Le dipôle électrostatique

12 Pages·2008·0.28 MB·French

Cours d’électromagnétisme

Le dipôle électrostatique

1 Définition, potentiel et champ créés

1.1 Définition du dipôle électrostatique

On appelle dipôle électrostatique le système constitué de deux charges ponctuelles opposées
–(cid:2)
et situées en deux points et distants de et tels que soit très petite devant les
aut(cid:2)res distances envisagées.(cid:3) (cid:4) (cid:5) (cid:5) (cid:6) (cid:3)(cid:4)

1.2 Moment dipolaire

On définit alors le moment dipolaire (FIGURE 1) de la distribution par le vecteur :

(cid:7)(cid:8) (cid:6) (cid:2)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:8)

FIGURE 1 Moment dipolaire

L’unité de cette quantité est donc, dans les unités du Système International, le coulomb
mètre ( ).
C.m
Compte-tenu des ordres de grandeur1, on préfère souvent donner les moments dipolaires en
debye de symbole : .
(cid:20)(cid:21)(cid:22)
D 1 D (cid:6) 3,336.10 C.m
On peut aussi noter qu’un dipôle électrostatique est la limite d’un ensemble de deux charges
ponctuelles et placées en et tel que la distance tend vers zéro tandis que le
–(cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:4) (cid:3)(cid:4)
moment dipolaire reste constant et fini.
(cid:7) (cid:6) (cid:2)(cid:3)(cid:4)

1 Cette unité n’est pas adaptée aux ordres de grandeur rencontrés en chimie.
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1.3 Potentiel électrostatique créé par un dipôle

- Invariances et symétries du dipôle :

On utilise les coordonnées sphériques pour décrire le problème. La distribution est
invariante par rotation autour de l’axe du dipôle, donc le champ électrostatique et le
(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
potentiel électrostatique ne dépendent pas de .
(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:28)
Pour tenir compte de ces propriétés, on se place en coordonnées sphériques dans un plan
méridien (FIGURE 2) ou plan tel que et on utilise les coordonnées polaires
(cid:28) (cid:6) (cid:29)(cid:30)(cid:31) !(cid:5)(cid:31)!"
dans ce plan (c’est-à-dire les deux autres coordonnées sphériques et ).
# $

FIGURE 2 Coordonnées sphériques (à gauche) et base locale sphérique (à droite)

- Calcul du potentiel créé par un dipôle :

Le potentiel créé en par le dipôle est égal d’après ce qu’on a écrit précédemment à :
(cid:25)
1 ((cid:2) 1 (cid:2) (cid:2) 1 1
(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:6) ) (cid:6) * ( +
4&'(cid:22)(cid:25)(cid:3) 4&'(cid:22)(cid:25)(cid:4) 4&'(cid:22) (cid:25)(cid:4) (cid:25)(cid:3)
On appelle le milieu du segment .
, -(cid:3)(cid:4).
On se place en coordonnées polaires d’origine dans un plan contenant le point et la
, (cid:25)
droite sans perdre en généralité du fait de la symétrie autour de cette droite (FIGURE
3). (cid:24)(cid:3)(cid:4)(cid:26)

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FIGURE 3 Moment dipolaire

On obtient :

/
/ (cid:5) (cid:5)
(cid:24)(cid:25)(cid:4)(cid:26)/ (cid:6) 0(cid:25)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9),(cid:9)(cid:8)),(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:8)1 (cid:6) (cid:25),/ ),(cid:4)/ )2(cid:9)(cid:25)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9),(cid:9)(cid:8).,(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:8) (cid:6) #/ ) (2# cos$
4 2
D’où :

8
1 1 (cid:5) (cid:5)/ (cid:20)/
(cid:6) 61( cos$) 7
/
(cid:25)(cid:4) # # 4#
Comme le point est « loin » de la distribution, on a et on peut effectuer un
développement lim(cid:25)ité de la relation précédente : (cid:5) 9 #

1 1 1(cid:5) (cid:5)
(cid:6) 61( cos$)o: ;7
(cid:25)(cid:4) # 2# #
Ce qui permet d’obtenir l’expression du potentiel dans le cadre de l’approximation
considérée (au premier ordre en ) :
<
=
(cid:2) 1 1(cid:5) 1(cid:5) (cid:2)(cid:5)cos$
(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:6) *1) cos$ (1) cos$+ (cid:6)
/
4&'(cid:22)# 2# 2# 4&'(cid:22)#
Or et >(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)?(cid:9)(cid:9)(cid:8) donc :
(cid:2)(cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:7)cos$ (cid:6) (cid:7)(cid:8).
>?
B(cid:9)(cid:9)(cid:8).C(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)A(cid:9)(cid:9)(cid:8) BIJKL
@(cid:24)A(cid:26) (cid:6) (cid:6)
H N
DEFGCA DEFGM

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1.4 Champ électrostatique créé par un dipôle

- Invariances et symétries du dipôle :

Du fait des invariances déjà étudiées et de l’indépendance par rapport à , on se place dans
(cid:28)
un plan contenant le point et l’axe du dipôle et on utilise les coordonnées polaires dans ce
plan. (cid:25)

De plus, tout plan contenant cet axe est un plan de symétrie des sources donc le champ
électrostatique appartient à ce plan.
(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:25)(cid:26)
- Expression du champ créé :

On déduit l’expression du champ électrostatique du potentiel à partir de la relation :

(cid:23)(cid:9)(cid:8) (cid:6) (g(cid:9)(cid:9)(cid:9)r(cid:9)(cid:9)a(cid:9)(cid:9)d(cid:9)(cid:8)(cid:27)
et de l’expression obtenue pour le potentiel :

(cid:7)cos$
(cid:27)(cid:24)(cid:25)(cid:26) (cid:6)
/
4&'(cid:22)#
En coordonnées polaires2 :

V(cid:27) 2(cid:7)cos$
U(cid:23)= (cid:6) ( (cid:6) (cid:21)
V# 4&'(cid:22)# Z
1V(cid:27) (cid:7)sin$
T
(cid:23)W (cid:6) ( (cid:6) (cid:21)
S # V$ 4&'(cid:22)#
Donc :

\ NBIJKL \ BK^_L
[(cid:9)(cid:9)(cid:8)(cid:24)A(cid:26) (cid:6) H ](cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)M(cid:8)) H ](cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)L(cid:8)
DEFG M DEFG M
Ce champ peut également s’écrire :

\ H0B(cid:9)(cid:9)(cid:8).C(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)A(cid:9)(cid:9)(cid:8)1C(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)A(cid:9)(cid:9)(cid:8)(CANB(cid:9)(cid:9)(cid:8)
[(cid:9)(cid:9)(cid:8)(cid:24)A(cid:26) (cid:6)
`
DEFG CA

2 On rappelle, en coordonnées cylindriques, l’expression du gradient :

Va(cid:24)#,$,b(cid:26) 1Va(cid:24)#,$,b(cid:26) Va(cid:24)#,$,b(cid:26)
g(cid:9)(cid:9)(cid:9)r(cid:9)(cid:9)a(cid:9)(cid:9)(cid:9)d(cid:8)a(cid:24)#,$,b(cid:26)(cid:6) c(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)=(cid:8)) c(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)W(cid:8)) c(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)d(cid:8)
V# # V$ Vb
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Il suffit par exemple d’écrire que et d’identifier au produit scalaire de par
3 (cid:6) 2(1 (cid:7)cos$ (cid:7)(cid:8)
le vecteur unitaire directeur de et à la projection de dans la
base . ,(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:25)(cid:9)(cid:9)(cid:8) (cid:7)cos$(cid:9)c(cid:9)(cid:9)(cid:9)=(cid:8))(cid:7)sin$(cid:9)c(cid:9)(cid:9)(cid:9)W(cid:8) (cid:7)(cid:8)
(cid:24)(cid:9)c(cid:9)(cid:9)(cid:9)=(cid:8),c(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)W(cid:8)(cid:26)
Le potentiel créé par le dipôle décroît en et le champ en alors que pour une charge
8 8
=e =f
ponctuelle, ils décroissent respectivement en et : les effets d’un dipôle se font ressentir à
8 8
moins grande distance que ceux d’une charge =seule=.e

Champ et potentiel électrostatique s’expriment en fonction du moment dipolaire et non en
(cid:7)(cid:8)
fonction de et de séparément : le moment dipolaire est la grandeur caractéristique du
dipôle. (cid:5) (cid:2)

1.5 Lignes de champ

On cherche les lignes tangentes au champ électrostatique en tout point en utilisant la
relation :

(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:25)(cid:26)gd(cid:9),(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:25)(cid:9)(cid:9)(cid:8) (cid:6) (cid:9)0(cid:8)
qu’on écrit en coordonnées polaires :

(cid:23)= d# 0
h(cid:23)Wigh#d$i (cid:6) h0i
0 0 0
soit :

#(cid:23)=d$ (cid:6) (cid:23)Wd#
On obtient :

2(cid:7)cos$ (cid:7)sin$
d$ (cid:6) d#
/ (cid:21)
4&'(cid:22)# 4&'(cid:22)#
En séparant les variables, on en déduit :

d# cos$d$ d(cid:24)sin$(cid:26)
(cid:6) 2 (cid:6) 2
# sin$ sin$
Soit après intégration :

ln# (cid:6) 2ln|sin$|)l
ou en prenant l’exponentielle :

N
M (cid:6) mK^_ L
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Où est une constante.
D’oùn l’allure des lignes de champ :

FIGURE 4 Lignes de champ du dipôle électrostatique

1.6 Equipotentielles

Elles sont définies par l’ensemble des points ayant le même potentiel soit

(cid:7)cos$
(cid:27) (cid:6) (cid:27)(cid:22) (cid:6) (cid:21)
4&'(cid:22)#
donc :

M (cid:6) op|IJKL|
où est une constante.
D’oqù l’allure des équipotentielles :

FIGURE 5 Equipotentielles du dipôle électrostatique

1.7 Tracé du diagramme électrique

On peut superposer les deux tracés précédents sur un même diagramme électrique (FIGURE
6).

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FIGURE 6 Diagramme électrique du dipôle électrostatique

REMARQUES :

On peut formuler les remarques suivantes :
- Lignes de champ et équipotentielles sont en tout point de l’espace orthogonales.
- La zone où se trouve le dipôle est une zone où les calculs précédents ne sont pas
valables, ils ne donnent pas l’allure des lignes de champ ou des équipotentielles : on
n’est pas suffisamment « loin » de la distribution. Cette zone a été noircie sur la
représentation.

(cid:1)(cid:1)(cid:1)

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2 Action d’un champ extérieur sur un dipôle

2.1 Cas d’un champ uniforme

On s’intéresse tout d’abord à l’action subie par un dipôle dans un champ électrostatique
uniforme en déterminant la force et le moment qu’il subit.

2.1.1 Force exercée sur un dipôle par un champ électrostatique extérieur
uniforme

La force qui s’exerce sur un dipôle électrostatique est la somme des forces qui s’exercent sur
chacune des deux charges. On peut noter que la force d’interaction entre les deux charges
constituant le dipôle donne une contribution nulle par le principe des actions réciproques.
Donc :

r(cid:8) (cid:6) (cid:2)(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:4)(cid:26)((cid:2)(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:3)(cid:26)
Si le champ est uniforme, et :
(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:4)(cid:26) (cid:6) (cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:3)(cid:26)

s(cid:9)(cid:9)(cid:8) (cid:6) G(cid:9)(cid:9)(cid:8)
Un champ électrostatique uniforme n’exerce pas de force sur un dipôle
électrostatique.

2.1.2 Moment exercé sur un dipôle par un champ électrostatique extérieur
uniforme

De la même manière, le moment qui s’exerce sur le dipôle est :

t(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:8)(cid:22) (cid:6) ,(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:8)g(cid:2)(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:4) (cid:26)(,(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:9)(cid:8) g(cid:2)(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:3)(cid:26)

t(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:8)(cid:22) (cid:6) (cid:2)0(cid:9),(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:8) (,(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:9)(cid:8)1g(cid:23)(cid:9)(cid:8)

t(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:8)(cid:22) (cid:6) (cid:2)(cid:9)(cid:3)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:8) g(cid:23)(cid:9)(cid:8)

u(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:8)G (cid:6) B(cid:9)(cid:9)(cid:8)g(cid:9)[(cid:9)(cid:8)
On notera que le moment obtenu est indépendant du point où on le calcule.

2.1.3 Analyse quantitative de l’action d’un champ électrostatique extérieur
uniforme sur un dipôle

L’action d’un champ électrostatique extérieur uniforme sur un dipôle se réduit à un couple de
moment :

t(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:8)(cid:22) (cid:6) (cid:7)(cid:8)g(cid:23)(cid:9)(cid:8)
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En notant l’angle entre et et un vecteur unitaire perpendiculaire à et , le couple
s’écrit : $ (cid:7)(cid:8) (cid:23)(cid:9)(cid:8) v(cid:9)(cid:8) (cid:7)(cid:8) (cid:23)(cid:9)(cid:8)

t(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:8)(cid:22) (cid:6) (cid:7)(cid:23)sin$v(cid:9)(cid:8)
D’après le théorème du moment cinétique, on aura un état d’équilibre si le moment des
forces est nul donc si , à savoir si :
sin$ (cid:6) 0

$ (cid:6) 0 ou $ (cid:6) &
Cela correspond à des positions du dipôle parallèle ou antiparallèle au champ électrostatique.

Pour discuter de la stabilité de ces positions d’équilibre, on écarte légèrement le dipôle de sa
position d’équilibre et on analyse le type de mouvement que le moment du couple tend à
créer.

- Dipôle parallèle :

Les forces tendent à ramener le dipôle dans sa position d’équilibre donc l’équilibre
des dipôles parallèles au champ est stable.

- Dipôle antiparallèle :

Les forces tendent à écarter le dipôle de sa position d’équilibre donc l’équilibre des
dipôles antiparallèles est instable.

EN RESUME :

Un champ électrostatique uniforme tend donc à orienter les dipôles électrostatiques
suivant les lignes de champ.

REMARQUE :

A l’échelle du dipôle, tout champ est en première approximation uniforme : l’effet principal
du champ extérieur sur un dipôle est son orientation suivant les lignes de champ.

2.2 Cas d’un champ non uniforme

Aucune expression établie dans ce paragraphe n’est exigible dans le cadre du programme ;
seule l’analyse qualitative du phénomène est à retenir. En cas de besoin, il faudra
redémontrer toutes les relations qui pourront obtenues ici.

2.2.1 Force exercée sur un dipôle par un champ électrostatique extérieur non
uniforme

La force s’exprime par :
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r(cid:8) (cid:6) (cid:2)(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:4)(cid:26)((cid:2)(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:3)(cid:26) (cid:6) (cid:2):(cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:4)(cid:26)((cid:23)(cid:9)(cid:8)(cid:24)(cid:3)(cid:26);

Le champ extérieur n’étant pas uniforme, cette force n’est pas nulle : il faut tenir compte des
variations du champ entre et . Or la définition d’un dipôle impose à la distance d’être
faible devant les distance(cid:4)s ca(cid:3)ractéristiques du problème donc en particulier d(cid:4)e(cid:3)vant la
distance caractéristique des variations du champ électrostatique extérieur auquel le dipôle
est soumis. Par conséquent, on peut effectuer un développement limité du champ
électrostatique en et en .
(cid:4) (cid:3)
On va se placer en coordonnées cartésiennes pour effectuer la démonstration. Le résultat est
cependant tout à fait général et indépendant du système de cordonnées dans lequel on se
place. On cherchera donc à obtenir une expression intrinsèque. Soient les
(cid:24)x,y,b(cid:26)
coordonnées du milieu de et les composantes de . Les coordonnées des
-(cid:4)(cid:3). (cid:24)∆x,∆y,∆b(cid:26) (cid:3)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:9)(cid:4)(cid:9)(cid:8)
points et sont donc respectivement :
(cid:4) (cid:3)
et
∆{ ∆| ∆d ∆{ ∆| ∆d
:x) ,y) ,b) ; :x ( ,y( ,b( ;
/ / / / / /
On en déduit pour la composante suivant de la force :
,x
∆x ∆y ∆b ∆x ∆y ∆b
r{ (cid:6) (cid:2)6(cid:23){*x ) ,y) ,b) +((cid:23){*x ( ,y( ,b( +7
2 2 2 2 2 2
Le développement limité au premier ordre de la composante sur du champ donne :
,x
∆xV(cid:23){ ∆yV(cid:23){ ∆bV(cid:23){ ∆xV(cid:23){ ∆yV(cid:23){
r{ (cid:6) (cid:2)*(cid:23){(cid:24)x,y,b(cid:26)) ) ) )}((cid:23){(cid:24)x,y,b(cid:26)) )
2 Vx 2 Vy 2 Vb 2 Vx 2 Vy
∆bV(cid:23){
) )}+
2 Vb
V(cid:23){ V(cid:23){ V(cid:23){
(cid:6) (cid:2)*∆x )∆y )∆b +
Vx Vy Vb
V V V
(cid:6) (cid:2)*∆x )∆y )∆b +(cid:23){
Vx Vy Vb

(cid:6) (cid:7)(cid:8).0g(cid:9)(cid:9)(cid:9)r(cid:9)(cid:9)a(cid:9)(cid:9)d(cid:9)(cid:8)(cid:23){1
Par un raisonnement analogue, on obtient :

r| (cid:6) (cid:7)(cid:8).0g(cid:9)(cid:9)(cid:9)r(cid:9)(cid:9)a(cid:9)(cid:9)d(cid:9)(cid:8)(cid:23)|1
et :

rd (cid:6) (cid:7)(cid:8).0g(cid:9)(cid:9)(cid:9)r(cid:9)(cid:9)a(cid:9)(cid:9)d(cid:9)(cid:8)(cid:23)d1
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