Le calcul tensoriel en physique : cours et exercices corrigés

243 Pages·1999·12.677 MB·French

by  Jean Hladik, Pierre-Emmanuel Hladik

Jean Hladik • Pierre-Emmanuel Hladik
2e CYCLE • ÉCOLES D'INGÉNIEURS
le·c alcul tensoriel
en physique
Cours et exercices corrigés
3e édition
DUNOD
Le calcul tensoriel
en physique
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Le calcul tensoriel
en physique
Cours et exercices corrigés
Jean Hladik
Professeur à l'université d'Angers
Pierre-Emmanuel Hladik
Élève-ingénieur à l'École Centrale de Nantes
3• édition
DUNOD
ÜUVRAGES UNIVERSITAIRES DE JEAN HLADIK :
MÉCANIQUE QUANTIQUE : ATOMES ET MOLÉCULES, Masson, 1997, 448 pages.
LES SPINEURS EN PHYSIQUE, Avec exercices corrigés, Masson, 1996, 300 pages.
LA THÉORIE DES GROUPES EN PHYSIQUE ET CHIMIE QUANTIQUES, Initiation avec
exercices corrigés, Masson, 1995, 296 pages.
UNITÉS DE MESURE, Étalons et symboles des grandeurs physiques, Masson, 1992,
112 pages.
MÉTROLOGIE DES PROPRIÉTÉS THERMOPHYSIQUES DES MATÉRIAUX, Masson, 1990,
368 pages.
Ce pictogramme mérite une explication. quant une baisse brutale des achats de
Son objet est d'alerter le lecteur sur la livres et de revues, au point que la possi
menace que représente pour l'avenir de bilité même pour les auteurs de créer des
l'écrit, particulièrement dans le domaine œuvres nouvelles et de les faire éditer cor
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sements d'enseignement supérieur, provo- 75006 Parisl.
© Masson, Paris, 1993, 1994 pour les précédentes éditions
© Dunod, Paris, 1999
ISBN 2 10 004071 5
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respect des dispositions des articles L 122-10 à L 122-12 du même Code, relatives à
la reproduction par reprographie.
Préface
Ce petit livre expose la technique du calcul tensoriel et son utilisation à partir de
connaissances usuelles pour un physicien et modestes sur le plan des mathématiques
abstraites. Un niveau de premier cycle, même de style assez appliqué, est amplement
suffisant.
L'auteur, avec son expérience de physicien et d'enseignant, a cherché une rédaction
adaptée à des physiciens, tantôt sensible à la critique du mathématicien qui préfère
un texte sec et efficace, tantôt insensible pour que le lecteur garde l'impression d'être
dans son domaine habituel.
Utiliser du calcul vectoriel ou tensoriel pour des applications en physique implique
que le parcours se terminera par une utilisation des composantes. Par esprit d'économie
à court terme, beaucoup de livres de physique ne manipulent que les composantes,
d'autant plus que la technique est assez efficace et bien au point depuis longtemps. Le
mathématicien n'y voit qu'une recette parmi d'autres et a l'impression qu'elle peut
dissimuler l'essentiel.
Tout physicien est capable d'assimiler ces idées essentielles. Mais pour qu'il en
tire réellement profit, il faut que dans son esprit ces idées soient intimement liées à sa
technique mathématique habituelle. Alors pour bien promouvoir les mathématiques
auprès des physiciens, la meilleure tactique me semble être celle adoptée par l'auteur :
partir d'une compétence mathématique plutôt technique et calculatrice et semer un
peu d'idées plus abstraites. Il faut espérer que ce type de livre amène tout physicien à
suivre une évolution utile et à aller vers des mathématiques plus abstraites que celles
qu'il pratique mais encore assez proches de lui pour qu'il soit capable de voir qu'elles
peuvent parfois être plus efficaces que les recettes qu'il connaît.
Pour le mathématicien, je crois intéressant de voir de près ce que donne l'utilisation
effective de notions (géodésiques, connexions, courbure) qui sont simples pour lui,
uniquement s'il reste au niveau des grandes idées. L'histoire nous montre que les
idées simples et fécondes ont été dégagées par ceux qui avaient d'abord profondément
assimilé des situations compliquées et souvent d'un niveau modeste du point de vue
de l'enseignement. Exemples récents : distributions, transformée de Fourier rapide,
fractales.
Claude Latrémolière
Professeur de mathématiques
à l'Université d'Angers

Table des matières
Avant-propos . . xi
1 Les vecteurs 1
1.1 Conventions d'écriture . 1
1.2 Généralisation de la notion de vecteur 4
1.3 Base d'un espace vectoriel 8
1.4 Produit scalaire ..... 11
1.5 Espace vectoriel euclidien 15
1.6 Exercices résolus . . . . . 22
2 Exemples de tenseurs euclidiens 29
2.1 Changement de base . . . . 29
2.2 Propriétés de changement de base 33
2.3 Exemples de tenseurs en physique 36
2.4 Exercices résolus . 40
3 Algèbre tensorielle .. 49
3.1 Tenseurs d'ordre deux 49
3.2 Tenseurs d'ordre quelconque . 55
3.3 Produit scalaire ....... 58
3.4 Bases d'un espace produit tensoriel 61
3.5 Opérations sur les tenseurs . . . 68
3.6 Tenseurs particuliers . . . . . . 72
3.7 Groupes ponctuels de symétrie . 77
3.8 Exercices résolus . 79
4 Espaces ponctuels . . . 91
4.1 Espace ponctuel pré-euclidien 91
4.2 Coordonnées curvilignes 96
4.3 Repère naturel .. 99
4.4 Exercices résolus . 102
viii Le calcul tensoriel en physique
5 Analyse tensorielle ..... 113
5.1 Symboles de Christoffel 113
5.2 Dérivée covariante .. 122
5.3 Différentielle absolue 128
5.4 Opérateurs différentiels 134
5.5 Exercices résolus . 137
6 Tenseurs et dualité 145
6.1 Espace dual 145
6.2 Tenseurs .. 150
7 Espaces de Riemann 153
7.1 Exemples d'espaces de Riemann . 153
7.2 Métrique riemannienne 156
7.3 Propriétés géométriques 159
7.4 Propriétés différentielles 162
7.5 Déplacement le long d'une courbe 166
7.6 Tenseur de Riemann-Christoffel 175
7.7 Courbure riemannienne 178
7.8 Tenseur d'Einstein 182
7.9 Exercices résolus . 184
8 Exemples d'applications 189
8.1 Symboles de Christoffel 189
8.2 Mécanique ....... 191
8.3 Mécanique des milieux continus 193
8.4 Électromagnétisme . . 198
8.5 Mécanique quantique 212
8.6 La gravitation 216
8.7 Cosmologie 221
........
Index 226
Contents
1 Vectors ........... 1
1.1 Writting conventions 1
1.2 Generalized vectors 4
1.3 Basis of a vector space 8
1.4 Scalar product .... 11
1.5 Euclidean vector space . 15
1.6 Solved problems . . . 22
2 Examples of euclidean tensors 29
2.1 Basis transformations 29
2.2 Basis transformations properties 33
2.3 Examples of tensors in physics . 36
2.4 Solved problems 40
3 Tensor algebra ..... 49
3.1 Two-ordertensors 49
3.2 High-order tensors 55
3.3 Scalar product .. 58
3.4 Bases of an inner-product space 61
3.5 Tensor operations 68
3.6 Special tensors 72
3.7 Point-groups 77
3.8 Solved problems 79
4 Pointspace ....... 91
4.1 Pre-euclidean point space 91
4.2 Curvilinear coordinates 96
4.3 Natural frame 99
4.4 Solved problems 102