62. StereographischeProjektion 211
63. DieGruppe der unitärenTransformationenunddie Bewegungsgruppe 212
64. Dieallgemeine lineare Gruppe und dieLorentz-Gruppe . 218
§6.Lineare GruppendarsteIlungen. . . . . . . • . . . . . 222
65. Darstellungvon Gruppen durch lineare Transformationen. 222
66. GrundlegendeSätze . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
67. AbelseheGruppen und DarstellungenerstenGrades . . . . 229
68. Lineare Darstellungender unitärenGruppe von zweiVeränderlichen .. . 232
69. Lineare Darstellungender Drehungsgruppe . . . . . . . . . . . . • 238
70. Der Satz von der Einfachheitder Drehungsgruppe . . . . . . . . . . . . . 241
71. DieLaplaeesehe GleichungunddielinearenDarstellungender Drehunpgruppe 242
72. DasdirekteProduktvonMatrizen. . . . . . . . . . . . . . . 247
73. DasKronecker-ProduktzweierlinearerDarstellungeneinerGruppe • • . . . 250
74. Das direkteProduktvon Gruppen undseinelinearenDarstellungen . • • . . 252
Inhalt 9
75.DieAusreduzierungdesKronecker-Produkts Dj XDj, von linearen Darstellun-
gender Drehungsgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
76.Die Orthogonalitätseigenschaft nicht äquivalenter unitärer irreduzibler Dar-
stellungen. . . • . . . . . . . . . . . . . 261
77. Charaktere . . • . . . . . . . . . . . . . 265
78.DiereguläreDarstellungeiner Gruppe . . . . . . . . 269
79. Beispielevon DarstellungenendlicherGruppen . . . . . 271
80. Darstellungender linearenGruppe zweierVeränderlicher 273
81. DerSatzvonder Einfachheitder Lorentz-Gruppe . 276
§7.KontinuierlicheGruppen . . . . . . . . . . 278
82. KontinuierlicheGruppen.Strukturkonstanten . . 278
83. InfinitesimaleTransformationen. . . . . . . 281
84. Drehungsgruppe. . . . . . . . . . . . . . . . • . 285
85. InfinitesimaleTransformationenundDarstellungender Drehungsgruppe 286
86. DieDarstellungender Lorentz-Gruppe . 290
87. Einige Hilfsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . .' ... 293
88. Konstruktioneiner Gruppe aus ihren Strukturkonstanten . .296
89. Integrationaufeiner Gruppe . 297
90. Orthogonalität. Beispiele . 303
Literaturhinweiseder Herausgeber. 309
Xamen-und Sachverzeichnis ... 315