Laplace-, Fourier- und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen fur Ingenieure und Naturwissenschaftler

244 Pages·2012·2.477 MB·German

by  Hubert Weber, Helmut Ulrich (auth.)

Hubert Weber | Helmut Ulrich
Laplace-, Fourier- und z-Transformation
Leserstimmen
„Das Buch ist eine ausgezeichnete Darstellung der Laplace-Transformation
und ihrer Anwendungen speziell für Elektrotechnikstudenten an Fachhoch-
schulen. Die vielen auch praktischen Beispiele ermöglichen eine sehr gute
Arbeit mit dem Buch. Das Niveau der Darstellung ist der Zielgruppe hervor-
ragend angepasst. Ich werde das Buch meinen Studenten (Mathe für E-Tech-
nik bzw. Mechatronik 3.Semester) uneingeschränkt empfehlen.“
Professor Dr.-Ing. Axel Schenk, Hochschule Heilbronn
„Es ist eine sehr gute, vor allem didaktisch sehr gute, Einführung in die Laplace-
transformationen. Die Kombination zwischen genauer mathematischer Dar-
stellung und einer Vielzahl von praktischen Beispielen macht es zu einem
sehr hilfreichen Lehrbuch.“
Professor Dr.rer.nat. Martin Pohl, Hochschule Regensburg
„Von Fourier-Reihen über die Fourier-Transformation bis zur Laplace-Trans-
formation bekommt man ein gutes Verständnis von der Signalbetrachtung
im Frequenzbereich. Viele Beispiele fördern das Verständnis.“
Dipl.-Ing. Jens Oberrath, Ruhr-Universität Bochum
www.viewegteubner.de
Hubert Weber | Helmut Ulrich
Laplace-, Fourier-
und z-Transformation
Grundlagen und Anwendungen
für Ingenieure und Naturwissenschaftler
9., überarbeitete und erweiterte Auflage
Mit 176 Abbildungen, 87 Beispielen
und 75 Aufgaben mit Lösungen
STUDIUM
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freisetzen.
1. Auflage 1976
2. Auflage 1978
3. Auflage 1981
4. Auflage 1984
5. Auflage 1987
6. Auflage 1990
7. Auflage 2003
8. Auflage 2007
Die Vorauflagen erschienen unter dem Titel „Laplace-Transformation“.
9., überarbeitete und erweiterte Auflage 2012
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Lektorat: Reinhard Dapper | Walburga Himmel
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Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0560-7
Vorwort

Das vorliegende Buch behandelt die Laplace- und z-Transformation als leicht zu verstehende
Einführung mit zahlreichen Beispielen und Aufgaben. Beide Transformationen gehören zum
mathematischen Handwerkszeug der Ingenieur- und Naturwissenschaften.
Da für viele Anwendungen in der Technik das Frequenzverhalten eine wichtige Rolle spielt,
wird im Buch zunächst die Fourier-Reihe und die Fourier-Transformation behandelt.
Von den Eigenschaften der Fourier-Transformation ausgehend, kann leicht auf die Laplace-
Transformation übergegangen werden.
Die Laplace-Transformation ermöglicht es, den oft schwierigen Differentiationen und Integra-
tionen des Zeitbereiches einfachere algebraische Operationen im Bildbereich zuzuordnen. So
werden beispielsweise lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches zu linearen Gleichun-
gen des Bildbereiches, die im Allgemeinen leichter zu lösen sind.
Da die L-Transformation eine lineare Transformation ist, stellt sie geradezu ein ideales Werk-
zeug dar, um lineare, zeitinvariante Systeme zu beschreiben und zu berechnen.
Durch diesen Vorteil erlangte die Laplace-Transformation ihre Bedeutung auf vielen Gebieten,
wie beispielsweise der Elektrotechnik, der Signalverarbeitung, der Informationstechnik und
der Regelungstechnik.
Zur Beschreibung diskreter Probleme eignet sich die z-Transformation, die aus der Laplace-
Transformation abgeleitet werden kann. Auch die z-Transformation ist eine lineare Transfor-
mation. Man kann sie auch als diskrete Version der Laplace-Transformation ansehen.
Die Verwendung von Korrespondenzen und Sätzen zu beiden Transformationen eröffnet einen
einfachen Weg, um aus den Bildfunktionen die zugehörigen Zeitfunktionen zu erhalten.
Dieses Buch will an die Prinzipien und Methoden der Laplace- und z-Transformation heran-
führen. Es ist als Grundlage besonders geeignet für Studierende ingenieur- und naturwissen-
schaftlicher Studiengänge im Hinblick auf Anwendungen.
Die Herleitungen wurden ausführlich erläutert und durch graphische Darstellungen veran-
schaulicht. Die große Zahl von Beispielen und Aufgaben sollen einen nachhaltigen Lernerfolg
bei den Studierenden sichern.

Regensburg, im August 2011 Helmut Ulrich
Hubert Weber
Inhalt

1 FOURIERREIHEN 1
1.1 EINFÜHRUNG .......................................................................................... 1
1.2 REELLE FOURIERREIHEN....................................................................... 1
1.2.1 Grundbegriffe .............................................................................. 1
1.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten ........................................... 3
1.2.3 Amplitudenspektrum ................................................................... 7
1.3 KOMPLEXE FOURIERREIHEN................................................................. 10
1.3.1 Grundlagen ................................................................................. 10
1.3.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten ......................... 11
2 FOURIERTRANSFORMATION 15
2.1 FOURIERINTEGRAL ................................................................................ 15
2.1.1 Übergang von der Fourierreihe zum Fourierintegral .................... 15
2.1.2 Eigenschaften des Fourierintegrals .............................................. 17
2.2 DEFINITION DER FOURIERTRANSFORMATION ................................. 22
3 LAPLACE-TRANSFORMATION 26
3.1 DEFINITION DER LAPLACE-TRANSFORMATION ............................... 26
3.2 INVERSE LAPLACE-TRANSFORMATION ............................................. 29
3.3 TRANSFORMATIONSREGELN ................................................................ 40
3.3.1 Laplace-Transformierte elementarer Zeitfunktionen .................... 41
3.3.2 Additionssatz .............................................................................. 45
3.3.3 Verschiebungssatz ....................................................................... 48
3.3.4 Dirac'sche Deltafunktion ............................................................. 55
3.3.5 Dämpfungssatz ........................................................................... 59
3.3.6 Partialbruchzerlegungen .............................................................. 62
3.3.7 Pol- Nullstellenplan einer echt gebrochen rationalen
Bildfunktion ................................................................................ 73
3.3.8 Faltungssatz ................................................................................ 76
3.3.9 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der
Bildfunktion ................................................................................ 79
3.3.10 Integrationssatz für die Originalfunktion ..................................... 83
3.3.11 Differentiationssatz für die Originalfunktion 88
3.3.12 Differentiationssatz für die verallgemeinerte Ableitung einer
Zeitfunktion ................................................................................ 91
3.3.13 Grenzwertsätze ........................................................................... 94
3.3.14 Differentiationssatz für die Bildfunktion ..................................... 97
3.3.15 Integrationssatz für die Bildfunktion ........................................... 99
VIII Inhalt
4 ANWENDUNGEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION
4.1 LÖSEN VON LINEAREN GEWÖHNLICHEN DIFFERENTIAL-
GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFIZIENTEN .......................... 102
4.2 LÖSEN VON SYSTEMEN GEWÖHNLICHER DIFFERENTIAL-
GLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFIZIENTEN ....................... 109
4.3 RCL – NETZWERKE ................................................................................. 116
4.4 ÜBERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN ........................ 131
4.4.1 Grundbegriffe ............................................................................. 131
4.4.2 Impulsantwort und Sprungantwort .............................................. 132
4.4.3 Übertragungsfunktion ................................................................. 132
4.4.4 Pol- Nullstellenplan einer Übertragungsfunktion 143
4.4.5 Stabilität von LTI-Systemen ........................................................ 145
4.4.6 Übertragungsfunktion und Frequenzgang .................................... 146
4.4.7 Berechnung des stationären Anteils des Ausgangssignals bei
nichtsinusförmigen periodischen Erregungen .............................. 151
4.5 ZUSAMMENSCHALTUNG VON LTI-SYSTEMEN ................................ 159
4.5.1 In Reihe geschaltete Systeme........................................................ 159
4.5.2 Parallel geschaltete Systeme …………………………………….. 162
4.5.3 Rückgekoppelte Systeme ............................................................. 163
4.5.4 Elementare Übertragungsglieder ................................................. 164
4.6 ARBEITEN MIT BLOCK-DIAGRAMMEN ............................................. 167
4.6.1 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm ..................... 167
4.6.2 Vom Block-Diagramm zur Übertragungsfunktion und
Netzwerkgleichung ..................................................................... 169
4.6.3 Stabilisierung durch Rückkopplung ............................................. 172
4.6.4 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern .............. 174
5 DIE Z-TRANSFORMATION (ZT) 178
5.1 DISKRETE FUNKTIONEN UND SIGNALE …………………………….. 178
5.2 DEFINITION DER Z-TRANSFORMATION ............................................. 179
5.3 EIGENSCHAFTEN DER Z-TRANSFORMATION ................................... 179
5.4 ÜBERGANG VON DER S-EBENE AUF die Z-EBENE ....................... 180
5.5 Z-TRANSFORMATION ELEMENTARER SIGNALFOLGEN …………. 181
5.5.1 Sprungfolge ................................................................................ 181
5.5.2 Deltaimpuls ……………………………………………………… 181
5.5.3 Verschobener Deltaimpuls ………………………………………. 182
5.5.4 Exponentialfolge ………………………………………………… 182
5.5.5 Rechteckimpulse der Länge N …………………………………… 182
5.5.6 Folge der abgetasteten cos((cid:2)t)- Funktionen ……………………. 183
5.6 WICHTIGE SÄTZE ZUR Z-TRANSFORMATION .................................. 184
5.6.1 Linearität ………………………………………………………... 184
5.6.2 Verschiebungssatz …………………………………...…………... 184
5.6.3 Dämpfungssatz .............................................…………………… 185
5.6.4 Multiplikationssatz …………………………………………........ 185
5.6.5 Faltungssatz …………………………………………………….... 185
Inhalt IX
5.6.6 Differenzenbildung ………………………………….................... 186
5.6.7 Summenbildung ………………………….................................... 186
5.6.8 Periodische Abtastfolge ……………………................................ 186
5.7 METHODEN DER RÜCKTRANSFORMATION ..................................... 190
5.7.1 Inverse z-Transformation............................................................. 190
5.7.2 Praktische Handhabung der Rücktransformation ……………….. 190
5.8 ANWENDUNGEN DER z-TRANSFORMATION ...................................... 193
5.8.1 Lineare Differenzengleichungen …….…………………….. 193
5.8.2 Systembeschreibung und z-Übertragungsfunktion ..……… 194
5.8.3 Frequenzgang ……………………………………………… 197
5.8.4 Systemstabilität ……………………………………………. 198
5.8.5 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) …………………………… 199
5.9 BLOCKDIAGRAMME DISKRETER LTI-SYSTEME ……………………. 201
5.9.1 Reihen-Schaltung ………………………………...………….… 201
5.9.2 Parallel-Schaltung ………………………………………..... 202
5.9.3 Rückgekoppelte Systeme ……………………………...…... 202
6 Anhang 205
6.1 ERGEBNISSE DER ÜBUNGSAUFGABEN ............................................. 205
6.2 EIGENSCHAFTEN DER DELTAFUNKTION ......................................... 223
6.3 SÄTZE ZUR LAPLACE-TRANSFORMATION ....................................... 224
6,4 KORRESPONDENZEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION ............. 225
6.5 SÄTZE ZUR Z-TRANSFORMATION ....................................................... 232
6.6 KORRESPONDENZEN DER z-TRANSFORMATION ……….………... 232
6.7 LITERATUR …….….…………………………………….………………… 234
Sachwortverzeichnis …………………………………………………………...… 235
1 Fourierreihen

1.1 Einführung
In vielen Bereichen der Naturwissenschaften und der Technik etwa in der Physik oder in der
Elektrotechnik, haben harmonische Schwingungen, die durch eine Sinusfunktion
f(t)(cid:4) Asin((cid:2)t(cid:5)(cid:3)) (1.1)
beschrieben werden können, eine große Bedeutung. Hierbei ist A die Amplitude, (cid:2) die Kreis-
(cid:3)
frequenz und der Nullphasenwinkel der harmonischen Schwingung.
Bei der Überlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Fälle zu unterschei-
den:
1. Überlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, so erhält man wie-
der eine harmonische Schwingung dieser Frequenz.
Von dieser Tatsache wird in der Elektrotechnik ständig Gebrauch gemacht. Durch Über-
lagerung von sinusförmigen Wechselspannungen der gleichen Frequenz, etwa der Netz-
frequenz 50 Hz erhält man wieder eine sinusförmige Wechselspannung derselben Fre-
quenz 50 Hz.
2. Durch Überlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener Frequenzen kann
man periodische Vorgänge erzeugen, die im Allgemeinen jedoch nicht sinusförmig sind.
Die Frequenzen dieser Schwingungen müssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
des periodischen Vorgangs sein (rationales Frequenzverhältnis), weil nur dadurch ge-
währleistet ist, dass sich am Ende der Periodendauer alle Schwingungen genau wieder im
Anfangszustand befinden, sodass der Vorgang sich periodisch wiederholen kann (s. Satz
1.1).
Es stellt sich jetzt die Frage, ob man auch umgekehrt "jede beliebige" periodische Funktion als
eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann.
Diese Frage wurde von dem französischen Mathematiker Jean Baptiste Fourier (1768 - 1830)
positiv beantwortet.
Die genauen Bedingungen hierfür wurden von dem deutschen Mathematiker Peter Gustav
Dirichlet (1805 - 1858) angegeben.

1.2 Reelle Fourierreihen
1.2.1 Grundbegriffe
Definition 1.1
Eine Funktion f(t) heißt T-periodisch (periodisch mit der Periode T), wenn für alle Zeit-
punkte t des Definitionsbereichs gilt:
f(t(cid:5)T)(cid:4) f(t) (1.2)
H. Weber, H. Ulrich, Laplace-, Fourierund z-Transformation, DOI 10.1007/978-3-8348-8291-2_1,
© Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2012
2 1 Fourierreihen

Definition 1.2
Eine T-periodische Funktion f(t) genügt den Dirichletbedingungen, wenn
1. f(t) beschränkt ist,
(cid:6) (cid:7)
2. f(t) im Intervall 0,T höchstens endlich viele Unstetigkeitsstellen hat,
3. die Ableitung f(cid:8)(t)im Intervall (cid:6)0,T (cid:7)bis auf höchstens endlich viele Stellen stetig ist.

Eine T-periodische Funktion f(t), die den Dirichletbedingungen genügt, kann innerhalb einer
Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden, auf denen f(t) monoton und
stetig verläuft. An Unstetigkeitsstellen treten nur endliche Sprunghöhen auf.
Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretenden periodischen Zeit-
funktionen im Allgemeinen erfüllt.
Satz 1.1
Eine T-periodische Funktion, welche den Dirichletbedingungen genügt, lässt sich als Fou-
rierreihe
(cid:9)
(cid:14)
f(t) = a + (cid:10)(cid:12)a cos(k(cid:2)t)+ b sin(k(cid:2)t)(cid:11)(cid:13) (1.3)
0 k 0 k 0
k=1
2(cid:15)
darstellen, wobei (cid:2) (cid:4) die Grundkreisfrequenz ist.
0
T
Gl. (1.3) lässt sich folgendermaßen physikalisch interpretieren:
Jeder periodische Vorgang kann in eine Summe von harmonischen Schwingungen zerlegt
werden. Dabei können neben der Grundfrequenz nur ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz
auftreten. Man spricht in diesem Zusammenhang daher auch von Fourieranalyse, bzw. har-
monischer Analyse.
Satz 1.2
Eine Fourierreihe konvergiert an jeder Stetigkeitsstelle t der Zeitfunktion f(t) gegen den
s
Funktionswert f(t ) und an einer Unstetigkeitsstelle t gegen das arithmetische Mittel aus
s u
dem rechts- und linksseitigen Grenzwert
1(cid:10) (cid:11)
2(cid:19)(cid:12)(cid:16)lti(cid:17)m0 f(tu (cid:5)(cid:16)t)(cid:5)(cid:16)lti(cid:17)m0 f(tu (cid:18)(cid:16)t)(cid:20)(cid:13)
der Zeitfunktion f(t).
Für die weiteren Überlegungen ist es zweckmäßig, durch die Substitution
x (cid:4) (cid:2)t (1.4)
0
von einer T-periodischen Funktion f(t) zu einer 2(cid:15)-periodischen Funktion f(x) überzugehen.
Man hat dann den Vorteil, periodische Funktionen f(x) zu betrachten, die alle die gleiche Peri-
ode 2(cid:15) haben.