La trialité

40 Pages·2011·2.61 MB·French

La trialité: un phénomène exceptionnel en
géométrie et en algèbre
M-A. Knus, ETH Zürich
Fribourg, 30 novembre 2010
Plan
(cid:73) Introduction à la trialité
(cid:73) Lien avec les algèbres de composition
(cid:73) Quelques variations
(trialité sur le corps à un élément, théorie de Galois)
Introduction
La dualité dans le plan projectif P2
Dualité : une relation
D : Points Droites
←→
qui respecte les relations d’incidence
Conique = P P2 P D(P)
{ ∈ | ∈ }
Groupe linéaire
V : espace vectoriel de dimension n sur un corps F, charF = 2
(cid:54)
(par exemple F = R)
L’ espace projectif de dimension n 1 sur V :
−
Pn−1(V) = V 0 / v w v = λw, λ F× = F 0
∼
\{ } ∼ ⇔ ∈ \{ }
On note [v] Pn−1(V) la classe de v V.
∈ ∈
Aut (cid:0)Pn−1(V)(cid:1) = PGL(V) = GL(V)/F×, ϕ [ϕ]
F
(cid:55)→
La dualité induit un automorphisme d’ordre 2 de PGL(V).
Soit
b: V V F
× →
une forme bilinéaire symétrique non-singulière
Pour ϕ GL(V), la transposée ϕt GL(V) est définie par
∈ ∈
b(cid:0)ϕ(x),y(cid:1) = b(cid:0)x,ϕt(y)(cid:1)
L’application
δ: PGL(V) PGL(V), [ϕ] [ϕˆ] = [(ϕt)−1]
→ (cid:55)→
qui associe à ϕ sa contragrédiente ϕˆest un automorphisme
extérieur de PGL(V) d’ordre 2.
Automorphismes intérieurs et extérieurs
Soit G un groupe. Un automorphisme intérieur est donné par
Int(g)(x) = gxg−1, g G.
∈
On a
(cid:0) (cid:1)
Ker Int: G Aut(G) = Z(G)
→
Pour G = PGL(V), Z(G) = 1 et PGL(V) s’identifie à un
{ }
sous-groupe du groupe des automorphismes et
(cid:0) (cid:1)
Aut PGL(V) = PGL(V) PGL(V) δ
(cid:116) ·
= PGL(V)(cid:111)Z/2
Géométrie sur une quadrique
Soit V de dimension paire, n = 2m, et b: V V F une
× →
forme bilinéaire non singulière d’indice maximal (p. ex.
b = 1,1,..., 1, 1 ).
(cid:104) − − (cid:105)
Q2m−2 = [x] P2m−1(V) b(x,x) = 0, x = 0 V
{ ∈ | (cid:54) ∈ }
est une quadrique de dimension 2m 2 avec des
−
sous-espaces isotropes U de dimension (projective)
0 (points), 1 (droites),..., m 1.
−
Les relations d’incidence entre espaces isotropes définissent
une géométrie.
Le groupe orthogonal projectif
Le groupe
(cid:0) (cid:1)
GO(V,b) = ϕ GL(V) b ϕ(x),ϕ(y) = λb(x,y)
{ ∈ |
est le groupes des similitudes de la forme b et le groupe
d’automorphismes (sur F) de la quadrique est
PGO(V,b) = GO(V,b)/F× ϕ GO(V,b), [ϕ] PGO(V,b)
∈ ∈
Le groupe orthogonal spécial
Il y a deux modes complémentaires de sous-espaces isotropes
de dimension maximale m 1 :
−
U U dimU U m 1 mod 2
1 2 1 2
∼ ⇐⇒ ∩ ≡ −
et PGO+(V,b) est le sous-groupe de PGO(V,b) qui respecte
les deux modes.
Hyperboloïde (m = 2)