Lehrbuch Der thetafunktionen, Von Dr. Adolf Krazer. Mit 10 Textfiguren.

535 Pages·2006·45.953 MB·English

by  Adolf Krazer

B. G.· Teubners Sammlung von Lehrbüchern
auf dem Gebiete der Mathematischen Wissen
schaften mit Einschlufs ihrer Anwendungen.
®
Im Teubnerschen Verlage erscheint unter obigem Titel in
zwangloser Folge eine längere Reihe von zusammenfassenden
Werken über die wichtigsten Abschnitte der Mathematischen
Wissenschaften mit Einschlufs ihrer Anwendungen.
Die anerkennende Beurteilung, welche der Plan, sowie die bis jetzt
erschienenen Aufsätze der Encyklopädie der Mathematischen•· Wissen
schaften gefunden haben, die allseitige Zustimmung, welche den von der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung veranlafoten und herausgegebenen
eingehenden Referaten über einzelne Abschnitte der Mathematik zu teil
geworden ist, beweisen, wie sehr gerade jetzt, wo man die Resultate der
wissenschaftlichen Arbeit eines Jahrhunderts zu überblicken qemüht ist,
sich das Bedürfnis nach zusammenfassenden Darstellungen geltend macht,
durch welche die mannigfachen Einzelforschungen auf den verschiedenen
Gebieten mathematischen Wissens unter einheitlichen Gesichtspunkten
geordnet und einem weiteren Kreise zugänglich gemar.b.t werden.
Die erwähnten Aufsätze der Encyklopädie ebenso wie die Referate
in den Jahresberichten der Deutschen Mathematiker-Vereinigung be
absichtigen in diesem Sinne in knapper, für eine rasche Orientierung
bestimmter Form den gegenwärtigen Inhalt einer Disciplin an gesicherten
Resultaten zu geben, wie auch durch sorgfältige Litteraturangaben die
historische Entwickelung der Methoden darzulegen. Darüber hinaus aber
mufs auf eine eingehende, mit Beweisen Yersehene Darstellung, wie sie
zum selbständigen, von umfangreichen Quellenstudien unabhängigen Ein
dringen in die Disciplin erforderlich ist, auch bei den breiter angelegten
Referaten der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, in welcher haupt
sächlich das historische und teilweise auch das kritische Element zur
Geltung kommt, verzichtet werden. Eine solche ausführliche Darlegung,
die sich mehr in dem Oharakter eines auf geschichtlichen und littera
risc::ien Studien gegründeten Lehrbuches bewegt und neben den rein
wissenschaftlichen auch pädagogische Interessen beritcksichtigt, erscheint
aber bei der rasche;n Entwickelung und dem Umfang des zu einem
grofsen Teil nur in Monographien niedergelegten Stoffes durchaus wichtig,
zumal, im Vergleiche z. B. mit Frankreich, bei uns in Deutschland die
mathematische Litteratur an Lehrbüchern über spezielle Gebiete der
mathematischen Forschung nicht allzu reich ist.
Die Verlagsbuchhandlung B. G. Teubner giebt sich der Hoffnung
hin, dafs sich recht zahlreiche Mathematiker, Physiker und Astronomen,
Geodäten und Techniker, sowohl des In- als des Auslandes, · in deren
Forschungsgebieten deraJ·tige Arbeiten erwünscht sind, zur Mitarbeiter-
schaft an dem Unternehmen entschliefsen möchten. Besonders nahe liegt
die Beteiligung den Herren Mitarbeitern an der Encyklopädie der Mathe
matischen Wissenschaften. Die umfangreichen litterarischen und speziell
fachlichen Studien, welche für die Bearbeitung von Abschnitten der
Encyklopädie vorzunehmen waren, konnten in dem notwendig eng be
grenzten Rahmen nicht vollständig niedergelegt werden. Hier aber, bei
den Werken der gegenwärtigen Sammlung, ist die Möglichkeit gegeben,
den Stoff freier zu gestalten und die individuelle Auffassung und Richtung
des einzelnen Bearbeiters in höherem Mafse zur Geltung zu bringen.
Doch ist, wie gesagt, jede Arbeit, die sich dem Plane der Sammlung
einfügen läfst, im gleichen Mafse willkommen.
Bisher haben die folgenden Gelehrten ihre geschätzte Mitwirkung
zugesagt, während erfreulicherweise stetig neue Anerbieten zur Mitarbeit
an der Sammlung einlaufen, worüber in meinen ,,~itteilungen" fortlaufend
**,
berichtet werden wird (die bereits erschienenen Bände sind mit zwei
*
die unter der Presse befindlichen mit einem bezeichnet):
**P. Bachmann, niedere Zahlentheorie. (Band X der Sammlung.)
M. B~cher, über die reellen Lösungen der gewöhnlichen linearen
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
G. Bohlmann, Versicherungsmathematik.
· G. H. Bryan, Lehrbuch der Thermodynamik.
G. Castelnuovo und F. Enriques, Theorie der algebraischen Flächen.
**E. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung auf Fehler
ausgleichung, Statistik und Lebensversicherung. (Band IX.)
**L. E. Dickson, Linear Groups with an exposition of the Galois Field
theory. [In englischer Sprache.] (Band VI.)
F .. Dingeldey, Kegelschnitte und Kegelschnittsysteme.
F. Dingeldey, Sammlung von Aufgaben zur Anwendung der Differential-
. und Integralrechnung.
G. Eneström (in Verbindung mit andern Gelehrten), Handbuch der
Geschichte der Mathematik.
F. Enriques, Prinzipien der Geometrie.
Ph. Furtwängler, die Mechanik der einfachsten physikalischen Apparate
und Versuchsanordnungen.
**
A. Gleichen, Optische Abbildungslehre u. Theorie der optischen
Instrumente. (Band VIII.)
M. Grübler, Lehrbuch der hydraulischen Motoren.
J. Harkness, elliptische Funktionen.
L. Henneberg, Lehrbuch der graphischen Statik.
K. Heun, die kinetischen Probleme der modernen Maschinenlehre.
G. Jung, Geometrie der Massen.
G. Kohn, rationale Kurven.
** XII)
A. Krazer, Handbuch der Lehre von den Thetafunktionen. (Band
H. Lamb, Akustik.
R. v. Lilienthal, Differentialgeometrie.
A. Loewy, Vorlesungen über die Theorie der linearen Substitutionsgruppen.
**G. Loria, spezielle, algebraische und transcendente Kurven der Ebene.
Theorie und Geschichte. (Band V.)
A. E. H. Love, Lehrbuch der Hydrodynamik.
A. E. H. Love, Lehrbuch der Elasticität.
R. Mehmke, über graphisches Rechnen und über Rechenmaschinen,
sowie über numerisches Rechnen.
W. Meyerhofer, die mathematischen Grundlagen' der Chemie.
**&. Netto, Lehrbuch der Combinatorik. (Band VII.)
W. F. Osgood, allgemeine Funktionentheorie.
E. Ovazza, aus dem Gebiete der Mechanik.
**E. Pascal, Determinanten. Theorie und Anwendungen. (Band III.)
S. Pincherle, • Funktional-Gleichungen und -Operationen.
Fr. Pockels, Krystalloptik.
A. Pringsheim, Vorlesungen über Zahlen- und Funktionenlehre. (Ele
mentare Theorie der unendlichen Algorithmen .und der analytischen
Funktionen einer komplexen Veränderlichen.) · Bd. I. Zahlenlehre.
Bd. II. Funktionenlehre. (Band l)
0. Segre, Vorlesungen über algebraische Geometrie, mit besonderer
Berücksichtigung der mehrdimensionalen Räume.
,D. Seliwanoff, Differenzenrechnung.
M. !Simon, Elementargeometrie.
P. Stäckel, Lehrbuch der allgemeinen Dynamik.
P. Stäckel, Differentialgeometrie höherer Mannigfaltigkeiten.
0. Staude, Flächen und Flächensysteme zweiter Ordnung.
**O. Stolz und J'. A. Gmeiner, theoretische Arithmetik. (Band IV.)
R. Sturm, Theorie der geometrischen Verwandtschaften.
R. Sturm, die kubische Raumkurv.e.
H. E. Timerding, Theorie der Streckensysteme und Schrauben.
K. Th. Vahlen, Geschichte des Fundamentalsatzes der Algebra.
K. Th. Vahlen, Geschichte des Sturmsehen Satzes.
A; Voss, Prinzipien der rationellen Mechanik.
A. Voss, Abbildung und Abwicklung der krummen Flächen,
J'. G. Wallentin, Lehrbuch der theoretischen Elektrizität.
**E. v. Weber, Vorlesungen über das Pfaffsche Problem und die Theorie
der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. (Band II.)
*A . G. Webster, the Dynamics of Particles, ofrigid, elastic, and fluid Bodies
being Lectures onMathematicalPliysics. [In englischer Sprache.] (Band XI.)
A. Wiman, endliche Gruppen linearer Transformationen.
W. Wirtinger, algebraische Funktionen und ihre Integrale.
W. Wirtinger, partielle Differentialgleichungen.
H. G. Zeuthen, die abzählenden Methoden der Geometrie.
~ Mitteilungen über weitere Bände werden baldi~st folgen.
LEIPZIG, Poststrafse 3. B G T b
ner•
Oktober 1902. • • 0U
B. G. TEUBNER'S SAMMLUNG VON LEHRBÜCHERN
AUF DElVI GEBIETE DER
MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN
MIT EINSCHLUSZ IHRER ANWENDUNGEN.
BAND XII.
LEHRBUCH
DER
THETAFUNKTIONEN
VON
DR. ADOLF KRAZER
0. PROFESSOR DER MATHEMATIK AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE
ZU KARLSRUHE.
MIT 10 TEXTFIGUREN.
LEIPZIG
DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER.
1903.
ALhß RECH'rE, EINSCHLIESZLICH DES ÜBERSE'rZUNGSRisCH'rS, VORBEHALTEN.
MEINEM LIEBEN UND VEREHRTEN LEHRER
HERRN
FRIEDRICH PRYM
IN DANKBARER ERINNERUNG
ZUGEEIGNET.

Einleitung.
Unter allen Konzeptionen Jacobis verdient, wenn man die daran
sich knüpfenden Folgen für die weitere Entwicklung der Mathematik
ins Auge faßt, nach dem klassischen Urteile Dirichlets die erste Stelle
der Gedanke, jene unendlichen Produkte, durch deren Quotienten
Abel die elliptischen Funktionen dargestellt hatte, als selbständige
Transcendenten in die Analysis einzuführen. Als J acobi diese Pro
dukte in Reihenform darstellte, gelangte er zu jenen vier unendlichen
Reihen, welche nach der rein zufälligen Bezeichnung, unter der sie
zuerst bei ihm auftreten, heute als Thetareihen, speziell als einfach
unendliche Thetareihen oder als Thetafunktionen einer Veränderlichen
bekannt sind.
Bei den späteren Darstellungen, welche Jacobi der Theorie der
elliptischen Funktionen in seinen Vorlesungen gab, hat er diese Theta
reihen als Ausgangspunkt an die Spitze der ganzen Lehre gestellt,
und dieses Verfahren wurde vorbildlich für die Arbeiten von Göpel
und Rosenhain, welche nun ihrerseits ihren Untersuchungen über die
hyperelliptischen Funktionen erster Ordnung die Betrachtung von
doppelt unendlichen Reihen des gleichen Bildungsgesetzes voraus
schickten; so entstanden die zweifach unendlichen Thetareihen oder
die Thetafunktionen von zwei Veränderlichen.
Daß sich das Bildungsgesetz der Thetareihen ohne weiteres auch
zur Herstellung von p-fach unendlichen Reihen verwenden läßt, haben
bereits Göpel und Rosenhain bemerkt; es schienen aber diese p-fach
unendlichen Thetareihen ihnen für die beabsichtigte Theorie der hyper
elliptischen Funktionen nicht brauchbar, da sie in ihren Modulen
½p (p + 1) Parameter enthalten, die hyperelliptischen Funktionen
vom Geschlecht p aber nur von 2 p - 1 wesentlichen Konstanten ab
hängen. Erst Weierstraß und Riemann haben, über dieses Bedenken
sich hinwegsetzend, die p-fach unendlichen Thetareihen in die Theorie
der hyperelliptischen und Abelschen Funktionen eingeführt und damit
das mächtigste Instrument für diese Lehren geschaffen .. Es war aber
dabei wohl im Auge zu behalten, daß die so in der Theorie der hyper-
VI Einleitung.
elliptischen und Abelschen Funktionen auftretenden Thetareihen nicht
die allgemeinen sind, daß vielmehr ihre Modulen gewissen Bedingungen
genügen, vermöge welcher sich die Anzahl der unabhängigen Kon
stanten im hyperelliptischen Falle auf 2 p - 1, im Abelschen auf
3 p - 3 reduziert.
Welcher Art die Bedingungen für die Modulen der hyperellipti
schen Thetareihen sind, ist ziemlich früh erkannt worden; sie bestehen
in dem Verschwinden gewisser geraden Funktionen für die Nullwerte
der Argumente. Für die Abelschen Thetafunktionen hat Schottky
die im niedrigsten Falle p = 4 ( da noch für p = 3 ½p (p + 1) =
3 p - 3 ist, die Abelschen Thetafunktionen also allgemeine sind) zwi
schen den Modulen der Thetareihe bestehende Beziehung in einer
Relation ziemlich hohen Grades zwischen geraden Thetanullwerten
gefunden.
Von diesen speziellen Abelschen und noch spezielleren hyper
elliptischen Thetafunktionen handeln das neunte und zehnte Kapitel
des vorliegenden Buches. Der Gedanke, eine Übersicht über die
Theorie der Abelschen und hyperelliptischen Funktionen selbst zu
geben, mußte wegen des geringen zur Verfügung stehenden Raumes
von vornherein aufgegeben werden; damit wurde aber die Abgrenzung
des Darzustellenden einigermaßen willkürlich; auch konnte hierbei
für die beiden Kapitel nicht der gleiche Gesichtspunkt festgehalten
werden.
Die allgemeinen Thetafunktionen haben also, um zu ihnen zurück
zukehren, in der Theorie der Abelschen Funktionen keine Verwendung
gefunden. Wie sie mit dieser Theorie in Verbindung gebracht werden
können, ist erst in der alleijüngsten Zeit erkannt worden. Zu dieser
Erkenntnis hat aber ein andres, davon ganz verschiedenes Problem
geführt.
Gerade umgekehrt nämlich wie die Thetafunktionen für die Ver
wendung in der Theorie der Abelschen Funktionen zu allgemein
waren, schienen sie zu speziell, wenn es sich um die Darstellung be
liebiger 2 p-fach periodischer Funktionen handelte; denn man sieht
!: : : : :
!P)
zunächst nicht ein, wie die 2 p2 Perioden ro,«a (: : ~ '. einer
allgemeinen 2 p-fach periodischen Funktion zu der Beschränkung
kommen sollen, daß die nach der Normierung (vgl. dazu pag. 113)
der ersten p Periodensysteme an Stelle der zweiten auftretenden Größen
aµ<1,, den ½ (p - 1) p Bedingungen a1,,1, = n1,1,, (µ,, µ,' = 1, 2, · · ·, p;
µ, µ,') genügen, und der weiteren, daß die aus ihren reellen Teilen
gebildete quadratische Form eine negative ist. Andrerseits aber sind
diese beiden Bedingungen von der Thetareihe unzertrennlich; denn
einmal können in der quadratischen Form des Exponenten überhaupt
nicht mehr als ½ p (p + 1) Parameter untergebracht werden, und
Einleitung. VII
weiter kann die Thetareihe ohne die an zweiter Stelle genannte Be
dingung nicht konvergieren; sie konvergiert dann allerdings absolut
und für alle Werte der Argumente, aber eine andre Konvergenz
gibt es, wie ich gezeigt habe (vgl. dazu pag. 10 u. f.), bei der Theta
reihe übeThaupt nicht.
Nun hat aber im Gegensatze zu dem eben Ausgeführten Riemann
schon 1860 den Satz ausgesprochen, daß jede 2p-fach periodische
Funktion sich durch Thetafunktionen darstellen lasse, und es haben
Picard und Poincare, nachdem vorher W eieTstraß eine ~eihe von
Sätzen angegeben hatte, welche die Etappen für einen Beweis des
Riemannschen Satzes bilden können, daran anknüpfend tatsäch
lich diesen Satz bewiesen, indem sie zeigten, daß jeder 2p-fach
periodischen Funktion f (v 1 j · • • 1 vp) mit den 2 p2 PeTioden m1,a
(: : ~: : :: : : : ; P)
eine Klasse alge braischeT Funktionen von einem Ge
schlecht q ~ p zugeordnet werden kann, in welcher vu .. •, vP p
linearunabhängige Integrale erster Gattung sind, deren Periodizitäts-
q)
modulen Qi" (~ : : : : : : : : : ; an den 2 q Querschnitten der zu
gehörigen Riemannschen Fläche sich linear und ganzzahlig ans den
m1 , a (µex ,== 11 ,, 22,, .... .· ,, 2P P) znsam·m ense t zen. A us d en bek a nn t en b1'l m' earen
Relationen zwischen den Q folgen jetzt auch bilineare Relationen
zwischen den m. und damit ist die Grundlage für einen Beweis des
Riemannschen Satzes gegeben.
Von der Darstellung der allgemeinen 2p-fach peTiodischen Funk
tionen durch Thetafunktionen handelt das vierte Kapitel. Dabei
glaubte ich mich für den Zweck des vorliegenden Buches auf eine
bloße Skizzierung des Beweises der W eieTstraßschen Sätze, in der
Weise wie es Laurent getan hat, beschränken und von einer voll
ständigen Durchführung desselben absehen zu sollen. Eine solche hat
inzwischen Poincare in seiner letzten Abhandlung: Sur les fonctions
abelieimes (Acta math. Bd. 26. 1902, pag. 43) gegeben.
Jene Klasse algebraischer Funktionen vom Geschlecht q, welche
in der vorher angegebenen Weise einer beliebigen 2 p-fach periodischen
Funktion, also auch jeder aus Quotienten allgemeiner Thetafunktionen
gebildeten, zugeordnet werden kann, charakterisiert die Eigenschaft,
daß die 2pq Periodizitätsmodulen von p linearunabhängigen ihrer
Integrale ersteT Gattung sich aus 2 p2 Größen linear und ganzzahlig
zusammensetzen lassen, als eine spezielle, diese Integrale selbst aber
als solche, welche durch Transformation auf Integrale von dem
niedrigeren Geschlecht p reduziert werden können.
Die so mit der Theorie der allgemeinen Thetafunktionen ver
knüpfte Lehre von den reduzierbaren Abelschen Integralen wird im
elften Kapitel des vorliegenden Buches behandelt. Dasselbe schließt