l'assioma di scelta : storia e influenza sulla matematica del novecento.

117 Pages·2014·0.49 MB·Italian

Alma Mater Studiorum · Universita` di Bologna
SCUOLA DI SCIENZE
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
L’ASSIOMA DI SCELTA :
STORIA E INFLUENZA SULLA
MATEMATICA DEL NOVECENTO.
Tesi di Laurea in Principi della Matematica
Relatore: Presentata da:
Chiar.mo Prof. Dora Pastore
Piero Plazzi
Sessione di Ottobre
2013/2014

A Gianluch`ı, la mia scelta.
Gutta cavat lapidem, non bis sed saepe cadendo,
(cid:28)
Sic homo fit sapiens non bis, sed saepe legendo .
(cid:29)
Il candelaio, Giordano Bruno.
Introduzione
Nel 1926 David Hilbert afferm`o che l’assioma di scelta di Zermelo era
stato fino a quel momento l’assioma piu` discusso e attaccato in ma-
tematica e qualche tempo dopo Abraham Fraenkel aggiunse che, in
quanto a polemiche scatenate, si poteva ritenere secondo solo all’assio-
ma delle parallele di Euclide, introdotto piu` di duemila anni prima.
La nascita dell’assioma di scelta stranamente non coincide con la sua
formulazione originale, che Zermelo present`o nel 1904 come enunciato
di un principio evidente, naturale e necessario per la sua dimostrazione
del teorema del buon ordinamento. L’assioma di scelta ha infatti una
preistoria, che riguarda l’uso inconsapevole e i primi barlumi di consa-
pevolezza che si trattasse di un nuovo principio di ragionamento.
Lo scopo della prima parte di questa tesi `e proprio quello di ricostruire
questo percorso di usi piu` o meno impliciti e piu` o meno necessari che
rivelarono la consapevolezza non solo del fatto che fosse indispensabile
introdurre un nuovo principio, ma anche che il modo di “fare mate-
matica” stava cambiando. Un esempio famoso di uso inconsapevole
dell’assioma di scelta, di cui si parla nel capitolo 1, `e quello che riguar-
da la dimostrazione dell’equivalenza delle due nozioni di continuita` per
le funzioni, quella classica e quella sequenziale.
Come vedremo soprattutto nei capitoli 2 e 3, furono moltissimi i mate-
matici che, senza rendersene conto, utilizzarono l’assioma di scelta nei
loro lavori, tra questi anche Cantor che appellandosi alla banalita` delle
dimostrazioni, evitava spesso di chiarire le situazioni in cui era richie-
sta questa particolare assunzione. Il contributo di Cantor alla storia
dell’assioma di scelta `e importante anche perch`e venuti a conoscenza
i
ii INTRODUZIONE
dei suoi lavori, molti altri matematici iniziarono a far uso delle scelte
arbitrarie, tra questi anche quelli che si opponevano ad esso (capitolo
3).
Il capitolo 2 `e dedicato ad un caso notevole e rilevante dell’uso incon-
sapevole dell’Assioma, di cui per la prima volta si accorse R. Bettazzi
nel 1892: l’equivalenza delle due nozioni di finito, quella di Dedekind e
quella “naturale”.
La prima parte di questa tesi si conclude con la dimostrazione di Zer-
melo del teorema del buon ordinamento e con un’analisi della sua assio-
matizzazione della teoria degli insiemi che aveva lo scopo di difendere
e giustificare sia l’Assioma che la dimostrazione del teorema (capitolo
4).
La seconda parte si apre con il capitolo 5 in cui si parla dell’intenso
dibattito sulla dimostrazione di Zermelo e sulla possibilita` o meno di
accettare il suo Assioma, che coinvolse i matematici di tutta l’Euro-
pa. In quel contesto l’assioma di scelta trovo` per lo piu` oppositori che
si appellavano ad alcune sue conseguenze apparentemente paradossali.
Queste conseguenze, insieme alle molte importanti, sono analizzate nel
capitolo 6.
Nell’ultimo capitolo vengono riportate alcune tra le molte equivalenze
dell’assioma di scelta con altri enunciati importanti come quello della
tricotomia dei cardinali. Si ci sofferma poi sulle conseguenze dell’Assio-
ma e sulla sua influenza sulla matematica del Novecento, quindi sulle
formulazioni alternative o su quelle piu` deboli come l’assioma delle
scelte dipendenti e quello delle scelte numerabili. Si conclude con gli
importanti risultati, dovuti a Go¨del e a Cohen sull’indipendenza e sulla
consistenza dell’assioma di scelta nell’ambito della teoria degli insiemi
di Zermelo-Fraenkel.
Si sottolinea che per questo lavoro, il testo di riferimento seguito prin-
cipalmente `e [1] da cui, salvo diversa indicazione, sono tratte tutte le
citazioni riportate, ritradotte personalmente.
Indice
Introduzione i
I La storia dell’Assioma di Scelta 1
1 La cornice matematica 3
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Uso inconsapevole di AS . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Sulle tracce di AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Il confine tra finito e infinito 17
2.1 Breve storia dell’infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 AS e il finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Il patrimonio di Cantor 27
3.0 Equipollenza di insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Gli studi sugli insiemi derivati . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Il problema del buon ordinamento e l’ipotesi del continuo 31
3.3 Problemi irrisolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 La soluzione di Zermelo 45
4.1 La dimostrazione del teorema del buon ordinamento . . 46
4.2 L’assiomatizzazione di Zermelo . . . . . . . . . . . . . 51
iii
iv INDICE
II Polemiche e utilizzazione dell’Assioma 57
5 Una tempesta di critiche 59
5.1 Polemiche in Francia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Le critiche tedesche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Il dibattito inglese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.4 Peano contro AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Formulazioni equivalenti e conseguenze di AS 79
6.1 Formulazioni equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.2 Formulazioni deboli di AS . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3 Conseguenze e paradossi . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Alternative ad AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.5 Il contributo di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.6 Consistenza e indipendenza di AS . . . . . . . . . . . 98
Conclusione i
Ringraziamenti i
Parte I
La storia dell’Assioma di
Scelta
1