Lehrbuch der Analysis PDF
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Mathematische Leitfiiden Herausgegeben von Prof. Dr. Dr. h. c. mult. G. Kothe, Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universitat-Gesamthochschule Paderbom und Prof. Dr. G. Trautmann, Universitat Kaiserslautem Lehrbuch der Analysis Teil2 Von Dr. rer. nat. Harro Heuser o. Professor an der Universitat Karlsruhe II. Auflage Mit 102 Abbildungen, 631 Aufgaben, zum Teil mit Losungen B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufuahme Ein Titeldatensatz fUr diese Publikation ist bei Der Deutschen Bibliothek erhiiltlich II. Auflage September 2000 Aile Rechte vorbehalten © B. G. Teubner GmbH, Stuttgart 1L eipzig 1W iesbaden 2000 Der Verlag Teubner ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschliel3lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages un zuliissig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr VervieWiltigun gen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeiche rung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. www.teubner.de Umschlaggestaltung: Peter Pfitz, Stuttgart ISBN 978-3-519-42234-1 ISBN 978-3-322-96812-8 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96812-8 Auch dieser Band ist fUr Isabella und Anabel, Marcus und Marius. Die mathematische Analyse erstreckt sich ebenso weit wie die Natur selbst; sie definiert aile wahrnehmbaren Beziehungen, miBt die Zeiten, Raume, Krafte, Temperaturen. Diese schwierige Wissenschaft entwickelt sich langsam, aber sie bewahrt aile Prinzipien, die sie einmal errungen hat; sie wachst und befe stigt sich unablassig inmitten aller Irrungen und Fehler des menschlichen Gei stes. Ihre hervorstechende Eigenschaft ist die Klarheit; sie hat keinerlei Zeichen, um verworrene Begriffe auszudriicken. Sie setzt die allerverschiedensten Pha nomene zueinander in Beziehung und deckt die verborgenen Analogien auf, die sie verbinden ... Sie scheint eine Fahigkeit des menschlichen Geistes zu sein, die dazu bestimmt ist, einen Ausgleich zu bietenjUr die Kurze des Lebens und die Unvollkommenheit der Sinne. Jean Baptiste Fourier, ,,Analytische Theorie der Warme«. Vorwort Bei der Abfassung des zweiten Bandes meines Lehrbuches der Analysis bin ich den selben Grundsatzen gefolgt, die fUr den ersten bestimmend waren: Ich wollte die Theorie ausfUhrlich und faBlich darstellen, ausgiebig motivieren und durch viele Beispiele und Ubungen zum sicheren Besitz des Lesers machen. AuBerdem wollte ich Brticken schlagen zu den Anwendungen analytischer Methoden in den allerver schiedensten Wissenschaften und dabei das wechselseitig fOrdemde Ineinandergrei fen "blasser" Theorie und "handfester" Praxis aufscheinen lassen, ein Ineinander greifen, dem die Analysis einen guten Teil ihrer Vitalitat und Dynamik verdankt. Und schlieBlich wollte ich durch eine klare und auch auBerlich leicht erkennbare Scheidung von Methoden- und Anwendungsteilen dafUr sorgen, daB der Leser trotz der Hille des Materials den roten Faden nicht verliert. Dieser rote Faden ist der Versuch, das Anderungsverhalten der Funktionen begrifflich zu erhellen und aus der Anderung einer Funktion "im Kleinen" ihren Verlauf "im GroBen" zu rekon struieren. Dabei stehen diesmal im Vordergrund der Uberlegungen Funktionen, de ren Argumente und Werte Vektoren aus dem RP oder sogar Elemente aus noch viel allgemeineren Raumen sind. Dieser Ubergang yom Eindimensionalen zum Mehrdi mensionalen entspringt nicht mtiBiger Neugier und Verallgemeinerungssucht - er wird uns vielmehr sehr nachdrticklich durch die unabweisbaren Bedtirfnisse der Pra xis aufgenotigt. Die Prozesse der Natur spielen sich eben fUr gewohnlich im Raum und nicht nur auf einer Geraden abo Die Analysis ist in einer 2500jahrigen Entwicklung mtihevoll zu dem geworden, was sie heute ist. Ihre Geschichte ist reich an stiller Arbeit und larmender Polemik, an triumphalen Durchbrtichen und niederschmettemden Enttauschungen, an bohren der Kritik und wtistem Draufgangertum; sie ist auf das engste verwoben mit philoso phischem und naturwissenschaftlichem Denken und mit wirtschaftlichem und krie gerischem Handeln - kurz: sie ist eines der glanzvollen und nachdenklich stimmen den Kapitel in dem groBen Roman des unruhigen Menschengeistes. In einem kurzen historischen Rtickblick habe ich versucht, etwas von diesem langen Ringen urn die Gestaltung der Analysis zu erzahlen. Der Leser wird in den Methodenteilen dieses Buches mehrere Dinge finden, die in dem engen Zeitrahmen einer dreisemestrigen Analysisvorlesung nicht immer unter gebracht werden konnen. Ich habe sie aufgenommen, weil mir vorschwebte, dieses Buch zu einem zuverlassigen Helfer auch tiber die Anfangssemester hinaus zu ma chen. Der Leser wird diesen Dingen schon bald nach AbschluB seiner "offlziellen" Vorwort 5 Analysisstudien begegnen, sei es in Vorlesungen, in Proseminaren oder bei eigen sUindiger Lektiire mathematischer Literatur. Und auBerdem wolIte ich gewisserma Ben "vor Ort" zeigen, wie modeme Begriffsbildungen und Aussagebestande ganz natiirlich und geradezu zwangslaufig aus dem angesammelten Material der Analysis herauswachsen, wenn man von der konkreten Beschaffenheit dieses Materials ab sieht und statt dessen die ihm eigentiimliche Struktur herauszupraparieren sucht. Auch dieser ProzeB ist letztlich nichts anderes als eine konsequente Anwendung der axiomatischen Methode, nur daB sich letztere diesmal nicht unmittelbar auf reelIe Zahlen selbst richtet, sondem auf Bereiche, die sich nach und nach aus dem Um gang mit diesen Zahlen gebildet haben. Die so entstehenden Strukturtheorien (z. B. die Lehre von den topologischen Raumen) sind gewissermaBen Rontgenaufnahmen, die durch Fleisch und Fett hindurch das tragende Knochengeriist "klassischer" Theorien erkennen lassen. Aus dem eben Gesagten ergibt sich fast von selbst, daB man den vorliegenden Band nicht pedantisch Kapitel um Kapitel, Abschnitt um Abschnitt durchzuarbeiten braucht. Um so notwendiger ist natiirlich eine Leseanleitung flir denjenigen, der sich zunachst nur mit dem klassischen Kern der mehrdimensionalen Analysis beschafti gen mochte. Ein solcher Leser solIte sich in den Methodenteilen konzentrieren auf die Nummem 109-114, 162-174, 177-184 und 196-210. Aus den Anwendungsteilen kann er mitnehmen, was ihm interessant erscheint und seinen im Kurzkurs erworbe nen Kenntnissen zuganglich ist. Welche Nummem dies im einzelnen sind, wird er im Laufe der Lektiire leicht selbst feststelIen konnen. Die mehr technischen Anweisungen zum gewinnbringenden Gebrauch dieses Bu ches habe ich bereits in der Einleitung des ersten Bandes gegeben. Ich brauche sie also hier nicht mehr zu wiederholen. Mit Freude benutze ich die Gelegenheit, all denen meinen herzlichen Dank abzu statten, die mich bei der HerstelIung des vorliegenden Bandes unterstiitzt haben. Ich danke Frl. Dipl.-Math. M. Bertsch, Herro Dr. G. Schneider, Herro Dr. H.-D. Wacker und Herro Dipl.-Math. A. Weckbach daflir, daB sie die erste Fassung des Buches und aIle seine Anderungen kritisch gelesen und durch viele Beitrage ver bessert und geglattet haben; ganz besonders aber daflir, daB sie mehrfach mit pein lichster Gewissenhaftigkeit die zahlreichen Aufgaben gepriift und durchgerechnet haben. Last but not least mull ich ihnen danken flir die miihselige Korrektur der Druckfahnen. Ich danke Herm Prof. Dr. U. Mertins (Technische UniversiHit Clausthal) daflir, daB er die vorletzte Fassung einer sorgfaltigen Durchsicht unterzogen und mich dabei wieder und wieder durch anregenden Rat unterstiitzt hat. Herro Dr. A. Voigt schulde ich Dank flir die vielen klaren Zeichnungen, die das Verstandnis des Textes so sehr erleichtem. Frau Y. Paasche und Frau K. Zeder haben mit liebens wiirdigster Geduld und gewohnter Prazision mein Manuskript, eine vielhundertseiti ge Zumutung, in ein sauberes Maschinenskript umgesetzt; ich danke ihnen herzlich. Oem Teubner-Verlag habe ich zu danken flir seine unermiidliche Kooperation und die vortremiche Ausstattung des Buches. 6 Vorwort Meine Schwester, Frau Ingeborg Strohe, hat mir in ihrem ruhigen Haus in NasUit ten/Taunus die Moglichkeit geboten, ungestort und intensiv an diesem Buch zu ar beiten. Ich bin ihr gro6en Dank schuldig. Nastatten/Taunus, im Juli 1980 Harro Heuser Vorwort zur zehnten Auflage Flir die zehnte Auflage genligte es, einige kleine Anderungen vorzunehmen. Karlsruhe, im September 1998 Harro Heuser Vorwort zur elften Auflage Fur die zehnte Auflage geniigte es, einige kleine Anderungen vorzunehmen, die vor liegende elfte Auflage ist ein Nachdruck der zehnten Auflage. Karlsruhe, im Juni 2000 Harro Heuser Inhalt XIV Banachranme und Banachalgebren 109 Banachraume . . 11 110 Banachalgebren 23 111 Stetige Abbildungen normierter Raume 30 112 Stetige line are Abbildungen normierter Raume 40 113 Stetige Funktionen aus RP nach Rq 45 114 Lineare Abbildungen von RP nach Rq 50 115 Der Satz von Stone-WeierstraB 59 116 Die komplexe Version des Satzes von Stone-WeierstraB. Trigo- nometrische Approximation 64 XV Anwendungen 117 Der Satz von Picard-Lindel6f flir die Differentialgleichung y' = f(x, y) 67 118 Der Satz von Peano flir die Differentialgleichung y' = f(x, y) 69 119 Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung 73 120 Differentialgleichungen hOherer Ordnung 77 121 Die Fredholrnsche Integralgleichung 79 122 Die Volterrasche Integralgleichung 82 XVI Das Lebesguesche Integral 123 Die Defmition des Lebesgueschen Integrals 84 124 Einfache Eigenschaften des Lebesgueschen Integrals 89 125 Der Konvergenzsatz von Beppo Levi 93 126 Der Konvergenzsatz von Lebesgue und das Lemma von Fa- tou 96 127 Das Riemannsche Integral in der Lebesgueschen Theorie 99 128 Parameterintegrale 101 129 MeBbare Funktionen 103 130 Die Banachraume LP (I) 106 131 Das unbestimmte Integral 110 XVII Fourierreihen 132 Das Problem der schwingenden Saite 118 133 Der Begriff der Fourierreihe 123 134 Die Approximation im quadratischen Mittel 127 135 Die Integraldarstellung der Teilsummen einer Fourierreihe 133 136 Punktweise Konvergenz der Fourierreihen . 138 137 GleichrnaBige Konvergenz der Fourierreihen 144 138 Beispiele flir Fourierentwicklungen 148 8 Inhalt 139 C-Summierbarkeit der Fourierreihen . . . . . . . .. 154 140 A-Summierbarkeit der Fourierreihen . . . . . . . .. 160 141 L2-Konvergenz der Fourierreihen (Konvergenz im quadrati- schen Mittel) . . . . . . . . . . . . . . .. 163 142 Folgerungen aus der L2-Konvergenz der Fourierreihen 167 143 Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit der F ourierreihen 170 XVIII Anwendungen 144 Nochmals die schwingende Saite 174 145 Gedampfte Schwingungen unter dem EinfluB periodischer Zwangskrafte ..... . 179 146 Temperaturverteilung in einer kreisfOrmigen Platte 182 f +00 sinx 147 Das Integral --dx. . . . . . . . . 187 o X I ~k· 148 Die Reihen • • . • • 188 n n=l 149 Die Produktdarstellung von sin 'IT x 190 150 Die Gammafunktion . . . . . 195 151 Das Fehlerintegral. Die Fresnelschen Integrale 200 XIX Topologiscbe Riiume 152 Umgebungen und Topologien 202 153 Beispiele topologischer Raume 205 154 Konvergenz in topologischen Raumen 211 155 Topologische Elementarbegriffe 218 156 Relative Topologien ..... . 224 157 Kompakte Mengen ..... . 227 158 Stetige Abbildungen topologischer Raume 230 159 Die Algebra C(X) . . . . . . 233 160 Zusammenhangende Mengen 235 161 Bogenzusammenhangende Mengen 240 XX Differentialrechnung im RP 162 Partielle Ableitungen . . . . . . . . 247 163 Das Anderungsverhalten der ct-Funktionen 254 164 Differenzierbare Funktionen. Die Ableitung 259 165 Differentiationsregeln . 266 166 Die Richtungsableitung 272 167 Mittelwertsatze 276 168 Der Taylorsche Satz 281 169 Implizite Funktionen 286 170 Die Differenzierbarkeit implizit definierter Funktionen 295 171 Der U mkehrsatz ....... . 300 172 Bericht fiber Determinanten . . . . . 304 173 Lokale Extrema reellwertiger Funktionen 310 174 Extrema mit Nebenbedingungen 319 175 Differentiation in Banachraumen 330 176 Differentiation komplexer Funktionen 345 Inhalt 9 XXI Wegintegrale 177 RektiflZierbare Wege . . . . . . . . . . . . .. 349 178 Die Bogenlange .............. 358 179 Bericht tiber Bogenpathologien und den Jordanschen Kurven- satz . . . . . . . . . . 366 180 Wegintegrale . . . . . . . . . . . 367 181 Gradientenfelder und Potentiale . . . . 379 182 Wann ist ein Vektorfeld ein Gradientenfeld? 385 183 Praktische Bestimmung der Stammfunktionen 388 184 Das Integral reellwertiger Funktionen beztiglich der Weglange 390 185 Komplexe Wegintegrale . . . . . . . . . . . " 392 186 Der Cauchysche Integralsatz und die Cauchysche Integralformel 395 187 Folgerungen aus der Cauchyschen Integralformel . . . .. 401 XXII Anwendungen 188 Ausgleichspolynome . . . . . 408 189 Das Newtonsche Verfahren im RP 412 190 Die exakte DifTerentialgleichung 416 191 Eine Grundaufgabe der Variationsrechnung 421 192 Konservative Kraftfelder ...... 426 193 Kleine Bewegungen um stabile Gleichgewichtslagen 430 194 Das Hamiltonsche Prinzip und die Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art .......... 432 195 Autoprobleme. Warmesuchende Korper . . . . . .. 433 XXIII Mehrfache R-Integrale 196 Vorbemerkungen ............... 437 197 Das Riemannsche Integral tiber kompakte Intervalle im RP 439 198 Die Darbouxschen Integrale tiber kompakte Intervalle im RP . 442 199 Integrabilitatskriterien und einige Folgerungen aus ihnen 444 200 Der Satz von Fubini . . . . . . . . . . . . .. 448 201 Integration tiber Jordan-meBbare Mengen . . . . . .. 453 202 Die Rolle Jordanscher Nullmengen in der Integrationstheorie 461 203 Inhalte von Ordinatenmengen 466 204 Integration tiber Normalbereiche . . . . . . . " 470 205 Die Substitutionsregel . . . . . . . .. 473 206 Transformation auf Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten 485 XXIV Integralsatze 207 Der GauBsche Integralsatz in der Ebene 495 208 Flachen und Oberflachenintegrale im Raum 499 209 Der Stokessche Integralsatz 512 210 Der GauBsche Integralsatz im Raum 516 211 Alternierende Multilinearformen 524 212 DifTerentialformen . . . . . . 531 213 Integration von DifTerentialformen 541 214 Ketten . . . . . . 544 215 Integration tiber Ketten 549 10 Inhalt 216 Der Stokessche Satz flir r-Ketten 553 217 Spezialfalle des Stokesschen Satzes 556 XXV Anwendungen 218 Die physikalische Bedeutung der Divergenz und des GauBschen Integralsatzes . . . 559 219 Warmeleitung . . . . . . . . . . . . 561 220 Gravitationspotentiale ........ 563 221 Zentralkrafte . . . . . . . . . . . . 570 222 Die Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung 571 223 Das Problem der Dido ........ 577 XXVI Mehrfache L-Integrale 224 Das Lebesguesche Integral im RP . . . . . 581 225 Der Satz von Fubini fur mehrfache L-Integrale 583 226 MeBbare Funktionen . . . . . . . . . 586 227 MeBbare Mengen . . . . . . . . . . 587 XXVII Die Fixpunktsiitze von Brouwer, Schauder und Kakutani 228 Der Fixpunktsatz von Brouwer ....... 592 229 Ein Fixpunktsatz flir konvexe, kompakte Mengen im RP 601 230 Die Fixpunktsatze von Schauder 604 231 Korrespondenzen ..... 609 232 Der Fixpunktsatz von Kakutani 614 XXVIII Anwendungen 233 Nochmals der Existenzsatz von Peano .. . . . .. 617 234 V orbemerkungen zum Modell der reinen Tauschwirtschaft 620 235 Nachfragekorrespondenzen . . . . . . . 625 236 Die Existenz von Wettbewerbsgleichgewichten .... 630 XXIX Ein historischer tour d'horizon 237 Die Pythagoreer . . . 634 238 Proportionen und Exhaustion 636 239 Archimedes ..... 640 240 Auf dem Weg zum Calculus 646 241 Newton ...... . 656 242 Leibniz . . . . . . . 668 243 Zeitgenossische Kritik am Calculus 676 244 Die analytische Explosion 680 245 Die neue Strenge 689 Statt eines N achworts 701 LOsungen ausgewiihlter Aufgaben 702 Literaturverzeichnis 727 Symbolverzeichnis . 728 N amen- und Sachverzeichnis 729
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