Lehrbuch der Analysis: Teil 2

740 Pages·1991·13.81 MB·German

by  Dr. rer. nat. Harro Heuser (auth.)

Mathematische Leitfäden
Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. mult. G. Köthe,
Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universität-Gesamthochschule Paderborn,
und Prof. Dr. G. Trautmann, Universität Kaiserslautern
Lehrbuch der Analysis
Teil 2
Von Dr. rer. nat. Harro Heuser
o. Professor an der Universität Karlsruhe
10., durchgesehene Auflage
Mit 102 Abbildungen, 631 Aufgaben,
zum Teil mit Lösungen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1998
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Heuser, Harro:
Lehrbuch der Analysis / von Harro Heuser.
(Mathematische Leitfäden)
Teil 2. Mit 631 Aufgaben, zum Teil mit Lösungen. - 10., durchgesehene Auf!.
1998
ISBN 978-3-519-42232-7 ISBN 978-3-663-10637-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-10637-1
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© Springer Fachmedien Wiesbaden 1991
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner, Stuttgart 1991
Auch dieser Band ist rur Isabe11a und Anabel, Marcus und Marius.
Die mathematische Analyse erstreckt sich ebenso weit wie die Natur selbst; sie
definiert alle wahrnehmbaren Beziehungen, mißt die Zeiten, Räume, Kräfte,
Temperaturen. Diese schwierige Wissenschaft entwickelt sich langsam, aber
sie bewahrt alle Prinzipien, die sie einmal errungen hat; sie wächst und befe
stigt sich unablässig inmitten aller Irrungen und Fehler des menschlichen Gei
stes.
Ihre hervorstechende Eigenschaft ist die Klarheit; sie hat keinerlei Zeichen,
um verworrene Begriffe auszudrücken. Sie setzt die allerverschiedensten Phä
nomene zueinander in Beziehung und deckt die verborgenen Analogien auf,
die sie verbinden ... Sie scheint eine Fähigkeit des menschlichen Geistes zu
sein, die dazu bestimmt ist, einen Ausgleich zu bieten für die Kürze des Lebens
und die Unvollkommenheit der Sinne.
Jean Baptiste Fourier, "Analytische Theorie der Wärme".
Vorwort
Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den
selben Grundsätzen gefolgt, die ftir den ersten bestimmend waren: Ich wollte die
Theorie ausftihrlich und faßlich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele
Beispiele und Übungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. Außerdem wollte
ich Brücken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver
schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fOrdernde Ineinandergrei
fen "blasser" Theorie und "handfester" Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander
greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalität und Dynamik verdankt.
Und schließlich wollte ich durch eine klare und auch äußerlich leicht erkennbare
Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen daftir sorgen, daß der Leser trotz
der Fülle des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der
Versuch, das Änderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus
der Änderung einer Funktion "im Kleinen" ihren Verlauf "im Großen" zu rekon
struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Überlegungen Funktionen, de
ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel
allgemeineren Räumen sind. Dieser Übergang vom Eindimensionalen zum Mehrdi
mensionalen entspringt nicht müßiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er
wird uns vielmehr sehr nachdrücklich durch die unabweisbaren Bedürfnisse der Pra
xis aufgenötigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben für gewöhnlich im Raum
und nicht nur auf einer Geraden ab.
Die Analysis ist in einer 2500jährigen Entwicklung mühevoll zu dem geworden, was
sie heute ist. Ihre Geschichte ist reich an stiller Arbeit und lärmender Polemik, an
triumphalen Durchbrüchen und niederschmetternden Enttäuschungen, an bohren
der Kritik und wüstem Draufgängertum; sie ist auf das engste verwoben mit philoso
phischem und naturwissenschaftlichem Denken und mit wirtschaftlichem und krie
gerischem Handeln - kurz: sie ist eines der glanzvollen und nachdenklich stimmen
den Kapitel in dem großen Roman des unruhigen Menschengeistes. In einem kurzen
historischen Rückblick habe ich versucht, etwas von diesem langen Ringen um die
Gestaltung der Analysis zu erzählen.
Der Leser wird in den Methodenteilen dieses Buches mehrere Dinge finden, die in
dem engen Zeitrahmen einer dreisemestrigen Analysisvorlesung nicht immer unter
gebracht werden können. Ich habe sie aufgenommen, weil mir vorschwebte, dieses
Buch zu einem zuverlässigen Helfer auch über die Anfangssemester hinaus zu ma
chen. Der Leser wird diesen Dingen schon bald nach Abschluß seiner "offiziellen"
Vorwort 5
Analysisstudien begegnen, sei es in Vorlesungen, in Proseminaren oder bei eigen
ständiger Lektüre mathematischer Literatur. Und außerdem wollte ich gewisserma
ßen "vor Ort" zeigen, wie modeme Begriffsbildungen und Aussagebestände ganz
natürlich und geradezu zwangsläufig aus dem angesammelten Material der Analysis
herauswachsen, wenn man von der konkreten Beschaffenheit dieses Materials ab
sieht und statt dessen die ihm eigentümliche Struktur herauszupräparieren sucht.
Auch dieser Prozeß ist letztlich nichts anderes als eine konsequente Anwendung der
axiomatischen Methode, nur daß sich letztere diesmal nicht unmittelbar auf reelle
Zahlen selbst richtet, sondern auf Bereiche, die sich nach und nach aus dem Um
gang mit diesen Zahlen gebildet haben. Die so entstehenden Strukturtheorien (z. B.
die Lehre von den topologischen Räumen) sind gewissermaßen Röntgenaufnahmen,
die durch Fleisch und Fett hindurch das tragende Knochengerüst "klassischer"
Theorien erkennen lassen.
Aus dem eben Gesagten ergibt sich fast von selbst, daß man den vorliegenden Band
nicht pedantisch Kapitel um Kapitel, Abschnitt um Abschnitt durchzuarbeiten
braucht. Um so notwendiger ist natürlich eine Leseanleitung flir denjenigen, der sich
zunächst nur mit dem klassischen Kern der mehrdimensionalen Analysis beschäfti
gen möchte. Ein solcher Leser sollte sich in den Methodenteilen konzentrieren auf
die Nummern 109-114,162-174,177-184 und 196-210. Aus den Anwendungsteilen
kann er mitnehmen, was ihm interessant erscheint und seinen im Kurzkurs erworbe
nen Kenntnissen zugänglich ist. Welche Nummern dies im einzelnen sind, wird er
im Laufe der Lektüre leicht selbst feststellen können.
Die mehr technischen Anweisungen zum gewinnbringenden Gebrauch dieses Bu
ches habe ich bereits in der Einleitung des ersten Bandes gegeben. Ich brauche sie
also hier nicht mehr zu wiederholen.
Mit Freude benutze ich die Gelegenheit, all denen meinen herzlichen Dank abzu
statten, die mich bei der Herstellung des vorliegenden Bandes unterstützt haben.
Ich danke Frl. Dipl.-Math. M. Bertsch, Herrn Dr. G. Schneider, Herrn Dr. H.-D.
Wacker und Herrn Dipl.-Math. Ä. Weckbach dafür, daß sie die erste Fassung
des Buches und alle seine Änderungen kritisch gelesen und durch viele Beiträge ver
bessert und geglättet haben; ganz besonders aber daflir, daß sie mehrfach mit pein
lichster Gewissenhaftigkeit die zahlreichen Aufgaben geprüft und durchgerechnet
haben. Last hut not least muß ich ihnen danken für die mühselige Korrektur der
Druckfahnen. Ich danke Herrn Prof. Dr. U. Mertins (Technische Universität Clausthal)
daflir, daß er die vorletzte Fassung einer sorgfältigen Durchsicht unterzogen und
mich dabei wieder und wieder durch anregenden Rat unterstützt hat. Herrn Dr. A.
V oigt schulde ich Dank flir die vielen klaren Zeichnungen, die das Verständnis des
Textes so sehr erleichtern. Frau Y. Paasche und Frau K. Zeder haben mit liebens
würdigster Geduld und gewohnter Präzision mein Manuskript, eine vielhundertseiti
ge Zumutung, in ein sauberes Maschinenskript umgesetzt; ich danke ihnen herzlich.
Dem Teubner-Verlag habe ich zu danken flir seine unermüdliche Kooperation und
die vortreffliche Ausstattung des Buches.
6 Vorwort
Meine Schwester, Frau Ingeborg Strohe, hat mir in ihrem ruhigen Haus in Nastät
ten/Taunus die Möglichkeit geboten, ungestört und intensiv an diesem Buch zu ar
beiten. Ich bin ihr großen Dank schuldig.
Nastätten/Taunus, im Juli 1980 Harro Heuser
Vorwort zur zehnten Auflage
Für die zehnte Auflage genügte es, einige kleine Änderungen vorzunehmen.
Karlsruhe, im September 1998 Harro Heuser
Inhalt
XIV Banachräume und Banachalgebren
109 Banachräume . . . . . . 11
110 Banachalgebren . . . . . 23
111 Stetige Abbildungen normierter Räume 30
112 Stetige lineare Abbildungen normierter Räume 40
113 Stetige Funktionen aus RP nach Rq 45
114 Lineare Abbildungen von RP nach Rq 50
115 Der Satz von Stone-Weierstraß 59
116 Die komplexe Version des Satzes von Stone-Weierstraß. Trigo-
nometrische Approximation . . . . . . .. 64
XV Anwendungen
117 Der Satz von Picard-Lindelöf für die Differentialgleichung
y'=j(x,y) ................ 67
118 Der Satz von Peano für die Differentialgleichung y' = j(x, y) 69
119 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 73
120 Differentialgleichungen höherer Ordnung 77
121 Die Fredholmsche Integralgleichung 79
122 Die Volterrasche Integralgleichung 82
XVI Das Lebesguesche Integral
123 Die Definition des Lebesgueschen Integrals 84
124 Einfache Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals 89
125 Der Konvergenzsatz von Beppo Levi ..... 93
126 Der Konvergenzsatz von Lebesgue und das Lemma von Fa-
tou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
127 Das Riemannsche Integral in der Lebesgueschen Theorie 99
128 Parameterintegrale 101
129 Meßbare Funktionen 103
130 Die Banachräume LP(I) 106
131 Das unbestimmte Integral 110
XVII Fourierreihen
132 Das Problem der schwingenden Saite 118
133 Der Begriff der Fourierreihe 123
134 Die Approximation im quadratischen Mittel 127
135 Die Integraldarstellung der Teilsummen einer Fourierreihe 133
136 Punktweise Konvergenz der Fourierreihen . 138
137 Gleichmäßige Konvergenz der Fourierreihen 144
138 Beispiele für Fourierentwicklungen 148
8 Inhalt
139 C-Summierbarkeit der Fourierreihen . . . . . . . .. 154
140 A-Summierbarkeit der Fourierreihen . . . . . . . .. 160
141 L 2-Konvergenz der Fourierreihen (Konvergenz im quadrati-
schen Mittel) . . . . . . . . . . . . . . .. 163
142 Folgerungen aus der L 2-Konvergenz der Fourierreihen 167
143 Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der Fourierreihen 170
XVIII Anwendungen
144 Nochmals die schwingende Saite 174
145 Gedämpfte Schwingungen unter dem Einfluß periodischer
Zwangskräfte ..... . 179
146 Temperaturverteilung in einer kreisförmigen Platte 182
J+ 00 sinx
147 Das Integral --dx......... 187
o x
I
~k'
148 Die Reihen • • 188
n
n=1
149 Die Produktdarstellung von sin 'IT x 190
150 Die Gammafunktion . . . . . 195
151 Das Fehlerintegral. Die Fresnelschen Integrale 200
XIX Topologische Räume
152 Umgebungen und Topologien 202
153 Beispiele topologischer Räume 205
154 Konvergenz in topologischen Räumen 211
155 Topologische Elementarbegriffe 218
156 Relative Topologien ..... . 224
157 Kompakte Mengen ..... . 227
158 Stetige Abbildungen topologischer Räume 230
159 Die Algebra C(X) . . . . . . 233
160 Zusammenhängende Mengen 235
161 Bogenzusammenhängende Mengen 240
XX Differentialrechnung im RP
162 Partielle Ableitungen . . . . . . . . 247
163 Das Änderungsverhalten der ct-Funktionen 254
164 Differenzierbare Funktionen. Die Ableitung 259
165 Differentiationsregeln . 266
166 Die Richtungsableitung 272
167 Mittelwertsätze 276
168 Der Taylorsche Satz 281
169 Implizite Funktionen 286
170 Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen 295
171 Der Umkehrsatz ....... . 300
172 Bericht über Determinanten . . . . . 304
173 Lokale Extrema reellwertiger Funktionen 310
174 Extrema mit Nebenbedingungen 319
175 Differentiation in Banachräumen 330
176 Differentiation komplexer Funktionen 345
Inhalt 9
XXI Wegintegrale
177 Rektiflzierbare Wege . . . . . . . . . . . . .. 349
178 Die Bogenlänge .............. 358
179 Bericht über Bogenpathologien und den Jordanschen Kurven-
satz . . . . . . . . . . 366
180 Wegintegrale . . . . . . . . . . . . 367
181 Gradientenfelder und Potentiale . . . . 379
182 Wann ist ein Vektorfeld ein Gradientenfeld? 385
183 Praktische Bestimmung der Stammfunktionen 388
184 Das Integral reellwertiger Funktionen bezüglich der Weglänge 390
185 Komplexe Wegintegrale . . . . . . . . . . . .. 392
186 Der Cauchysche Integralsatz und die Cauchysche Integralformel 395
187 Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel . . . .. 401
XXII Anwendungen
188 Ausgleichspolynome . . . . . 408
189 Das Newtonsche Verfahren im RP 412
190 Die exakte Differentialgleichung 416
191 Eine Grundaufgabe der Variationsrechnung 421
192 Konservative Kraftfelder ...... 426
193 Kleine Bewegungen um stabile Gleichgewichtslagen 430
194 Das Hamiltonsche Prinzip und die Lagrangeschen Gleichungen
zweiter Art .......... 432
195 Autoprobleme. Wärmesuchende Körper . . . . . .. 433
XXIII Mehrfache R-Integrale
196 Vorbemerkungen ............... 437
197 Das Riemannsche Integral über kompakte Intervalle im RP 439
198 Die Darbouxschen Integrale über kompakte Intervalle im RP . 442
199 Integrabilitätskriterien und einige Folgerungen aus ihnen 444
200 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . .. 448
201 Integration über Jordan-meßbare Mengen . . . . . .. 453
202 Die Rolle Jordanscher Nullmengen in der Integrationstheorie 461
203 Inhalte von Ordinatenmengen 466
204 Integration über Normalbereiche . . . . . . . .. 470
205 Die Substitutionsregel . . . . . . . .. 473
206 Transformation auf Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten 485
XXIV Integralsätze
207· Der Gaußsche Integralsatz in der Ebene 495
208 Flächen und Oberflächenintegrale im Raum 499
209 Der Stokessche Integralsatz . . . 512
210 Der Gaußsche Integralsatz im Raum 516
211 Alternierende Multilinearformen 524
212 DifIerentialformen . . . . . . 531
213 Integration von Differentialformen 541
214 Ketten . . . . . . 544
215 Integration über Ketten . . . . 549