Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluß der linearen Algebra, Teil 2

816 Pages·1988·38.08 MB·German

by  Dr. rer. nat. Günter Scheja

Mathematische Leitfaden
Herausgegeben von
em. o. Prof. Dr. Dr. h.c. mult. G. Kothe, Universitiit Frankfurt/M.,
Prof. Dr. K.-D. Bierstedt, Universitiit-Gesamthochschule Paderbom,
und Prof. Dr. G. Trautmann, Universitiit Kaiserslautem
Lehrbuch der Algebra
Vnter EinschluB der linearen Algebra
Teil2
Von Dr. rer. nat. Giinter Scheja
o. Professor an der Universitiit Tiibingen
und Dr. rer. nat. Uwe Storch
o. Professor an der Universitiit Bochum
Mit 44 Figuren, 351 Beispielen und 1285 Aufgaben
B. G. Teubner Stuttgart 1988
Prof. Dr. rer. nat. Gunter Scheja
Geboren 1932 in Wuppertal-Bannen. Studium der Mathematik
und Naturwissenschaften an der Universitiit Munster von 1952
bis 1958. Promotion 1958 und Habilitation 1963 im Fach
Mathematik in Miinster, anschlieBend als Dozent und Professor
in Miinster, Lafayette/Indiana und Freiburg/Schweiz tiitig.
1969 o. Professor an der Ruhr-Universitiit Bochum, seit 1979
o. Professor an der Universitiit Tubingen.
Prof. Dr. rer. nat. Uwe Storch
Geboren 1940 in Leopoldshall/Sachsen-Anhalt. Studium der
Mathematik, Physik und Mathematischen Logik an den
Universitiiten Miinster und Heidelberg von 1960 bis 1966.
Promotion 1966 in Miinster. Habilitation 1972, anschlieBend
Dozent und Professor in Bochum. 1974 o. Professor an der
Universitiit Osnabriick, seit 1981 o. Professor an der Universitiit
Bochum.
CIP-Tite1aufnahme der Deutschen Bibliothek
Scheja, Gunter:
Lehrbuch der Algebra: unter Einschlu13 d.
linearen Algebra/von Giinter Scheja u. Uwe Storch.
- Stuttgart: Teubner.
(Mathematische Leitfliden)
NE: Storch, Uwe:
Teil 2 (1988)
ISBN-13: 978-3-519-02212-1 e-ISBN-13: 978-3-322-80092-3
DOl: 10.1007/978-3-322-80092-3
Das Werk einschliel31ich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede
Verwertung au13erhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist
ohne Zustimmung des VerJages unzuliissig und strafbar. Das gilt besonders
fiir Vervielfiiltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspei
cherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
ICl B.G. Teubner, Stuttgart 1988
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort
Das "Lehrbuch der Algebra" dient der Einfiihrung in die Algebra, einschliefi
lich derjenigen Teile der Algebra, die gemeinhin als Lineare Algebra bezeich
net werden. Mit dem zweiten Band legen wir nunmehr den Hauptteil des
Buches vor.
Den Studierenden werden zunachst die drei mittleren Kapitel VIII, IX und
X interessieren, die Lineare Operatoren, Dualitat und Multilineare Algebra
behandeln und damit den Stoff vermitteln, der den Kern der Anfanger
Vorlesungen iiber (Lineare) Algebra und Geometrie ausmacht und in weitem
Mafie auch in den parallelen Analysis-Vorlesungen gebraucht wird.
Zur Untersuchung linearer Operatoren in Kapitel VIII sind einige Ergeb
nisse iiber Polynomringe notig, die in Kapitel VII, welches allgemeine Be
griffe der Kommutativen Algebra vorstellt, enthalten sind, wenn sie auch
nur einen gering en Teil dieses Kapitels bilden, den der Leser aber an Hand
kurzer Bemerkungen zu Beginn der einzelnen Paragraphen unschwer her
ausfinden wird. Dem Leser sei geraten, sich hier anfangs auf das Notige zu
beschranken.
Weiter empfehlen wir dem Leser, sich friihzeitig mit dem Tensorprodukt als
dem Grundbegriff multilinearer Algebra vertraut zu machen; hierzu bieten
schon einige Stellen der Kapitel VIII und IX Gelegenheit. Systematisch wird
das Tensorprodukt erst in Kapitel X besprochen, jedoch ergeben die ersten
Paragraphen 80 und 81 dieses Kapitels eine in sich geschlossene einfach
gehaltene Einfiihrung, die man leicht vorziehen kann. Die Paragraphen
80 und 84 konnen librigens ohne wei teres als Teil des Kapitels VI liber
Determinanten in den erst en Band aufgenommen werden.
Der Rest des vorliegenden Bandes, namlich der wei taus grofite Teil des Ka
pitels VII, die Schlufiparagraphen von Kapitel X und das letzte Kapitel XI
iiber algebraische Korpererweiterungen, ist fUr mittlere Semester gedacht.
Begriffen und Schluflweisen der Kommutativen Algebra haben wir, insbeson
dere auch bei der Behandlung der Korpererweiterungen, unserer Sehweise
gemafi grofieren Raum gewahrt.
Anders als im ersten Band, zu dem Anhange gesondert als Band 3 erschienen
sind, haben wir im zweiten Band weiterfUhrende Beispiele und Bemerkungen
in den Text eingeflochten, die dem Leser sicher willkommene Erganzungen
zu den Ubungen in den blofien Methoden bieten.
Viele dieser Erganzungen und ebenso viele der mit ausfiihrlichen Hinweisen
ausgestatteten Aufgaben erweitern den Stoff dergestalt, dafi das Buch nicht
nur zum Lernen, sondern auch zum N achschlagen gebraucht werden kann.
Eine Vollstandigkeit freilich konnte bei dem begrenzten Umfange nicht er
reicht werden. Oft werden Gebiete der Analysis beriihrt. Die Analysis
auszuklammern, erschiene uns unnatiirlich.
4 Vorwort
Wieder haben wir vielen zu danken, die uns bei der Arbeit halfen. Die
ersten Schreibmaschinen-Vorlagen wurden - im Laufe mehrerer Jahre -
von Frau M. Schallwich und Frau E. Gondos mit groBer Sorgfalt hergestellt.
Verschiedene Versionen des Manuskripts wurden von einer Reihe unserer
SchUler kritisiert und verbessert. Fiir sie sei stellvertretend Frau Dipl.
Math. U. Franzen, geb. Urbasch genannt, die die Koordination besorgte.
Beim Lesen der Fahnenkorrekturen haben uns die Herren Doz. Dr. M.
Kersken, Akad. ORat Dr. W. Grolz, Dr. Th. Lehmkuhl und Dipl.-Ylath.
H.-G. Rentzsch in dankenswerter Weise unterstiitzt.
Der gesamte Text wurde unter Verwendung des Systems 'lEX von Herm
stud. phys. H. Storch gesetzt, dem wir fiir seinen Einsatz und seine kom
petente Mitarbeit herzlich danken.
Endlich schulden wir den Herausgebem sowie Herm Dr. P. Spuhler vom
Teubner-Verlag fUr ihr Vertrauen, ihren Langmut und die zuverHissige Hilfe
besonderen Dank.
Bochum und Tiibingen, im Oktober 1987 Die Verfasser
Hinweise
Bei der N umerierung wird generell wie im Band 1 vorgegangen. Die Zahlung
der Kapitel und Paragraphen setzt die des ersten Bandes fort, so daB Zitate
ohne Erwahnung der Bandnummer erfolgen konnen.
Auch bei der Wahl der Schrifttypen haben wir uns vom ersten Band lei ten
lassen, soweit dies bei der eingeschrankten 'lEX-Implementation, die uns zur
Verfiigung stand, moglich war. Die Ersetzung der Fraktur durch Antiqua
fett wird am starksten ins ..luge fallen.
Inhalt
VII Kommutative Algebra
§51 Ringe und Moduln von Briichen ...................... 7
§52 Monoidringe und Polynomringe ....................... 19
§53 Grad der Polynome ................................. 30
§54 Nullstellen von Polynomen ........................... 46
§55 Endliche Algebren iiber Korpern ...................... 71
§56 Algebraische Hiillen ................................. 88
§57 Derivationen ....................................... 103
§58 Primelemente ....... . . .. . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . .. . . .. 128
§59 Hauptidealbereiche .................................. 143
§60 Primfaktorzerlegung in Polynomringen ................. 175
§61 Moduln iiber Hauptidealringen ....................... 188
§62 Graduierte Ringe und Moduln ........................ 202
§63 Formale Potenzreihenringe ........................... 228
VIII Lineare Operatoren
§64 Charakteristische Polynome .......................... 257
§65 Minimalpolynome ................................... 278
§66 Primarzerlegung .................................... 286
§67 Trigonalisieren und Diagonalisieren .................... 307
§68 Jordansche Normalform .............................. 322
§69 Charakteristische Polynome bei Algebren .............. 327
IX Dualitat
§7 0 Sesquilineare Funktionen ............................. 343
§7 1 Sesquilinearformen .................................. 363
§7 2 Reelle und komplexe Formen ......................... 395
§7 3 Raume mit Skalarprodukt ............................ 408
§7 4 Orientierungen ..................................... 435
§75Isometrien ......................................... 442
§76 Normierte Vektorraume .............................. 465
§77 Volumenmessung ................... . .. . . .. . . .. ...... 500
§78 Adjungierte Abbildungen ............................ 523
§79 Normale Operatoren . Spektralsatz .................... 531
6 fnhalt
X Multilineare Algebra
§80 Tensorprodukte ..................................... 554
§81 Wechsel des Grundringes ............................. 572
§82 Addititiviit des Tensorproduktes ...................... 586
§83 Aufiere Potenzen .................................... 601
§84 Tensoralgebren ..................................... 622
§85 Aufiere Algebren .................................... 637
§86 Synunetrische Algebren .............................. 668
§87 Ergiinzungen zum Tensorprodukt ..................... 687
§88 Flache Moduln ..................................... 694
XI Algebraische Erweiterungen
§89 Zerfallungskorper ................................... 715
§90 Separable Polynome ................................. 726
§91 Separable Algebren liber Korpern ..................... 734
§92 Galoistheorie ....................................... 749
§93 Beispiele zur Galoistheorie ........................... 764
§94 Die Spurform ....................................... 790
Literatur .................................................. 803
Verzeichnis einiger Symbole ............................. 804
Namen- und Sachverzeichnis ............................ 806
VII Kommutative Algebra
§51 Ringe und Moduln von Briichen
In diesem Paragraphen werden Konstruktion und Eigenschaften von Quotienten
ringen - Ringen von Briichen - besprochen. Urn die Anwendungsfahigkeit dieses
Begriffs fiir die kommutative Algebra zu erlautern, braucht nur auf den folgen
den Spezialfall hinge wiesen zu werden: J eder Integritatsbereich besitzt einen und
im wesentlichen nur einen Quotientenkorper; vergleiche §16, Beispiel 4 und 51.2
unten. Beim erst en Lesen braucht man nur bis dorthin vorzugehen.
Definition Sei A ein konunutativer Ring. Ein mul t iplikati yes S ys t em
S in A ist ein Untermonoid des multiplikativen Monoids von A.
Triviale multiplikative Systeme in A sind {I}, AX und A.
Beispiel 1 Sei a E A. Die Potenzen an, n E IN, bilden ein multiplikatives System
S(a) in A. Es ist das kleinste a enthaltende multiplikative System.
Beispiel 2 Die Menge der Nichtnullteiler von A ist ein multiplikatives System.
Beispiel 3 Sei t.p: A ~ B ein Homomorphismus kommutativer Ringe. Sind 5 und
T multiplikative Systeme in A bzw. B, so sind t.p(S) und t.p-l(T) multiplikative
Systeme in B bzw. A. Insbesondere sind t.p-l(BX ) und t.p-l(l) = 1 + Kernt.p
multiplikative Systeme in A.
Seien A ein konunutativer Ring und S ein multiplikatives System in A. Wir
konstruieren den Ring
As
der Bruche a/ s, wobei a E A, s E S sind, wie folgt: In der Produktmenge
A x S betrachten wir die durch
"(a,s) '" (b,t) genau dann, wenn ein v E S mit vat = vbs existiert"
definierte Relation "'.
Die Relation", ist eine Aquivalenzrelation. Be wei s. Die Gleichung 1· as =
1· as zeigt (a, s) '" (a, s) fiir aIle (a, s) E A x S. Die Synunetrie der Relation
liegt auf der Hand, und die Transiti vitiit folgt so: Sei (a, s) '" (b, t) und
= =
(b,t) '" (c,u); es gibt Elemente v,w E S mit vat vbs und wbu wet.
Dann ist (vwt)au = (vat)wu = (vbs)wu = (wbu)vs = (wet)vs = (vwt)cs
und damit (a,s)",", (c,u) wegen vwt E S.
8 VII Kommutative Algebra
Die dem Ring As zugrundeliegende Menge ist die Quotientenmenge von
A x S beziiglich dieser Aquivalenzrelation. Die Aquivalenzklasse von (a, s)
werde mit
a/s
bezeichnet. a/ s und bit sind definitionsgemafi gleich, wenn ein v E S mit
vat = vbs existiert. (Dies ist iiber einem Integritatsbereich im Fall 0 (j. S
mit der aus der gewohnlichen Bruchrechnung rationaler Zahlen bekannten
= =
Bedingung at bs gleichbedeutend.) Insbesondere ist a/ s auf su fiir alle
u E S. Endlich viele Briiche lassen sich somit stets auf einen "gemeinsamen
Nenner" bringen.
Die Verkniipfungen auf As definieren wir den Rechenregeln fiir Briiche 15.2
entsprechend:
+ +
a/ s bit := (at bs)/ st, a/ s . bit := ab/ st.
Zunachst ist zu zeigen, dafi dies iiberhaupt wohldefinierte Verkniipfungen
sind. Dafiir ist die Giiltigkeit der folgenden Aussage nachzuweisen: Ist
= = + = +
a/s a'/s' und bit b'/t', so ist (at bs)/st (a't' b's')/s't' und
= = =
ab/st a'b' /s't'. Aus vas' va's und wbt' wb't mit Elementen v, wE S
+ + +
erhalt man vw(at bs)s't' = vwats't' vwbss't' = vwa'tst' vwb'ss't =
+
vw(a't' b's')st und vwabs't' = vwa'b'st, was wegen vw E S die gewiinsch
ten Identitaten ergibt.
As mit den eingefiihrten Verkniipfungen ist ein kommutativer Ring.
Be wei s. Die Addition ist augenscheinlich kommutativ. Den Beweis der
Assoziativitat der Addition iiberlassen wir dem Leser zur Ubung. Neutrales
Element beziiglich der Addition ist 0/1. Das Negative von a/ s ist (-a)/ s.
Somit ist (As, +) eine abelsche Gruppe. Ferner ist (As,') offensichtlich
ein kommutatives Monoid mit dem Einselement 1/1. Das Distributivgesetz
verifiziert man wie folgt:
+ + +
(a/s)(b/t c/u) = (a/s)((bu ct)/tu) = a(bu ct)/stu
+ +
= as(bu ct)/s2tu = (absu acst)/stsu
= ab/st + ac/su = (a/s)(b/t) + (a/s)(c/u).
Der Ring As heifit die B r u c her wei t e run g von A beziiglich Soder der
R in g de r B r ii c h e oder auch der Quo tie n ten r i n g von A beziiglich S.
Der Ubergang von einem Ring zu einer Brucherweiterung wird gelegentlich
als N e nne r a u fn a h m e bezeichnet. Fiir ein s E S ist s/l eine Einheit
= =
in As, denn es ist (s/l)(l/s) sis 1/1. Insbesondere kann man die
Elemente a/ s von As in folgender Form schreiben:
= =
a/s (a/l)(l/s) (a/1)(s/1)-1.
Die Abbildung a ~ a/I ist ein Ringhomomorphismus
t: A --+ As
von A in As, beziiglich dessen wir As in kanonischer Weise als A-Algebra
auffassen.
§51 Ringe und Moduln von Briichen 9
=
Beispiel 4 Betrachten wir den Kern von t: A -+ As. Fiir ein a E A ist t( a) 0
= =
genau dann, wenn es ein v E S mit va 0 gibt, wie man aus a/I 0/1 abliest.
Speziell gilt: Die kanoniache Abbildung A -+ As iat genau dann injektiv, wenn S
nur aua Nichtnullteilern von A beateht. In diesem Falle kann man A mit einem
=
Unterring von As identifizieren, und ein Bruch a/s as-1 hat dieselbe Bedeutung
wie in §15. Weiter gilt: As iat genau dann der Nullring, wenn 0 E S iat. Denn es
= = = =
ist As 0 genau dann, wenn 1/1 0/1 ist, wenn es also ein v E S mit v v·l 0
gibt.
Der folgende Satz gibt die charakteristische Eigenschaft der Brucherweite
rung an.
51.1 Satz Seien <p: A -+ B ein Homomorphismus kommutativer Ringe und
5 ein multiplikatives System in A mit <p( 5) ~ B x. Dann gibt es einen und
nur einen A-Algebra-Homomorphismus
<Ps: As -+ B.
Ein Bruch a/ sEAs gehort zum Kern von CPs genau dann, wenn a EKern <p
ist. :,peziell gibt es zu <p: A -+ B genau einen A-Algebra-Homomorphismus
A<p-l(BX) -+ B.
Be wei s. Es ist ein Ringhomomorphismus CPs derart zu finden, daB das
Diagramm
As
kommutativ ist, wobei die kanonische Abbildung ist. Notwendigerweise
L
ist
<ps(a/s) = <ps((a/1)(s/1)-1) = <ps(L(a)l(s)-1)
= <psl(a)(<psl(s))-1 = <p(a)<p(s)-1 .
Dies zeigt, daB es nur einen Homomorphismus mit den angegebenen Eigen
schaften geben kann, und schreibt die Konstruktion vor: Sei x E As. 1st
x = a/s, so setzen wir <ps(x):= <p(a)<p(s)-1. Dieses Element HiBt sich bil
den, da <p( s) nach Voraussetzung des Satzes eine Einheit in B ist. Es hangt
nicht von der Darstellung x = a/ s abo Sei namlich x = a/ s = bit. Es gibt
= =
ein v E 5 mit vat vbs. Aus <p( v )<p( a )<p( t) <p( v )<p( b) <p( s) folgt nun, da
<p(v), <p(s), <p(t) Einheiten in B sind: <p(a)<p(s)-1 = <p(b)<p(t)-1. DaB die
so wohldefinierte Abbildung CPs ein Ringhomomorphismus ist, folgt direkt
= =
aus den Rechenregeln fUr Briiche. SchlieBlich ist <Ps( a/ s) <p( a)<p( s) -1 0
=
genau dann, wenn <p(a) 0 ist, ebenfalls weil <p(s) Einheit in B ist. Damit
ist 51.1 vollstandig bewiesen.
Die Voraussetzung r,o(5) ~ BX in 51.1 ist iibrigens notwendig fUr die Exi
stenz eines solchen A-Algebra-Homomorphismus CPs, denn l(5) besteht aus
Einheiten von As und wird durch r,os in B X abgebildet.
Jetzt konnen wir leicht die in §1 6, Beispiel 4 angekiindigte Existenz und
Eindeutigkeit des Quotientenkorpers eines Integritatsbereiches beweisen.
10 VII Kommutative Algebca
51.2 Satz Jeder Integritiitsbereich A besitzt einen und bis auf kanonische
A-Algebra-Isomorphie nur einen QuotientenkOrper.
Be wei s. S := A \ {o} ist ein multiplikatives System in A. Die kanonische
Abbildung £ von A in K := As ist nach Beispiel 4 injektiv, so daB wir A
kanonisch mit einem Unterring von K identifizieren konnen. Die Elemente
=
von S sind Einheiten in Kj fur b E S ist lib b-1 in K. Jedes Element von
Kist von der Form alb = ab-1 mit a, b E A, b oJ o. Bei alb oJ 0 ist a oJ 0
=
und daher bla E K wohldefiniertj es ist (alb)(bla) 1. Foiglich ist K ein
Quotientenkorper von A. SchlielUich sei L ;2 A ein Quotientenkorper von A
gerlliill der Definition aus §16, Beispiel 4. Der kanonische Homomorphismus
t.p: K -+ L nach 51.1 ist dann offensichtlich ein und auch der einzige A
Algebra-Isomorphismus von K auf L. •
Wegen 51.2 spricht man von dem Quo tie n ten k 0 r per eines Integritats·
bereiches A und bezeichnet ihn mit
Q(A) .
Bemerkung 1 In welcher Weise die Brucherweiterung As durch 51.1 charakte
risiert wird, liifit sich wie folgt priizisieren: Seien A ein kommutativer Ring, S
ein multiplikatives System und C eine kommutative A-Algebra mit dem Struk
turhomomorphismus x: A -+ C derart, daft X(S) <; CX gilt und daft es zu je
dem Homomorphismus <p: A -+ B von A in einen kommutativen Ring B mit
<p(S) <; BX genau einen A-Algebra-Homomorphismus C -+ B gibti dann ist
C als A-Algebra isomorph zu As. Be wei s. Es gibt insbesondere genau ei
nen A-Algebra-Homomorphismus l/J:C -+ As. Dann ist xsl/J ein A-Algebra
Automorphismus von C, der nach der Eindeutigkeitsvoraussetzung nur ide sein
kann. Ebenso sieht man ein, daB l/Jxs die Identitiitsabbildung von As ist. Folglich
ist l/J bijektiv mit l/J-l = Xs.
Beispiel 5 ( Tot ale r Quo tie n ten r i n g) Seien A ein kommutativer Ring und
S das multiplikative System aIler NichtnuIlteiler von A. Der Quotientenring As
heiBt der tot al e Q uot ie n ten ring von A. Er wird hiiufig mit Q(A) bezeichnet.
Der kanonische Homomorphismus A -+ As ist nach Beispiel 4 injektiv, weshalb
man gewohnlich A als Unterring von Q(A) betrachtet. Ein a/s E As kann man
dann als gewohnlichen Bruch as-1 schreiben. 1st A ein Integritiitsbereich, so ist
Q(A) der Quotientenkorper von A.
51.3 Jeder Nichtnullteiler in Q(A) ist eine Einheit.
Be wei S. Sei S das multiplikative System der Nichtnullteiler in A, und sei a/ s E
As ein vorgegebener Nichtnullteiler. Es geniigt zu zeigen, daB a Nichtnullteiler in
= = =
A ist. Sei also b E A mit ba 0 vorgegeben. Aus (b/l)(a/s) ba/s 0 folgt
b/l = o. Also gibt es ein t E S mit tb = 0, woraus b = 0 folgt. •
Sei T irgendein multiplikatives System in A, das nur aus Nichtnullteilern be
steht. Durch A -+ Q(A) wird T auf Einheiten abgebildet, und 51.1 garantiert
die Existenz eines kanonischen Homomorphismus AT -+ Q(A), welcher ebenso
wie A -+ Q(A) injektiv ist. Somit liiBt sich AT in kanonischer Weise als eine
A-Unteralgebra von Q(A) auffassen. Insbesondere gilt: Jede Brucherweiterung