Lehrbuch der Algebra: Unter Einschluß der linearen Algebra

239 Pages·1981·7.93 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. Günter Scheja

Mathematische Leitfäden
Herausgegeben von
em. o. Prof. or. phil. or. h.c. muit. G. Köthe. Universität Frankfurt; M ..
und o. Prof. Or. rer. nat. G. Trautmann. Universität Kaiserslautern
Real Variabie and Integration
With Historical Notes
by J. J. BENEOETTO. Prof. at the University of Maryland
278 pages. Paper DM 48.-
Spectra I Synthesis
by J. J. BENEOETTO. Prof. at the Cniversity of Maryland
278 pages. Paper DM 72.--
Partial Differential Equations
An Introduction
by Or. rer. nat. G. HELLWIG. o. Prof. at the Technische Hochschule Aachen
2nd edition. xi. 259 pages with 35 figures. Paper 48.-
Einftihrung in die mathematische Logik
Klassische Prädikatenlogik
Von Or. rer. nat. H. HERMES. o. Prof. an der Universität Freiburg i. Br.
4. Auflage. 206 Seiten. Kart. DM 34.--
Funktionalanalysis
Von Or. rer. nat. H. HECSER. o. Prof. an der Universität Karlsruhe
4t6 Seiten mit 6 Bildern. 462 Aufgaben und 50 Beispielen. Kart. DM 58.-
Lehrbuch der Analysis
Von Or. rer. nat. H. HEUSER. o. Prof. an der Universität Karlsruhe
Teil 1: 644 Seiten mit 128 Bildern. 780 Aufgaben zum Teil mit Lösungen. Kart. DM 48,
Teil 2: 736 Seiten mit 100 Bildern. 576 Aufgaben zum Teil mit Lösungen. Kart. DM 58,
Lineare Integraloperatoren
Von Prof. Or. rer. nat. K. JÖRGENS
224 Seiten mit 6 Bildern. 222 Aufgaben und zahlreichen Beispielen. Kart. DM 48.-
Moduln und Ringe
Von Or. rer. nat. F. KASCH, o. Prof. an der Universität München
32R Seiten mit 176 Übungen und zahlreichen Beispielen. Kart. DM 52.-
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Von Or. rer. nat. H.W. KNOBLOCH. o. Prof. an der Universität Würzburg und
Or. phil. F. KAPPEL. o. Prof. an der Cniversität Graz
332 Seiten mit 29 Bildern und 98 Aufgaben. Kart. DM 48.--
fortsetzung dritte Umschlagseite
B. G. Teubner Stuttgart
Mathematische Leitfáden
Herausgegeben von
em. o. Prof. Dr. phil. Dr. h.c. mult. G. Köthe, Universität Frankfurt/M.,
und o. Prof. Dr. rer. nat. G. Trautmann, Universität Kaiserslautern
Lehrbuch der Algebra
Unter EinschluB der linearen Algebra
Teil 3
Von Dr. rer. nat. Günter Scheja
o. Professor an der Universität Tübingen
und Dr. rer. nat. Uwe Storch
o. Professor an der Universität Osnabrück
Mit 21 Figuren, 53 Beispielen und 258 Aufgaben
B. G. Teubner Stuttgart 1981
Prof. Dr. rer. nat. Günter Scheja
Geboren 1932 in Wuppertal-Barmen. Studium der Mathematik
und Naturwissenschaften an der Universität Münster von 1952
bis 1958. Promotion 1958 und Habilitation 1963 im Fach
Mathematik in Münster, anschlieBend als Dozent und Professor
in Münster, Lafayettejlndiana und FreiburgjSchweiz tätig.
1969 o. Professor an der Ruhr-Universität Bochum, seit 1979
o. Professor an der Universität Tübingen.
Prof. Dr. rer. nat. Uwe Storch
Geboren 1940 in LeopoldshalljSachsen-Anhalt. Studium der
Mathematik, Physik und Mathematischen Logik an den
Universitäten Münster und Heidelberg von 1960 bis 1966.
Promotion 1966 in Münster. Habilitation 1972, anschlieBend
Dozent und Professor in Bochum. Seit 1974 o. Professor an der
Universität Osnabrück.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Scheja, Günter:
Lehrbuch der Algebra: unter EinschluJ3 d.
linearen Algebra / von G. Scheja und U. Storch.
- Stuttgart: Teubner.
NE: Storch, Uwe:
Teil 3. - 1981
(Mathematische Leitfáden)
ISBN 978-3-519-02223-7 ISBN 978-3-663-01327-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-01327-3
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Bei gewerblichen Zwecken dienender Vervielfältigung ist an den Ver
lag gemäJ3 § 54 UrhG eine Vergütung zu zahlen, deren Höhe mit dem
Verlag zu vereinbaren ist.
© B. G. Teubner, Stuttgart 1981
Gesamtherstellung: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/BergstraJ3e
Umschlaggestaltung: W. Koch, Sindelfingen
v 0 R WOR T
Der vorliegende Band 3 enthält die Ergänzungen, die wir während der Abfassung
von Teil 1 dieses Lehrbuches der Algebra als Anhänge geschrieben haben. Durch
die Zuordnung der einzelnen Anhänge zu den Kapiteln van Teil 1 werden die zum
Verständnis nötigen Vorkenntnisse angegeben. DeIn entspricht auch die Ntnrerie
rung: Der Anhang IV.C etwa ist der dritte Anhang zu Kapitel IV.
Die Anhänge sind jeweils in sich abgeschlossen, van einigen wenigen leicht zu
erkennenden Ausnalmen abgesehen. Sie eignen sich u.a. als Grundlage für Prosemi
nare und Serninare, \\lOran wir bei ihrer Zusarnrrenstellung gedacht haben. Es werden
aber nicht nur spezielle Dinge angesprochen, sondern im Gegenteil vorzugsweise
solche, die der Student in späteren Seirestem nutzbringend verwenden kann.
SchlieBlich sollen die weit gefächerten Aufgaben und Beispiele Gelegenheit bie
ten, aus den Studien unmit telbar Gewinn zu ziehen.
Bei der endgült igen Fassung van Teil 3 haben sich einige Umstellungen ergeben ,
die Änderungen in den Hinweisen in Teil 1 nötig nachen. Eine Liste davan
schlieBt sich an das Namen- und Sachverzeichnis an. Teil 2 dieses Lehrbuches
wird zusarcmen mit seinen Anhängen in einem Band erscheinen.
Wir danken allen, die uns bei der Al:beit an diesem Band unterstützten, \\lOZU die
jenigen gehören, die wir bereits im Vorwort zu Teil 1 erwähnten. Bei der neuer
lichen Bearbeitung haben uns die Herren Dipl. Math. eh. Dreher und M. Regel ge
holfen. Frau R. Merz verdanken wir die sorgfältige ReinSchrift. Endlich haben
wir Herm Dr. P. Spuhler van Teubner Verlag für die gute Zusarrm:marbeit zu dan
ken.
Tübingen, im Frühjahr 1981 Die Verfasser
Hinweise zur Ntnrerierung
Die Numerierung der Aussagen, Beispiele, etc. folgt der van Teil 1, die Zitate
eingeschlossen. Die Numrern bei Literaturhinweisen beziehen sich auf die Liste
in Teil 1.
INHALT
LA Zornsches Lerma 7
ILA Unternonoide der additiven Gruppe 7l 14
ILB Untergruppen und Unterringe von (l 16
II.C Kettenbrüche 19
IILA Radikale 38
III.B ~ln über Hauptidealringen 44
IILC Direkte produkte ohne Basen 51
IV.A Die Sylowschen Sätze 56
IV.B Primrestklassengruppen 69
IV.C Quadratische Reste 79
IV.D Freie Gruppen 87
IV.E Der Satz von Nielsen und Schreier 102
V.A Quadratische Algebren 114
V.B Projektive Moduln 133
V.C Injektive Moduln 138
V.D Divisible abelsche Gruppen 147
V.E Moduln endlicher Länge 155
V.F Eigenschaften der Matrizenringe 159
V.G Halbeinfache Ringe und Moduln 165
V.H Projektive Rä\.lIle 176
V.I Synthetische Beschreibung affiner Rä\.lIle 194
VLA Alternierende Gruppen 214
VI.B Spezielle lineare Gruppen 218
Nanen- und Sachverzeiclmis 232
Hinweise für Teil 1 239
ZOTIlsches Lerma 7
ANHANG I.A. ZORNSCHES LEMMA
Wir 'viIOllen in diesem Anhang tmter anderem das ZOTIlsche Lerrna 4.1 beweisen. Da
zu wiederholen tmd ergänzen wir ztmächst die Definition der induktiven Ordntmg
(vg1. § 4).
Definition. Eine geordnete Menge M heiSt i n d u k t i v (bzw. s tri k t
i n d u k t i v) geordnet, wenn jede Kette in M eine obere Schranke (bzw. eine
obere Grenze) in M besitzt.
Induktiv geordnete Mengen sind nicht leer, strikt induktiv geordnete Hengen be
sitzen ein kleinstes Element (als obere Grenze der leeren Kette) .
LA.1. Lerrna. Seien M eine strikt induktiv geordnete Menge und f : M ->- ~,l eine
Abbildung mit x ~ fIx) für alle XE M. Dann besitzt f einen Fixpunkt.
B e wei s. Eine Teilmenge N von M heiSe zulässig, wenn N mit jeder Kette K
die obere Grenze von K in M enthält tmd wenn f (N) S; N ist. Der Durchschnitt
aller zulässigen Mengen ist wieder zulässig, tmd es genügt, das Lerma für diese
strikt induktiv geordnete Menge tmd die darauf eingeschränkte Abbildtmg f zu
beweisen. Wir dürfen daher von ntm an annehmen, da2 M keine von M verschiedenen
zulässigen Teilmengen enthält.
Ein x t M heiBe Trennpunkt, wenn für alle y E: M mit Y < x gilt, daB f(y)s. x ist.
Trennpunkte kCJlll1el1 Fixpunkten nahe, denn es gilt:
Hilfssatz 1. Sei x € M Trennpunkt. Für alle y E M gilt dann y S. x oder
f (x) ~ y. Insbesondere ist x mit allen Elementen von M vergleichbar.
B e wei s. Sei P die Menge der y E r·l mit y S x oder f (x) S y. Es genügt zu
zeigen, daB P zulässig ist. Sei K eine Kette in P tmd z die obere Grenze von
K in M. Ist x eine obere Schranke von K, so ist z S x, folglich z ~ P. Gibt es
aber ein y E K mit f (x) S. y, so haben wir f (x)s (y S) z, folglich ebenfalls
z E P. SchlieBlich ist zu zeigen, daB Pinvariant tmter f ist. Sei y ~ P vor
gegeben. Bei Y < x ist f(y) S x (da x Trennpunkt ist) tmd somit f(y) E: P. Bei
.s
Y = x ist f(y) fIx) ~ P. Bei fIx) y hat man f(y) ? (y ~)f(x), somit eben
falls f (y)" P. Die Zusatzberrerktmg im Hilfssatz ist wegen x <; f (x) klar. -
Hilfssatz 2. Jedes Element von Mist Trennpunkt.
B e wei s. Wir zeigen, daB die Menge Q der Trennpunkte von M zulässig ist.
8 LA
sei K eine Kette in Q und z die obere Grenze von K in M. Wir haben zu zeigen,
daB z Trermpunkt ist. Sei y E Moot Y < z vorgegeben. Y ist keine obere Schran1<e
van K. Es gibt also ein x E K, für das nicht x :'ó y und erst recht nicht
(x S)f(x) S Y gilt. Nach Hilfssatz , ist also y < x und damit f(y) (s x) ~ z
(da x ein Trermpunkt ist). Es bleibt zu zeigen, daB Q invariant unter f ist.
sei x EO Q vorgegeben. Es ist zu priifen, daB f (x) ein Trermpunkt ist. Sei dazu
y < f (x) gegeben. Wegen x E Q und Hilfssatz , ist nob.1endig y $ x. Bei Y = x
hat man f (y) = f (x). Bei Y < x folgt (wegen x E Q), daB f (y) (S x) $ f (x) ist.-
Der Beweis des Leniras läBt sich jetzt einfach zu Ende führen. Nach den beiden
Hilfssätzen ist M total geordnet. na M femer strikt induktiv geordnet ist, be
sitzt M eine obere Grenze in M, das ist ein gräStes Elenent z. Wegen z ~ f(z)
S z ist f(z) = z und z ein Fixpunkt. -
Aus LA.' ergibt sich bereits direkt die folgende Abschwächung des ZOmschen
Iermas, die aber in den rreisten Fällen schon ausreicht:
I.A.2. KOrollar. Bei M eine strikt induktiv geordnete Menge. Dann gibt es ein
maxima les Element in M.
B e wei s. Nehrren wir an, daS kein maximales Elenent in M existiert. Zu
jedem x E Mist dann Mx := {y E M : y > x} nichtleer. Es gibt eine Auswahl
funktion f : M ->- M oot f (x) E ~ , d.h. mit x < f (x) für alle x E. M. Das wider
spricht LA.'. -
I.A.3. Satz van Hausdorff. Bei M eine geordnete Menge. Dann gibt es eine
maximale Kette in M.
B e wei s. Die Menge aller Ketten in Mist strikt induktiv geordnet. Ist
närnlich & eine Kette van Ketten, so istUKE.R K offenbar eine obere Grenze van
.ti • -
Jetzt folgt leicht das allgerreine Zomsche Ierma 4.1, das man auch das
L e m m a v 0 n K u rat 0 w ski - Z 0 r n - K nes e r nermt. Also:
I.A.4. Zomsches Ierma. Bei M eine induktiv geordnete Menge. Dann gibt es in
M ein maximales Element.
B e wei s. seien K eine maximale Kette in M und z eine obere Schranke van
K in M. Für jedes Y E. M oot Y ~ z ist K u {y} ebenfalls eine Kette in M.
Wegen der Maximalität van Kist Y E. K, also Y ~ z. Insgesamt ist y = z. sanit
ist z maximal in M. -
Zomsches I.eIIIra 9
Als eine typische Anwendung des Zomschen I.eIllras beweisen wir noch den folgen
den satz:
I.A.S. Zermeloscher Wbhlordnungssatz. Jede Menge M kann wohZgeordnet werden.
B e wei s. Mit l1't bezeichnen wir die Menge der paare (N,R) , wobei N eine
Teil.menge VOl} M und Reine Wbhlordnung VOl} N ist. (m ist eine Teil.Irenge von
12-(M) x ~ (MxM).) Sind (N, ,R,) und (N2,R2) zwei Elenente VOl} m, so setzen
wir (N, ,R,) ~ (N2'R:!) genau daIm, wem N, !; N2 ist, R, die VOl} R2 auf N,
induzierte ordnung ist (also R, = R2 f""I (N, x N,) ist) und jedes Elenent von
N2" N, bzgl. R2 gröBer ist als jedes Elenent von N1• Dadurch ist offenbar eine
ordnung auf m definiert. Wir behaupten nun, daB m sogar (strikt) induktiv ge
ordnet ist. sei also Reine Kette VOl} on., , li = {(Ni ,R i) : i e I}. Dann ist
m .
(N,R) mit N := UiE~i und R:= UieIRi ein Elenent aus DaB Reine Ord
nung auf N ist, ist direkt zu sehen. Rist sogar eine Wbhlordnung: Sei P eine
nichtleere Teil.Irenge. Es gibt ein x E P und ein i E. I mit x E. Ni. Dann ist
P", Ni nichtleer und besitzt deIrgemäB ein kleinstes Elenent a (bzgl. Ri). sei
ye: P beliebig. Da dt total geordnet ist, gibt es ein j E. I mit Y EO Nj und
(Ni ,Ri) ~ (Nj,Rj). Ist nun Ye Ni' so ist Y EP", Ni und a :s y. Ist aber
y 4 N., so ist Y Eo N." N. und a < y nach Definition der ordnungsrelation auf
1 ] 1
m .
Damit ist a ein klejl1ltes Elenent VOl} P, und N ist bzgl. R WJhlgeordnet
wie behauptet. Trivialerweise ist (N,R) eine obere Schranke (sogar eine obere
Grenze) VOl} 3i .
Nach dein Zornschen Lemma besitzt m. ein IlBXirrales Elenent (N,R). Es genügt,
N = M zu zeigen. Nehnen wir an, daB N f Mist, daB es also ein z e M mit z 4 N
gibt. Dann sei N' := N u {z} und R' die Fortsetzung von R auf N', bei der z ein
groBtes Elenent VOl} N' ist. Offenbar ist (N' ,R') t 'Jat. und (N,R) < (N' ,R').
Widerspruchl Es ist N = M, und M besitzt die Wohlordnung R. -
lange Zeit waren Wohlordnungssatz (Z e r me 1 0 1904) und die damit llÖgliche
transfinite Induktion (vgl. 4.S) die gebräuchlichen Beweismittel bei der Be
handlung unendlicher Mengen, obY.ohl H a u s dor f f bereits 1914 gezeigt
hatte, daB man neben den totalen ordnungen die (partiellen) ordnungen betrach
ten IID..I.6, und I.A.3 bewiesen hatte. Da es in Beweisen im allgemeinen bequemer
ist, nicht .l.rgenc1welche, dein Problem gar nicht angemessene Wohlordnungen VOl}
Index!!engen, sondem natürliche, durch die Problemstellung selbst vorgegebene
Ordnungen (wie etwa die Mengeninklusion) zu verwenden, haben die Unfonnu
lierungen I.A.3 und I.A.4 des Wohlordnungssatzes im Iaufe der Zeit gröSere
Bedeutung gewonnen, was sich auch in der jetzt üblichen Reihenfolge der Beweis
schritte (erst Zomsches LeIIIna, daIm Wohlordnungssatz) ausdrückt. Die Beweis-
10 LA
idee zu I .A.' ist schon in einem Beweis des Wohlordnungssatzes bei Z e r rn e 1 0
zu finden. Quellenangaben und weitere Hinweise zu diesern Fragenkornplex findet
nan in [29] , Kap. 1.
Aufgaben
1. (LeIlIna von T e i c h rn Ü 1 1 e r - Tuk e yl Seien M eine Menge und é::
eine Menge endlicher Teilrrengen von M rnit (l) Et.. Darm gibt es in der durch In
m
klusion geordneten Menge derjenigen Teilrrengen von M, deren särntliche end
lichen Teilrrengen zu E. gehören, ein IlBXilnales Element.
~ al Eine Teilrrenge N einer geordneten Menge M heiBt kof i n a 1 in M, wenn
es zu jedern xe M ein yEN rnit x :> Y gibt. Man beweise, daB jede total geord
nete Menge eine kofinale wohlgeordnete Teilrrenge enthält. (Man gehe ähnlich wie
irn Beweis von LA.5 vor. I
bI Man beweise folgende Verschärfung des Zomschen LeIlInas: M sei eine geordnete
Menge, in der jede wohZgeordnete Teilrrenge eine obere Schranke besitzt. Dann he
sitzt M ein rnaxilnales Element.
1.:. In der Topologie wird die folgende mengentheoretische tJberlegung gebraucht
(beispielsweise zurn Konpaktheitstest rnit Subbasenl: Seien M eine Menge und '1
eine Teilrrenge von F-(MI. Eine Teilrrenge ll't von '+ heiBe kleinlich, wenn M Ver
einigung der Elemente von mist (wenn also m eine Uberdeckung von M istl, M
on.
aber nicht Vereinigung endlich vieler Elemente von ist. Man zeige:
al Ist die Menge der kleinlichen Teilrrengen von ~ nichtleer, so ist die Menge
der kleinlichen Teilrrengen von:t (durch Inklusionl induktiv geordnet.
U" ...
bI Sei lt eine IlBXilnale kleinliche Teilrrenge von "t • Sind 'Un ~ 1- und
gibt es ein X ~ Tt, rnit U1 ('\ ... r"I Un f, X, so gehört bereits eine der Mengen
U1, ..• 'Un zu OL • (Ist Ui 4:. 11. für i=1, ... ,n, so gibt es X1' •.• 'Xr elt rnit
Ui u X1 u ••• u Xr = M für i=1, ..• ,n. Man betrachte die Vereinigung von
U1 (\ ••. ('\ Un rnit X1 u .•. v Xr.1
cl Sei '/f' eine Teilrrenge vont derart, daB jedes Element von "+ sich darstellen
t.
läBt als Vereinigung endlicher Durchschnitte von Elementen aus Gibt es eine
kleinliche Teilrrenge von .. , so gibt es bereits eine kleinliche Teilrrenge van
't. (Ist ~ rnaxilnal kleinlich, so ist nn t kleinlich. I
4. Seien M,N wohlgeordnete Mengen. Dann gibt es genau einen ISOllDrphisrrus von
M auf einen Abschnitt von N oder genau einen Isorrorphisrrus von N auf einen Ab
schnitt von M (Ver g 1 e i c h s s a t z für wohlgeordnete Mengen) • (Zum Be
m
weis der Existenz betrachte nan die Menge der Tripel (X,f,YI, wobei f ein
Zomsches Lerm1a 11
ISOllOrphismus des Abschnitts X von M auf den Absehnitt Y van N ist. Für die
Eindeutigkeit vgl. § 4, Aufq.13.) Jede Teilnenge der wohlgeordneten Menge Mist
isonorph zu einem Absehnitt van M. (Dieses letzte Ergebnis ist für das Rechnen
rnit Kardinalzahlen von Bedeutung, vgl. Aufg.6.)
5. Sei M eine Menge. Die Menge der Ordnungen auf M (das sind Teilnengen van
M x M) ist bzgl. der Inklusion (strikt) induktiv geordnet. Die rraxilnalen Ele
rrente sind genau die vollständigen Ordnungen auf M. Jede Ordnung R auf Mist
der Durchschnitt der R urnfassenden totalen Ordnungen auf M. (Sind x,y bzgl. R
unvergleiehbar, so gibt es R urnfassende Ordnungen mit x < y bzw. mit Y < x.)
Insbesondere gibt es zu jeder Ordnung R auf M eine totale Ordnung S auf N rnit
RS S.
§.:.. (K a r din a I z a h I e n) Aussagen über Kardinalzahlen erscheinen bei
uns stets in einer Forrrulierung, in der die Mengen mittels Abbildungen direkt
verglichen werden. \ür wollen hier etwas näher auf den Kardinalzahlbegriff
selbst eingehen.
Sei M eine Menge. Mit IÎ[(M) bezeiehnen wir die Zerlegung van P- (M) bzgl. der
Jlquivalenzrelation der Gleiehrnäehtigkeit. Wir wollen Ii (M) die Menge der Kar
dinalzahlen der Teilnengen *va n M nennen. Für 1é, lf)E ~(M) setzen wir j{:s ~
genau dann, Wenn es ein XE und ein Y Elg mit Kard X ~ Kard Y gibt. Jt (M) ist
damit vallständig geordnet, ja sogar wohlgeordnet. Genauer: Die Menge Ir (M) ist
isomorph zu einer durch Inklusion wohlgeordneten Teilmenge von ~(M). (Man ver
wende eine feste Wohlordnung van M. Naeh Aufg. 4 ist jede Teilnenge van M iso
norph zu genau einem Abschnitt van M. Die Abschnitte van M sind durch Inklu
sion wohlgeordnet; § 4, Aufg. 12.)
Sei f : M ->- N eine injektive Abbildung. Hierzu gehört eine injektive kanonisehe
f2 Tl
Abbildung van (M) in (N), die einen ISOllOrphismus van ~ (M) auf eine Teil
rrenge van Of. (N) induziert. di: (M) wird auf einen Abschnitt van ilt (N) abgebil
det. Aus § 4, Aufg.13 folgt, daB es unabhängig von der gewählten injektiven
Abbildung M ->- N zu zwei Mengen M,N mit Kard M ~ Kard N eine eindeutig bestimmte
Isomorphie von J[ (M) au! einen Abschnitt von dt (N) gibt. 4[ (M) läBt sieh also
kanoniseh als Abschnitt van At (N) auffassen. Insofem ist es unkritiseh, bei
Kardinalzahlüberlegungen zu Teilnengen einer gröBeren Menge überzugehen.
Sei M = ?Z (lN). In J[ (12( lN) ist die Mäehtigkeit des Kontinuurns ~ = l'. das
gröSte Element. ~. ist dann die kleinste unendliehe Kardinalzahl. Mit 'rl1 wird
die kleinste überabzählbare Kardinalzahl bezeiehnet. Es ist l{. < ~1:S Vi •
Die Kontinuurnshypothese bzw. ihre Vemeinung läBt sieh durch ~4= ~ bzw. dureh