Lehrbuch der Technischen Mechanik - Band 1: Starrkörperstatik: Grundlagen und Anwendungen

479 Pages·2016·47.52 MB·German

by  Rolf Mahnken (auth.)

Rolf Mahnken
Lehrbuch der
Technischen Mechanik–
Band 1: Starrkörperstatik
Grundlagen und Anwendungen
2. Auflage
Lehrbuch der Technischen Mechanik – Band 1: Starrkörperstatik
Rolf Mahnken
Lehrbuch der
Technischen Mechanik–
Band 1:
Starrkörperstatik
Grundlagen und Anwendungen
2. Auflage
Rolf Mahnken
Universität Paderborn
Fakultät für Maschinenbau
Lehrstuhl für Technische Mechanik
Paderborn, Deutschland
ISBN 978-3-662-52784-9 ISBN 978-3-662-52785-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-52785-6
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte
bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Vieweg
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2012, 2016
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom
Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen,
Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in e lektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne beson-
dere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und M arkenschutz-Gesetzgebung
als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum
Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber
übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen.
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Springer Vieweg ist Teil von Springer Nature
Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg
Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, 14197 Berlin, Germany
VorwortzurzweitenAuflage
Der erfreuliche Zuspruch, den das Buch bei Studierenden und Dozenten gefunden hat,
besta¨tigtdiefachlicheunddidaktischeKonzeptiondererstenAuflage:1.sowohlrealita¨tsnahe
als auch abstrakte Illustrationen, 2. umfassende Behandlung der theoretischen Grundlagen,
3. ein breites Angebot an Beispielen aus der Ingenieurpraxis, 4. Einfu¨hrung in numerische
Methoden.EineweitereBesta¨tigungerhieltderAutordurchdiezahlreichenZuschriftenvon
Leserinnen und Lesern mit manch freundlicher und kritischer Anregung, fu¨r die sich der
AutorandieserStellebedankenmo¨chte.
Indervorliegenden2.AuflagedesLehrbucheswurdenalleKapitelu¨berarbeitet,insbeson-
deredieKapitelzurKinematikundzuSchwerpunktenwurdenneustrukturiertunderga¨nzt.
Weiterhin wurden die Lo¨sungen zu den U¨bungsaufgaben u¨berarbeitet und weitgehend ver-
vollsta¨ndigt. Dem Springer-Verlag und insbesondere Frau Birgit Kollmar-Thoni mo¨chte ich
fu¨r die gute Zusammenarbeit danken. Den Hilfsassistenten Maximilian Bause und Bastian
Sanderdankeichfu¨rdieBearbeitungderU¨bungsaufgaben.
Allen Leserinnen und Lesern wu¨nsche ich viel Erfolg beim Erlernen und Anwenden der
TechnischenMechanik.
Paderborn,imJuli2016 RolfMahnken
VI
VorwortzurerstenAuflage
DieStatikistdieLehrevomGleichgewichtvonKo¨rpern,dieunterdemEinflußvonKra¨ften
stehen.Dabeidenktmanzuna¨chstanruhendeKo¨rper-sowiedieBaumeisterderAntike,die
bei der Errichtung monumentaler Geba¨ude großen Herausforderungen gegenu¨berstanden.
Wa¨hrenddamalsdieBauausfu¨hrungenvorwiegendaufErfahrungenberuhten,sindimheuti-
gen Ingenieuralltag außerdem zuverla¨ssige und effiziente Berechnungsverfahren unerla¨ss-
lich. Damit wird es mo¨glich, immer ho¨here Geba¨ude und Bru¨cken mit immer weiteren
Spannweitenzubauen.JedochweisenunsaktuelleNachrichten,etwau¨bereinsturzgefa¨hrdete
Bru¨ckenundU-BahnbaustellenoderaufGrundvonEis-undSchneelastumgestu¨rzteStrom-
mastenundEissporthallen,immerwiederaufdasGefahrenpotenzialvonIngenieurkonstruk-
tionenhin.
Nicht nur ruhende, sondern auch nicht beschleunigte Ko¨rper befinden sich im Gleichge-
wicht.Damitsindz.B.dieAngabedesU¨bersetzungsverha¨ltnissesfu¨reinPKW-Getriebeoder
dieBerechnungvonKra¨fteninZahnradgetriebenbeijeweilskonstanterDrehgeschwindigkeit
ebenfallsFragestellungen,diemitMethodenderStatikbeantwortetwerdenko¨nnen.
Fu¨r Studierende vieler Ingenieurbereiche ist eine eingehende Bescha¨ftigung mit der
Statik also von grundsa¨tzlicher Bedeutung, um auch im spa¨teren Berufsleben den An-
forderungen an sichere Bauten und Maschinen unter wirtschaftlichen Rahmenbedingungen
gerecht zu werden. Das vorliegende Buch richtet sich somit vorrangig an Studentinnen und
Studenten der Fachrichtungen Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Geologie, Elektrotech-
nik,Wirtschaftsingenieurwesen,Technomathematik,Ingenieurinformatik,Mechatronik,Ver-
fahrenstechnik und Lehramt sowie an Ingenieure in der beruflichen Praxis. Entsprechend
wird die Statik starrer Ko¨rper umfassend behandelt. Zum Versta¨ndnis des Buches werden
Kenntnisseu¨berPhysikundMathematikaufAbiturniveauvorausgesetzt.
Das Buch ist aus gleichnamigen Vorlesungen entstanden, die der Autor in den Win-
tersemestern 1997/98 und 1998/99 an der Universita¨t Hannover fu¨r Studenten des Bauinge-
nieurwesensgehaltenhatundseitdemWintersemester2004/05anderUniversita¨tPaderborn
fu¨r Studenten des Maschinenbaus und des Wirtschaftsingenieurwesens ha¨lt. Dabei wurden
und werden auch weiterhin die unterschiedlichen fachlichen Schwerpunkte der verschiede-
nen Ho¨rerkreise beru¨cksichtigt. Sie sind in dieses Buch eingegangen und tragen zu der um-
fassendenDarstellungderStatikstarrerKo¨rperbei.
Besonders bedanken mo¨chte ich mich bei ehemaligen und jetzigen Mitarbeitern des
Lehrstuhlsfu¨rTechnischeMechanik,Universita¨tPaderborn,Dr.-Ing.Franz-BartholdGockel,
Dr.-Ing. Stefan Wilmanns, Dipl.-Ing. Kim Sauerland, Dr.-Ing. Ismael Caylak, Dipl.-Ing.
Frederik Hankeln fu¨r die Unterstu¨tzung bei der Erstellung der U¨bungsaufgaben. Des Wei-
teren sei den Hilfsassistenten Martin Kage und Sebastian Heibel fu¨r die Bearbeitung der
U¨bungsaufgabensowieHerrnKohlstedtfu¨rdieProgrammierungmitMATLABgedankt.Den
HilfsassistentenDominikStu¨mpelundSimonMaikesowieHerrnKaiYangdankeichfu¨rdie
sorgfa¨ltigeAnfertigungderanschaulichenAbbildungen.DemSpringerVerlagundinsbeson-
dereFrauEvaHestermann-Beyerlemo¨chteichfu¨rdieguteZusammenarbeitdanken.
Paderborn,imJuli2011 RolfMahnken
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1
1.1 WasistMechanik? ................................................. 1
1.2 EinigeMeilensteineinderGeschichtederMechanik..................... 3
1.3 EinteilungderMechanik ............................................ 6
1.4 EinteilungundInhaltedesBuches .................................... 7
1.5 ZieledesBuches................................................... 8
TeilI GrundlagenderStarrko¨rperstatik
2 Grundbegriffe ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 13
2.1 DieNewtonscheKraft .............................................. 13
2.1.1 DerBetrageinerKraft ........................................ 13
2.1.2 DerKraftvektor.............................................. 15
2.1.3 Fla¨chen-undVolumenkra¨fte ................................... 16
2.1.4 Lastermittlungfu¨rIngenieurkonstruktionen....................... 17
2.1.5 FreischneidenundFreiko¨rperbild ............................... 20
2.1.6 EinteilungvonKra¨ften ........................................ 22
2.1.7 AufgabenzuAbschnitt2.1 .................................... 23
2.2 DerStarrko¨rper .................................................... 26
2.3 DieFreiheitsgradedesfreienKo¨rpers ................................. 26
2.4 Lager-undReaktionskra¨fte .......................................... 27
2.4.1 Allgemeines................................................. 27
2.4.2 Lagerartenfu¨rebeneSysteme .................................. 28
2.4.3 Lagerartenfu¨rra¨umlicheSysteme............................... 31
2.4.4 Zwischenlagerungen ......................................... 33
2.4.5 AufgabenzuAbschnitt2.4 .................................... 35
3 Axiome,GesetzeundIdealisierungen :::::::::::::::::::::::::::::::::: 37
3.1 DasGleichgewichtsaxiomzweierKra¨fteamStarrko¨rper.................. 37
3.2 WechselwirkungzwischenzweiKra¨ften:,,actiogleichreactio” ............ 40
3.3 DasAxiomvomKra¨fteparallelogramm ................................ 41
VIII Inhaltsverzeichnis
3.4 GleichgewichtverschiedenartigerKra¨fte ............................... 44
3.4.1 DasGravitationsgesetzvonNewtonfu¨rzweiMassen .............. 44
3.4.2 DasCoulombscheGesetzfu¨rzweielektrischeLadungen ........... 45
3.4.3 Kra¨fteaufstromdurchflosseneLeiterimmagnetischenFeld ......... 47
3.4.4 DasHookescheGesetzfu¨rSchraubenfedern ..................... 49
3.5 Statischa¨quivalenteKraftsystemeundGleichgewichtvonKraftsystemen ... 50
3.6 AnwendungderAxiomeaufidealisierteKo¨rper......................... 51
3.7 AufgabenzuKapitel3 .............................................. 55
4 ZentraleKraftsystemeinderEbene ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 59
4.1 VomrealenSystemzumzentralenKraftsystem ......................... 59
4.2 ZeichnerischeLo¨sungenderdreiGrundaufgaben........................ 60
4.2.1 ErsteGrundaufgabe:ReduktionaufeineEinzelkraft ............... 60
4.2.2 ZweiteGrundaufgabe:Gleichgewicht ........................... 62
4.2.3 PraktischeBerechnungvonzentralenKraftsystemen ............... 64
4.2.4 GleichgewichtvondreiKra¨ften................................. 68
4.2.5 DasSuperpositionsgesetzfu¨rDrei-Kra¨fte-Systeme ................ 70
4.2.6 DritteGrundaufgabe:ZerlegungeinerKraft ...................... 72
4.2.7 ZerlegungeinesKraftvektorsaufkartesischeKoordinatenachsen..... 73
4.2.8 AufgabenzuAbschnitt4.2 .................................... 75
4.3 RechnerischeLo¨sungenderdreiGrundaufgaben ........................ 81
4.3.1 ErsteGrundaufgabe:ReduktionaufeineEinzelkraft ............... 81
4.3.2 ZweiteGrundaufgabe:Gleichgewicht ........................... 82
4.3.3 DritteGrundaufgabe:ZerlegungeinerKraft ...................... 84
4.3.4 DieSystemmatrix ............................................ 85
4.4 StatischeBestimmtheiteinesMassenpunktesinderEbene ................ 86
4.5 NumerischeMethodenfu¨rGleichgewichtsaufgaben...................... 89
4.6 AufgabenzudenAbschnitten4.3bis4.5 .............................. 91
5 NichtzentraleKraftsystemeinderEbene ::::::::::::::::::::::::::::::: 95
5.1 VomrealenSystemzumnichtzentralenKraftsystem ..................... 95
5.2 ReduktionvonzweiparallelenKra¨ften ................................ 96
5.3 Kra¨ftepaarundDrehmoment......................................... 97
5.3.1 DefinitionenundGesetze ..................................... 97
5.3.2 ReduktionundGleichgewichtfu¨rDrehmomente .................. 101
5.4 ParallelverschiebungeinerKraft ..................................... 103
5.5 DaspolareMomenteinerKraft....................................... 103
5.6 AufgabenzudenAbschnitten5.2bis5.5 .............................. 106
5.7 DiedreiGrundaufgabenderStarrko¨rperstatik........................... 109
5.7.1 ErsteGrundaufgabe:Reduktion ................................ 109
5.7.2 ZweiteGrundaufgabe:Gleichgewicht ........................... 114
5.7.3 Statischa¨quivalenteGleichgewichtsbedingungenfu¨rdenStarrko¨rper . 116
5.7.4 DritteGrundaufgabe:ZerlegungeinerKraft ...................... 118
5.7.5 DieSystemmatrix ............................................ 120
Inhaltsverzeichnis IX
5.8 StatischeBestimmtheiteinesStarrko¨rpersinderEbene................... 121
5.9 AufgabenzudenAbschnitten5.7und5.8 ............................. 126
6 KraftsystemeimRaum :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 131
6.1 KraftvektoreninkartesischenKoordinaten ............................. 131
6.2 ZentraleKraftsystemeimRaum ...................................... 132
6.2.1 ErsteGrundaufgabe:ReduktionaufeineEinzelkraft ............... 132
6.2.2 ZweiteGrundaufgabe:Gleichgewicht ........................... 134
6.2.3 DritteGrundaufgabe:ZerlegungeinerKraft ...................... 136
6.2.4 StatischeBestimmtheiteinesMassenpunktesimRaum ............ 137
6.2.5 AufgabenzuAbschnitt6.2 .................................... 137
6.3 NichtzentraleKraftsystemeimRaum.................................. 139
6.3.1 DerMomentenvektoreinesKra¨ftepaares ......................... 139
6.3.2 ParallelverschiebungeinerKraft ................................ 141
6.3.3 DerpolareMomentenvektoreinerKraft.......................... 142
6.3.4 DeraxialeMomentenvektoreinerKraft .......................... 145
6.3.5 AufgabenzudenAbschnitten6.3.1bis6.3.4 ..................... 147
6.3.6 ErsteGrundaufgabe:Reduktion ................................ 148
6.3.7 ZweiteGrundaufgabe:Gleichgewicht ........................... 152
6.3.8 Statischa¨quivalenteGleichgewichtsbedingungen .................. 152
6.3.9 DritteGrundaufgabe:ZerlegungeinerKraft ...................... 154
6.3.10 StatischeBestimmtheiteinesStarrko¨rpersimRaum ............... 155
6.3.11 AufgabenzudenAbschnitten6.3.6bis6.3.10 .................... 158
7 KinematikvonStarrko¨rpersystememinderEbene::::::::::::::::::::::: 161
7.1 DiefiniteebeneBewegungeinesKo¨rpers .............................. 161
7.2 DieinfinitesimaleebeneBewegungeinesKo¨rpers ....................... 162
7.3 DiedreiGrundaufgabenderStarrko¨rperkinematik....................... 165
7.3.1 ErsteGrundaufgabe:VerschiebungeneinesStarrko¨rpersermitteln.... 165
7.3.2 ZweiteGrundaufgabe:MomentanpoleinesStarrko¨rpersermitteln.... 166
7.3.3 DritteGrundaufgabe:PolplaneinesmehrteiligenSystemsermitteln .. 169
7.4 VerschiebungenvonPunkteninkartesischenKoordinaten ................ 173
7.5 KinematischeBestimmtheitvonStarrko¨rpersystemeninderEbene......... 174
7.6 StatischeundkinematischeBestimmtheitvonStarrko¨rpersystemen ........ 176
7.7 PraktischeUntersuchungderkinematischenBestimmtheit ................ 176
7.8 AufgabenzuKapitel7 .............................................. 180
TeilII AnwendungenderStarrko¨rperstatik
8 Schwerpunkte:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 187
8.1 DerSchwerpunkteinerKo¨rpergruppe ................................. 187
8.1.1 DefinitionundBerechnung .................................... 187
8.1.2 AufgabenzuAbschnitt8.1..................................... 190
X Inhaltsverzeichnis
8.2 DerSchwerpunkteinesinhomogenenKo¨rpers .......................... 191
8.3 GeometrischeMittelpunktefu¨rVolumina,Fla¨chenundLinien............. 192
8.3.1 Volumenmittelpunkte ......................................... 192
8.3.2 Fla¨chenmittelpunkte .......................................... 193
8.3.3 Linienmittelpunkte ........................................... 194
8.4 PraktischeAuswertungderIntegrale .................................. 195
8.5 DieTotalresultierendevonStreckenlasten .............................. 208
8.6 GeometrischeMittelpunktefu¨rzusammengesetzteKo¨rper ................ 210
8.7 AufgabenzudenAbschnitten8.2bis8.6 .............................. 219
8.8 DiezweiRegelnvonPappus-Guldin .................................. 224
8.8.1 HerleitungderRegeln ........................................ 224
8.8.2 AufgabenzuAbschnitt8.8..................................... 226
9 GleichgewichtvonBalkentragwerken:::::::::::::::::::::::::::::::::: 229
9.1 EinteilungvonTragwerkenundstatischeSysteme ....................... 229
9.2 PraktischeBerechnungvonGleichgewichtfu¨rTragwerke................. 230
9.3 EinteiligeTragwerkeinderEbene .................................... 230
9.3.1 StatischeBestimmtheitundGleichgewicht ....................... 230
9.3.2 AufgabenzuAbschnitt9.3 .................................... 238
9.4 MehrteiligeebeneTragwerke ........................................ 242
9.4.1 StatischeBestimmtheitundGleichgewicht ....................... 242
9.4.2 Dreigelenkbogen............................................. 245
9.4.3 Gelenkbalken(Gerbertra¨ger) ................................... 248
9.4.4 AufgabenzuAbschnitt9.4 .................................... 252
9.5 EinteiligeTragwerkeimRaum ....................................... 256
9.5.1 StatischeBestimmtheitundGleichgewicht ....................... 256
9.5.2 AufgabenzuAbschnitt9.5 .................................... 258
10 GleichgewichtvonFachwerken ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 261
10.1 GrundlagenundEinteilungen ........................................ 261
10.2 IdealisierungenundRegelnfu¨rdasidealeFachwerk ..................... 264
10.3 StatischeBestimmtheitvonFachwerken ............................... 265
10.4 DiedreiBildungsgesetze ............................................ 269
10.5 PraktischeBerechnungvonStabkra¨ften................................ 272
10.5.1 Nullsta¨be ................................................... 272
10.5.2 DasKnotenpunktverfahren:Grundgedanke ....................... 273
10.5.3 DaszeichnerischeKnotenpunktverfahren ........................ 274
10.5.4 DasrechnerischeKnotenpunktverfahren ......................... 276
10.5.5 DasnumerischeKnotenpunktverfahren .......................... 277
10.5.6 DasRitterscheSchnittverfahren ................................ 283
10.6 AufgabenzuKapitel10 ............................................. 284