Lehrbuch der Mathematischen Physik: Band 2: Klassische Feldtheorie PDF
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WThirring Lehrbuch der Mathematischen Physik Band 2: Klassische Feldtheorie Zweite, neubearbeitete Auflage Springer-Verlag Wien New York o. Univ.-Prof. Dr.WalterThirring Institut ftirTheoretische Physik UniversitätWien, Österreich DasWerk ist urheberrechtlich geschützt. .. Die dadurch begründeten Rechte,insbesondere die derUbersetzung, des Nachdruckes,derEntnahmevon Abbildungen,der Funksendung, derWiedergabe aufphotomechanischem oderähnlichemWege und derSpeicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben,auch bei nurauszugsweiserVerwertung,vorbehalten. © 1990and 1978 by Springer-Verlag/Wien Mit 74 Abbildungen ISBN-13:978-3-211-82169-5 e-ISBN-13:978-3-7091-6927-8 DOI: 10.1007/978-3-7091-6927-8 Vorwort Die Sprache und die Methoden der modernen Differentialgeometrie sind in der vergangenen Dekade immermehr in die theoretische Physik eingedrungen. Was vor 15 Jahren, als das Buch zuerst als Vorlesungsskriptum herauskam, noch extravagant erschien, ist heute ein Gemeinplatz. Dies hat mich in der Ansicht gestärkt, daß die Studentendertheoretischen PhysikdieseSprachelernenmüssen,jeeherdestobesser. Schließlichwerden sie die Professoren des 21. Jahrhunderts sein und es wäre absurd, würden sie dann die Mathematik des 19. Jahrhunderts lehren. Daher habe ich in der neuen Auflage auf dieser Symbolik beharrt, einige Fehler korrigiert und ein Kapi tel über Eichtheorien hinzugefügt. Da es sich gezeigt hat, daß sie die fundamentalen Wechselwirkungen beschreibenund ihre Struktur zumindest auf dem klassischen Ni veau hinreichend klar ist, scheinen sie mir zur Minimalausrüstung zu gehören, über diejederTheoretikerverfügen muß. Mit Bedauernmußteichdavon Abstand nehmen, die neueren Entwicklungen der Kosmologie und Kaluza-Klein-artigeTheorien aufzu nehmen, aber ich fühlte mich an mein ursprüngliches Versprechen gebunden, den Studenten keine theoretischen Spekulationen aufzubürden, für die es keine sichere experimentelleEvidenz gibt. Vielen Physikern bin ich für Hinweise bezüglich dieses Bandes sehr verpflichtet. Insbesondere P. Aichelburg, H. Rumpfund vor allem H. Urbantke haben zahlreiche Korrekturen und Verbesserungen angebracht. I. Dahl-Jensen sei dafür gedankt, daß siemanchenach Gefühl angefertigte Zeichnungenmit dem Computerins richtige Lot gebracht hat. Ein weitererFortschritt gegenüber der ersten Auflage ist der hervorragende Com putersatz,denichwieimmerFrauF. Wagnerverdanke. DieZeichnungenlagenwieder in den Händen von Frau J. Ecker. Wien, im Juni 1989 W. Thirring Inhaltsverzeichnis Im Text erklärte Symbole IX 1 Einleitung 1 1.1 Physikalische Erscheinungen der Felddynamik 1 1.2 Der mathematischeFormalismus. . . . . . . . 10 1.3 Die Maxwellschen und Einsteinschen Gleichungen 29 2 Elektromagnetisches Feld gegebener Ladungsverteilungen 45 2.1 Wirkungsprinzip und Erhaltungssätze. 45 2.2 Die allgemeineLösung . . . 56 2.3 Das Feld einer Punktladung 69 2.4 Die Strahlungsrückwirkung . 87 3 Feld bei Anwesenheit von Leitern 99 3.1 Der Supraleiter . . . . . . . . . . 99 3.2 Halbraum, Hohlleiter und Resonator 109 3.3 Beugung am Keil . . . 121 3.4 Beugung am Zylinder. 134 4 Gravitation 151 4.1 Kovariante Ableitung und Krümmung. 151 4.2 Eichtheorien und Gravitation ..... 171 4.3 Maximal symmetrischeRäume. . . . . 188 4.4 Räume mit maximal symmetrischenUntermannigfaltigkeiten . 201 4.5 Leben und Sterben der Sterne 219 4.6 Existenz von Singularitäten 232 Literatur 249 Index 255 Im Text erklärte Symbole Basis der p-Formen (1.2.3) Ep(M) Linearer Raum der p-Formen (1.2.5,2) d Äußere Ableitung (1.2.6) WIN Einschränkung einer Form (1.2.7,3) E~(U) Raum der rn-Formen mit kompaktem Träger (1.2.9) (ei(x)lek(x») Skalarprodukt (1.2.14) i Inneres Produkt (1.2.16) v * Isomorphismus zwischen Ep und Em-p •••••••••••••••••••••••• (1.2.17) Koableitung (1.2.19) Laplace-Beltrami-Operator (1.2.20) Lie-Ableitung (1.2.23) Übertragungsform (1.2.25) Übertragungsform (1.2.25) 0(x) Stufenfunktion (1.2.31) l5(x) Diracsehe I5-Funktion (1.2.31) I5x Diracsche I5-Funktion (Form) (1.2.33) Gx Green-Funktion (1.2.35) E,B,F Elektrisches und magnetisches Feld (1.3.1) A Vektorpotential (1.3.7) A Eichfunktion (1.3.10,1) J Strom (1.3.12) Q Gesamtladung (1.3.18,2) Taß Energie-Impuls-Tensor (1.3.20) pa Gesamt-Energie-Impuls (1.3.21) Ta Energie-Impuls-Form des Feldes (1.3.22) z(s) Weltlinie (1.3.25,2) ta Energie-Impuls-Form der Materie (1.3.25,2) .c Lagrange-Funktion (2.1.1) W Wirkung (2.1.1) S PoyntingscherVektor (2.1.13) Dx Green-Funktion (2.2.5) Dret(x) Retardierte Green-Funktion (2.2.7) Gretx Retardierte Green-Funktion (Form) (2.2.7) Fret Retardierte Feldstärke (2.2.9) Fein Einlaufende Feldstärke (2.2.15) Faus Auslaufende Feldstärke (2.2.15) x Im Text erklärte Symbole prad Strahlungsfeld (2.2.21) D(x) D-Funktion (2.2.22) oE Energieverlust pro Umlauf (2.4.4,2) j Vorgegebener Strom (3.1.7) G Feld, das j entspricht (3.1.19,3) S Superpotential (3.1.20) p(z) Fresnelsches Integral (3.3.10) Sp p-Form-wertige Schnitte (4.1.9) D Kovariante äußere Ableitung (4.1.10) .cu Kovariante Lie-Ableitung (4.1.15) Dx Kovariante Ableitung (4.1.15) n Krümmungsform (4.1.19) 8 Verschmelzungsform (4.1.32) T Torsion (4.1.32) fijk Christoffel-Symbol (4.1.36) Rik Krümmungsform (4.1.43) Rijkm Riemann-Christoffel-Tensor (4.1.44,2) Cjk Weyl-Formen (4.1.44,3) Ta Schwarzschild-Radius (4.4.41) K Krümmungsparameter (4.4.42) c Konvergenz ................................................... (4.6.8) J+(x) Zukunft (4.6.18(i» J-(x) Vergangenheit (4.6.18(i» C(x,S) Menge der kausalen Kurven (4.6.18(ii» C1(x,S) Menge der differenzierbaren kausalen Kurven (4.6.18(ii» d(A) Länge von A (4.6.18(iii» 1 Einleitung 1.1 Physikalische Erscheinungen der Felddynamik Elektrisches und magnetisches Feld sind dynamisch so miteinander ver woben, daß sich ihre Erregungen im leeren Raum mit einer universellen Geschwindigkeit c fortpflanzen. Dieses Phänomen läßt die Abstrahlung des Feldes qualitativ verstehen und analoges Geschehen für das Schwere feld erwarten. Die Vereinigung der Theorien elektrischer und magnetischer Erscheinungen war eines der großen wissenschaftlichen Ereignisse des vorigen Jahrhunderts. Während das elektrische Feld E im stationären Fall Quellen an den Orten der Ladungen be sitzt, aber wirbelfrei ist, so rufen zeitliche Veränderungen des Magnetfeldes Wirbel spannungenhervor. Das Magnetfeld B ist hingegenstets quellenfrei,hat von Strömen erzeugteWirbelundsolche,dieeinzeitabhängigeselektrischesFeldhervorruft. Dieses dynamische Ineinandergreifen der Felder wird durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben. Etwa im leeren Raum (weder Quellen noch Ströme) besagen siel für Integrale über beliebige Flächen N mit Rand aN 1 dsE r dO13, = - (1.1.1) !aN JN und für geschlossene Flächen (1.1.2) Späterwerdenwirdiesescheinbarvoneinanderunabhängigen Relationenals verschie dene Aspekte der Aussage erkennen, daß die Feldstärkenformund ihre Dualform ge schlossen sind. Bevor wir diesen geometrischen Inhalt ausschöpfen, wollen wir die dadurch hervortretenden physikalischen Phänomene intuitiv zu begreifen versuchen. Elektromagnetische Wellen (1.1.3) Ein Feld = = E B cosw(x - t), die anderen Komponenten 0, (1.1.4) y z siehtzufester Zeitwiefolgt aus: (Fig. 1.1). Esistoffensichtlichquellenfreiundgenügt auchden Relationen (1.1.1). Diesist etwafür diein Fig. 1.2gewähltenFlächenleicht E, B zu sehen. Da sich die Welle von Fig. 1.1 nach rechts bewegt, haben in dem Gebiet das Vorzeichen von E, B, und es gilt f . f rlw Eds = -2L = -LwJ dxsinwx = - BdI. o = 1 Wirverwenden Einheiten mitc 1. 2 1 Einleitung r . / ~ B B E -"V'------_-_-_-_---'7'------_~_-_-_-....:::: 0 __ ...."..'_'::::___--_r'<l'-,/-E--"T.J,-/-x ---- ~: ~: --..: : / t /' i -- ..::t --- : ,/ ~ ~ E / E B ~ B [ v Fig. 1.1 Die Felder einer ebenen Welle aN ! N ,/' ;;: 0 7,/ / y L I / /' ,/ B 7 /~ )' ,/ > rr/w Fig. 1.2 illustration der Maxwell-Gleichungen in Integralform 1.1 Physikalische Erscheinungen der Felddynamik 3 ImGegensatzzumstationärenFall,in welchemdas elektrischeFeldeinerPunktquelle wie 1/r2 abfällt, kann es also imdynamischen Fallohne Abnahmeden Raum mit der zu 1 normierten Lichtgeschwindigkeit durchlaufen, ohne daß der Puls an Intensität verliert. Weniger direkt ersieht man aus den Relationen (1.1.1) und (1.1.2), daß sichjegli che Veränderung der Felder mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Wir werden später studieren, wie dies aus der Struktur der Charakteristiken der äquivalenten Differen tialgleichung folgt. Jetzt wollen wir diesen Umstand als gegeben ansehen und damit untersuchen, wie eine beschleunigte Ladung ihr Coulomb-Feld abschüttelt: Erzeugung elektromagnetischer Strahlung (1.1.5) Eine Ladung e, die mit konstanter Geschwindigkeit v in x-Richtung bewegt wird, strahlt nicht (Lorentz-Invarianz). Wird sie aber während der Zeit -r < t < 0 im Ursprung zum Stehen gebracht, so sieht ihr Coulomb-Feld zu einer Zeit t > 0 fol gendermaßen aus: Für Abstände r > t +T vom Ursprung gleicht es dem Feld der bewegten Ladung, denn zu diesen Teilen des Raumes hat sich noch nicht herumge sprochen, daß die Ladung gebremst wurde. Dort zeigen die Kraftlinien zum Punkt x ~ vt und nicht zu x = 0, wo die Ladung für t > 0 ruht, sie sind also um vt vrt rv verschoben. Für r < t hat man das Feld einer bei x = 0 ruhenden Ladung, hier hat das Feld schon vergessen, daß sich die Ladung einmal bewegt hat. Dazwischen, in der Kugelschale t < r < t +r, müssen die Kraftlinien stetig und quellenfrei ver laufen. Daher werden sie verbogen und müssen, wie aus Fig. 1.3 ersichtlich, enger zusammenrücken, und zwar mit r wachsend und am meisten in den unter 90° zu v gelegenen Teilen der Kugelschale. Dies bewirkt eine Vergrößerung der Feldstärke um einen Faktor: Verdichtungder Feldlinien (Verschiebung der Feldlinien)/(Dickeder rv Kugelschale) '" vrt/r rv rv, denn für r = t +T sieht man das Feld einer Ladung bei x = tv trv, die Kraftlinien sind um dieses Stück verschoben. Somit ist in der rv Kugelschale das Feld nicht lEI = e/r2, sondern lE-I rv ev- für t < r < t+r und {) = L(x,v) rv"12r. (1.1.6) r Bemerkungen (1.1.7) 1. DerVerdichtungsfaktorist nurfür {) rv 1r/2 wesentlich,für {) = 0oder1r werden dieKraftlinieninder Kugelschalenichtverbogen. DiegenauereRechnungergibt einen Faktor sin{). 2. Das Vorzeichen des zusätzlichen Feldes ist offenbar so, daß es in Richtung der negativen Beschleunigung weist. Ein solches elektrisches Feld rv 1/r und nicht rv 1/r2 wie das statische Coulomb Feld führt direkt zu Ausstrahlung von Energie: Die in der Kugelschale steckende Feldenergie rv f d3xlEI2 rv IEI2r2r rv e21vl2r lt<r<t+T bleibtwährend ihrerExpansionerhalten,sodaßsieauchfür große r,wodieCoulomb sche Feldenergie gegen 0 geht, noch denselben Energieinhalt aufweist. Dieser wurde
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