le groupe de renormalisation appliqué a la théorie des transitions de phase et a quelques autres

16 Pages·2017·1.23 MB·French

by  E. Brezin

LE GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A
LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE ET A
QUELQUES AUTRES PROBLÈMES
E. Brezin
To cite this version:
E. Brezin. LE GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSI-
TIONS DE PHASE ET A QUELQUES AUTRES PROBLÈMES. Journal de Physique Colloques,
1975, 36 (C7), pp.C7-1-C7-15. ￿10.1051/jphyscol:1975701￿. ￿jpa-00216415￿
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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C7, supplément au n° 11, Tome 36, Novembre 1975, page Cl-1
LE GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE
DES TRANSITIONS DE PHASE ET A QUELQUES AUTRES PROBLÈMES
E. BREZIN
Service de Physique Théorique, CEN Saclay, 91190 Gif-sur-Yvette, France
Résumé. — Après un rappel de la définition d'un point critique les méthodes classiques d'approche
sont brièvement résumées. Les difficultés de la théorie de Landau en dimension inférieure ou égale
à quatre sont explicitées. Il est montré comment le groupe de renormalisation surmonte ces obstacles.
Le développement au voisinage de quatre dimensions est esquissé. La comparaison entre théorie
et expérience est indiquée pour les systèmes dipolaires uniaxes. Il est également fait allusion à d'autres
applications du groupe de renormalisation : points tricritiques, dynamique critique, problème du
volume exclus, percolation, effet Kondo, liberté asymptotique ultra-violette des théories de jauge
non abéliennes.
Abstract — After the definition of a critical point, the classical methods are briefly summarized.
The difficulties of Landau theory in dimension smaller or equal to four are explicited. It is shown
how the renormalization group gets over these obstacles. The expansion around dimension four is
outlined. The comparison between theory and experiment is indicated for uniaxial dipolar systems.
It is also referred to other applications of the renormalization group : tricritical points, critical
dynamics, excluded volume problem, percolation, Kondo effect, ultra-violet asymptotique freedom
of non-abelian gauge theories.
Les années qui viennent de s'écouler ont été mar Il n'est pas question en moins d'une heure d'exposer
quées par un renouveau incontestable de la théorie tant de domaines divers, mais les colloques Phéno
des champs dans diverses directions. D'une part, le mènes critiques et Développements sur la théorie des
groupe de renormalisation de Gell-Mann et Low a champs contiendront plusieurs conférences qui revien
été réexaminé par Wilson, Callan et Symanzik, etc.. dront en profondeur sur les sujets esquissés ici.
et ses conséquences sur l'invariance d'échelle asympto L'essentiel de cet exposé sera consacré à la théorie
tique ont été dégagées. D'autre part, le catalogue très des phénomènes critiques qui a été considérablement
restreint des théories renormalisables s'est accru d'un explorée depuis les travaux initiaux de Wilson en
nouveau chapitre, celui des théories de jauge non 1971. Là encore, il ne sera pas question de rentrer
abéliennes qui jouissent de propriétés remarquables. dans les détails.
Le groupe de renormalisation a permis alors de dégager
le concept de liberté asymptotique et les conséquences 1. Point critique (rappel). — On connaît depuis les
extrêmement restrictives qu'elle entraîne pour la travaux de Cagniard de la Tour et Andrews le point
théorie. Il est beaucoup trop tôt pour dire si les critique qui termine la courbe de coexistence de
habiles constructions qui ont été échafaudées à partir l'équilibre-vapeur. En 1895 P. Curie découvrait la
de ces idées pour la théorie des interactions fortes transition paramagnétique-ferromagnétique : à une
entre particules élémentaires sont en accord avec température supérieure à celle du point critique l'ai
l'expérience. Mais, il est dès à présent clair pour mantation du système est proportionnelle au champ
(presque) tout le monde que, ainsi que l'a brillamment magnétique appliqué et s'annule avec lui. Par contre
montré K. Wilson, ces idées pouvaient être appliquées pour T < T une aimantation spontanée apparaît
c
à des domaines de la physique très différents et en l'absence de toute source extérieure. Depuis bien
réputés jusqu'alors insolubles. En premier lieu, vient d'autres phénomènes semblables ont été observés,
la théorie du comportement de la matière au voisinage de la transition superfluide de l'4He aux phases variées
d'un point critique lors d'une transition de phase, des cristaux liquides et récemment à la découverte
dont le mystère, lié à des propriétés extraordinaires des nouvelles phases supraconductives de l'hélium
d'universalité et d'invariance d'échelle, était resté trois. Par commodité de langage, nous utiliserons
totalement incompris. Depuis, quelques autres pro dans la suite la terminologie adaptée à l'étude des
blèmes ont été également résolus, notamment la systèmes magnétiques. L'approche du point critique
théorie de l'effet Kondo par Anderson, Yuval et se manifeste par un comportement mathématique
encore une fois Wilson. singulier. Donnons quelques exemples : la suscep-
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1975701
C7-2 E. BREZIN
tibilité magnétique croît lorsqu'on se rapproche de Tc
et diverge (un tout petit champ entraîne une aiman-
tation de plus en plus grande) selon ia loi :
L'aimantation spontanée qui apparaît dans la phase
I
ferromagnétique s'annule et son comportement au
voisinage de Tc est également caractérisé par un Température
exposant : FIG.2 . - Le point critique, point d'arrêt de la ligne de coexistence
des deux phases.
La longueur de corrélation, qui caractérise la taille 3 x 3, c'est-à-dire que n = 18, et la symétrie (brisée),
des régions où les moments magnétiques ont tendance celle du groupe O(3) x O(3) x U(1).
à s'aligner, diverge également selon la loi :
2. Modèles. - On connaît depuis Heisenberg le
mécanisme qui couple les moments magnétiques des
électrons dans un cristal : ce sont les forces d'échange.
K Rappelons que dans un système à 2 centres et à 2 élec-
Point critique trons, il y a une différence d'énergie entre les états de
spin total égal à un et l'état singulet car la fonction
d'onde d'espace doit être antisymétrique ou symé-
trique respectivement. Cette différence d'énergie peut
être reproduite par un Hamiltonien effectif
i
i
\
J l'intégrale d'échange mesure la distance entre
Volume
niveaux singulet et triplet. Lorsque J est positif,
FIG. 1. - Les isothermes d'un fluide. qui est le cas que nous considérons seul ici, l'état
triplet a une énergie plus basse. Ce couplage J décroît
Il y a bien d'autres aspects du même phénomène,
en général rapidement avec la distance des deux
d'autres exposants critiques que y, B ou v, mais nous
centres, de sorte qu'on est conduit à un modèle
renvoyons le lecteur intéressé à une revue plus
simple. Prenons un réseau périodique à dimensions ;
complète. Nous voudrions simplement insister sur
associons à chaque site i un spin Si, et supposons
le fait qu'à cette transition entre phase ordonnée et
qu'on puisse négliger les interactions d'échange entre
désordonnée ést en général associée une symétrie
sites non voisins. Nous arrivons ainsi à un Hamil-
brisée. C'est ainsi que l'aimantation spontanée d'un
tonien
ferromagnétique en choisissant une orientation brise
l'invariance par rotation, ou que la valeur non nulle
X = - J Sisj-hCSi
de la fonction d'ordre du condensat de l'hélium
i,j voisins
superfluide brise l'invariance de jauge. Cet ordre ou
symétrie brisée, sont caractérisés par un paramètre où h représente le couplage à un champ magnétique
d'ordre qui peut être un nombre unique ou un ensemble extérieur appliqué au système. Notons qu'il existe
de paramètres. C'est ainsi que pour les fluides ou les des forces dipôle-dipôle entre les spins mais qu'en
systèmes magnétiques uniaxes oh la structure cris- général elles sont beaucoup plus faibles que les
talline n'autorise d'aimantation spontanée que dans forces d'échange, de sorte que nous les avons négli-
une seule direction un seul nombre suffit. Par contre gées ici.
pour l'hélium superfluide, dont l'ordre est caractérisé Le problème est donc de calculer le logarithme de
par le module et la phase d'un nombre complexe, la fonction de partition (Log Tr e-PH) dans la limite
ou bien un ferromagnétique XY où l'aimantation d'un très grand réseau.. Ce problème de Heisenberg
n'apparaît que dans un plan, on est en présence n'a jamais pu être résolu; de nombreux résultats
d'un paramètre d'ordre à n = 2 composantes. Le cas sont connus à une dimension mais on sait depuis
ferromagnétique usuel correspond à un vecteur de Landau, qu'il ne peut exister de transitions de phase
l'espace à 3 dimensions et donc n = 3. Il existe des dans un système à une dimension (lorsque les forces
situations correspondant à d'autres valeurs de n; sont de portée finie). Rien n'est connu à trois, ni
c'est ainsi que si les phases supraconductrices de Y3He même à deux dimensions.
correspondent bien à un appariement dans l'onde p, L'une des complications du modèle de Heisenberg
le paramètre d'ordre serait i~nèm atrice complexe résulte de la nature quantique du problème. En effet
GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-3
les composantes Sa du spin à un site i donné ne plan conceptuel car elle ne donne aucune indication
commutent pas entre elles. Avant même de calculer sur les causes profondes du résultat ainsi obtenu,
la fonction de partition, il est donc difficile de diago- mais elle a néanmoins fourni au cours des années des
naliser le Hamiltonien. C'est pourquoi beaucoup indications précieuses dont l'analyse a été l'une des
d'efforts ont été consacrés à un modèle plus simple sources des progrès récents. Il s'agit en fait d'expé-
où on ne conserverait à chaque site que la composante riences numériques qui viennent compléter les véri-
Sf Ie long d'une seule direction. On a ainsi le modèle tables expériences.
de Lenz-Ising, qui représente une idéalisation d'un
système uniaxe où l'ordre spontané ne peut apparaître
que le long d'une seule direction. En 1944 Onsager
réussit (c'est une contribution historique) à résoudre
le problème ainsi posé mais en champ nul et à deux
dimensions. Depuis malgré des efforts considérables
le problème n'a jamais été résolu en champ non nul
et à trois dimensions. Mentionnons enfin le modèle
le plus compliqué qui ait été résolu à ce jour; c'est
celui de Baxter qui est équivalent à deux modèles
d'Ising à deux dimensions couplées. La solution FIG. 3. - Divergence de la susceptibilité magnétique au point de
Curie.
exhibe des propriétés remarquables et des progrès
récents ont montré l'analogie de ce problème avec
celui du modèle de Thirnng en théorie des champs.
Néanmoins, malgré l'immense ingéniosité déployée
nous sommes très loin, en dépit de la simplicité du
modèle, de la solution tri-dimensionnelle et en champ
que nous désirerions connaître. On est donc réduit à
employer des méthodes d'approximation.
La méthode du développement à haute température
est très simple dans son principe. Elle consiste à rem- Tc Température
placer le facteur de Boltzmann par son développement
en série tronqué à un certain ordre : FIG.4 . - L'aimantation spontanée en dessous du point de Curie.
3. La théorie de Landau. - La théorie de Landau
On en tire aisément un développement en série pour
des transitions de phase continues est une systémati-
les quantités physiques intéressantes, par exemple pour
sation des idées de champ moléculaire de P. Weiss
la susceptibilité
ou de la théorie d70rnstein-Zernike des corrélations
dans un fluide au voisinage du point critique. Soit en
effet, M = (Ml,. . . , M,J le paramètre d'ordre (l'ai-
mantation dans le langage ferromagnétique) caracté-
risant la transition.
ou encore pour la dérivée de son logarithme
(i) Au voisinage du point critique et si le champ
appliqué au système reste petit, l'aimantation 1 M 1
est faible, puisque nous sommes en présence d'une
transition continue (M s'annule à Tc).
Il s'agit évidemment d'étudier la position et la nature
(ii) La longueur de corrélation est très grande par
des singularités de la somme de cette série à partir de
rapport à la maille du réseau. On peut donc négliger
la connaissance d'un nombre fini de termes (en pra-
les fluctuations spatiales du paramètre d'ordre dont
tique les calculs les plus ambitieux - ils sont très
la longueur d'onde est petite et donc supposer 1 VM 1
longs - comportent au plus une vingtaine de termes).
Des méthodes d'extra~olationb ien connues, méthodes petit.
de rapports, approximants de Padé, etc. .. donnent la (iii) NOUS allons ici nous limiter au cas où il y a
position du pôle en T et son résidu qui reproduisent invariance par rotation M -+ ZM dans l'espace à
de façon approchée la température Tc et l'exposant n dimensions du paramètre d'ordre. Il n'en est évi-
critique y puisqu'on attend demment pas toujours ainsi, et une discussion séparée
doit être faite des systèmes ne possédant pas cette
d log X Y symétrie, mais pour simplifier nous n'étudierons ici
NdT T ~ TpT, - Tc ' que le cas le plus simple.
Cette méthode numérique est peu satisfaisante sur le (iv) Puisque 1 M 1 et 1 VM 1 sont petits, Landau
C7-4 E. BREZIN
suppose qu'on peut développer l'énergie libre en très petits, effets de bord, champs extérieurs faibles,
.
série double de puissance de M2 et (vM)' : inhomogénéités, etc..
Il est facile d'extraire quelques conséquences des
éq. (1-4). C'est ainsi que le minimum M,, est propor-
tionnel à de sorte que l'on trouve
3 .
M,, = Mo(Tc - T)B avec /3 = (5)
Rappelons que le champ magnétique appliqué se
déduit de l'énergie libre exprimée en fonction de De même au-dessus de Tc en champ faible on a
+
l'aimantation M par différentiation : h = 2 aM c'est-à-dire que la susceptibilité
x = M/h est pS..r, oportionnelle à lia. Par conséquent
Landau prédit, comme P. Weiss, qu'on a une loi de
Curie simple
L'hypothèse (1) permet de décrire toutes les pro- x = xo(T - Tc)-? avec y = 1 . (6)
priétés statiques du système mais nous ne ferons que
choisir quelques exemples. En particulier nous nous On pourrait encore très aisément déduire d'autres
limiterons au cas d'un champ statique homogène h(x) propriétés de cette théorie, par exemple que la lon-
indépendant de x. gueur de corrélation diverge comme
Il y a alors invariance par translation, l'aimantation
est également constante et on peut écrire l'énergie 5 = 5,(T - Tc)-' avec v = 3 ,
libre par unité de volume
mais nous arrêterons là ces calculs. Il est grand
temps de comparer ces résultats à l'expérience.
4. Résultats expérimentaux, lois d'échelle et univer-
Supposons que lorsque la température varie le para- salité. - Nous avons porté sur le tableau 1u n certain
mètre a de l'éq. (3) puisse changer de signe, alors que nombre de résultats théoriques ou expérimentaux
b reste positif. On a alors les deux possibilités indi- concernant les deux exposants dont nous avons parlé
quées sur la figure 5. précédemment. La première et la deuxième colonnes
contiennent des résultats expérimentaux concernant
des fluides (n = 1) ou des ferromagnétiques (n = 3) ;
les incertitudes sur ces données sont de quelques %.
Fluides Ferromagnétiques Onsager
n = l n = 3 (d = 2) n = co Landau
- - - - -
Y 125 1,42 -47 2 1
B 033 0,38 -1 -1 -1
FIG. 5. -L'énergie libre en fonction du module du paramètre
d'ordre.
Puis viennent les résultats exacts d'onsager à deux
dimensions, les résultats exacts d'un modèle résolu
En champ nul, l'éq. (2) nous indique que nous par Berlin et Kac (qui correspond en fait à une limite
devons chercher les valeurs du paramètre d'ordre 1 M 1 dans laquelle le nombre de composantes du paramètre
qui correspondent à un extrémum de J; la solution d'ordre tend vers l'infini) et enfin les prédictions de la
stable étant évidemment celle qui minimise f. On théorie de Landau.
voit que pour a > O ce minimum ne conduit à aucune
aimantation, mais que pour a < O on a bien une Ce tableau appelle plusieurs remarques.
aimantation spontanée M,,. Il est donc naturel de 1) La théorie de Landau est qualitativement cor-
poser que a s'annule avec (T - Tc) et puisque a > O recte mais elle n'est pas exacte.
décrit bien T > Tc 2) Les exposants varient lorsque la dimension d
change alors que la théorie de Landau ne prévoit pas
a = ao(T - Tc) avec a, > 0. (4) cette variation. En fait le modèle n = CO peut être
résolu pour toute valcyr de d et conduit au résultat
On voit ainsi apparaître dans la phase de basse tempé-
rature une symétrie de rotation spontanément brisée.
Seul le module de M est fixé; toutes les directions
sont équivalentes et en pratique le système s'orientera
dans une direction fixée par des paramètres extérieurs
GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-5
3) Les exposants varient avec n alors qu'ils n'en
dépendent pas dans la théorie de Landau.
Il y a donc là plusieurs difficultés sérieuses. Il est
légitime enfin de s'interroger sur la signification sur le
tableau 1 des mots JEuides ou jërromagnétiques. De
quel fluide s'agit-il ? de CO2 dont le point critique
est à 31 OC ou de l'He où il est à 4 K. Est-ce un gaz
rare ou bien de l'oxygène ? De même pour les ferro:
magnétiques, quelle est la nature du réseau, la portée
des interactions, le nombre d'atomes par maille, le
.
spin, etc.. ? La réponse à ces questions est qu'il
semble bien qu'il ne soit pas nécessaire de préciser de
quel fluide ou de quel ferromagnétique il s'agit. Les
tableaux II et III donnent les résultats d'expériences FIG.6 . - Le réseau des variables de bloc.
réelles concernant un certain nombre de fluides très
x
différents et d'expériences numériques obtenues par alors la transformation t -+ At transforme en APY X.
extrapolation de série de haute température sur un Ceci ne serait pas vrai si l'on avait des Log t ou bien
...
Hamilt,onien de Heisenberg. Dans ce dernier cas, il des e-Xt, etc
est possible de faire varier la nature du réseau cris- (ii) Le système dépend, en principe, de deux varia-
tallin ainsi que le spin que l'on place en chaque site bles thermodynamiques, par exemple la température
du réseau depuis le spin 3 jusqu'à une valeur très et le champ appliqué. L'aimantation s'en déduit :
élevée où on n'a plus en fait qu'un vecteur classique. c'est l'équation d'état magnétique M = M(H, T). On
constate en fait que cette relation est invariante dans
la transformation d'échelle :
Il est facile d'en déduire qu'en fait cette équation
d'état devient une relation entre deux variables au
lieu de trois :
TABLEAIUII
Résultats obtenus
pour le modèle de Heisenberg par Ritchie et Fisher
Expérimentalement cela se met en évidence en véri-
Spin
-21 1 -32 -52 CO fiant que si l'on change les valeurs de la température
Réseau et du champ de manière que t/M ne soit pas modifié
- - - - - - alors H/M6 est également invariant.
+ +
f.c.c. 1,43 3 1,38 f 2 1,38 2 1,38 f 2 1,38 f 1
+ + (iii) Ces relations d'homogénéité impliquent égale-
b.c.c. 1,38 5 4 1,43 5 1,38 4 1,36 _+ 3 1,39 f 1
ment des relations entre exposants critiques. Mon-
S.C. 1,4252 1,43+_3 1,41f2 1,39f2 1,37+_1
trons-le sur un exemple : lorsque Test supérieur à Tc
on sait que H et M sont proportionnels pour H petit.
(sP)
On voit donc apparaître le concept d'universalité Cela implique que f (t/M1IB) se comporte, lorsque
que nous préciserons dans un instant. -t P(6+ 1) .
Mais alors on
L'analyse des résultats expérimentaux précis et M l'a
-+
nombreux disponibles depuis une quinzaine d'années voit que
a conduit Widom-Kadanoff et d'autres à constater
que, dans le domaine critique, le système présentait
des lois d'échelle (on devrait dire, mais c'est trop
long, de covariance par transformation d'échelle) que
+
nous allons présenter. On en déduit donc que y = P(6 1). De façon
générale on peut montrer qu'il n'existe que deux
(i) Remarquons d'abord qu'un comportement de
exposants indépendants.
puissance est une loi d'échelle. En effet, si l'on a
L'ensemble de ces constatations a donc conduit à
la formulation de l'hypothèse d'invariance d'échelle
et universalité et on est donc amené à postuler que le
comportement critique, c'est-à-dire les exposants,
C7-6 E. BREZIN
...
l'équation d'état, les fonctions de corrélation, etc présente aucune difficulté mais qu'il serait trop long
ne dépendent que : d'exposer ici.
- de la dimension d de l'espace, Regardons la première correction à la théorie de
- et du nombre n de composantes du paramètre Landau obtenue de cette façon en ce qui concerne,
par exemple, la susceptibilité magnétique; au voisi-
d'ordre.
nage de Tc on trouve :
Il reste à comprendre quel est le mécanisme qui
engendre ces lois d'échelle et cette universalité, com-
ment le fait de faire varier les paramètres de l'interac-
tion peut laisser le résultat invariant. Il nous faut
aussi savoir calculer ces quantités universelles. L'hy-
pothèse de l'invariance d'échelle a réduit le problème. (8)
Il suffit de connaitre deux exposants mais rien
où g est le coefficient du terme en M4 de l'interaction.
n'indique leur valeur. De plus nous voulons pouvoir
Pour le modèle gaussien g s'annule ; on n'avait donc
calculer l'équation universelle d'état, les fonctions de
pas de correction à la théorie de Landau. Il faut noter
corrélation, etc. .. Le groupe de renormalisation nous également que les termes plus élevés en M6, 1 VM 14,
permettra de comprendre l'universalité et l'invariance etc ... n'apparaissent pas au voisinage de Tc. L'inté-
d'échelle et de calculer (approximativement) les quan-
grale porte sur le vecteur d'onde q qui caractérise les
tités universelles. Mais d'abord, il nous faudra revenir variations spatiales de M. Cette intégrale est donc
à la théorie de Landau et comprendre pourquoi elle bornée supérieurement par un nombre A dont l'ordre
est en défaut afin de dégager la nature du problème.
de grandeur est déterminé par l'inverse de la maille a
du réseau.
5. Corrections à la théorie de Landau. Rôle de la
L'analyse de ce résultat est maintenant très diffé-
dimension quatre. - Nous allons. maintenant tenter
de construire les corrections à la théorie de Landau rente selon la valeur que prend la dimension d de
et montrer que c'est un problème difficile lorsque la l'espace :
dimension de l'espace est inférieure à quatre. L'hypo- (i) d > 4 : L'intégrale
thèse centrale de la théorie de Landau est qu'on peut
connaître directement par un développement l'énergie
libre en fonction du paramètre d'ordre. Or, on sait
bien que pour déterminer l'équilibre thermique d'un
système il faut faire en réalité une somme, sur toutes a une limite lorsque T tend vers Tc puisque
les distributions possibles du paramètre d'ordre, des
facteurs de Boltzmann associés à cette distribution :
{- -&
eëPfkT= exp J ~x[(T- rC)M ~(X+) converge.
(Ml Par conséquent la correction présente le même
\
comportement que le terme principal :
- .
Cette somme sur toutes les variations spatiales de M x-'
de sorte que est proportionnel à (T - Tc). Le
possibles a, pour être précis, le sens suivant : on
coefficient qui relie X-' à (T - Tc) est modifié par
intègre le coefficient de Fourier de chaque longueur
cette correction, mais l'exposant y qui gouverne cette
d'onde spatiale de M qui peut varier arbitrairement.
singularité reste fixé à un.
Bien entendu il existe une longueur d'onde minimum
Il n'est pas bien difficile d'étendre cette analyse à
fixée par la maille a du réseau. Notons que ces diffé-
tous les ordres successifs de la théorie des perturbations
rentes composantes de Fourier sont couplées entre
. et donc de conclure ainsi qu'au-dessus de quatre
elles par l'intermédiaire des termes en M4, M6, etc.. ;
dimensions la théorie de Landau est exacte.
s'ils n'étaient pas présents on pourrait effectuer très
simplement la somme (modèle gaussien). (ii) d < 4. L'intégrale
1i est facile maintenant de comprendre à quelle
approximation correspond la théorie de Landau :
elle suppose M(x) fixé à la valeur M,,, qui rend l'ar-
gument de l'exponentielle minimum.
Pour aller au-delà donc de cette approximation, diverge lorsque T s'approche de Tc ; elle est en fait
l'idée la plus naturelle consiste à développer I'argu- proportionnelle à (T - Tc)-1/2(4-d'.P ar conséquent,
ment de l'exponentielle au voisinage de Mm et de lorsqu'on se rapproche de Tc, la première correction
calculer ainsi la systématique des corrections. On l'emporte sur le terme de Landau. Aux ordres supé-
obtient par cette méthode une théorie de perturbations rieurs la situation ne fait qu'empirer; les termes
qui obéit à des règles simples dont l'établissement ne successifs sont de plus en plus divergents et la théorie
GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-7
des perturbations même si g est très petit n'a aucun les effets seront coopératifs et qu'on pourra négliger
sens au voisinage de Tc. les configurations oh les 4 spins ne sont pas dans le
(iii) d = 4. Notons qu'à d = 4 l'intégrale en ques- même état. On ne retient donc que deux possibilités
tion diverge logarithmiquement et qu'on a aussi une parmi les 16 et on définit une variable
théorie des perturbations dépourvue .de sens au
voisinage de Tc puisque :
dont on suppose donc qu'elle ne peut prendre que
les valeurs f i. Ces variables de bloc S' forment un
réseau dont la maille 2 a est deux fois celle dont on est
Nous comprenons ainsi pourquoi la théorie de parti. Kadanoff ajoute ensuite que si l'interaction
<
Landau n'est pas valable pour d 4, mais nous initiale s'écrit
voyons aussi que le problème n'est pas simple car
C
lorsque la théorie des perturbations ne s'applique pas, X = - J Sisj
il est très difficile de s'en sortir. C'est une situation voisins
qui rappelle celle que l'on trouve dans la théorie des les variables de bloc interagissent également selon
interactions fortes. Cette difficulté explique que, 1'Hamiltonien
pendant si longtemps, le problème soit resté sans C s ; ~ !
solution. La méthode du groupe de renormalisation X' = - J' J
Voisins
comme l'a montré Wilson a apporté la réponse à
On a donc une transformation
ces questions.
6. Le groupe de renormalisation. . 6.1 PRÉ-
-
LIMINAIRES. - Curieusement, ce sont des raisons tech-
Nous reviendrons plus loin sur les conséquences de
niques, qui ne révèlent certainement pas l'importance
l'existence d'une telle transformation.
des concepts sous-jacents, qui guidèrent les pionniers
du groupe de renormalisation. En effet, en étudiant
l'électrodynamique des particules chargées de masse 6.2 L'ANALYDES WE ILSON-. L'analyse de Wilson
commence par noter qu'en réalité la méthode de
nulle, Gell-Mann et Low s'aperçurent qu'on ne
Kadanoff n'est pas correcte : non seulement 14 des
pouvait plus définir des quantités physiques telles
16 configurations du bloc sont négligées mais en
que la charge sans introduire dans le système un
réalité les blocs de spin ont des interactions plus
paramètre arbitraire, sans influence sur la physique,
compliquées que les spins initiaux; les premiers
mais nécessaire pour éviter les divergences infra-
voisins, mais aussi des voisins plus éloignés sont
rouges. Ce n'est qu'une quinzaine d'années plus tard
couplés et donc l'itération doit porter nécessairement
que la question fut reprise par Wilson et presque
sur un plus grand nombre de paramètres.
simultanément par C. Callan et K. Symanzik. Le
Pour construire de façon maintenant correcte cette
problème étudié concernait les théories de champ
transformation entre paramètres, Wilson a introduit
ne contenant classiquement aucun paramètre dimen-
le concept de la réduction du nombre de degrés de
sionné. Ces théories sont évidemment invariantes
liberté. Partant de l'idée, déjà présente dans Landau,
d'échelle, mais on peut voir que les fluctuations
que les fluctuations de courte longueur d'onde de
quantiques brisent cette invariance. L'étude de ce
paramètre d'ordre sont négligeables (qui est également
problème les conduisit rationnellement aux équations
présente chez Kadanoff lorsqu'il néglige les fluctua-
de groupe de renormalisation dont les conséquences
tions à l'intérieur d'un bloc) Wilson montre que l'on
sont que si l'invariance d'échelle est bien brisée,
peut calculer la somme (7) sur toutes les distributions
elle peut être néanmoins asymptotiquement restaurée
du paramètre d'ordre par un processus itératif :
dans le cas où il y a un point fixe comme nous allons
La somme initiale porte, comme nous l'avons
le montrer plus loin. -
dit, sur toutes les amplitudes de la décomposition de
A la source des idées développées par Wilson, il y a
donc cette nouvelle analyse du travail de Gell-Mann Fourier du paramètre d'ordre
et Low mais aussi un travail de L. Kadanoff sur le
modèle d71sing. La méthode de Kadanoff des blocs
-
de spin n'est pas correcte, mais elle contient en germe
les caractéristiques de toutes les méthodes de groupe où (k) est borné par A lla.
de renormalisation, c'est-à-dire la modification du - On effectue la somme sur toutes les composantes
Hamiltonien sous l'effet d'un changement d'échelle. de courte longueur d'onde, c'est-à-dire de vecteur
L'idée est très simple. Considérons dans un d'onde compris entre A et ;L1 où A est un nombre
d'king près du point critique 4 spins voisins. C% aadqèulee arbitraire donné inférieur à 1.
spin peut prendre les valeurs f i, il y a donc 24 confi- - On écrit alors 1'Hamiltonien qui couple les
gurations possibles. Or la longueur de corrélation composantes de Fourier restantes k < AA.
étant très grande, on peut penser qu'à petite échelle On obtient ainsi une loi de transformation par
C7-8 E. BREZIN
changement de l'unité de longueur, des paramètres En effet on peut faire une dilatation de la maille du
caractérisant le Hamiltonien : réseau (ou une contraction de son inverse A)
a a/l
-+
.
X -+ XA= RA(X) (10) en laissant les paramètres renormalisés tR et gR
C'est un point de vue légèrement différent qui va fixes.
maintenant être développé. Les paramètres initiaux t et g sont modifiés puisqu'ils
Revenons au Hamiltonien (7) écrit en termes du dépendent de tR, g, et A mais la théorie renormalisée
paramètre d'ordre M : est invariante puisqu'elle ne dépend pas de A. Donc
la théorie renormalisée est équivalente à la fois aux
deux théories (t, g, A) et (t(l), g(l), lA), qui sont
donc elles-mêmes équivalentes.
Nous reconstruisons aussi l'équivalent du groupe
On peut montrer par des considérations dimension-
de renormalisation (10) c'est-à-dire que nous mon-
nelles simples que les couplages plus élevés M6,
trons qu'un changement d'échelle induit une modi-
M4 VM~,e tc. .., ne jouent pas de rôle au voisinage
fication des paramètres du Hamiltonien.
de Tc. On a donc 3 paramètres pour décrire toutes
les quantités physiques : 6.3 CONSÉQUENCEDES L'EXISTENCE D'UN GROUPE
- la distance t à Tc DE RENORMALISATION. - Examinons maintenant les
- le couplage g conséquences de ce groupe de transformation. Pre-
l'inverse A de la maille élémentaire a. nons pour fixer les idées la susceptibilité magnétique
-
La région critique correspond à t petit (en unités x(t, g, A). Des considérations ci-dessus découle la
propriété de transformation d'échelle
données par A) et aussi, lorsqu'il s'agit par exemple
de calculer des fonctions de corrélation à des distances
grandes par rapport à a, ou bien en transformée de
Fourier des vecteurs d'onde petits par rapport à A.
où /Z est arbitraire et où l'évolution par dilatation de
Par conséquent la région critique sera décrite par une
t(l) et g(l) est calculable (en théorie des perturbations)
limite où A est beaucoup plus grand que toutes les
c'est ainsi que par exemple,
autres quantités (de même dimension) du problème.
Or la limite A + co de ce problème a été étudiée
depuis longtemps, elle est donnée par la théorie de
renormalisation qui a conduit au résultat suivant :
Lorsque d est inférieur ou égal à 4 dans la limite et les premières puissances du développement de B
A -+ co la théorie est équivalente à une théorie à deux en puissances de g sont connues.
paramètres seulement. L'équivalence entre les deux Quel est l'intérêt de l'éq. (1 1) ? Pour le comprendre
théories consiste en : reprenons le résultat que nous avions obtenu précé-
(i) Un changement de paramètres demment pour la dimension quatre en théorie des
perturbations :
t, 9, t~ 9,
-+
et la relation entre paramètres nus et renormalisés est
calculable (en théorie des perturbations) :
La difficulté du développement (13) vient nettement
de,ce que, même si g est petit, au voisinage de t = O
ce développement perturbatif n'est pas valable à
(ii) Un changement de normalisation du paramètre
d'ordre cause ' du Ln t/A2. Or, reprenons l'égalité (1 1) ;
/Z y est arbitraire et nous allons choisir sa valeur pour
M+MR =Z-1'2M.
que le transformé de Ln t/A2 qui est Ln t(l)/12 A2
La théorie physique dans le problème que nous
considérons est bien la théorie nue mais la théorie
renormalisée est introduite pour pouvoir comprendre
l'effet d'une transformation d'échelle :
FIG. 7. -Point fixe attracteur pour le comportement a longue
distance.
GROUPE DE RENORMALISATION APPLIQUÉ A LA THÉORIE DES TRANSITIONS DE PHASE C7-9
reste fixé. Nous utilisons ainsi l'arbitraire de la trans- Dans l'hypothèse donc où il y a un point fixe
formation d'échelle pour sotiir de la région critique unique attracteur on obtient un comportement uni-
singulière. On peut se convaincre par un calcul simple versel
que fixer t(Â)/A2 A2, alors que t(l)/A2 est très petit,
impose à la valeur de A correspondante,d e tendre
vers zéro. avec y = v(2 - q).
Evidemment le problème est de savoir ce qui arrive Par conséquent, nous sommes arrivés à comprendre
dans cette transformation à la constante de couplage ainsi le mécanisme qui engendre l'universalité et à
g(Â). Si au fur et à mesure que nous nous éloignons montrer l'existence de lois d'échelle. On peut montrer
de la région singulière g(Â) croît, nous avons bien du par des arguments semblables que toutes les lois
mal à tirer de l'éq. (11) des conséquences utilisables. d'échelle statiques qui avaient été postulées par
Par contre, si g(A) tend vers une constante, nous Widom-Kadanoff,e tc.. . sont les conséquences simples
allons voir que l'éq. (11) est alors très intéressante. de cette méthode du de renormalisation
Mentionnons la situation idéale de liberté asympto- pourvu qu'il y ait bien un point fixe stable.
tique où g(Â) décroît et tend vers zéro lorsqu'on
<
s'éloigne de la région singulière; c'est une situation 6.4 EXISTENCED 'UN POINT FIXE POUR d 4 ;
particulièrement agréable puisqu'elle supprime les DÉVELOPPEMENTE N E. - Commençons par quelques
problèmes liés aux singularités logarithmiques et considérations dimensionnelles élémentaires. Puisque
nous permet cependant d'utiliser la théorie des per- H/kT est sans dimension, cela implique que le para-
turbations. Il existe effectivement un cas physiqùe où mètre d'ordre en unité de longueur inverse a la
c'est cette situation qu'on rencontre ; nous y revien- dimension
drons plus tard.
Examinons donc I'évolution de la constante de
couple en fonction du paramètre de dilatation et on tire aisément
Igl=[L-1l d-4 .
Pour d = 4, g est donc sans dimension. Lorsqu'on
et supposons que la fonction P-du second membre fait une transformation d'échelle infinitésimale, il
se trouve s'annuler en croissant pour g = g*. est facile de se convaincre qu'au premier ordre g
Nous voyons que : n'est pas modifié et donc l'équation d'évolution de g
(i) si g < g*, P(g), et donc dg/dÂ, est négatif; se présente sous la forme
donc g augmente lorsque  diminue-;
(ii) si g > g*, dg/& est positif et g diminue avec A.
Par conséquent, il y a toute une plage de valeurs
initiales de g qui est attirée vers lepointfixeg * lorsque A Un calcul élémentaire montre que b est positif;
tend vers O. on voit que la valeur g* = O correspond à un point
Reprenons, en continuant à supposer l'existence . fixe et pour  petit la résolution de l'équation diffé-
d'un point fixe g*, l'éq. (1 1). Des considérations rentielle entraîne que g tend vers zéro avec  :
dimensionnelles élémentaires nous tirons que
Cela justifie d'ailleurs le fait que nous ayons pu
Nous avons. supposé A choisi de manière que le
négliger les termes de degré plus élevé que g2 dans
rapport sans dimension t(Â)/Â2 A2 soit fixé par
l'équation d'évolution de g(A). Nous reconnaissons
exemple à la valeur un. Par conséquent
ici la situation de liberté asymptotique du comporte-
ment à longue distance. Des calculs très simples
montrent l'influence sur les quantités physiques (nous
sommes toujours en dimension quatre) du compor-
Le second membre est donc une quantité fixe et
tement de g(A). C'est ainsi que l'on trouve que la
universelle car il ne dépend pas de g mais de g*. Des
susceptibilité se comporte comme
considérations tout à fait semblables à celles que nous
avons utilisées pour la discussion de g(A) permettraient
de montrer que la condition t(A)/A2 A2 = 1 implique
La théorie de Landau, x-l = xi1 t, est donc presque
valable mais avec tout de même des déviations
logarithmiques.
Pour d inférieur à quatre, les choses se compliquent
car g n'est plus sans dimension. C'est pourquoi
où v et q ne dépendent que de g*. lorsqu'on fait une transformation d'échelle il y a