Lectures on Complete Discrete Valuation Fields

57 Pages·2002·0.414 MB·English

by  Ivan Fesenko

Lectures on Complete Discrete Valuation Fields
1: Discrete ValuationFields
(cid:0)
(cid:1)(cid:3)(cid:2)
(1.1). Valuations. Onecangeneralizethepropertiesofthe -adicvaluation andproceed
totheconceptofvaluation. Let G beanadditivelywrittentotallyorderedabeliangroup. Add
to G a formal element +(cid:4) with the properties (cid:5)(cid:7)(cid:6) +(cid:4) , +(cid:4)(cid:8)(cid:6) +(cid:4) , (cid:5) +(+(cid:4) ) = +(cid:4) ,
(+(cid:4) )+(+(cid:4) )=+(cid:4) , foreach (cid:5)(cid:10)(cid:9) G ; denote G (cid:11) =G (cid:12)(cid:14)(cid:13) +(cid:4)(cid:16)(cid:15) .
Amap (cid:1) :(cid:17)(cid:19)(cid:18) G (cid:11) withtheproperties
(cid:1) (cid:20) (cid:4)(cid:22)(cid:21)(cid:23)(cid:20)
( )=+ =0
(cid:1) (cid:20)(cid:25)(cid:24) (cid:1) (cid:20) (cid:1) (cid:24)
( )= ( )+ ( )
(cid:1) (cid:20) (cid:24) (cid:26) (cid:1) (cid:20) (cid:27)(cid:28)(cid:1) (cid:24)
( + ) min( ( ) ( ))
(cid:17) (cid:17) (cid:1)
issaidtobea valuationon ; inthiscase issaidtobeavaluationfield. Themap induces
ahomomorphismof (cid:17)(cid:30)(cid:29) to G anditsvaluegroup (cid:1) ((cid:17)(cid:30)(cid:29) ) isatotallyorderedsubgroupof G .
(cid:1) (cid:17) (cid:29) (cid:13) (cid:15) (cid:1) (cid:1) (cid:31)
If ( )= 0 , then iscalledthetrivialvaluation. Itiseasytoshowthat ( 1)=0, andif
(cid:1) (cid:20) !(cid:1) (cid:24)
( ) ( ), then
(cid:1) (cid:20) (cid:26) (cid:1) (cid:20) (cid:24) (cid:27)"(cid:1) (cid:31)#(cid:24) (cid:26) (cid:1) (cid:20) (cid:27)"(cid:1) (cid:24) (cid:1) (cid:20)
( ) min( ( + ) ( )) min( ( ) ( ))= ( );
(cid:1) (cid:20) $ (cid:1) (cid:24) (cid:1) (cid:20) (cid:24) (cid:1) (cid:20) (cid:27)(cid:28)(cid:1) (cid:24)
thus,if ( )= ( ) then ( + )=min( ( ) ( )).
%’& (cid:13)(cid:3)(cid:20)((cid:9))(cid:17) (cid:1) (cid:20) (cid:26) (cid:15) * & (cid:13)(cid:3)(cid:20)((cid:9)+(cid:17) (cid:1) (cid:20) , (cid:15) * &
(1.2). BasicObjects. Let = : ( ) 0 , = : ( ) 0 . Then
%-& %’&
coincideswiththesetofnon-invertibleelementsof . Therefore, isalocalringwiththe
* & % & (cid:1)
unique maximalideal ; iscalledthe ringofintegers(withrespectto ),andthefield
(cid:17).& %-&0/1* & (cid:20)2(cid:9))%’&
= iscalledthe residuefield,orresidueclassfield. Theimageofanelement
(cid:17).& (cid:20) (cid:20) (cid:17).&
in isdenotedby , itiscalledthe residueof in . Thesetofinvertibleelementsof
%’& 34& %-&5(cid:31)6* &
isamultiplicativegroup = , itiscalled thegroupofunits.
798;:-:-<(cid:25)= (cid:0)
(cid:17) $ (cid:17) & (cid:17) (cid:17) & ,
Assumethat char( )=char( ). Then char( )=0 and char( )= 0.
(cid:0) (cid:0)
(cid:17) $ (cid:17) (cid:17).&
(cid:0)Proof. Suppose that char( ) = = 0. Then = 0 in and therefore in . Hence
(cid:17).&
=char( ).
<A:’BDCE8;FHGAIKJ0<LC(cid:3)MN<PORQSGATAFU<LTNVWJ0<LC(cid:3)MN<PORQSGAT+I1QS8;C(cid:3)VLFE=
>@?
(1.3).
(cid:1) (cid:17) (cid:1) (cid:17)(cid:30)(cid:29)
1. Avaluation on issaidtobe discreteifthetotallyorderedgroup ( ) isisomorphic
X
tothenaturallyo(cid:0) rderedgroup . (cid:0)L[
Y Z (cid:1)(cid:3)(cid:2) Y
Foraprime andanon-zerointeger let = ( ) bethemaximalintegersuchthat
Y (cid:1)(cid:3)(cid:2) (cid:1)(cid:3)(cid:2) Y)/E\ (cid:1)(cid:3)(cid:2) Y (cid:31)](cid:1)(cid:3)(cid:2) \ (cid:1)(cid:3)(cid:2) (cid:4)
divides . Extend torationalnumbersputting ( ) = ( ) ( ); (0) = + .
(cid:0)
(cid:1)(cid:3)(cid:2)
The -adicvaluation isadiscretevaluationwiththeringofintegers
Y (cid:0)Kbdc
%’&(cid:28)^ _ Y6(cid:27)(cid:28)\6(cid:9)WX‘(cid:27)a\
= \ : isrelativelyprimeto
1
QiFkjRlN8POm8onp<ACEMm<DORQiGLT+q(cid:25)QS8DCEVLF
e0fhg
2
(cid:0)
r & ^
Theresiduefield isafinitefieldoforder .
(cid:0)
2. Let (cid:17) = s (t ). Foranirreduciblepolynomial (t ) define (cid:1) (cid:2) u similarlyto (cid:1) (cid:2) above.
( )
Themap (cid:1) (cid:2) u isadiscretevaluationwiththeringofintegers
( )
%’& ^ v = w.xy (tt ) : x (t )(cid:27) y (t ) (cid:9)+s [t ](cid:27) y (t )isrelativelyprimeto (cid:0) (t )z
( ) ( )
(cid:0)
s t / t s t s
andtheresiduefieldis [ ] ( ) [ ] whichisafinitealgebraicextensionof .
(cid:17) s (cid:1)P{ (cid:31)
Thefield hasanotherdiscretevaluationtrivialon : (x )= deg(x ), itsresiduefield
s
is .
(cid:17)
(1.4). Discrete valuations. A field is said to be a discrete valuation field if it admits a
(cid:1) |}(cid:9)~%’&
nontrivial discrete valuation (see Example 1 in (1.3)). An element is said to be
(cid:1) | (cid:1) (cid:17) (cid:29)
a primeelement(uniformizingelement) if ( ) generates thegroup ( ). Withoutlossof
(cid:1) (cid:17)(cid:30)(cid:29)(cid:127)(cid:18)(cid:22)X
generalityweshalloftenassumethatthehomomorphism : issurjective.
798;:-:-<(cid:25)=
(cid:17) |
Let be a discrete valuation field, and be a prime element. Then the ring of
%’& %’& |9(cid:128)N%’&
integers isaprincipalidealring,andeveryproperidealof canbewrittenas for
\(cid:129), * & |p%’& %’&
some 0. Inparticular, = . Theintersectionof allproperidealsof isthezero
ideal.
(cid:20)2(cid:9)+(cid:17)(cid:30)(cid:29) |9(cid:128);(cid:130) \(cid:131)(cid:9)+X (cid:130)(cid:132)(cid:9)(cid:127)3(cid:133)&
Eachelement canbeuniquelywrittenas forsome and .
(cid:134) % & \ (cid:13)(cid:135)(cid:1) (cid:20) (cid:20)(cid:136)(cid:9)6(cid:134)m(cid:15)
Proof. Let beaproperidealof . Thenthereexists = min ( ) : andhence
|9(cid:128)(cid:137)(cid:130)o(cid:9))(cid:134) (cid:130) |9(cid:128)N%’&(cid:132)(cid:138)(cid:7)(cid:134)(cid:10)(cid:138)(cid:16)|9(cid:128)N%’& (cid:134) |9(cid:128)N%-& (cid:20)
forsomeunit . Itfollowsthat and = . If belongsto
|9(cid:128)A%’& %-& (cid:1) (cid:20) (cid:4) (cid:20)
theintersectionofallproperideals in , then ( )=+ , i.e., =0.
\ (cid:1) (cid:20) (cid:20)(cid:25)|@(cid:139)(cid:140)(cid:128)(cid:141)(cid:9)(cid:142)34& (cid:20) |9(cid:128);(cid:130) (cid:130)((cid:9)(cid:19)34& |9(cid:128)(cid:137)(cid:130) |9(cid:143)5(cid:130)
Let = ( ). Then and = for . If = , then
1 2
\ (cid:1) (cid:130) Y (cid:1) (cid:130) (cid:130) (cid:27)(cid:144)(cid:130) (cid:9)(cid:14)3(cid:133)& \ Y (cid:130) (cid:130)
+ ( )= + ( ). As , wededuce = , = .
1 2 1 2 1 2
(1.5). Completion. Completion of a discrete valuation field is an object which is easier to
workwiththanwiththeoriginalfield.
(cid:17) (cid:1) (cid:1) (cid:17) (cid:29) X (cid:17)
Let bea fieldwithadiscreteva& lu(cid:147) ation (asusual, ( ) = ). is ametricspace
with respect to the norm (cid:145)(cid:20)(cid:146)(cid:145) = (1/ 2) ( ). So one can introduce the notion of a fundamental
(cid:20) (cid:17)
sequence: asequence ( (cid:128) )(cid:128)R(cid:148) 0 ofelementsof iscalledafundamentalsequenceifforevery
(cid:149) \ (cid:149) (cid:26) (cid:1) (cid:20) (cid:31)(cid:129)(cid:20) (cid:26)(cid:136)(cid:149) Y6(cid:27)(cid:28)\6(cid:26)!\ (cid:149)
real thereis ( ) 0 suchthat ( (cid:128) (cid:143) ) for ( ).
(cid:20) (cid:150) \9(cid:151)
If ( (cid:128) ) is a fundamental sequence then for every integer therec(cid:153)c(cid:135)ics such that for all
\4(cid:27)(cid:28)Y(cid:152)(cid:26)(cid:141)\9(cid:151) (cid:1) (cid:20) (cid:31)2(cid:20) (cid:26)(cid:141)(cid:150) \ (cid:6)(cid:7)\ (cid:6) (cid:150)
wehave ( (cid:128) (cid:143) ) . Wecanassume 1 2 . Ifforevery there
\9(cid:11)(cid:151) (cid:26)(cid:154)\9(cid:151) (cid:1) (cid:20) $ (cid:1) (cid:20) (cid:1) (cid:20) (cid:26)(cid:141)(cid:150) (cid:1) (cid:20) (cid:26)(cid:154)(cid:150) \!(cid:26)(cid:141)\9(cid:11)(cid:151)
is suchthat ( (cid:128)0(cid:155)(cid:156) ) = ( (cid:128) (cid:155)(cid:156) +1), then ( (cid:128)0(cid:155)(cid:156) ) and ( (cid:128) ) for , and
(cid:1) (cid:20) (cid:4) (cid:1) (cid:20)
hence lim ( (cid:128) )=+ . Otherwise lim ( (cid:128) ) isfinite.
798;:-:-<(cid:25)=
(cid:157)
Theset of allfundamentalsequencesformsaringwithrespecttocomponentwise
(cid:20) (cid:20) (cid:18)
addition and multiplication. The set of all fundamentalsequences ( (cid:128) )(cid:128)(cid:137)(cid:148) 0 with (cid:128) 0 as
\)(cid:18) (cid:4) (cid:158) (cid:157) (cid:157)(cid:159)/(cid:160)(cid:158)
+ formsamaximalideal of . Thefield isadiscretevaluationfieldwithits
¡(cid:1) ¡(cid:1) (cid:20) (cid:1) (cid:20) (cid:20)
discretevaluation definedby (( (cid:128) ))=lim ( (cid:128) ) forafundamentalsequence ( (cid:128) )(cid:128)(cid:137)(cid:148) 0.
(cid:158)
Proof. Asketchoftheproofis asfollows. Itsufficestoshowthat isamaximalidealof
(cid:157) (cid:20) (cid:20) \((cid:18) (cid:4)
. Let ( (cid:128) )(cid:128)(cid:137)(cid:148) 0 be a fundamentalsequencewith (cid:128)(cid:14)¢ 0 as + . Hence, there is an
\ 0 (cid:26) 0 suchthat (cid:20) (cid:128) =$ 0 for \!(cid:26)~\ 0. Put (cid:24) (cid:128) = 0 for \! ~\ 0 and (cid:24) (cid:128) = (cid:20)(cid:133)(cid:128)(cid:139) 1 for \!(cid:26)£\ 0.
(cid:24) (cid:20) (cid:24) (cid:9) (cid:158) (cid:158)
Then ( (cid:128) )(cid:128)(cid:137)(cid:148) 0 isafundamentalsequenceand ( (cid:128) )( (cid:128) ) (1)+ . Therefore, ismaximal.
QSFkjRlm8DOm8on(cid:25)<LC(cid:3)MN<PORQSGAT+qpQi8;CEVAF
e0f g
3
(cid:17)
(1.6). A discrete valuation field is called a complete discrete valuation field if every
(cid:20) (cid:20) (cid:20) (cid:9)W(cid:17)
fundamentalsequence ( (cid:128) )(cid:128)(cid:137)(cid:148) 0 isconvergent,i.e.,thereexists =lim (cid:128) withrespectto
(cid:1) (cid:17)¡ ¡(cid:1) (cid:17) ¡(cid:1)9(cid:145)⁄ (cid:1)
. Afield withadiscretevaluation iscalled acompletionof ifitiscomplete, = ,
(cid:17) (cid:17)¡ ¡(cid:1)
and isadensesubfieldin withrespectto .
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:25)=
Every discrete valuation field has a completion which is unique up to an iso-
(cid:17)
morphismover .
(cid:157)¤/(cid:153)(cid:158) ¡(cid:1) (cid:17) (cid:17)
Proof. We verify that the field with the valuation is a completion of . is
(cid:157)(cid:159)/(cid:160)(cid:158) (cid:20)((cid:18) (cid:20) (cid:158) (cid:20)
embeddedin bytheformula ( ) mod . Forafundamentalsequence ( (cid:128) )(cid:128)(cid:137)(cid:148) 0
(cid:149) \ (cid:26) (cid:1) (cid:20) (cid:31)(cid:129)(cid:20) (cid:26)(cid:7)(cid:149) Y(cid:131)(cid:27)"\(cid:129)(cid:26)(cid:16)\ (cid:20) (cid:9)(cid:131)(cid:17)
andreal , let 0 besuchthat ( (cid:128) (cid:143) ) forall . Hence,for (cid:128)
we have ¡(cid:1) (((cid:20) (cid:128) 0)0(cid:31) ((cid:20) (cid:128) )(cid:128)(cid:137)(cid:148) 0) (cid:26)'(cid:157)¤/(cid:153)(cid:149)(cid:158), which shows that¡(cid:1) (cid:17) is d\ense i\n (cid:157)¤0/(cid:160)(cid:158)c(cid:135)c(cid:153).c Let (((cid:20) ((cid:128)(cid:143) 0))(cid:128) )(cid:143)
be afundamentalsequencein withrespectto . Let (0), (1), bean increasing
sequenceofintegerssuchthat (cid:1) ((cid:20) ((cid:128)(cid:143)2) (cid:31)(cid:129)(cid:20) ((cid:128)(cid:143)1)) (cid:26)(cid:136)Y for \ 1, \ 2 (cid:26)(cid:136)\ (Y ). Then ((cid:20) ((cid:128)(cid:143)((cid:143))))(cid:143) isa
fundamentalsequencein (cid:17) anditisthelimitof (((cid:20) ((cid:128)(cid:143) ))(cid:128) )(cid:143) withrespectto ¡(cid:1) in (cid:157)¤/(cid:160)(cid:158) . Thus,
(cid:157)(cid:159)/(cid:160)(cid:158) ¡(cid:1)
weobtaintheexistenceofthecompletion , .
(cid:17)¡ ¡(cid:1) (cid:17)¡ ¡(cid:1) (cid:20) (cid:20) (cid:20)~(cid:9)((cid:17)
If there are two completions 1, 1 and (cid:17)2, 2, then we put x ( ) (cid:17)=¡ for(cid:17)¡ and
extendthishomomorphismbycontinuityfrom , asadensesubfieldin , to . Itiseasy
toverifythattheextension x¡ :(cid:17)¡ 1 (cid:18) (cid:17)¡ 2 isanisomorphismand ¡(cid:1) 2 “ x¡ =¡(cid:1) 1.1 1
(cid:17) (cid:1) (cid:17)p¡ & (cid:17)¡
Weshalldenotethecompletionofthefield withrespectto by orsimply .
r (cid:1) (cid:2)
1.7. Examplesofcompletevaluationfields. 1(cid:0). Thecompletionof withrespectto of
r (cid:2)
(1.3)isdenotedby andiscalledthefieldof -adicnumbers. Certainly,thecompletionof
r «1‹S«(cid:153){ › r r (cid:2)
withrespecttotheabsolutevalue of(1.1)is . Embeddingsof in forallprime
(cid:0)
› r
andin isatooltosolvevariousproblemsover . AnexampleistheMinkowski–Hasse
fifl(cid:5)(cid:137)(cid:176)†–(cid:153)t‡(cid:176)·td– (cid:5)(cid:137)(cid:176)†–d(cid:9))r r
Theorem: anequation =0 for hasanontrivialsolutionin ifandonly
(cid:0)
› r(cid:133)(cid:2)
ifitadmitsanontrivialsolutionin andin forallprime . (cid:0)
r-(cid:2) X(cid:181)(cid:2)
Theringofintegersof isdenotedby andiscalledtheringof -adicintegers. The
(cid:0)
r(cid:133)(cid:2) ¶(cid:137)(cid:2)
residuefieldof isthefinitefield consistingof elements.
s t (cid:1) u s t
2. The completion o{f ( ) with respect to is the formal powerseries field (( ))
of all formalseries fi +(cid:139) { (cid:20) (cid:128) t(cid:14)(cid:128) with (cid:20) (cid:128) (cid:9)2s and (cid:20) (cid:128) = 0 for almostall negative{ \ . The
(cid:1) u s t fi + (cid:20) t(cid:14)(cid:128)
ringofintegerswithrespectto is [[ ]], thatis,thesetofallformalseries (cid:128) ,
(cid:20) (cid:9)+s s 0
(cid:128) . Itsresiduefieldmaybeidentifiedwith .
(cid:1) 3 & % &
(1.8). Representatives. Forsimplicity,wewilloftenomittheindex innotations , ,
* & (cid:17) & | (cid:17)
, . Wefixaprimeelement of .
• (cid:17) •‚(cid:138)„% (cid:9)(cid:136)•
A set is said to be a set of representatives for a valuation field if , 0
• (cid:17) %'(cid:18)”%(cid:146)/1* (cid:17)
and is mapped bijectively on under the canonical map { = . Denote by
rep:(cid:17)'(cid:18)»• theinversebij{ectivemap. Foraset … denoteby (… )+(cid:128) { theset ofallsequences
((cid:5);(cid:176))(cid:176) (cid:148)L(cid:128) , (cid:5)(cid:137)(cid:176)4(cid:9)+… . Let (… )+(cid:139) { denotetheunionofincreasingsets (… )+(cid:128) where \)(cid:18)‰(cid:31)5(cid:4) .
(cid:17)
Theadditivegroup hasanaturalfiltration
(cid:176) (cid:176) c(cid:135)c(cid:153)c(cid:160)c
‹(cid:135)‹(cid:153)‹m(cid:190)!| %(cid:136)(cid:190)(| +1%(cid:16)(cid:190)
(cid:176) (cid:176)
Thefactorfiltrationofthisfiltrationiseasytocalculate: | %(cid:181)/1| +1%(cid:19)(cid:18)¿ (cid:17) .
QiFkjRlN8POm8onp<ACEMm<DORQiGLT+q(cid:25)QS8DCEVLF
e0fhg
4
798;:-:-<(cid:25)=
(cid:17) (cid:1) | (cid:176) (cid:9)(cid:127)(cid:17)
(cid:192) Let beacompletefieldwith(cid:192)respecttoadiscretevaluation . Let foreach
(cid:9)+X (cid:17) (cid:1) | (cid:176)
beanelementof with ( )= . Thenthemap
{
˜
{ +
Rep:((cid:17) )+(cid:139) { (cid:18)(cid:152)(cid:17)(cid:146)(cid:27) ((cid:5)(cid:137)(cid:176))(cid:176)·`0´(cid:132)ˆ(cid:18) rep((cid:5);(cid:176) )|A(cid:176)
{
(cid:139)
(cid:192)
(cid:5)(cid:137)(cid:176) (cid:176)·`0´(cid:127)$ (cid:176)¯`0´ (cid:1) (cid:5)(cid:137)(cid:176) (cid:13) (cid:5)(cid:137)(cid:176)(cid:181)$ (cid:15)
isabijection. Moreover,if ( ) =(0) then (Rep( ))=min : =0 .
(cid:192)
(cid:5)(cid:137)(cid:176)
Proof. Themap Rep iswelldefined,becauseforalmostall 0 weget rep( )=0 andthe
fi (cid:5)(cid:137)(cid:176) |A(cid:176) (cid:17) (cid:5)(cid:137)(cid:176) (cid:176)·`0´(cid:127)$ ˘k(cid:176) (cid:176)¯`0´
series rep( ) convergesin . If ( ) =( ) and
(cid:192)
\ (cid:13) (cid:9)WX (cid:5)(cid:137)(cid:176)(cid:181)$ ˘k(cid:176)(cid:144)(cid:15)D(cid:27)
=min : =
(cid:192)
(cid:1) (cid:5) | (cid:31)(cid:129)˘ | \ (cid:1) (cid:5) (cid:176) | (cid:176) (cid:31)]˘ (cid:176) | (cid:176) ,˙\ ,!\
then ( (cid:128) (cid:128) (cid:128) (cid:128) )= . Since ( ) for , wededucethat
c
(cid:1) (cid:5)(cid:137)(cid:176) (cid:31) ˘k(cid:176) \
(Rep( ) Rep( ))=
Therefore Rep isinjective. (cid:192)
(cid:1) (cid:5)(cid:137)(cid:176) (cid:13) (cid:5)(cid:137)(cid:176)‡$ (cid:15) (cid:20)¨(cid:9)(cid:7)(cid:17) (cid:20) |9(cid:128);(cid:130)
In particular, (Rep( )) = min : = 0 . Further, let . Then = with
\(cid:16)(cid:9)2X (cid:130)+(cid:9)˙3 (cid:20) | (cid:130)0(cid:11) (cid:130)0(cid:11)’(cid:9)!3 (cid:5) (cid:130)0(cid:11) (cid:17)
, . We also get = (cid:128) for some . Let (cid:128) be theimage of in ;
then (cid:5) (cid:128) =$ 0 and (cid:20) 1 = (cid:20)6(cid:31) rep((cid:5) (cid:128) )| (cid:128) (cid:9)6| (cid:128) +1% . Continuinginthisway for (cid:20) 1, weobtaina
(cid:20) fi (cid:5) (cid:176) | (cid:176)
convergentseries = rep( ) . Therefore, Rep issurjective.
(cid:201) GAl(cid:137)GLCEC(cid:135)<LlE˚p=
| |9(cid:128) (cid:20)](cid:9)(cid:127)(cid:17)
Weoftentake (cid:128) = . Therefore,bytheprecedingLemma,everyelement
canbeuniquelyexpandedas
{
˜+ (cid:176) (cid:192)
(cid:20) (cid:176)¯| (cid:27) (cid:176)4(cid:9)+• (cid:176)
= and =0 foralmostall 0
{(cid:129)¸ ¸ ¸
(cid:139)
8;I1QSTmQiORQiGLT9=
g (cid:20))(cid:31)6(cid:24)](cid:9)(cid:204)|9(cid:128)L% (cid:20)6˝(cid:136)(cid:24) |9(cid:128)
If , wewrite mod .
|p% 3
(1.9). Units. Thegroup 1+ iscalledthe groupofprincipalunits (cid:176)1 andi(cid:192)tselementsare
3 (cid:176) | % (cid:26)
called principalunits. Introducealsohighergroupsofunits: =1+ for 1.c(cid:135)c(cid:153)c
(cid:17)(cid:30)(cid:29) (cid:17)(cid:30)(cid:29)(cid:154)(cid:190)˛3h(cid:190)˛3 (cid:190)ˇ3 (cid:190)
The multiplicative group has a natural filtration . We
1 2
(cid:17)(cid:30)(cid:29)
describethefactorfiltrationoftheintroducedfiltrationon .
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:25)=
(cid:17)
Let beadiscretevaluationfield. Then
| (cid:9)(cid:136)X~(cid:18)—|~(cid:9)!(cid:17) (cid:29) (cid:17) (cid:29)(cid:136)(cid:209)
(1) The choice of a prime element (1 ) induces an isomorphism
3}(cid:210)WX
.
%˙(cid:18)(cid:23)%(cid:146)/E* (cid:17)
(2) Thecanonicalmap = inducesthesurjectivehomomorphism
(cid:211)
3~(cid:18) (cid:17) (cid:29) (cid:27)(cid:212)(cid:130)‘ˆ(cid:18) (cid:130)
: ;
0
(cid:211)
3H/P3 (cid:17) (cid:29)
maps isomorphicallyonto .
0 1
(3) Themap
(cid:211) (cid:176)
(cid:176) 34(cid:176)(cid:25)(cid:18) (cid:17)o(cid:27) (cid:20)p| ˆ(cid:18) (cid:20)
: 1+
(cid:211) (cid:192)
(cid:20)2(cid:9))% (cid:176) 3 (cid:176) /P3 (cid:176) (cid:17) (cid:26)
for inducestheisomorphism of onto for 1.
+1
QSFkjRlm8DOm8on(cid:25)<LC(cid:3)MN<PORQSGAT+qpQi8;CEVAF
e0f g
5
(cid:211) (cid:211)
3
Proof. (2) The kernelof coincides with and is surjective. (3) The induced map
0 1 0
3 (cid:176) /P3 (cid:176) (cid:18) (cid:17)
isahomomorphism,since
+1
(cid:176) (cid:176) (cid:176) (cid:176) c
(1+(cid:20) | )(1+(cid:20) | )=1+((cid:20) +(cid:20) )| +(cid:20) (cid:20) | 2
1 2(cid:211) 1 (cid:176) 2 1 2
(cid:176) (cid:20) | (cid:20)
Thishomomorphismisbijective,since (1+rep( ) )= .
(cid:201) GAl(cid:137)GLCEC(cid:135)<LlE˚p=
(cid:213) (cid:17) (cid:213)
Let be not(cid:192) divisible by char( ). Raising to the th power(cid:192) induces an auto-
3 (cid:176) /P3 (cid:176) (cid:26) (cid:17) 3 (cid:176) (cid:26)
morphismof for 1. If is complete, thenthegroup for 1 is uniquely
+1
(cid:213)
-divisible.
(cid:176) (cid:176) (cid:176)
Proof. If (cid:130) = 1+(cid:20)(cid:25)| with (cid:20)~(cid:9)!% , then (cid:130)1(cid:214)(cid:181)˝ 1+(cid:213)·(cid:20)p| mod | +1. Absence of nontrivial
(cid:213) (cid:17) 34(cid:176)
-torsion in the additive group implies the first property. It also shows that has no
(cid:213)
nontrivial -torsion. (cid:176) (cid:176)
Foranelement (cid:215) = 1+(cid:24)(cid:25)| with (cid:24)(cid:16)(cid:9)]%(cid:159)(cid:29) wehave (cid:215) = (1+(cid:213)(cid:216)(cid:139) 1(cid:24)9| )(cid:214)(cid:217)(cid:215) with (cid:215) (cid:9)(3 (cid:176) .
1 1 +1
(cid:215) (cid:213) (cid:215) (cid:17)
Applying the same argument to and so on, we get an th root of in in the case of
1
(cid:17)
complete .
(cid:0) (cid:0)
(cid:17) ,
(1.10). Raising to th power. Let char( ) = 0. Lemma (1.2) shows that either
(cid:0) (cid:0)
(cid:17) (cid:17)
char( )= or char( )=0. Weshallstudytheoperationofraisingtothe thpower. Denote
(cid:218)(cid:219)
thishomomorphismby
(cid:0) (cid:2) c
(cid:20)(cid:129)(cid:18)(cid:22)(cid:20)
:
(cid:0)
(cid:17)
Thefirstandsimplestcaseis char( )= . (cid:218)(cid:219)
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:25)= (cid:0) (cid:0)
(cid:17) (cid:17) , 3 (cid:176)
Let cha(cid:192)r( ) = cha(cid:192)r( ) = 0. Then the homomorphism maps
3(cid:220)(cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:26) (cid:26)
injectivelyinto for 1. For 1
(cid:176) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:2)(cid:153)(cid:176)
(1+(cid:20)p| ) ˝ 1+(cid:20) | mod | +1(cid:27)(cid:221)(cid:20)](cid:9))%’⁄
(cid:20)(cid:25)| (cid:176) (cid:2) (cid:20) (cid:2) | (cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:0) (cid:17) (cid:29) (cid:17)(cid:30)(cid:29)
Proof. Since (1+ ) =1+ andthereisnonontrivial -torsionin and , the
assertionfollows.
(cid:201)(cid:218)(cid:219) GAl(cid:137)GLCEC(cid:135)<LlE˚p= (cid:17) (cid:0) , (cid:17) (cid:17) (cid:17) (cid:2)
Let beafieldofcharacteristic 0 andlet beperfect,i.e = . Then
(cid:0)
3(cid:133)(cid:176)(cid:222)/D3 (cid:176) 3p(cid:2)(cid:153)(cid:176)(cid:216)/P3 (cid:2)(cid:153)(cid:176)
(cid:192) maps the quotient group +1 isomorphically onto the quotient group +1 for
(cid:26)
1.
(cid:0) (cid:0)
(cid:17) (cid:17) ,
Wenowconsider(cid:0)thecaseof char( ) =0, char( )= 0. As =0 intheresiduefield
(cid:17) (cid:9)+* (cid:1) (cid:17)
, weconcludethat and,therefore,forthesurjectivediscretevaluation of weget
(cid:0)
(cid:1) (cid:223).(cid:26)
( )= 1.
8;I1QSTmQiORQiGLT9= (cid:0)
g (cid:223) (cid:223) (cid:17) (cid:1) (cid:17)
Thenumber = ( )= ( ) iscalled theabsoluteramificationindexof .
| (cid:17) • (cid:9) (cid:17)
Let beaprimeelementin . Let beasetofrepresentatives,andlet bethe
elementof (cid:17) uniquelydeterminedbytherelation (cid:0) (cid:31) |(cid:25)(cid:224)5(cid:9)W|(cid:25)(cid:224) +1% . ¸ 0
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:25)= ¸ 0
(cid:17) (cid:218)(cid:219)
Let (cid:0) be a discrete valuationfield o(cid:0) f characteristiczero w(cid:192)ithresi(cid:0)due field of
3 (cid:176) 3 (cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:6)!(cid:223)0/ (cid:31)
positivecharacte(cid:192) ristic (cid:0) . Thenthehomomorphism maps to for ( 1), and
34(cid:176) 3(cid:133)(cid:176) (cid:26)!(cid:223)0/ (cid:31) (cid:20)((cid:9)(cid:127)%(cid:159)(cid:29)
to +(cid:224) for ( 1). Moreover,for
(cid:176) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:192) (cid:0)
(1+(cid:20)p| ) ˝ 1+(cid:20) | mod | +1(cid:27) if !(cid:223)0/ ( (cid:31) 1)(cid:27) (1)
QiFkjRlN8POm8onp<ACEMm<DORQiGLT+q(cid:25)QS8DCEVLF
e0fhg
6
(cid:176) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:2)(cid:153)(cid:176) (cid:192) (cid:0)
(1+(cid:20)(cid:25)| ) ˝ 1+((cid:20) + (cid:20) )| mod | +1(cid:27) if =(cid:223)0/ ( (cid:31) 1) (cid:9)+X.(cid:27) (2)
¸ 0
(cid:176) (cid:2) (cid:176) (cid:176) (cid:192) (cid:0)
(1+(cid:20)p| ) ˝ 1+ (cid:20)(cid:25)| +(cid:224) mod | +(cid:224) +1(cid:27) if ,˙(cid:223)0/ ( (cid:31) 1)(cid:27) (3)
¸ 0
The induced homomorphisms on the quotient filtration are injective in cases (1), (3) and
surjectiveincase(cid:0)(3). (cid:0)
Æ(cid:226)(cid:2) (cid:17) (cid:1) (cid:31)(Æ"(cid:2) (cid:223)0/ (cid:31)
Ifaprimitive throot of unityiscontainedin , then (1 ) = ( 1) andthe
(cid:0)
kerneloftheinducedhomomorphism(cid:2) sinc(cid:192)ase(2)(cid:0)isof order . (cid:0)
(cid:17) 3 (cid:176) 3 (cid:176) (cid:26)(cid:16)(cid:223)0/ (cid:31) (cid:17) (cid:223)0/ (cid:31) (cid:9)(cid:127)X
If iscomplete,then (cid:224) + = for ( 1). If isco(cid:0) mpleteand ( 1) ,
(cid:17)(cid:30)(cid:29)
thenthehomomorphismin(2)isinjectiveiff thereisnonontrivial -torsionin .
(cid:20)2(cid:9))34(cid:176)
Proof. Let 1+ . Weget
(cid:0) (cid:0)
(1+(cid:20) )(cid:2) =1+(cid:0) (cid:20) + ( (cid:31) 1)(cid:20) 2+ ‹(cid:135)‹(cid:153)‹ +(cid:0) (cid:20) (cid:2) (cid:139) 1+(cid:20) (cid:2)
2
(cid:0) (cid:0)
and (cid:1) ((cid:0) (cid:20) )= (cid:223) +(cid:192) , (cid:1)(cid:220)ª ( (cid:31) 1)(cid:20) 2(cid:228) = (cid:223) +2(cid:192) (cid:27) c(cid:153)c(cid:135)c , (cid:1) ((cid:0) (cid:20) (cid:2) (cid:139) 1)= (cid:223) +((cid:0) (cid:31) 1)(cid:192) , (cid:1) ((cid:20) (cid:2) )=(cid:0) (cid:192) , so
2
(cid:2) (cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:0)
(cid:1) (cid:20) (cid:31) (cid:1) (cid:20) (cid:20) (cid:27) (cid:1) (cid:20) $ (cid:1) (cid:20) (cid:27)
((1+ ) 1)= ( + ) if ( )= ( )
(cid:2) (cid:2) (cid:0) c
(cid:1) (cid:20) (cid:31) (cid:26)!(cid:1) (cid:20) (cid:20) (cid:27)
((1+ ) 1) ( + ) otherwise
(cid:2) (cid:0) (cid:192) (cid:0)
(cid:1) (cid:20) (cid:6)((cid:1) (cid:20) (cid:6)!(cid:223)0/ (cid:31) (cid:20)
Note ( ) ( ) ifandonlyif ( 1). Foraunit weobtainthefirststatementof
(cid:218)(cid:219)
theproposition.
(cid:0)
Further,thehomomorphism isanisomorphismincase(3)(cid:0)andinjectivein(cid:0)case(1).
Æ (cid:2) (cid:9)£(cid:17) (cid:1) (cid:31)(cid:141)Æ (cid:2) (cid:223)0/ (cid:31) (cid:223)1/ (cid:31) (cid:9)(cid:142)X
Assume that . From the p(cid:2) revious (1 ) = ( 1) and^(cid:153)(cid:229)(cid:230) ( 1) .
Therefore, theh(cid:0)omomorphism (cid:20)(cid:136)ˆ(cid:18) (cid:20) +¸ 0(cid:20) is notinjective. Itskernel 1 (cid:31) ¸ 0¶ (cid:2) inthis
caseisoforder . (cid:192)
(cid:17) ,
(cid:0)If is complete, then d(cid:2)ue to surjec(cid:2)tivity of the h(cid:2)omomorphisms (cid:0)in case (3) for
(cid:223)0/ (cid:31) 34(cid:176) 3 (cid:176) 3 (cid:176) 3 (cid:176) 3 (cid:176) ‹(cid:135)‹(cid:153)‹ 3 (cid:176) (cid:223)0/ (cid:31)
( 1) weget = +1 (cid:139)(cid:231)(cid:224) = +2 (cid:139)(cid:140)(cid:224) = = (cid:139)(cid:231)(cid:224) . Nowlet ( 1) beaninteger.
(cid:20) (cid:9) (cid:17)
Assumetha(cid:2)tthehorizontalhomomorphism(cid:2)incas(cid:2)e(2)isnotinjective. L(cid:0) et (cid:0) 0 satisfythe
equation (cid:20) + (cid:20) = 0. Then (1+(cid:20) |(cid:25)(cid:224)(cid:144)Ł ( (cid:139) 1)) (cid:9)]3 – forsome Ø+, (cid:223)1/ ( (cid:31) 1). Therefore
0(cid:2) ¸ 0(cid:2) 0 (cid:2) 0 (cid:2)
(1+(cid:20) 0)|(cid:25)(cid:224)(cid:144)(cid:0)Ł ( (cid:139) 1)) =(cid:130) 1 forsome (cid:130) 1 (cid:9)(cid:127)3 (cid:224)(cid:144)Ł ((cid:2) (cid:139) 1)+1. Thus, (1+(cid:20) 0)|(cid:25)(cid:224)(cid:28)Ł ( (cid:139) 1))(cid:130) 1(cid:139) 1 (cid:9)(cid:127)3 (cid:224)(cid:144)Ł ((cid:2) (cid:139) 1) isa
primitive throotofunity.
(cid:201) GAl(cid:137)GLCEC(cid:135)<LlE˚p=
(cid:17)
Let beacompletediscretevaluationfield. (cid:0)
(cid:17) (cid:17)(cid:30)(cid:29)m(cid:128) (cid:17)(cid:30)(cid:29) \(cid:131)(cid:26) (cid:17) ,
If char( )=0, then isanopensubgroupin for 1. If char( )= 0, then
(cid:0)
(cid:17)(cid:30)(cid:29)R(cid:128) (cid:17)(cid:30)(cid:29) \
isanopensubgroupin if andonlyif isrelativelyprimeto .
(cid:0)
(cid:17)
containsfinitelymanyrootsofunityof orderapowerof .
(cid:17) 3 (cid:138)£(cid:17) (cid:29)R(cid:128) \!(cid:26) (cid:17) (cid:29)m(cid:128)
Proof. If(cid:0) char( ) = 0, thenweget (cid:0) 1 for 1. Itmeansthat isopen. (cid:0)If
(cid:17) 3 (cid:138)£(cid:17)(cid:30)(cid:29)R(cid:128) \4(cid:27) (cid:17)(cid:30)(cid:29)m(cid:128) (cid:17)
char( ) = (cid:176) , then(cid:2) 1 (cid:192) (cid:0) for ( ) = 1 a(cid:2) nd is open. Inthis case, if char( ) = ,
| (cid:9)(cid:136)/ (cid:17)(cid:30)(cid:29) (cid:27) (cid:17)(cid:30)(cid:29) (cid:17)
then 1+(cid:2)(cid:153)Π(cid:192) for(cid:0) ( (cid:0) ) = 1. Then is not open. If char( ) = 0, then we obtain
3 (cid:176) (cid:138)˙(cid:17)(cid:30)(cid:29) , (cid:223)0/ (cid:31) Yº(cid:31) (cid:223) (cid:17)(cid:30)(cid:29)R(cid:128) \(cid:131)(cid:26)
when ( 1)+( 1) . Therefore isopenfor 1.
Thiscorollarydemonstrate(cid:0)sthatforcompletediscretevaluationfieldsofcharacteristic0with
residuefieldofcharacteristic thetopologicalpropertiesarecloselyrelatedwiththealgebraic
(cid:0)
(cid:17)
ones. Thecase char( )= isverydifferent.
QSFkjRlm8DOm8on(cid:25)<LC(cid:3)MN<PORQSGAT+qpQi8;CEVAF
e0f g
7
(1.11). Productrepresentation. Nowwededuceamultiplicativeanalogoftheexpansionin
thecorollaryof(1.8).
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:142)(cid:236)(cid:238)(cid:237)H8;TNFk8;C1(cid:239)k=
(cid:17) •
Let be a complete discrete valuation field. Let be a(cid:192)set of
(cid:20)!(cid:9)(cid:14)(cid:17)(cid:30)(cid:29) \](cid:9)(cid:14)X (cid:176) (cid:9)(cid:131)• (cid:26)
representatives. Thenfor thereexistuniquelydetermined , for 0,
(cid:9)W•(cid:10)(cid:29) (cid:20) ¸
, suchthat canbeexpandedintheconvergentproduct
¸ 0
(cid:176)
(cid:20) =| (cid:128) (cid:240) (1+ (cid:176) | )
¸ 0(cid:176) ¸
(cid:148) 1
\ (cid:130)K(cid:9))3
Proof. Theexistenceanduniquenessof and immediatelyfollow. Assumethat (cid:143) ,
then find ¸ (cid:143) (cid:20)(cid:9)(cid:19)• with (cid:130) (1+ ¸ (cid:143) |9(cid:143) )(cid:139) 1 (cid:9)(cid:19)3 (cid:143) ¸+01. Proceeding by induction,æ we obt(cid:176)(cid:238)a|in(cid:176) an
expansion of in a convergent product. If there are two such expansions (1+ ) =
æ (cid:176)(cid:11)| (cid:176) (cid:176) (cid:176)(cid:11) (cid:17) (cid:176) (cid:176)(cid:11) ¸
(1+ ), thentheresidues , coincidein . Thus, = .
¸ ¸ ¸ ¸ ¸
X (cid:2) (cid:17)
(1.12). -StructureofTheGroupofPrincipalUnits. Everywhereinthissection isa
(cid:0)
completediscreteval(cid:2)(cid:153)u(cid:242)ationfieldwithresiduefieldofpositivecharacteristic .
(cid:130)(cid:132)(cid:9)(cid:127)3 (cid:130) (cid:18) \(cid:127)(cid:18) (cid:4)
If then 1 as + . Thisenablesustodefine
1
(cid:130)0(cid:243) (cid:130)P(cid:243) (cid:242) (cid:5) (cid:5)(cid:30)(cid:9)WX (cid:2) (cid:27)ı(cid:5) (cid:9)WX c
= lim{ if lim{ (cid:128) = (cid:128)
(cid:128)P(cid:244) (cid:128)D(cid:244)
798;:-:-<(cid:25)= (cid:246) (cid:246) (cid:246) (cid:246)
Let (cid:130)W(cid:9)(3 , (cid:5)(cid:14)(cid:9)]X(cid:146)(cid:2) . Then (cid:130) (cid:243) (cid:9)(3 iswelldefinedand (cid:130) (cid:243) + = (cid:130) (cid:243) (cid:130) , (cid:130) (cid:243) = ((cid:130) (cid:243) ) ,
1 1
(cid:130)E(cid:215) (cid:243) (cid:130) (cid:243) (cid:215) (cid:243) (cid:130)R(cid:27)(cid:28)(cid:215)](cid:9)(cid:16)3 (cid:5)L(cid:27)(cid:226)˘(cid:10)(cid:9)(X(cid:181)(cid:2) 3 X(cid:146)(cid:2)
( ) = for , . The multiplicativegroup is a -module under
1 1
X(cid:181)(cid:2) 3
theoperationofraisingtoapower.Moreover,thestructureofthe -module iscompatible
1
X(cid:181)(cid:2) 3
withthetopologiesof and .
1
(cid:5) ˘ (cid:5) (cid:31)2˘ (cid:18) \(cid:131)(cid:18) (cid:4) (cid:130) (cid:243) (cid:242) (cid:139) (cid:246) (cid:242)
Proof. Assumethat lim (cid:128) =lim (cid:128) ; hence (cid:128) (cid:128) 0 as + (cid:0) and lim = 1.
X (cid:2) (cid:210))3 (cid:18)(cid:247)3 (cid:5)L(cid:27)(cid:144)(cid:130) (cid:18)(cid:22)(cid:130) (cid:243) X (cid:2)
Amap (( ) )iscontinuouswithrespecttothe -adictopologyon
1 1
3
and the discrete valuation topology on . This argument can be applied to verify the other
1
assertionsofthelemma.
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:25)= (cid:0)
(cid:17) •
Let be of characteristic with perfect residue field. Let be a set of
• (cid:17)
representatives,andlet beasubsetof itsuchthattheresiduesof itselementsin forma
0
(cid:17) ¶ (cid:2) ł •
basis of (cid:0) asa vectorspaceover . Let an index-set numeratetheelementsof 0. Let
(cid:1) (cid:2)
bethe -adicvaluation.
(cid:20)2(cid:9))3
Theneveryelement canbeuniquelyrepresentedasaconvergentproduct
1
(cid:176)
(cid:20) = (cid:240) (cid:240) (1+ – | )(cid:243)(cid:160)(cid:252)(cid:254)(cid:253) (cid:27) – (cid:9)+• (cid:27)"(cid:5) (cid:176)(cid:254)– (cid:9)(cid:127)X (cid:2)
(cid:176)·ø(cid:2) –(cid:160)`Dß ¸ ¸ 0
((cid:176)·œ )=1
0
(cid:192) (cid:0)
ł;(cid:176)¯ø(cid:255) (cid:13)ƒØ‡(cid:9)(cid:131)ł (cid:1)(cid:3)(cid:2) (cid:5)(cid:137)(cid:176)†– (cid:6)˙(cid:149)E(cid:15) (cid:149)¤(cid:26) (cid:27)
andthesets = : ( ) arefiniteforall 0, ( )=1.
(cid:20) 3 \(cid:129)(cid:26)
Proof. Wefirstshowthattheelement canbewrittenmodulo (cid:128) for 1 inthedesired
(cid:5)(cid:137)(cid:176)†–(cid:127)(cid:9)!X (cid:130)(cid:14)(cid:9)(cid:141)3
form with . Proceeding by induction, it will suffice to co(cid:0) nsider an element (cid:128)
m¸ 1o(cid:27) dc(cid:135)uc(cid:153)lcYo(cid:27) ¸ 3(cid:143) (cid:128) +(cid:9)(cid:127)1\ .• 0L(cid:0)(cid:3)ae(cid:2)n\9td(cid:11)(cid:130)(cid:136)˘ 1˝(cid:27) c(cid:135)1c(cid:153)c+(cid:27)(cid:226)˘ ¸(cid:143) |9(cid:128)(cid:9)+Xm\9os(cid:11)udc3h\9(cid:128)t(cid:11)¯h+(cid:27)1a(cid:0) ,t 1¸ +(cid:9)„¸ |9•(cid:128)(cid:30).˝~Iæf (cid:143)[(=\41(cid:27)(1)+=¸ [ 1|9,(cid:128)(cid:27))tc(cid:135)(cid:246)(cid:1)h(cid:0)c(cid:153)ecn(cid:27)moonde(cid:9)(cid:127)3c•a(cid:128) n+1fifnodr
some . If = withaninteger , ( )=1, thenonecanfind (cid:143) and
¸ 1 ¸ 0
QiFkjRlN8POm8onp<ACEMm<DORQiGLT+q(cid:25)QS8DCEVLF
e0fhg
8
(cid:5)(cid:4) (cid:1)(cid:0)
˘ 1(cid:27) c(cid:135)c(cid:153)c (cid:27)(cid:226)˘ (cid:143) (cid:9))X suchthat 1+¸ |9(cid:128)(cid:30)˝ æ (cid:143)[ =1(1+¸ [ (cid:20)(|9(cid:128)(cid:9)(cid:127)(cid:155))(cid:2)3 (cid:246) mod 3 (cid:128) +1 forsome Y . Nowdue
tothecontinuitywegetthedesiredexpressionfor withtheaboveconditionsonthesets
1
ł (cid:176)·ø(cid:255)
. (cid:192) (cid:0)
– (cid:5) (cid:176)(cid:254)– (cid:27) Ø (cid:9)(cid:131)ł
Assumetha(cid:0)t&(cid:28)t^hereis(cid:192)acon(cid:0)v&e^rgent(cid:192) productfo(cid:192) r(cid:0)1with ¸ , . Let ( 0 )=1 and 0 be
suchthat \(cid:176) = ((cid:243) (cid:252)0(cid:253)0) 0 (cid:6) ((cid:243)k(cid:252)(cid:253) ) forall ( (cid:27) ) = 1, Ø+(cid:9)(ł . Thenthechoiceof • 0 imply
æ –(cid:153)| (cid:243)k(cid:252)(cid:253) (cid:9)(cid:127)/ 3
(1+¸ ) (cid:128) +1, whichconcludestheproof.
(cid:201) GAl(cid:137)GLCEC(cid:135)<LlE˚p= (cid:176)
3 –(cid:153)| –(cid:129)(cid:9)£•
(cid:192) (cid:27) (cid:0) The group 1 has a free topological basis 1+ ¸ where where ¸ 0,
( )=1.
(cid:6)
(cid:0) (cid:0) (cid:2)
(cid:223) (cid:1) (cid:31) (cid:17)(cid:19)(cid:18) (cid:17) (cid:20)(cid:131)ˆ(cid:18) (cid:20)(cid:6) (cid:20)
I(cid:0)f = ( ) isdivisibleby 1, let : bethemap +¸ 0 . Thenraisingto
the thpowerincase(2)ofthepropositionin(1.10)isdescribedby .
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:25)= (cid:0)
(cid:17)
Let beof characteristic0withperfectresiduefieldof characteristic .
• • • (cid:11)
Let beasetofrepresentativesandlet (resp. )beasubsetofitsuchthattheresidues
0 0
(cid:6) (cid:17) (cid:17) ¶(cid:137)(cid:2) ¶(cid:137)(cid:2)
of itselementsin formabasisof asavectorspaceover (resp. are -generatorsof
(cid:17)d/ (cid:17) ł ł(cid:231)(cid:11) • •¤(cid:11)
( )). Lettheindex-set (resp. )numeratetheelementsof (resp. ). Let
(cid:192) (cid:192) (cid:192) (cid:0) (cid:0) (cid:192) (cid:0) 0c 0
(cid:134) (cid:13) (cid:9)+X‘(cid:27) (cid:6) (cid:223)0/ (cid:31) (cid:27) (cid:27) (cid:15)
= : 1 ( 1) ( )=1
(cid:20)2(cid:9))3
Theneveryelement canberepresentedasaconvergentproduct
1
(cid:176) (cid:2) (cid:2)
(cid:20) = (cid:240)(cid:176)·`(cid:8)(cid:7) –(cid:160)(cid:240) `Dß (1+¸ – | )(cid:243) (cid:252)(cid:254)(cid:253) –(cid:160)(cid:240)`Dß (1+(cid:215) – | (cid:224)(cid:144)Ł ( (cid:139) 1))(cid:243) (cid:253) (cid:27) ¸ – (cid:9)+• 0(cid:27)"(cid:215) – (cid:9)+• 0(cid:11) (cid:27)"(cid:5) (cid:176)(cid:254)– (cid:27)"(cid:5) – (cid:9)WX (cid:2)
(cid:155)
(cid:0)
(cid:223)0/ (cid:31)
(thesecondproductoccurswhen ( 1) isaninteger)andthesets
ł (cid:176)·ø(cid:255) (cid:13)kØo(cid:9)6ł (cid:1) (cid:2) (cid:5) (cid:176)(cid:254)– (cid:6)(cid:136)(cid:149)E(cid:15)D(cid:27) ł (cid:255)(cid:11) (cid:13)ƒØ‡(cid:9)(cid:131)ł (cid:11) (cid:1) (cid:2) (cid:5) – (cid:6)˙(cid:149)E(cid:15)
= : ( ) = : ( )
(cid:192)
(cid:149)¤(cid:26) (cid:9)(cid:127)(cid:134)
arefiniteforall 0, .
(cid:130)(cid:136)(cid:9)'3 3
Proof. We shall show how to obtain the required form for (cid:128) modulo (cid:128) +1. Let
(cid:130) |9(cid:128) 3 (cid:9)+•
1+=(¸11|9)+(cid:128)‡\(cid:131)\]¸ ˝ (cid:9)(cid:14)æ(cid:0)(cid:134) (cid:223)1m.(cid:143)[ /=oO1(cid:0)d(n1(cid:31)e+c(cid:128) ¸a+[n1\|9,fi(cid:128)¸n)d(cid:246)(cid:1)(cid:0)(cid:0) (cid:2)¸\1m(cid:11)(cid:27).oc(cid:153)Tdc(cid:135)hc 3e(cid:27) ¸r(cid:128)\e(cid:143)+(cid:11)a1(cid:9)+r(cid:9)(cid:131)efo(cid:134)f•ro0suoramcnaedseY˘s1.t(cid:27)oc(cid:153)cc(cid:153)oc n(cid:27)(cid:226)˘si(cid:143)de(cid:9)(cid:14)r(cid:27):c(cid:153)X c(cid:135)cs(cid:27)atisfy(cid:9)Win• gthe˘ c(cid:27)oc(cid:135)nc(cid:153)gcr(cid:27)ƒu˘enc(cid:9)e
X (2) ( 1), = with . Thenthereexist¸ 1 ¸ (cid:143) 0, 1 (cid:143)
suchthat
(cid:143) (cid:9)(cid:4) (cid:10)(cid:0)
1+¸ | (cid:128) ˝ (cid:240)[ (1+¸ [ | (cid:128) (cid:155))(cid:2) (cid:246) mod 3 (cid:128) +1 forsome Y c
=1 (cid:11)(cid:2)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:223)0/ (cid:31) (cid:9)(cid:16)X \ (cid:223)0/ (cid:31) •(cid:159)(cid:11) \ \9(cid:11)
\9(cid:11)(cid:231)(cid:9)(cid:127)(3(cid:134)) ( 1) , (cid:27) =c(cid:153)c(cid:135)c (cid:27) ( (cid:9)+•1). (cid:215)Th(cid:27)ec(cid:135)dc(cid:153)ce(cid:27)"fi(cid:215)n(cid:151)iti(cid:9)+on•¤o(cid:11) f ˘ 0(cid:27) c(cid:153)ic(cid:135)mc p(cid:27)(cid:226)˘ly tha(cid:149) t(cid:27)ifc(cid:135)c(cid:153)c (cid:27)(cid:226)=(cid:149) (cid:151) (cid:9)(cid:127)X with
, thenthereexist (cid:143) , , (cid:143) , such
¸ 1 ¸ 0 1 0 1 1
that (cid:143) (cid:5)(cid:4) (cid:1)(cid:0) (cid:151) (cid:13)(cid:12)
1+¸ | (cid:128) ˝ (cid:240)[ (1+¸ [ | (cid:128) (cid:155))(cid:2) (cid:246) (cid:240) (1+(cid:215) (cid:214) | (cid:128) )(cid:255) mod 3 (cid:128) +1 forsome Y6(cid:27)(cid:28)(cid:150) c
=1 (cid:214)=1
(cid:0) (cid:0) (cid:14) (cid:15)(cid:14) (cid:16)(cid:14) (cid:0) (cid:0) (cid:16)(cid:14)
\(cid:131), (cid:223)0/ (cid:31) (cid:13) \(cid:204)(cid:31) D(cid:223)d(cid:6) (cid:223)0/ (cid:31) (cid:15) \9(cid:11) \(cid:204)(cid:31) D(cid:223)
(4) ( 1). If =min : ( 1) and = , then
(cid:9)(cid:17)
| (cid:128) ˝ (cid:11)| (cid:128) (cid:155) (cid:2) 3 (cid:11) (cid:9)(cid:127)• c
1+¸ (1+¸ ) mod (cid:128) +1 forsome¸
QSFkjRlm8DOm8on(cid:25)<LC(cid:3)MN<PORQSGAT+qpQi8;CEVAF
e0f g
9
(cid:11)(cid:254)|9(cid:128) (cid:155) |9(cid:128) 3
Nowapplyingtheargumentsoftheprecedingcasesto 1+¸ , wecanwrite 1+¸ mod (cid:128) +1
intherequiredform.
(cid:201) GAl(cid:137)GLCEC(cid:135)<LlE˚p= (cid:0)
(cid:17)
Let beofcharacteristic0withperfectresiduefieldof characteristic .
(cid:0)
(cid:17)
(1) If doesnotcontainnontrivial throotsofunitythentherepresentationintheproposition
3 ø⁄
isunique.Thereforetheeleme(cid:0) ntsofthepropositionformatopologicalbasisof 1 .
(cid:17) (cid:150)
(2) If contains a nontriv(cid:0)ia(cid:151) l th root of unity, let be the maximal integer such that
(cid:17) (cid:5) (cid:176)†– (cid:27)(cid:226)(cid:5) –
contains a primitive th root(cid:0)o(cid:151)f unity. Then the numbers of the proposition
are determined uniquely mo(cid:2)(cid:153)d(cid:156)ulo . Therefore the elements of the proposition form a
topologicalbasisof 3 ø⁄ /D3 ø⁄ .
(cid:17) 1 1 3 X (cid:2) (cid:223)
(3) Iftheresiduefieldof isfinitethen 1 isthedirectsumof afree -moduleof rank x
andthetorsionpart.
Æ (cid:2) (cid:9)(cid:142)/ (cid:17)
Proof. (1) If then all horizontal homomorphisms of the diagrams in the second
Propositionof(1.10)areinjective. (cid:0) (cid:151)
(cid:150) Æ (cid:2) (cid:156)
(2)Arguebyinductionon . Writeaprimitive throot intheform
(cid:176) (cid:255) (cid:2) (cid:2) (cid:255)
Æ (cid:2) (cid:156) = (cid:240) (cid:8)(cid:7) (cid:240) (1+ – | ) (cid:252)(cid:253) (cid:240) (1+(cid:215) – | (cid:224)(cid:144)Ł ( (cid:139) 1)) (cid:253)
(cid:176)¯` –(cid:160)`Dß ¸ –(cid:160)`Dß
(cid:155)
(cid:0) (cid:151)
andraisetherighthandsidetothe thpowerwhichdemonstratesthenon-uniqueness.
Nowif
(cid:176) (cid:2) (cid:2)
1= (cid:240) (cid:8)(cid:7) (cid:240) (1+ –(cid:153)| )(cid:243) (cid:252)(cid:254)(cid:253) (cid:240) (1+(cid:215)1–(cid:153)| (cid:224)(cid:28)Ł ( (cid:139) 1))(cid:243) (cid:253)
(cid:176)¯` –(cid:160)`Dß ¸ –(cid:160)`Dß
(cid:155)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:5) (cid:176)(cid:254)– ˘ (cid:176)(cid:254)– (cid:27)"(cid:5) – ˘ – ˘ (cid:176)(cid:254)– (cid:27)(cid:226)˘ –
thenwededucethat = = with -adicintegers . Then
(cid:176) (cid:246) (cid:2) (cid:2) (cid:246)
(cid:240) (cid:8)(cid:7) (cid:240) (1+ – | ) (cid:252)(cid:254)(cid:253) (cid:240) (1+(cid:215) – | (cid:224)(cid:144)Ł ( (cid:139) 1)) (cid:253)
(cid:176)¯` –(cid:160)`Dß ¸ –(cid:160)`Dß
(cid:155)
(cid:0)
isa throotofunity,andsoisequalto
(cid:229)
ª (cid:240) (cid:8)(cid:7) (cid:240) (1+ –(cid:153)| (cid:176) )(cid:255) (cid:252)(cid:254)(cid:253) (cid:240) (1+(cid:215)E–(cid:153)| (cid:2) (cid:224)(cid:144)Ł ((cid:2) (cid:139) 1))(cid:255) (cid:253) (cid:228) (cid:2)(cid:153)(cid:156) 1(cid:255)
(cid:176)·` –(cid:160)`Dß ¸ –(cid:160)`Dß
(cid:155)
(cid:0) (cid:151) (cid:0) (cid:151)
for some integer (cid:149) . Now by the induction assumption all ˘ (cid:176)†– (cid:31) (cid:139) 1(cid:149)(cid:160)(cid:149) (cid:176)(cid:254)– (cid:27)(cid:226)˘ – (cid:31) (cid:139) 1(cid:149)(cid:160)(cid:149) – are
(cid:0) (cid:151) (cid:0) (cid:151)
divisibleby (cid:139) 1. Thus,all (cid:5) (cid:176)(cid:254)– (cid:27)"(cid:5) – aredivisibleby .
(cid:17) 3
(3) If the residuefield of is finite then is a module of finite typeover the principal
1
X (cid:2)
ideal domain , so by the structure theorem on(cid:0) such modules it is a direct sum of a free
(cid:6) (cid:6) (cid:17)
moduleandafinitetorsionmodule. Ifaprimitive throotofunityisin , thenthekernelof
(cid:0) (cid:0)
(cid:145)(cid:17) (cid:17) (cid:145) (cid:17) (cid:134)
is(cid:0)of o(cid:0)rder . He(cid:0)nce (cid:0) : ((cid:0) ) = , since is finite. The cardinality of is equal to
(cid:223) (cid:223)0/ (cid:31) (cid:31) (cid:223)0/ (cid:31) /
=[ ( 1)] [[ ( 1)] ].
(cid:18) Om8DTAFƒQiGLTNF¤GLI (cid:201) GL:-B;CE8POm8oqpQi8;CEVAF
(cid:137)f‚>@?
10
2: ExtensionsofCompleteFields
(cid:157) t
(2.1). Hec(cid:135)nc(cid:153)cseliany Property. Let be a commutative ring. For two polynomials x ( ) =
(cid:5) t(cid:14)(cid:128) (cid:5) t ˘ t(cid:14)(cid:143) ‹(cid:153)‹(cid:135)‹ ˘
(cid:128) + 0, ( )=(cid:19)(cid:20)(cid:20) (cid:143) + +c(cid:153)c(cid:153)0c theirresultantisthedeterm(cid:22)(cid:5)i(cid:23)(cid:23)nantofthematrix
(cid:20) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:23)
(cid:20)(cid:20) (cid:128) (cid:5)(cid:128)(cid:137)(cid:139) 1 (cid:5) c(cid:153)c(cid:135)0c (cid:5) (cid:23)(cid:23)
(cid:20)(cid:20) (cid:128) (cid:128)(cid:137)(cid:139) 1 0 (cid:23)(cid:23)
(cid:20) .. .. .. .. (cid:23)
(cid:20) . . . . (cid:23)
(cid:20)(cid:20)(cid:20) ˘ (cid:5) c(cid:153)c(cid:153)c (cid:5)˘ (cid:128) (cid:5) (cid:128)R(cid:139) 1 c(cid:153)c(cid:153)c (cid:5) 0 (cid:23)(cid:23)(cid:23) c
(cid:143) (cid:143)5(cid:139) 1 c(cid:153)c(cid:135)0c
˘ ˘ ˘
(cid:21) (cid:143) (cid:143)5(cid:139) 1 0 (cid:24)
... ... ... ...
c(cid:153)c(cid:153)c
˘ ˘ ˘
(cid:143) (cid:143)5(cid:139) 1 0
y y y y;y
• (cid:27) • (cid:27)
fTohrissodmeteerpmoliynnanotmia(lxs x 1)y(cid:27)iys1ze(cid:9)Wro(cid:157) i[ftf x].aInfdx (tha)v=ea(cid:5) (cid:128)coæm(cid:128)(cid:176)m=1o(nt}ro(cid:31)Wot(cid:20);(cid:176)i)n,gye(nter)al= ˘ y(cid:143)(x æ –(cid:143))==1(x(cid:231)t}y x 1(cid:31)(cid:30)+(cid:24) – )1,
thentheiry resultant • (x (cid:27) ) is (cid:5)(cid:137)y (cid:143)(cid:128) ˘k(cid:128)(cid:143) æ (cid:176)·ø– ((cid:20)p(cid:176)(cid:231)(cid:31)6(cid:24)R– ). Inparticular, • (t (cid:31)6(cid:5)L(cid:27) (t ))= ((cid:5) ).
If x (cid:27) (cid:9)˙% [t ] then • (x (cid:27) ) (cid:9)˙y% . Weshally usethe followingproypertieso(cid:2)(cid:26)f(cid:25)ther(cid:2)esultant:
if (cid:2)x ˝ x mod * [yt ] then • (x (cid:27) ) ˝ • (x 1(cid:27) ) mod * ; if • (x (cid:27) ) (cid:9)ˇ* * +1 then
* t (cid:138) % t % t
[ ] x [ ]+ [ ].
(cid:17) %
Let beacompletediscretevaluationfieldwiththeringofintegers , themaximalideal
* (cid:17) t (cid:5) t(cid:131)(cid:128) ‹(cid:153)‹(cid:153)‹ (cid:5) (cid:9)(cid:127)% t
, andtheresiduefield . Forapolynomial x ( )= (cid:128) + + 0 [ ] wewilldenote
(cid:5) t(cid:14)(cid:128) ‹(cid:153)‹(cid:153)‹ (cid:5) t (cid:9) (cid:17) t
thepolynomial (cid:128) + + 0 by x ( ) [ ]. Wewillwrite
y
t ˝ t * (cid:143)
x ( ) ( ) mod
y
t (cid:31) t (cid:9)(cid:204)*!(cid:143) t
if x ( ) ( ) [ ].
¥4l(cid:137)GAB;GLFƒQ§ORQSGAT(cid:25)= y (cid:28)(cid:27) y (cid:27)
(cid:27) (cid:27) %
Let 0 0 x bepolynomialsovyer(cid:27) suchthat degx =deg 0+deg 0 andthe
leadingcoefficientof x coincideswitht(cid:2)hatof 0 0. Let (cid:2)
y (cid:29)(cid:27) y (cid:27)
• ( 0(cid:27) 0) (cid:9)W/ * +1(cid:27) x ˝ 0 0 mod * 2 +1
(cid:30)
.(cid:26)
foraninteger 0. y (cid:28)(cid:27)
t (cid:27) t
Thenthereexistpolynomials ( ) ( ) suchthat
(cid:2) (cid:2)
y (cid:27) y y (cid:27) (cid:27) y y (cid:29)(cid:27) (cid:31)(cid:27) c
x = (cid:25)(cid:27) deg =deg 0(cid:27) deg =deg 0(cid:27) ˝ 0 mod * +1(cid:27) (cid:30)˝ 0 mod * +1
y (cid:29)(cid:27)
(cid:176) t (cid:27) A(cid:176) t (cid:9)˙% t
Prooyf. Wy e first coynstruct p(cid:27)oly(cid:16)no(cid:27) mials ((cid:27) ) ( ) [ ] with the followingproperties:
(cid:176)(cid:140)(cid:31) A(cid:176)(cid:140)(cid:31)
deg( ) deg , deg( ) deg
0 0 0 0
(cid:2) (cid:2)
y y (cid:176) (cid:27) !(cid:27) (cid:176)
(cid:176) (t ) ˝ (cid:176) (cid:139) 1(t ) mody * +(cid:27) (cid:27) N(cid:176) (t ) ˝ (cid:176)(cid:176) (cid:139) 1(cid:2) (t c ) mod * + (cid:27)
x (t ) ˝ (cid:176)(t )N(cid:176)(t ) mod * +2 +1
y (cid:29)(cid:27) (cid:192)
– t (cid:27) R– t Ø](cid:6) (cid:31)
Proceeding by induction, we can assume that the polynomials ( ) ( ), for 1,
|
havebeenconstructed. Foraprimeelement put
(cid:2)#" (cid:2)#$
y y (cid:176) (cid:27) (cid:27) (cid:176)
(cid:176)(t )= (cid:176) (cid:139) 1(t )+| + (cid:176) (t )(cid:27) N(cid:176)(t )= (cid:176) (cid:139) 1(t )+| + (cid:176) (t )