Las desventuras del conocimentio matemático : Filosofía de la matemática: una introducción

336 Pages·2005·15.952 MB·Spanish

by  Gregorio Limovsky, Guillermo Boido

Gregorio Klimo¥sky
GuiUemo Boido
LAS DESVENTURA
D E L CO NO CIM IENTO
M ATEM ÁTICO
Filosoia de la matemátiea:
una introducción

G re g o rio K lim x)vsk:y
G iiille rn io B o id í)
Í'1I?)Í;iíííVÍ ÍIÍ. Li iiírílciri/iíica:
una introducción
Prólogo de
Gladys Palau
editora
Imagen de tapa: el matemático NikolaUvS Kratzer, quien fue astrónomo
del rey Enrique VIII, retratado en 1528 por el maestro renacentista
Hans Holbein el Joven (c. 1497-1543). Museo del I^)uvre. Foto: Focus.
© a«Z editora S.A.
Paraguay 2351 (C1121ABK)
Buenos Aires, Argentina.
Teléfonos: [phone] y líneas rotativas
Fax: [phone]
Correo electrónico: [email protected]
Libro de edición argentina.
Hecho el depósito de ley 11.723.
Derechos reseivados.
ISBN 950-534-796-0
Klimovsky, Gregorio
Las desventuras del conocimiento matemático / Gregorio Klimovsl<y
y Guillermo Boido - la ed. - Buenos Aires : AZ, 2005.
326 p. ; 24x18 cm.
ISBN 950-534-796-0
1. Matemática-Educación Superior. I. Boido, Guillermo II. Título
CDD 510.711
Fecha de catalogación: 29/06/2005
A la memoria de Julio Rey Pastor,
cuyo magisterio permitió el desarrollo de la matemática
moderna en la Argentina

Prólogo. (ìladys Palali - 13
Asombro y coiiociiiiieiito. Gregorio Klimovsky - 17
vSobre la socialización del conocimiento. Guillermo Boido - 19
Í.El porqué de este libro - 21.
¿Por qué la matemática? (21), ¿Por qué la fundamentación de la matemática? (25), Fuib
damentación y filosofía de la matemática (27).
2. Las concepciones de ¡a matemática en el mundo antiguo . ■ , ■
1: de Ahmés a Platón ■■ 29.
Cuatro preguntas acerca de la matemática (29), líl empiri,smo primitivo: Ahmés y el pa­
piro í^hind (30), Tales de Mileto: la aparición de la idealización límite y la lógica (35),
Pitágoras y el intuicionismo dualista (39), ííl problema de la inconmensurabilidad (43),
l^as concepciones matemáticas de I^latón (47).
3. Las eoneepeiones de la matemática en el mundo antiguo
2: Aristóteles y la axiomática clásica - 55.
Introducción a Aristóteles (55), La noción aristotélica de conocimiento (58), Caracteri­
zación de la ciencia según Aristóteles: el método demostrativo (59), Comentarios a los
supuestos aristotélicos acerca de la ciencia (64), liis limitaciones del método demostra­
tivo o método axiomático clásico (72).
4. La geometría de Euclides-Hilbert - 75.
Ii)s Elementos de Euclides (75), Coda: sobre la historia de la matemática (82), La re­
formulación de Hilbert de la geometría euclideana (83).
5. El surgimiento de las geometrías no euelideanas - 89.
liis aventuras del quinto postulado: de Euclides a Gauss (89), El apriorismo de Kant
(96), Características de las geometrías no euelideanas (101), Problemas filosóficos plan­
teados por las geometrías no euelideanas (103).
6. Los sistemas axiomáticos formales - 109.
Los sistemas axiomáticos formales y el ajedrez (109), Caracterización de los sistemas
axiomáticos formales (112), Cinco significados de la palabra "formal" (112), Sobre la ló­
gica presupuesta (115), El vocabulario y las cuasiproposiciones (118), Ii)s axiomas y
los teoremas (119), Ix)S sistemas axiomáticos desde un punto de vista filosófico (121),
Los sistemas sintácticos y la matemática axiomática como lógica aplicada (122), Inter­
pretaciones y modelos: acepción semántica (124), Interpretaciones y modelos: acepción
sintáctica (127), Una digresión: los modelos en las ciencias tácticas (128), Matemática
pura y matemática aplicada (129), Matemática, conocimiento y metaconocimiento (131).
Las DIÍSViCNTOKAS Dlíl. CONOCIMIICNTO MATIÍMATICO
7. La construcción de un sistema axiomático - 13!).
Un ejemplo sencillo de sistema axiomático; SAl-O (i:'>5), ¿Tiene SAI<X) modelos? (144),
Ampliando el sistema SAI'O; el sistema SAFOT (148).
propiedades generales y requisitos de los sistemas axiomáticos ■■ 151.
Las propiedades sintácticas de los sistemas axiomáticos (151), Consistencia (151), Com-
pleütud (152), Saturación (152), Independencia (152), Decidibilidad sintáctica (154), las
propiedades semánticas de los sistemas axiomáticos (155), Satisfactibilidad (155), Cate-
goricidad semántica o por isomorfismo (155), Completitnd semántica (156), Consisten­
cia y satisfactibilidad (156), Decidibilidad semántica (159), La importancia filosófica de
las propiedades de los sistemas axiomáticos (159), ligica y sistemas sintácticos (161),
Verdad y verdad lógica (162), Formalizaciones (163), Síntesis de las propiedades y re­
quisitos más importantes de los sistemas axiomáticos (165).
9. Las geometrías no cucUdeanas como sistemas axiomáticos:
consistencia y modelos ■■ 167.
FJ problema de la consistencia de las geometrías no euclideanas (167), Consistencia y
modelos: el modelo de Klein (168), Modelos relativos, absolutos e hipotéticos (173),
Henri Poincaré y el convencionalismo (177), Tres tradiciones en la historia de la mate­
mática (181), La tradición axiomática (181), lii tradición computacional (181), La tradi­
ción estructural (183), Ciencias formales y ciencias lácticas (187).
10. La matemática y las lógicas. La teoría de conjuntos - 189.
Algo más sobre las lógicas subyacentes de un sistema axiomático formal (189), La ló­
gica proposicional (190), La lógica elemental de predicados (191), La lógica superior de
predicados (192), La teoría clásica de conjuntos (193).
11.Lfl aritmetización de la matemática
1: de la geometría euclideana a los números reales - 201.
El surgimiento de la geometría analítica (201), Una digresión sobre números (207), Re­
greso a Pitágoras (208).
12. La aritmetización de la matemática
2: de los números reales a los naturales - 211.
Definiciones por abstracción y relaciones de equivalencia (211), Las clases de equiva­
lencia y la aritmetización de la matemática (216), De las geometrías no euclideanas a
los números naturales (219), El constructivismo matemático y la eliminación de entida­
des metafísicas (219).
13.Lfl axiomática de Peano y el modelo Russell:
la reducción de ¡a matemática a la lógica - 223.
El sistema axiomático de Peano para los números naturales (223), ¿Tiene modelos el
sistema axiomático de Peano? (227), La reducción de la matemática a la lógica: el mo­
delo Russell (230), Dos versiones del logicismo (238), ¿Es consistente la lógica? (240).
ÍNDlCli ClíNIÍRAL
l'I.te antinomias lógicas - 243.
Iíl surgimiento de las antinomias lógicas (243), Dos paradojas y tres antinomias (244),
¿Que hacer ante las antinomias l()gicas? (248).
15.//AS' intentos de resolución de las antinomias
1: la teoria de los tipos y el neointuicionismo - 249.
La teoría de los tipos de Russell (249), La teoría simple de los tipos (250), La teoría ra­
mificada de los tipos (255), Dificultades de la teoría de los tipos (256), El neointuicio­
nismo matemático (259), Dificultades del neointuicionismo (266).
16. Los intentos de resolución de las antinomias
2: las teorias axiomáticas de conjuntos - 269.
Las teorías axiomáticas de conjuntos (269), Sobre la posición iflniialista (274), Cuatro
posiciones filosóficas acerca de la matemática (276), Metamatemática y metalenguajes
(277).
17. Los metateoremas de Godei y las limitaciones
de la matemática - 281.
I.Í3S metateoremas de Godei (1931) (281), lii irresolubilidad del problema de la consis­
tencia (286), Consecuencias filosóficas de los metateoremas de Godei (289), Sobre la
consistencia de la matemática y de la lógica: la situación actual (291).
18. Filosofía y matemática: una relación compleja - 293.
Objetos versus esquemas (293), La matemática en auxilio de la filosofía: Aquiles y la
tortuga (295), lii proyección del constructivismo matemático en la filosofía (296), Pla­
tón y el realismo matemático (297), ¿Qué clase de conocimiento proporciona la mate­
mática? (299), Matemática y realidad (301), Términos matemáticos y términos fácficos
(302), ¿Tiene sentido investigar en matemática? (305).
Apéndice. El álgebra de Boote como ampliación del sistema SAFO - 307.
Bibliografía. 311.
Indice temático y de nombres principales. 315.
Dos protagonistas centrales en la historia de la fundamentación y la filosofía de la
matemática. A la izquierda, el alemán David Hilbert (1862-1943), cuyo nombre se
vincula con el desarrollo de casi todas las ramas de la matemática contemporánea.
A la derecha, el británico Bertrand Arthur William I^ussell (1872-1970), filósofo, lógi­
co, matemático, educador y escritor, pacifista militante y defensor de los derechos
humanos, considerado como uno de los pensadores más influyentes y originales del
siglo XX.