La proporción áurea: el lenguaje matemático de la belleza

159 Pages·2010·24.7 MB·Spanish

by  Fernando Corbalán

La proporción
áurea
El lenguaje matemático de la belleza
Fernando Corbalán
La proporción
aurea
El lenguaje matemáticode la belleza
¿Puede la bellezaexpresarse entérminos matemáticos? Desde
antiguo,la proporciónáurea se ha relacionadocon laarmonía
enel arte y la naturaleza,hastael puntode merecerel apelativo
de "divina".La encontramos en la sonrisa de LaGioconda,
perotambién en lospétalosde lasrosas,en laforma dealgunos
animales o en los brazosen espiral de lasgalaxias.

La proporción
áurea
El lenguaje matemático de la belleza
Fernando Corhalán
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©2010,FernandoCorbalánporeltexto
©2010.RBA�����������≤S.A.
Realización:EDITEC
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Diseñointerior:Babel,disseny ¡mzquerzciójl.
Créditosfotográficos;agefotostock,Aisa,Album.Corbis,
Getty�����≤�¡Slackpholo �
Rescmdostodoslosderechºs.Ningunapartea::…
publicaciónpuedeserreproducida,almacenada tnnsmiuda
porningúnmediosinpermisodeled….
ISBN:9787847473—662371
Depósitolegal:5.2047-2010
Impresoporen"…IndusmaGráficaNewco.s.|..
ImpresoenEspaña�¡»mud¡nspam
Sumario
Prefacio
Capitulo 1_El número de oro
Unmundoáureo ..
Elsecretodelasmsas �� .. .. . . . … �….
Losnúmeros
Ladefinicióndel númeroáureo .
Propiedadeselementales del númeroáureo
LasucesióndeFibonacci
Relacionesnuméricassorprendentes
Suma delostérminosdelasucesión de Fibonacci… .. …
Lasternaspiragóricas
Relaciónentre lostérminosdelasucesiónde Fibonacci .
Eltérminogeneral delasucesión de Fibonacci
.
Eltriángulo de Pascaly lasucesióndeFibonacci .
Númerosprimosen lasucesión de Fibonacci
Capitulo 2.El ' ' áureo
Divisiónde unsegmento en mediayextrema razón
Laformade losrectángulosy el númeroáureo
Reconoce�ry�construir unrectánguloáureo .. . . .
Construcciónde unrectánguloáureo
P ' del '= ' áureo
Otros ¡, ' notables
Rectángulox/E
Elrectángulodepl… 1+�∕�
El ' ' cordobés
Lasespiralesy el númerode oro
�
Capitulo S.,;Lnúmero de oro y el pentágono ., . 67
El ' regular 67
Eltriá�nguloáureo
72
El � " d;laestrella, ' 74
Embaldosadosperiódicosynoperiódicos 76
SUMARlG
�
�
Losa ' de Penrose» 83
a
juegos conel, y la , aurea 86
Lospoliedrosy elnúmeroáureo 88
Capitulo 4.Bellezay perfecciónen el arte 95
Ladivinaproporciónde LucaPacioli
96
Leonardo:la J áurea
, 99
Lasmedidasideales … 102
151núm�erodeoroenlapintura . 103
LaÍ " aureaenla ↓ 113
A ' , 117
LeCorbusier 119
Laproporciónáureaeneldiseño 122
Capitulo 5.Elnúmero áureo lanaturaleza
y 125
Crecerconservando laforma … �� �� 125
Laproporciónaurea enlosseresvivos . … 126
Lafiloraxisy laproporciónaurea ����� 127
Floresyperales . … . 134
Elnautilus 135
Losfractalesy elnúmeroáureo 136
Elfractalllamadoucopode nieve» � 137
.
Finaldetrayecto 142
Anexo.Textos originales . 143
155
Indice "' 157
Prefacio
Ahora másque nuncael mundoenelquevivimos se levantasobrelosnúmeros.al-
gunosdeloscualestienenincluso nombrepropio:el númeropi ('n),el númeroe .
De todo el conjunto de números notables hay uno especialmente interesant
1,6180339887...Resulta curioso saber que esta modesta cifra ha fascinado a lo
largo de la historia a muchas mas mentesbrillantesque piy e.Durantesiglos ha
recibidodenominacionesdelomásllamativas:númerodeoro.proporcióntrascen—
dental,númerodivino,divina proporción,etc.Elnúmerode oro,quese representa
con laletragriega ¡?(phi),habitaunterritoriode relacionesy propiedadesnumér
ricasincreibles,perotambiénde conexiones insospechadas entre lanaturalezay las
creaciones humanas.Estelibropretende ser una guia de viaje al paisdel número
divino,dondedescubrirsusbellezasy sabercómoapreciarlas.
Elvolumen arranca conunrepasoa lasmultiplesperspectivasdel númerode
oroen lacienciay elarte de todaslasépocas,asicomo alpapelquedesempeña en
lamorfología de animales y plantas.Unavez conseguida cierta familiaridadcon la
divina proporciónestaremos preparadosparazambullirnos en sus peculiaridades
numéricasy ensu apasionante génesis.Viajaremos de laspáginasdelos Elementºs
deEuclides11mayorbestsellercientíficodetodaslasépocas?alasajetreadascalles
delaFlorenciarenacentistaparaencontrarnosconsu hijomáscélebre,Leonardo.
Una de las maravillas de la proporciónaurea es su inagotable capacidad de
generar figuras de gran bellezay asombrosas propiedades,tales como lospolígo-
nosrectánguloso lospolígonosregulares.Tmsestos nombrestanintimidatorios se
esconden,en realidad,objetos geométricos cotidianos,como lastarjetasde crédito
o las estrellas de cinco puntasLasprimerasconstituyen unejemplo muya mano
de losdenominados arectángulos áureos»,aquellos cuyos ladosguardan entre si la
divinaproporción.¡Llevamosenelbolsillounachispa de divinidad-AYsi los rec—
tángulosaureossoncomunes,¿quédecirdelasestrellaspentagonales,odelasespi-
rales?Todas ellasestánvinculadasdeunmodomuydirectoalaproporciónaurea,y
asomanaquiy alláenconstrucciones.mosaicosyjuegos de todotipo.
Perosi algo enverdad resulta asombroso eslavinculación del númerodivino
con conceptostancomplejos y que tanto hanestremecido alahumanidadcomo
labellezay laperfección.Enestaaventuraapasionantese cuentacon unosguiasde
auténtico lujo:Leonardo.LeCorbusiery muchosotros grandes personajesque se
hanrendidoalaarmoniade(1).Sialejamosnuestramiradadelostrabajosdelhome
brey laposarnosenlanaturalezaquenosrodea,tambiénallínosespera,enigmática
momo
y sonriente,laproporciónaurea.Elcrecimiento de muchosseres vivos sigue las
pautas marcadasporella.e inclusolosfractales,unosreciénllegadosal universode
laciencia,exhibenpropiedadesque losvinculanconladivinaproporción.
Nuestroviaje porelmásasombroso de losnúmerosse completa con unase-
leccióndelibrosquepermitiránprofundizarenel conocimiento delaproporción
aureaaquienlodesee,junto conunindiceanalíticoquelepuedeayudaramover-
seconfacilidadporellibro,
Capítulo 1
El número de oro
“La:sentidossedeleitanzon las[osas
quetienenlaspropºrcionescorrectas,»
SantoTomas deAquino (1225-1274)
¿Qué tienenencomúnfenómenosnaturalestandispares como ladisposiciónde
lassemillas de unaflor de girasol,la elegante espiral dibujada porlasconchas de
algunos moluscosy los brazosde la galaxia que nos acoge,laVia Láctea? ¿Qué
pautageométrica deinsuperablearmoniaseesconde enlaobradegrandesartis-
tas y arquitectos,desdeVitruvio a Le Corbusier pasandopor Leonardoy Salva-
dor Dalí?Aunque parezcaincreíble,larespuesta a estos dos interrogantes es un
simple número:unacifra de apariencia humilde,conocidadesde laAntiguedad,
cuya continua aparX ónentoda clase de manifestacionesnaturalesy artísticas le
hamerecidoapelativostalescomo adivinaproporción».anúmerodeoro» ()apro—
porciónaurea».Reproduciresa cifra en letraimpresa resultaríaliteralmenteim—
posible,y noporquesea excesivamente grande —de hecho,es apenas mayorque
17,sino porque esta compuesta por unnúmeroinfinito de dígitos que,además,
nosiguen pautaalguna,Descartadasu reproducción literal,podernosayudarnos
de la notaciónaritmética para conocerla. 151número de oro se torna así algo
muchomásmanejable:
↕¿� 1.618033988'7.
2
Más adelante,en este mismocapítulo.veremos cómo llegar a esta expresión,
perohay que reconocer que,al menosa primeravista,ladivinaproporción»ren
sultapocoimpresionante,Unojo entrenado,sinembargo,sabria que hay gato en—
cerrado sólo con ver laraíz de cinco.En efecto,esta raíz presenta una serie de
propiedadesque lemerecieron,a ellay a otras similares,elpocoamable apelativo
de airracionales»;una clase especial de númerosdelos que también hablaremos
detenidamente.