Lagrangian Mechanics: An Advanced Analytical Approach

318 Pages·2019·4.73 MB·English

by  Anh Le Van, Rabah Bouzidi

Lagrangian Mechanics
To our parents;
to Nicole and Younnik, to Mai;
to Yemma Nounou, Shehrazed, Rayane, Redwan, Elyas
Series Editor
Noël Challamel
Lagrangian Mechanics

An Advanced Analytical Approach

Anh Le van
Rabah Bouzidi
First published 2019 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
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© ISTE Ltd 2019
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Library of Congress Control Number: 2019937362

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN 978-1-78630-436-0
Contents
Preface xi
1 Kinematics 1
1.1 Observer–Referenceframe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Datepostulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Datechangepostulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Physicalspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Mathematicalspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Positionpostulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.4 TypicaloperationsonthemathematicalspaceE . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.5 Positionchangepostulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.6 ThecommonreferenceframeR0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.7 Coordinatesystemofareferenceframe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.8 Fixedpointandfixedvectorinareferenceframe . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Derivativeofavectorwithrespecttoareferenceframe. . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Velocityofaparticle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Angularvelocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Referenceframedefinedbyarigidbody:Rigidbodydefinedbyareference
frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Pointattachedtoarigidbody:Vectorattachedtoarigidbody . . . . . . . . . . . 19
1.9 Velocitiesinarigidbody. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10Velocitiesinamechanicalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.11Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11.1 Accelerationofaparticle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11.2 Accelerationsinamechanicalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.12Compositionofvelocitiesandaccelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.12.1 Compositionofvelocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.12.2 Compositionofaccelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.13Angularmomentum:Dynamicmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 ParameterizationandParameterizedKinematics 27
2.1 Positionparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Positionparametersofaparticle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Positionparametersforarigidbody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Positionparametersforasystemofrigidbodies . . . . . . . . . . . . . . . 32
vi LagrangianMechanics
2.2 Mechanicaljoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Constraintequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Dependenceoftherotationtensorofthereferenceframeontheretained
parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Velocityofaparticle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Angularvelocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8 Velocitiesinarigidbody. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 Velocitiesinamechanicalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.10Parameterizedvelocityofaparticle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.10.2 Practicalcalculationoftheparameterizedvelocity . . . . . . . . . . . . . . 49
2.11Parameterizedvelocitiesinarigidbody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.12Parameterizedvelocitiesinamechanicalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.13Lagrange’skinematicformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.14Parameterizedkineticenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Efforts 57
3.1 Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Externalandinternalefforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.1 Externaleffort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4.2 Internaleffort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5 Giveneffortsandconstraintefforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Momentfield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 VirtualKinematics 67
4.1 Virtualderivativeofavectorwithrespecttoareferenceframe . . . . . . . . . . . 67
4.2 Virtualvelocityofaparticle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Virtualangularvelocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Virtualvelocitiesinarigidbody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.1 Thevirtualvelocityfield(VVF)associatedwithaparameterization . . . . . 81
4.4.2 Virtualvelocityfield(VVF)inarigidbody . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.5 Virtualvelocitiesinasystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.1 VVFassociatedwithaparameterization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5.2 VVFoneachrigidbodyofasystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.5.3 Virtualvelocityofthecenterofmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.6 Compositionofvirtualvelocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.1 Compositionofvirtualvelocitiesofaparticle . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6.2 Compositionofvirtualangularvelocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6.3 CompositionofVVFsinrigidbodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.7 Methodofcalculatingthevirtualvelocityatapoint . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 VirtualPowers 91
5.1 Principleofvirtualpowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 VPofeffortsinternaltoeachrigidbody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 VPofefforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 VPofeffortsexertedonarigidbody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.1 Generalexpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.2 VPofzeromomentfieldeffortsexerteduponarigidbody . . . . . . . . . . 94
5.4.3 DependenceoftheVPofeffortsonthereferenceframe . . . . . . . . . . . 94
Contents vii
5.5 VPofeffortsexertedonasystemofrigidbodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.1 Generalexpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.2 DependenceoftheVPoftheeffortsonthereferenceframe . . . . . . . . . 96
5.5.3 VPofzeromomentfieldeffortsexertedonasystemofrigidbodies . . . . . 96
5.5.4 VPofinter-effortsbetweentherigidbodiesofasystem . . . . . . . . . . . 96
5.5.5 Thespecificcaseoftheinter-effortsbetweentworigidbodies . . . . . . . . 97
5.6 SummaryofthecaseswheretheVVandVPareindependentofthereference
frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7 VPofeffortsexpressedasalinearformoftheq˙∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
i
5.8 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.8.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.8.2 Examplesofpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.9 VPofthequantitiesofacceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Lagrange’sEquations 111
6.1 ChoiceofthecommonreferenceframeR0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.2 Lagrange’sequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.3 Reviewandtheneedtomodeljoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Existenceanduniquenessofthesolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.5 Equationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.6 Example1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.7 Example2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.7.1 Reducedparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.7.2 Totalparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.7.3 Comparingthetwoparameterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.8 Example3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.8.1 Independentparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.8.2 Totalparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.8.3 Comparingthetwoparameterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.9 Workinginanon-Galileanreferenceframe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 PerfectJoints 131
7.1 VFscompatiblewithamechanicaljoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.1 Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.1.2 GeneralizingthedefinitionofacompatibleVVF . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.1.3 Example1forVVFscompatiblewithamechanicaljoint . . . . . . . . . . . 135
7.1.4 Example2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.1.5 Example3:particlemovingalongahooprotatingaroundafixedaxis . . . . 137
7.2 InvarianceofthecompatibleVVFswithrespecttothechoiceoftheprimitive
parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.1 Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2.2 Relationshipsbetweentherealquantitiesresultingfromthetwo
parameterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2.3 Relationshipsbetweenthevirtualquantitiesresultingfromthetwo
parameterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.2.4 IdentitybetweentheVVFsassociatedwiththetwoparameterizationsand
compatiblewithamechanicaljoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
viii LagrangianMechanics
7.3 InvarianceofthecompatibleVVFswithrespecttothechoiceoftheretained
parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.1 Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.3.2 Relationshipsbetweentherealquantitiesresultingfromthetwo
parameterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3.3 Relationshipsbetweenthevirtualquantitiesresultingfromthetwo
parameterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.3.4 IdentitybetweentheVVFsassociatedwiththetwoparamaterizationsand
compatiblewithamechanicaljoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3.5 Example1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3.6 Example2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3.7 Example3:particlemovingalongahooprotatingaroundafixedaxis . . . . 156
7.4 InvarianceofthecompatibleVVFswithrespecttothechoiceofthe
parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5 Perfectjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5.1 Definitionofaperfectjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5.2 Example1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.5.3 Example2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5.4 Example3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.5.5 Example4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.6 Example:aperfectcompoundjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.6.1 Perfectcombinedjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.6.2 Superimpositionoftwoperfectelementaryjoints . . . . . . . . . . . . . . . 169
8 Lagrange’sEquationsintheCaseofPerfectJoints 173
8.1 Lagrange’sequationsinthecaseofperfectjointsandanindependent
parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1.1 Lagrange’sequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1.2 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.1.3 Particularcase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Lagrange’sequationsinthecaseofperfectjointsandinthepresenceof
complementaryconstraintequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.1 Lagrange’sequationswithmultipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.2.2 PracticalcalculationusingLagrange’smultipliers . . . . . . . . . . . . . . 178
8.2.3 Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.2.4 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Example:particleonarotatinghoop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.3.1 Independentparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.3.2 Reducedparameterizationno.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3.3 Reducedparameterizationno.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.3.4 Calculationoftheenginetorque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4 Example:rigidbodyconnectedtoarotatingrodbyasphericaljoint(no.1) . . . . 187
8.5 Example:rigidbodyconnectedtoarotatingrodbyaspherical(jointno.2) . . . . 189
8.5.1 Totalparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.5.2 Independentparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.6 Example:rigidbodysubjectedtoadoublecontact . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.6.1 Preliminaryanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.6.2 Independentparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.6.3 Reducedparameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Contents ix
9 FirstIntegrals 199
9.1 Painlevé’sfirstintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.1.1 Painlevé’slemma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.1.2 Painlevé’sfirstintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.2 Theenergyintegral:conservativesystems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.2.1 Energyconsiderationsinadditiontotheenergyintegral . . . . . . . . . . . 204
9.3 Example:diskrollingonasuspendedrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.4 Example:particleonarotatinghoop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.5 Example:arigidbodyconnectedtoarotatingrodbyasphericaljoint(no.1) . . . 208
9.5.1 FirstintegralsviaNewtonianmechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.6 Example:rigidbodyconnectedtoarotatingrodbyasphericaljoint(no.2) . . . . 209
9.7 Example:rigidbodysubjectedtoadoublecontact . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.7.1 UsingNewtonianmechanicstofindafirstintegral . . . . . . . . . . . . . . 211
10 Equilibrium 213
10.1Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.1.1 Absoluteequilibrium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
10.1.2 Parametricequilibrium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
10.2Equilibriumequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.2.1 Listofequationsandunknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
10.2.2 Theexplicitpresenceoftimeinequilibriumequations . . . . . . . . . . . . 218
10.3Equilibriumequationsinthecaseofperfectjointsandindependent
parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.3.1 Listofequationsandunknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.4Equilibriumequationsinthecaseofperfectjointsandinthepresenceof
complementaryconstraintequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.4.1 Listofequationsandunknowns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
10.5Stabilityofanequilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.6Example:equilibriumofajack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.7Example:equilibriumofaliftingplatform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.8Example:equilibriumofarodinagutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.9Example:existenceofrangesofequilibriumpositions . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.10Example:relativeequilibriumwithrespecttoarotatingreferenceframe . . . . . 230
10.11Example:equilibriuminthepresenceofcontactinequalities . . . . . . . . . . . 232
10.12Calculatinginternalefforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.13Example:internaleffortsinatruss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.13.1 TensionforceinbarA(cid:3)A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.13.2 TensionforceinbarB(cid:3)B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.14Example:internaleffortsinatripod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11 RevisionProblems 243
11.1Equilibriumoftworods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11.1.1 AnalysisusingNewton’slaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.2Equilibriumofanelasticchair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3Equilibriumofadumptruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.4Equilibriumofasetsquare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.5Motionofametronome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.5.1 Equationofmotion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.5.2 Firstintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.5.3 Thecaseofsmalloscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.5.4 CasewherethebaseSmayslidewithoutfrictiononthetableT . . . . . . . 251