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Laplace-Transformation: für Ingenieure der Elektrotechnik PDF

210 Pages·2003·7.96 MB·German
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Hubert Weber Laplace-Transformation fur Ingenieure der Elektrotechnik Hubert Weber Laplace-Transformation fur Ingenieure der Elektrotechnik 7., Oberarbeitete und erganzte Auflage Mit 111 Abbildungen und 125 Beispielaufgaben 1m Teubner B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig' Wiesbaden Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet Ober <http://dnb.ddb.de> abrufbar. Prof. Hubert Weber. Fachhochschule Regensburg 1. Auf!. 1976 2. Auf!. 1978 3. Auf!. 1981 4. Auf!. 1984 5. Auf!. 1987 6. Auf!. 1990 7. Oberarbeitete und erganzte Auflage Marz 2003 Aile Rechte vorbehalten © B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden. 2003 Der Teubner Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. www.teubner.de Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschOtzt. Jede Ver wertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fOr Verviel faltigungen. Obersetzungen. Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen. Handelsnamen. Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme. dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden dOrften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel. www.CorporateDesignGroup.de Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 978-3-519-10141-3 ISBN 978-3-322-96747-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-96747-3 Vorwort Die Laplace-Transformation ist eine Funktionaltransformation, das heiSt einer Funktion .f(t) des reellen Zeitbereiches wird eine Bildfunktion F(s) einer komplexen Variablen s zugeordnet. Laplace-Transformation und inverse Laplace-Transformation sind durch Integrale definiert. Die Beschiiftigung mit dieser Transformation ist auch fUr mehr an der Anwendung der Mathematik interessierten Ingenieure sinnvoll, da viele Problernlosungen im Bildbereich der Laplace-Transformation wesentlich einfacher verlaufen. Dies ist deshalb der Fall, da den schwierigeren Differentiationen und Integrationen des Zeitbereiches einfache algebraische Operationen im Bildbereich entsprechen. So werden zum Beispiel lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches zu linearen Gleichungen des Bildbereiches. FOr Anwendungen in der Elektrotechnik kann durch Einfiihren von Bildspannungen, Bildstrornen und Bildwiderstanden auf das Aufstellen der Differentialgleichungen des Zeitbereiches ganz verzichtet werden, wodurch die Problemlosung nochmals vereinfacht wird. Es solI versucht werden, eine Einfiihrung in die Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation zu geben, die einerseits ausreicht, viele in der Praxis auftretenden Probleme zu losen, die andererseits aber auch eine Grundlage fUr weitergehende Studien darstellt. Urn dieses Ziel oboe allzu groBem Aufwand erreichen zu konnen, wurde vielfach auf eine volle mathernatische Strenge verzichtet. Die Verwendung von Methoden der Funktionentheorie zur inversen Laplace Transformation wird gezeigt, aber nicht zum Prinzip der inversen Laplace Transformation gemacht. Die Auswertung der ,,kornplexen Urnkehrformel" setzt Kenntnisse der Analysis kornplexwertiger Funktionen voraus. Die dazu notwendigen Siitze werden aufgefiihrt. Die Verwendung von Korrespondenzen und Transformationsregeln ist einfacher. Der Weg, die Bildfunktion in Terme zu zerlegen und gliedweise zu transformieren ist praxisgerechter und zeigt die Bedeutung der Lage der Pole einer Bildfunktion fUr die zugehOrige Zeitfunktion. VI Vorwort FUr eine gekilrzte Behandlung der Laplace-Transfonnation hat es sich bewiihrt, nach der Definition der Laplace-Transformation im Abschnitt 4.1 gleich zu den Transformationsregeln uberzugehen, wohei die Abschnitte 4.3.9, 4.3.14 und 4.3.15 zunachst ausgelassen werden k6nnen, wn schneller zu den Anwendungen zu gelangen. Ich m6chte mich heim B. G. Teubner Verlag und insbesondere bei Herro Dr. Feuchte vom Lektorat MaschinenbaulElektrotechnik bedanken, dass dieses aus Vorlesungen an der Fachhochschule Regensburg entstandene Buch in einer neuen Auflage erscheinen kann. Regensburg, im Januar 2003 Hubert Weber INHALT 1 FOURIERREllIEN 1.1 EINFOHRUNG ....•.•...••......................•......••.................•••........................ 1 1.2 REELLE FOURIERREIHE ....••.......•.........................•................................. 2 1.2.1 Grundbegriffe ............................................................................ 2 1.2.2 Berechnung der Fo urierkoeffizienten ......................................... 3 1.2.3 Amplitudenspektrum ................................................................. 8 1.3 KOMPLEXEFoURIERREIHE .............................•............•...................... 12 1.3.1 Grundlagen ............................................................................. 12 1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten ..................... 13 2 FOURIERINTEGRAL 2.1 OBERGANG VON DER FOURIERREIHE ZUM FOURIERINTEGRAL ............... 17 2.2 EIGENSCHAFTEN DES FOURIERINTEGRALS ••.............................••.•..•..... 20 3 FOURIERTRANSFORMATION 3.1 DEFINITION DER FOURIERTRANSFORMATION ..•........•••......................... 27 3.2 DISKREfE FOURIERTRANSFORMATION (OFf) UNO SCHNELLE FOURIERTRANSFORMATION (FFf). ..................................................... .30 4 LAPLACE-TRANSFORMATION 4.1 DEFINITION DER LAPLACE-TRANSFORMATION ....................................• 31 4.2 INVERSE LAPLACE-TRANSFORMATION .....•...............................•.......... 35 4.3 TRANSFORMATIONSREGELN .........•..................••...................•............• 48 4.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen ............... 49 4.3.2 Additionssatz ........................................................................... 54 4.3.3 Verschiebungssatz ................................................................... 57 4.3.4 Dirac'sche Deltafunktion ......................................................... 65 4.3.5 Diimpfungssatz ........................................................................ 70 4.3.6 Partialbruchzerlegungen .......................................................... 73 4.3.7 Pol-Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen Bildfunktion ............................................................................ 85 4.3.8 Faltungssatz ........................................................................... 89 4.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunktion ................................................................... 92 4.3.10 Integrationssatz fUr die Originalfunktion ................................. 97 vm InhaIt 4.3.11 Differentiationssatz fUr die Originalfunktion ......................... 102 4.3.12 Differentiationssatz fUr die verallgemeinerte Ableitung einer Zeitfunktion .................. ... ........... .... .......... ................. 105 4.3.13 Grenzwertslitze ...................................................................... 109 4.3.14 Differentiationssatz fUr die Bildfunktion ............................... 112 4.3.15 Integrationssatz fUr die Bildfunktion ...................................... 115 4.4 ANwENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION .........••••.•••.••• 119 4.4.1 LOsen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ......................................................................... 119 4.4.2 Lasen von Systemen gewahnlicher linearen Differential- gleichungen mit konstanten Koeffizienten ......................... 125 4.4.3 RCL-Netzwerke ..................................................................... 134 4.5 USERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN •........•...................•. 152 4.5.1 Grundbegriffe ........................................................................ 152 4.5.2 Impulsantwort und Sprungantwort ......................................... 153 4.5.3 Ubertragungsfunktion ............................................................ 154 4.5.4 Pol-Nullstellenplan einer Ubertragungsfunktion .................... 166 4.5.5 Ubertragungsfunktion und Frequenzgang .............................. 168 5 ANHANG 5.1 LOSUNGEN ZU DEN USUNGSAUFGABEN ............................................. 177 5.2 SATZE DER LAPLACE-TRANSFORMATION ........................................... 190 5.3 KORRESPONDENZEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION ...................... 191 5.4 LITERATUR .................................•.................................................... 199 5.5 LISTE DER VERWENDETEN FORMELZEICHEN ...................................... 200 5.6 SACHWORTVERZEICHNIS .......•.......•.......................................•.......... 201 1. Fourierreihen 1.1 Einfiihrung In vielen Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik etwa in der Physik oder in der Elektrotechnik, haben harmonische Schwingungen, die durch eine Sinusfunktion /(1) = A sin(tV 1 +qJ) (1.1) beschrieben werden konnen, eine groBe Bedeutung. Hierbei ist A die Ampli tude, tV die Kreisfrequenz und qJ der Nullphasenwinkel der harmonischen Schwingung. Bei der Oberlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Hille zu unterscheiden: 1. Oberlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, so erbAIt man wieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz. Von dieser Tatsache wird in der Elektrotechnik sHindig Gebrauch gemacht. Durch Uberlagerung von sinusfOrmigen Wechselspannungen der gleichen Frequenz, etwa der Netzfrequenz 50 Hz erbAlt man wieder eine sinusfOrmige Wechselspannung der Frequenz 50 Hz. 2. Uberlagert man harmonische Schwingungen verschiedener Frequenzen, so erbAIt man einen zwar periodischen, im allgemeinen jedoch keinen sinusfOrmigen Vorgang. Die Uberlagerung von harmonischen Schwingungen der gleichen Frequenz ergibt wieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz. Durch Uberlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen kann man periodische Funktionen erzeugen, die im allgemeinen nicht sinusfOrmig sind. Es stellt sich jetzt die Frage, ob man auch umgekehrt "jede beliebige" periodische Funktion als eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann. Diese Frage wurde von dem franzOsischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) positiv beantwortet. Die genauen Bedingungen hierfiir wurden von dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet (1805 - 1858) angegeben. H. Weber, Laplace-Transformation © B. G. Teubner Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden 2003 2 1 Fourierreihen 1.2. Reelle Fourierreihen 1.2.1. Grundbegriffe Definition 1.1 Eine Funktion f( t) heillt T-periodisch (periodisch mit der Periode 1), wenn fUr aIle Zeitpunkte t des Definitionsbereichs gilt: = f(t+T) f(t) (1.2) Definition 1.2 Eine T-periodische Funktion f(t) geniigt den Dirichlet-Bedingungen, wenn 1. f ( t) beschrankt ist, 2. f(t) im Intervall [O,T]hOchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat 3. die Ableitung f' (t) im Intervall [0, T] bis auf hOchstens endlich viele Stellen stetig ist. Eine Funktion f(t), die den Dirichlet - Bedingungen geniigt, kann innerhaIb einer Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden, auf denen f( t) monoton und stetig verUiuft. An Unstetigkeitsstellen treten nur endliche SprunghOhen auf. Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretenden periodischen Zeitfunktionen im aHgemeinen erfiiHt. Satz 1.1 Eine T-periodische Funktion, welche den Dirichlet-Bedingungen geniigt, lasst sich als Fourierreihe 00 f(t)=ao + ~)akCOS(wot)+bkSin(wot)] (1.3) k=l darstellen, wobei 0)0 = 21t die Grundkreisfrequenz ist. T Gl. (1.3) lasst sich folgendermaBen physikalisch interpretieren: Jeder periodische Vorgang kann in eine Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt werden. Dabei konnen neben der Grundfrequenz nur ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz auftreten. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch von Fourieranalyse, bzw. harmonischer Analyse. 1.2 Reelle Fourierreihen 3 Satz 1.2: Eine Fourierreihe konvergiert an jeder Stetigkeitsstelle ts der Zeitfunktionj(t) gegen den Funktionswert f{ts) und an einer Unstetigkeitsstelle tu gegen das arithmetische Mittel aus dem rechts-und linksseitigen Grenzwert vonj(t). FOr die weiteren Uberlegungen ist es zweckmaBig, durch die Substitution x = mot (1.4) von einer T-periodischen Funktion j(t) zu einer 21t-periodischen Funktion j(x) fiberzugehen. Man hat dann den Vorteil, periodische Funktionen j(x) zu betrachten, die aile die gleiche Periode 21t haben. Die Fourierreihe nach Gl. (1.3) geht damit fiber in die Form 00 f(x) = ao + ~)akcos(kx) + q.sin(kx)] (1.5) k=l 1.2.2. Berechoung der Fourierkoeflizienten Satz 1.3: 1. FOr aile ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k gilt: 2x 2x JSin(kX)dx = 0 und JCOS(kX)dx = 0 (1.6) o 0 2. FOr aile ganzzahligen, von Null verschiedenen Zahlen k und m gilt 21rt. {O tin(kx)sin(mx)dx = 1t ffUUrr kk =:; t: mm (1.7) o 21rt {O t°s( kx )cos( mx)dx = 1t ffUUrr kk =:;t: mm (1.8) o 2x JSin(kx)Cos(mX)dx = 0 (1.9) o Auf den relativ einfachen Beweis der im Satz 1.3 angegebenen Integrations formeln sei verzichtet. Wir benfitzen sie im folgenden als Hilfsformeln bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten.

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Bei der Laplace-Transformation wird eine Originalfunktion im reellen Zeitbereich in eine zugeh?rige Bildfunktion im komplexen Bildbereich transformiert. Die wichtigste Eigenschaft dieser Transformation im Hinblick auf ihre Anwendung besteht darin, dass den schwierigeren Operationen des Differenziere
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