Laplace-, Fourier- und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen

251 Pages·2017·4.68 MB·German

by  Helmut Ulrich

Helmut Ulrich
Hubert Weber
Laplace-, Fourier-
und z-Transformation
Grundlagen und Anwendungen
10. Auflage
Laplace-, Fourier- und z-Transformation
Helmut Ulrich · Hubert Weber
Laplace-, Fourier-
und z-Transformation
Grundlagen und Anwendungen
10., erweiterte Auflage
Helmut Ulrich Hubert Weber
Wenzenbach, Deutschland Regensburg, Deutschland
ISBN 978-3-658-03449-8 ISBN 978-3-658-03450-4 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-03450-4
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detail-
lierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer Vieweg
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1976, 1978, 1981, 1984, 1987, 1990, 2003, 2007, 2012, 2017
Die Auflagen 1 – 8 sind unter dem Titel „Laplace-Transformation“ erschienen.
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht
ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags.
Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die
Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt
auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen-
und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden
dürften.
Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in
diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch
die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des
Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und
Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral.
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
Springer Vieweg ist Teil von Springer Nature
Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany
Vorwort

Der Inhalt der vorliegenden Neuauflage wurde didaktisch und inhaltlich umfassend überarbei-
tet, wobei das grundlegende Konzept des Buches beibehalten wurde.
Vor allem die Fourier-Transformation wurde neu gestaltet und Ergänzungen, wie das Zeit-
Bandbreite-Produkt, mit aufgenommen. Neu hinzu gekommen ist auch die Behandlung partiel-
ler Differentialgleichungen in Abschnitt 4.5.
Ziel des Buches ist es, die Prinzipien und Vorgehensweisen der auszuführenden Transforma-
tionen zu vermitteln und die Vorteile zu erkennen, die damit verbunden sind.
Während die Fourier-Transformation vor allem für die Frequenzanalyse verwendet wird, wer-
den mit der Laplace-Transformation lineare und zeitinvariante Systeme behandelt und berech-
net. Die im Zeitbereich oft nicht einfachen Differentialgleichungen, die das Systemverhalten
beschreiben, gehen durch die Laplace-Transformation in algebraische Gleichungen über, die
wesentlich einfacher zu lösen sind. Daraus ergeben sich wiederum die für ein System wichtige
Übertragungsfunktion, das Input-/Outputverhalten von Signalen und Aussagen zur Systemsta-
bilität. Durch diesen Vorteil erlangte die Laplace-Transformation große Bedeutung auf vielen
Gebieten, wie der Elektro- und Informationstechnik, der Nachrichtentechnik, der Regelungs-
technik, der Mechatronik und Physik.
Zur Beschreibung diskreter Signale und Systeme eignet sich die z-Transformation. Problem-
stellungen, wie etwa die Abtastung kontinuierlicher Signale, können damit elegant gelöst wer-
den. Wichtige Begriffe, wie Übertragungsfunktion, Frequenzverhalten oder Input-/Outputver-
halten, können mit der z-Transformation auf diskrete Signale und Systeme übertragen werden.
Die zahlreich vorhandenen Beispiele und Aufgaben dienen der praktischen Anwendung im
Umgang mit diesen Methoden.
Meinem Kollegen, Prof. Dr. Manfred Leitz, möchte ich besonders danken für die wertvollen
Diskussionen und Vorschläge, vor allem zum Abschnitt der Fourier-Transformation.
Der Begründer dieses Buches, Prof. Hubert Weber, ist Anfang 2016 bedauerlicher Weise ver-
storben. Ihm sei mit dieser Neuauflage ein ehrendes Gedenken gewidmet.

Regensburg, im September 2017 Helmut Ulrich
(cid:3) (cid:3)
(cid:3)
(cid:44)(cid:81)(cid:75)(cid:68)(cid:79)(cid:87)(cid:86)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:93)(cid:72)(cid:76)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:86)(cid:3)
(cid:3)
(cid:57)(cid:82)(cid:85)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:57)(cid:3)
(cid:20)(cid:3) (cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:53)(cid:72)(cid:76)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:40)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:129)(cid:75)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:53)(cid:72)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:53)(cid:72)(cid:76)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:21)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:21)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:42)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:69)(cid:72)(cid:74)(cid:85)(cid:76)(cid:73)(cid:73)(cid:72)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:21)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:21)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:46)(cid:82)(cid:72)(cid:73)(cid:73)(cid:76)(cid:93)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:22)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:21)(cid:17)(cid:22)(cid:3) (cid:36)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:71)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:78)(cid:87)(cid:85)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:26)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:22)(cid:3) (cid:46)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:72)(cid:91)(cid:72)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:53)(cid:72)(cid:76)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:19)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:42)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:19)(cid:3)
(cid:20)(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:78)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:72)(cid:91)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:46)(cid:82)(cid:72)(cid:73)(cid:73)(cid:76)(cid:93)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:3)c(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:20)(cid:3)
k
(cid:20)(cid:17)(cid:23)(cid:3) (cid:36)(cid:88)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:85)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:53)(cid:72)(cid:76)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:23)(cid:3)
(cid:21)(cid:3) (cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:41)(cid:55)(cid:12)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:25)(cid:3)
(cid:21)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:104)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:74)(cid:68)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:89)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:53)(cid:72)(cid:76)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:25)(cid:3)
(cid:21)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:39)(cid:72)(cid:73)(cid:76)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:27)(cid:3)
(cid:21)(cid:17)(cid:22)(cid:3) (cid:44)(cid:81)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:20)(cid:28)(cid:3)
(cid:21)(cid:17)(cid:23)(cid:3) (cid:40)(cid:76)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:73)(cid:87)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:72)(cid:78)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:21)(cid:19)(cid:3)
(cid:21)(cid:17)(cid:24)(cid:3) (cid:53)(cid:72)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:21)(cid:19)(cid:3)
(cid:21)(cid:17)(cid:25)(cid:3) (cid:37)(cid:72)(cid:76)(cid:86)(cid:83)(cid:76)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:88)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:36)(cid:88)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:85)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:88)(cid:85)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:21)(cid:21)(cid:3)
(cid:22)(cid:3) (cid:47)(cid:68)(cid:83)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:11)(cid:47)(cid:55)(cid:12)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:21)(cid:28)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:39)(cid:72)(cid:73)(cid:76)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:47)(cid:68)(cid:83)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:21)(cid:28)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:44)(cid:81)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:47)(cid:68)(cid:83)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:22)(cid:21)(cid:3)
(cid:36)(cid:88)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:36)(cid:69)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:3)(cid:22)(cid:17)(cid:21)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:23)(cid:20)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:3) (cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:85)(cid:72)(cid:74)(cid:72)(cid:79)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:23)(cid:22)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:47)(cid:68)(cid:83)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:80)(cid:72)(cid:81)(cid:87)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:61)(cid:72)(cid:76)(cid:87)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:23)(cid:22)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:36)(cid:71)(cid:71)(cid:76)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:86)(cid:68)(cid:87)(cid:93)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:23)(cid:26)(cid:3)
(cid:36)(cid:88)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:36)(cid:69)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:3)(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:21)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:23)(cid:28)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:3) (cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:76)(cid:72)(cid:69)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:86)(cid:68)(cid:87)(cid:93)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:24)(cid:19)(cid:3)
(cid:36)(cid:88)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:36)(cid:69)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:3)(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:17)(cid:22)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:24)(cid:24)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:23)(cid:3) (cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:79)(cid:87)(cid:68)(cid:16)(cid:41)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:303)(cid:11)t(cid:12)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:24)(cid:25)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:23)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:36)(cid:88)(cid:86)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:71)(cid:72)(cid:76)(cid:74)(cid:72)(cid:81)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:68)(cid:73)(cid:87)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:303)(cid:16)(cid:41)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:24)(cid:26)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:23)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:47)(cid:68)(cid:83)(cid:79)(cid:68)(cid:70)(cid:72)(cid:16)(cid:55)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:79)(cid:87)(cid:68)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:24)(cid:28)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:23)(cid:17)(cid:22)(cid:3) (cid:303)(cid:16)(cid:41)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:79)(cid:86)(cid:3)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:74)(cid:72)(cid:80)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:87)(cid:72)(cid:3)(cid:36)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:76)(cid:87)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:24)(cid:28)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:23)(cid:17)(cid:23)(cid:3) (cid:39)(cid:108)(cid:80)(cid:83)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:86)(cid:86)(cid:68)(cid:87)(cid:93)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:25)(cid:19)(cid:3)
(cid:36)(cid:88)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:36)(cid:69)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:3)(cid:22)(cid:17)(cid:23)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:25)(cid:21)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:24)(cid:3) (cid:51)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:70)(cid:75)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:72)(cid:74)(cid:88)(cid:81)(cid:74)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:25)(cid:22)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:24)(cid:17)(cid:20)(cid:3) (cid:37)(cid:76)(cid:79)(cid:71)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:87)(cid:3)(cid:81)(cid:88)(cid:85)(cid:3)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:68)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:51)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:25)(cid:22)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:24)(cid:17)(cid:21)(cid:3) (cid:37)(cid:76)(cid:79)(cid:71)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:87)(cid:3)(cid:80)(cid:72)(cid:75)(cid:85)(cid:73)(cid:68)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:51)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:25)(cid:25)(cid:3)
(cid:22)(cid:17)(cid:24)(cid:17)(cid:22)(cid:3) (cid:37)(cid:76)(cid:79)(cid:71)(cid:73)(cid:88)(cid:81)(cid:78)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:87)(cid:3)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:68)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:78)(cid:82)(cid:80)(cid:83)(cid:79)(cid:72)(cid:91)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:51)(cid:82)(cid:79)(cid:86)(cid:87)(cid:72)(cid:79)(cid:79)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:25)(cid:28)(cid:3)
(cid:36)(cid:88)(cid:73)(cid:74)(cid:68)(cid:69)(cid:72)(cid:81)(cid:3)(cid:93)(cid:88)(cid:80)(cid:3)(cid:36)(cid:69)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:81)(cid:76)(cid:87)(cid:87)(cid:3)(cid:22)(cid:17)(cid:24)(cid:3)(cid:3)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:17)(cid:3)(cid:3) (cid:26)(cid:21)(cid:3)
VIII Inhaltsverzeichnis

3.6 Faltungssatz .......................................................................................................... 73
Aufgaben zum Abschnitt 3.6 ................................................................................ 75
3.7 Inverse Laplace-Transformation durch Reihenentwicklung der Bildfunktion ...... 76
Aufgabe zum Abschnitt 3.7 .................................................................................. 79
3.8 Integrationssatz für die Originalfunktion .............................................................. 79
Aufgaben zum Abschnitt 3.8 ................................................................................ 83
3.9 Differentiationssatz für die Originalfunktion ........................................................ 84
3.9.1 Differentiationssatz der verallgemeinerten Ableitung
einer Originalfunktion ............................................................................... 87
3.10 Grenzwertsätze ...................................................................................................... 90
3.10.1 Anfangswertsatz ....................................................................................... 90
3.10.2 Endwertsatz .............................................................................................. 91
Aufgaben zum Abschnitt 3.10 .............................................................................. 92
3.11 Differentiationssatz für die Bildfunktion .............................................................. 92
Aufgaben zum Abschnitt 3.11 .............................................................................. 94
3.12 Integrationssatz für die Bildfunktion .................................................................... 95
Aufgaben zum Abschnitt 3.12 .............................................................................. 97
4 Anwendungen der Laplace-Transformation ............................................................. 98
4.1 Lösen von linearen, gewöhnlichen Differentialgleichungen
mit konstanten Koeffizienten ................................................................................ 98
Aufgaben zum Abschnitt 4.1 ................................................................................ 104
4.2 Lösen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten ........................................................................................................ 105
Aufgaben zum Abschnitt 4.2 ................................................................................ 111
4.3 RCL-Netzwerke .................................................................................................... 112
Aufgaben zum Abschnitt 4.3 ................................................................................ 124
4.4 Übertragungsverhalten von linearen Netzwerken ................................................. 127
4.4.1 LTI-Systeme .............................................................................................. 127
4.4.2 Impulsantwort und Sprungantwort ............................................................ 128
4.4.3 Übertragungsfunktion ................................................................................ 128
4.4.4 Pol-Nullstellen-Plan einer echt gebrochen, rationalen Bildfunktion ......... 139
4.4.5 Stabilität von linearen Systemen ................................................................ 142
4.4.6 Übertragungsfunktion und Frequenzgang .................................................. 143
4.4.7 Ausgangssignal bei impulsförmig, periodischer Anregung ....................... 147
Aufgaben zu Abschnitt 4.4 .................................................................................... 152
4.5 Lineare, partielle Differentialgleichungen ............................................................ 155
5 Zusammenschaltung von LTI-Systemen .................................................................... 160
5.1 In Reihe geschaltete Systeme ................................................................................ 160
5.2 Parallel geschaltete Systeme ................................................................................. 163
5.3 Rückgekoppelte Systeme ...................................................................................... 164
5.4 Elementare Übertragungsglieder ........................................................................... 166
5.5 Arbeiten mit Block-Diagrammen .......................................................................... 168
5.5.1 Von der Netzwerkgleichung zum Block-Diagramm ................................. 168
5.5.2 Vom Block-Diagramm zur Netzwerkgleichung
und Übertragungsfunktion ......................................................................... 170
5.6 Stabilisierung durch Rückkopplung ...................................................................... 173
Inhaltsverzeichnis IX

5.7 Versetzen von Strukturelementen in Blockschaltbildern ...................................... 175
5.7.1 G(s) über eine Additionsstelle vorwärts schieben. .................................... 175
5.7.2 G(s) über eine Additionsstelle rückwärts schieben .................................... 176
5.7.3 G(s) über eine Verzweigungsstelle vorwärts schieben .............................. 176
5.7.4 G(s) über eine Verzweigungsstelle rückwärts schieben ............................ 176
5.7.5 Rückkopplungskreis zusammenfassen ...................................................... 176
5.8 Aufgaben zu Abschnitt 5 ...................................................................................... 177
6 Die z-Transformation (ZT) ......................................................................................... 179
6.1 Diskrete Funktionen und Signale .......................................................................... 179
6.2 Definition der z-Transformation ........................................................................... 180
6.3 Eigenschaften der z-Transformation ..................................................................... 181
6.4 Abbildung der s-Ebene auf die z-Ebene ............................................................... 181
6.5 z-Transformation elementarer Signalfolgen ......................................................... 182
6.5.1 Sprungfolge ............................................................................................... 182
6.5.2 Deltaimpuls ............................................................................................... 183
6.5.3 Verschobener Deltaimpuls ........................................................................ 183
6.5.4 Exponentialfolge ........................................................................................ 183
6.5.5 Rechteckimpuls der Länge N .................................................................... 184
6.5.6 Folge der abgetasteten cos-Funktion ......................................................... 185
6.6 Sätze zur z-Transformation ................................................................................... 186
6.6.1 Linearität ................................................................................................... 186
6.6.2 Verschiebungssatz ..................................................................................... 186
6.6.3 Dämpfungssatz .......................................................................................... 186
6.6.4 Multiplikationssatz im Zeitbereich ............................................................ 187
6.6.5 Faltungssatz ............................................................................................... 187
6.6.6 Differenzenbildung .................................................................................... 188
6.6.7 Summenbildung ......................................................................................... 188
6.6.8 Periodische Abtastfolge ............................................................................. 188
6.7 Methoden der Rücktransformation ....................................................................... 192
6.7.1 Inverse z-Transformation (ZT−1) ............................................................... 192
6.7.2 Praktische Methoden der Rücktransformation .......................................... 192
Aufgaben zu Abschnitt 6.6 und 6.7 ...................................................................... 194
6.8 Diskrete LTI-Systeme ........................................................................................... 195
6.8.1 Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten ................ 195
6.8.2 Übertragungsfunktion G(z) ........................................................................ 197
6.8.3 Frequenzgang F(ω) .................................................................................... 199
6.8.4 Systemstabilität .......................................................................................... 200
6.8.5 Pol-Nullstellen-Plan (PN-Plan) ................................................................. 201
6.9 Blockdiagramme diskreter LTI-Systeme .............................................................. 203
6.9.1 Reihen-Schaltung diskreter Teilsysteme ................................................... 203
6.9.2 Parallel-Schaltung diskreter Teilsysteme ................................................... 204
6.9.3 Rückgekoppelte diskrete Systeme ............................................................. 206
Aufgaben zu Abschnitt 6.8 und 6.9 ...................................................................... 208
X Inhaltsverzeichnis

7 Anhang .......................................................................................................................... 209
7.1 Ergebnisse der Aufgaben ...................................................................................... 209
7.2 Eigenschaften der Deltafunktion ........................................................................... 227
7.3 Sätze zur Laplace-Transformation ........................................................................ 228
7.4 Korrespondenzen der Laplace-Transformation ..................................................... 229
7.5 Sätze zur z-Transformation ................................................................................... 237
7.6 Korrespondenzen der z-Transformation ............................................................... 237
Literatur ............................................................................................................................... 239
Sachwortverzeichnis ............................................................................................................ 240
1 Fourier-Reihen
Zusammenfassung Periodische Funktionen und Signale können als Überlagerung von har-
monischen Schwingungen dargestellt werden. Deren Frequenzen müssen ganzzahlige Vielfa-
che der Grundfrequenz des periodischen Signals sein. Die Methode mit der man die entspre-
chenden Schwingungsanteile aufsummiert ist die Fourier-Reihe. Die Koeffizienten dieser
Summe ergeben ein Linienspektrum, aus dem hervorgeht, aus welchen Frequenzanteilen sich
das Zeitsignal zusammensetzt.
1.1 Einführung
In vielen Bereichen der Physik und der Technik haben harmonische Schwingungen eine
große Bedeutung. Harmonische Schwingungen werden durch eine Sinusfunktion der Art
f(t) Asin(t) (1.1)
beschrieben. Hierbei ist A die Amplitude,  die Kreisfrequenz und  der Phasenwinkel.
Bei der Überlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Fälle zu unterscheiden:
1. Überlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, so erhält man wie-
der eine harmonische Schwingung derselben Frequenz. Amplitude und Phase werden
dabei jedoch geändert.
In der Wechselstromtechnik findet diese Tatsache häufig Verwendung. Durch Überlage-
rung von sinusförmigen Wechselspannungen der gleichen Frequenz, etwa der Netzfre-
quenz 50 Hz, erhält man wieder eine sinusförmige Wechselspannung der Frequenz
50 Hz.
2. Durch Überlagerung von harmonischen Schwingungen verschiedener Frequenzen kann
man periodische Vorgänge erzeugen, die im Allgemeinen jedoch nicht sinusförmig sind.
Die Frequenzen dieser Schwingungen müssen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
des periodischen Vorgangs sein, d. h. ein rationales Frequenzverhältnis haben, weil nur
dadurch gewährleistet ist, dass sich am Ende der Periodendauer alle Schwingungen genau
wieder im ursprünglichen Anfangszustand befinden, so dass der Vorgang sich periodisch
wiederholen kann.
Diese beiden Fälle sollen später noch genauer analytisch untersucht werden.
Es stellt sich jetzt die Frage, ob man auch umgekehrt eine beliebige periodische Funktion als
eine Summe von harmonischen Schwingungen darstellen kann.
Diese Frage wurde von dem französischen Mathematiker Joseph B. Fourier (1768–1830) un-
tersucht und eine Berechnungsmethode dafür angegeben. Die genauen Bedingungen hierfür
wurden später von dem deutschen Mathematiker Peter Gustav Dirichlet (1805–1859) for-
muliert.

© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017
H. Ulrich und H. Weber, Laplace-, Fourier- und z-Transformation,
https://doi.org/10.1007/978-3-658-03450-4_1