La paradoja de la pérdida de información en agujeros negros

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La paradoja de la pérdida de
información en agujeros negros
Carmen A Núñez
IAFE, CONICET
Los agujeros negros son objetos muy
interesantes en astrofísica pero también
constituyen un escenario natural para
abordar algunas cuestiones de principio de
la física fundamental. En este artículo se
describe la paradoja de la pérdida de
información que aparece al estudiar
aspectos cuánticos de los agujeros negros
y se discute cómo esta pone en evidencia la
inconsistencia lógica entre los dos pilares
básicos de la física contemporánea: la
relatividad general y la mecánica cuántica.
Se presenta también la solución que
propone la teoría de cuerdas.
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L
a paradoja de la pérdida de información en los yala vez extremadamente masivos, de manera que
agujeros negros, que se origina al estudiar qué requieren que ambas teorías, la mecánica cuántica y
es lo que le sucede a la información que está la relatividad general, actúen simultáneamente. Las
escondida dentro de un agujero negro, podría resu- ecuaciones de la relatividad general y la mecánica
mirse en la pregunta: esta información ¿se destruye cuántica, cuando se tratan de combinar, no encajan.
yse pierde para siempre o se puede recuperar con Preguntas físicas bien formuladas provocan respues-
laradiación emitida a medida que el agujero negro tas sin sentido, ilógicas, cuando requieren la unifica-
se evapora? ción de estas dos teorías. Si uno quiere entender los
Esta cuestión fue originalmente tratada por agujeros negros o los primeros instantes del univer-
Stephen Hawking en 1974 en un trabajo muy so, debe admitir esta hostilidad y desarrollar una
importante donde mostró que el proceso de eva- nueva teoría que permita unificar estas dos en un
poración de los agujeros negros contradecía los nivel más profundo de comprensión.
principios de la física cuántica. La sugerencia radical de Hawking en 1974 fue
Con esta observación, precipitó una crisis funda- que había que modificar los fundamentos de la
mental en la física básica: parecía que había que mecánica cuántica.
sacrificar al menos uno de los dos pilares fundacio-
nales sobre los que se asienta la física moderna, la
relatividad general y la mecánica cuántica. La relati- Agujeros negros en el universo
vidad general, la teoría de la interacción gravitatoria
formulada por Albert Einstein, es el marco teórico Empecemos recordando que un agujero negro
que nos permite entender el universo a grandes es un lugar donde la gravedad es tan intensa que la
escalas: estrellas, galaxias, cúmulos y supercúmulos velocidad necesaria para escapar de ella es mayor
de galaxias. La mecánica cuántica, en cambio, es un que la velocidad de la luz. Laplace, en el siglo XVIII,
marco teórico para entender el universo a las escalas sugirió que podrían existir objetos con estas carac-
más pequeñas: moléculas, átomos y toda la gama de terísticas; pero en el siglo XX, Einstein modificó las
partículas subatómicas como electrones, fotones y ideas vigentes acerca de la gravitación y, en conse-
quarks. A lo largo de los años, los físicos han confir- cuencia, de la descripción de los agujeros negros.
mado experimentalmente, con una precisión asom- Forma parte de nuestra vida cotidiana el hecho
brosa, casi todas las predicciones realizadas por de que todo lo que tiramos hacia arriba vuelve a
estas dos teorías. Peroel trabajo de Hawking condu- caer. Y todos sabemos que esto se debe a la atrac-
ce inexorablemente a una conclusión preocupante: la ción gravitatoria de la Tierra. Imaginemos que tira-
relatividad general y la mecánica cuántica no pueden mos una pelota hacia arriba. Cuanto más fuerte lo
ser ambas correctas, al menos cuando se aplican a hagamos, más rápido se aleja de nuestra mano y
los agujeros negros. Las dos teorías que sustentan el más alto llega antes de volver a caer. Pero si la tira-
enorme progreso de la física del último siglo parecen mos lo suficientemente fuerte, si le damos una velo-
ser incompatibles. cidad inicial cada vez mayor, llegará un momento
En la mayoría de los casos, excepto en situacio- en el que no volverá. La atracción gravitatoria no
nes muy extremas, los físicos estudian cosas que podrá hacerla regresar. La velocidad mínima que
son muy pequeñas y livianas (como los átomos y debe tener la pelota para escapar de la atracción de
sus componentes) o cosas que son enormes y muy la Tierra se llama velocidad de escape, y es de unos
pesadas (como las estrellas o galaxias), pero no 11,2 km/seg (un poco más de 40.000 km/h) sobre la
ambas a la vez. Esto significa que solo es necesario superficie de la Tierra. Si le damos a la pelota una
usar la mecánica cuántica o la relatividad general, velocidad igual o mayor que la velocidad de escape,
pero no las dos juntas. Los dominios de aplicación la enviaremos al espacio y no volverá a caer.
de estas dos teorías son en general muy diferentes La velocidad de escape depende de la masa de la
y en la mayoría de los casos una de ellas nos per- Tierra y de su tamaño. Si imaginamos un planeta
mite entender el fenómeno que estudiamos sin muy masivo y muy pequeño, con mucha materia
necesidad de apelar a la otra. concentrada en un pequeño volumen, la atracción
Pero el universo presenta algunas situaciones gravitatoria aumenta y entonces la velocidad de
extremas. En un agujero negro hay una enorme escape se hace mayor. Habrá que lanzar las pelotas
masa comprimida en un tamaño minúsculo. Cerca más fuerte que en la Tierra para que puedan escapar.
de la singularidad, en el modelo del big bang, todo el En algunos casos, será necesaria una velocidad
universo observable estaba concentrado en una mayor a 300.000 km/seg. Esta es la velocidad de la
región microscópica. Estos escenarios son diminutos luz, la mayor velocidad que se puede alcanzar según
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Figura 2. El Sol curva el espacio-tiempo y la Tierra describe la trayectoria de menor longitud en esa geometría.
la teoría de la relatividad especial de Einstein. En esta de agujeros negros en el centro de algunas galaxias
situación nada puede escapar ya que nada puede via- que son mucho más masivos, con masas miles de
jar más rápido que la luz. Este objeto que no permite millones de veces la masa del Sol y tamaños del orden
que nada escape de él es un agujero negro. del sistema solar (radios de aproximadamente 3 x 109
El tamaño del agujero negro depende de su km). En nuestra galaxia parece haber evidencias, por
masa. Un agujero negro con la masa del Sol tendrá radiación X, de un agujero negro en el centro con una
un radio de 3 km (mientras que el Sol tiene unos masa de 2,6 millones de soles.
700.000 kilómetros de radio); si la masa es la de la ¿En qué forma se los detecta? En principio podría-
Tierra, el agujero negro tendrá un radio de 1 cm mos verlos por el modo en que deflectan la luz, por un
(en lugar de los 6370 km del radio terrestre); nues- efecto conocido como lente gravitacional. La luz se
tro radio de agujero negro (es decir, un agujero curva al pasar cerca de un objeto muy masivo y en
negro con la masa de un ser humano) es más consecuencia se forman imágenes múltiples del obje-
pequeño que cualquier distancia de las que pode- to que está detrás del agujero negro. En la práctica,
mos medir actualmente. estos agujeros negros están rodeados por el gas de
Como la luz no puede escapar de un agujero un disco de acreción. Este gas se calienta de un
negro es imposible ver a este directamente. Pero modo característico y los astrónomos ven la radia-
hay muchos indicios de que realmente existen. ción que viene de ese gas caliente.
Los agujeros negros se pueden formar en proce- Los agujeros negros son objetos muy interesan-
sos astrofísicos. Algunas estrellas muy masivas ter- tes en astrofísica. Pero no vamos a tratar ese aspec-
minan sus días colapsando en agujeros negros. to en este artículo. Vamos a considerar cómo los
Cuando una estrella terminó de quemar su com- agujeros negros permiten investigar cuestiones de
bustible nuclear, las fuerzas gravitatorias superan la principio de la física fundamental; cómo se mani-
presión de la radiación y no se puede evitar el fiesta en los agujeros negros la contradicción entre
colapso. La estrella finalmente se contrae hasta que la mecánica cuántica y la relatividad general que
se transforma en un agujero negro. La masa de mencionamos al comienzo.
estas estrellas y de los agujeros negros que resultan
al final de su evolución es de unos pocos soles
(entre 5 y 100 masas solares) y el tamaño del aguje- Agujeros negros en relatividad
ro negro es de unos 10 km de radio. general
Hay agujeros negros con masas intermedias, entre
500 y 1000 masas solares, que han sido descubiertos En 1905, Einstein modificó las nociones de espa-
recientemente. Y, finalmente, también hay evidencias cio y de tiempo absolutos de Newton para resolver
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una paradoja: la velocidad de propagación de la luz
El tiempo, cerca de un objeto muy
es independiente del movimiento del observador. masivo, transcurre más lentamente
En su teoría de la relatividad especial introdujo el
concepto de espacio-tiempo, según el cual el tiem-
po debe considerarse en un pie de igualdad con las
dimensiones espaciales. Una consecuencia de esto
es que el tiempo transcurre de manera diferente
según la velocidad del observador. Un reloj que se
aleja a gran velocidad de nosotros atrasa respecto Pequeño cambio Muy lento
(factor de 1.000002)
del nuestro. El efecto sólo es apreciable para veloci-
más lento
dades relativas cercanas a la de la luz, es decir que
no lo observamos a velocidades ordinarias. Pero se
verifica experimentalmente en los aceleradores de
partículas, donde partículas inestables que se acele- El tiempo que mide
un observador lejano
ran a velocidades cercanas a la de la luz decaen
mucho más lentamente (es decir, tienen una vida
Figura 3. El tiempo transcurre más lentamente cerca de un objeto masivo.
media mayor).
En 1915, Einstein trató de encajar la gravedad en
esta nueva visión del espacio y el tiempo. Tenía
para ello algunos indicios, como el notable descu- eventos y es lo que denominamos el radio del agu-
brimiento de Galileo sobre el movimiento de cuer- jero negro (lo indicaremos como r ). Si uno lo cruza
h
pos pequeños debido a la gravedad, que resulta ser no siente nada especial, pero no puede volver a
independiente de la naturaleza de los cuerpos. Esto salir. La luz puede atravesarlo hacia adentro pero no
le sugirió que la gravedad podría ser una propiedad hacia afuera, no puede escapar del agujero negro.
del propio espacio-tiempo. En lugar de la imagen Por eso la superficie del agujero negro se llama
newtoniana de la gravitación como una atracción horizonte: es el límite de lo que pueden ver los
entre todos los cuerpos masivos, la relatividad observadores que están afuera del agujero negro.
general describe la gravitación como un efecto de la Una vez que uno cruzó el horizonte, sigue cayendo
curvatura del espacio-tiempo producida por la dis-
tribución de materia. Así el Sol curva el espacio-
tiempo y la Tierra se mueve a lo largo de una tra-
yectoria que es la línea de menor longitud en esa
geometría curva.
La gravedad también cambia el modo en que
transcurre el tiempo. De acuerdo con la teoría de
Einstein, como el campo gravitatorio es más inten-
so cerca de la superficie terrestre, el tiempo trans-
currirá más lentamente en la planta baja de un edi-
ficio, donde la atracción gravitatoria es mayor, que
en el piso superior. El efecto es muy pequeño a
escala terrestre: una parte en 1015. Pero es impor-
tante en objetos más masivos.
Para un observador que está lejos de una masa
Horizonte
muy pesada el tiempo transcurre más rápido que
para un observador cercano. La relación entre el
intervalo de tiempo que transcurre entre dos tics de
un reloj a cierta distancia de un cuerpo masivo y en
otra posición infinitamente alejada se llama factor
de corrimiento al rojo.
En la superficie de la Tierra este factor es muy Singularidad
pequeño, aproximadamente 10-10; en la superficie
del Sol es cerca de 10-6; en la superficie de una Figura 4. Dentro de un agujero negro hay una singularidad,
donde la materia tiene densidad infinita y la fuerza de la
estrella de neutrones es de 0,7. La superficie donde
gravedad es infinitamente grande. Esta singularidad está
el tiempo se detiene, es decir donde el intervalo separada del exterior por un horizonte de eventos que impide
entre tics se hace infinito, se llama horizonte de verla desde afuera.
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Energía escapando de un agujero negro.
hacia adentro y termina irremediablemente en una Radiación térmica
singularidad. Esta es una región de curvatura muy
grande del espacio-tiempo, donde una persona que Si bien en relatividad general un agujero negro
se acercara se desgarraría. Las distintas partes de es un objeto del que nada puede escapar, por efec-
su cuerpo estarían sometidas a fuerzas tan intensas tos cuánticos puede emitir radiación. Efectivamen-
que terminaría despedazado. Las propias nociones te, Hawking mostró en 1974 que los agujeros
de espacio y de tiempo deben reformularse en las negros no son negros en realidad. Tienen una tem-
regiones cercanas a una singularidad. peratura característica que se origina en procesos
Cuando se forma un agujero negro se desarrolla cuánticos. Para entender este efecto conviene recor-
esta singularidad, que es una región de curvatura dar que las consecuencias de un campo gravitatorio
infinita. Y ahí fallan las teorías; no podemos descri- son como las de la aceleración. Esta equivalencia
bir una singularidad con las teorías físicas actuales. entre aceleración y gravedad es lo que Einstein
Pero esta región está rodeada por el horizonte, la llamó el principio de equivalencia: si uno está en
superficie imaginaria que separa el interior del exte- una habitación sin ventanas y no tiene contacto con
rior del agujero negro, de manera tal que algo en el el exterior, es imposible decir si la habitación está
interior nunca podrá escapar hacia el exterior. De en reposo sobre la superficie de la Tierra o si está
acuerdo con la teoría de Einstein, la presencia de un lejos en el espacio pero acelerándose de forma
horizonte implica que nunca se verá la singularidad igual pero en sentido opuesto a aquella con la que
y que, independientemente de lo que pase adentro, vemos caer los objetos en la Tierra.
nada escapará hacia afuera. Consideremos una persona en el espacio vacío.
La relatividad general predice también que la No hay materia ni radiación. Esta persona está equi-
forma final de un agujero negro, tal como se ve pada con instrumentos científicos: detectores de
desde afuera, es independiente del modo en que se partículas y termómetros. Antes de encender los
formó. Las únicas propiedades que conserva de motores de su nave espacial no ve nada porque está
todo el proceso de formación son la masa, y even- en una región verdaderamente vacía. Al prender los
tualmente si está cargado y rota, la carga y el motores experimentará el efecto normal de la ace-
momento angular. Este hecho se conoce como el leración: se sentirá más pesada, como si estuviera
teorema de no pelos, es decir que los agujeros de repente en un campo gravitatorio.
negros no tienen pelos (o tienen a lo sumo tres Pero la aceleración tiene otro efecto que en prin-
pelos). Aunque un agujero negro es un objeto cipio parece no estar relacionado con la gravedad:
macroscópico, en relatividad general tiene una des- en cuanto se aceleran, los detectores de partículas
cripción bastante simple. del cosmonauta empiezan a registrar, a pesar de
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que, según un observador normal que no esté ace- clásico, sin cuántica, la constante de Planck sería
lerando, el espacio en el que se mueve está vacío. cero y no habría efecto. El efecto también desapa-
Los observadores que no se aceleran ven un espa- recería si la velocidad de la luz fuera infinita, y por
cio completamente vacío. El observador acelerado lo tanto también se anularía en una física newtonia-
ve el espacio lleno de partículas. Estas partículas na. Usando el principio de equivalencia entre la ace-
son una consecuencia de su aceleración. leración y la gravedad, la temperatura en la superfi-
Más interesante todavía es lo que vería si mira- cie de la Tierra debida a este efecto es extremada-
ra su termómetro. Antes de empezar a acelerar este mente pequeña: 10-20K.
marcaría el cero absoluto porque la temperatura es Hawking calculó que en el exterior de un aguje-
una medida de la energía del movimiento de las ro negro se mediría una temperatura inversamente
partículas, y en cosmonauta está en el espacio proporcional a su masa T m-1. La constante de pro-
α
vacío. Pero al acelerar, el termómetro registra una porcionalidad es muy pequeña y en consecuencia
temperatura. Esta temperatura es proporcional a la los agujeros negros de masas estelares tienen tem-
aceleración. Todos los instrumentos se comporta- peraturas de unas pocas fracciones de grado. Son
rán como si estuvieran inmersos en un gas de par- mucho más fríos que los 2,7 K de la radiación cós-
tículas, a una temperatura que aumenta proporcio- mica de fondo que inunda el universo. Pero un agu-
nalmente a su aceleración. jero negro con masa mucho menor sería mucho
Este efecto no se ha observado todavía. Es una más caliente, incluso siendo de menor tamaño.
predicción hecha en 1970 por el físico canadiense Efectivamente, en 1974 Hawking predijo que los
Bill Unruh, quien calculó la relación exacta entre la agujeros negros emiten radiación térmica. Los agu-
temperatura (T) y la aceleración (a): T=a(h/2 c). En jeros negros más pequeños tienen una temperatura
π
esta fórmula, h es la constante de Planck e indica más alta (T r -1). Por ejemplo, los agujeros negros
α h
que esta temperatura tiene un origen cuántico. Y c con la masa del Sol (Ms~2 x1030 kg), tienen una
es la velocidad de la luz, 300.000 km/seg. temperatura de radiación de unos 3,6 x 10-7K; si la
La constante de proporcionalidad entre la tem- masa es la de la Tierra (M ~6 x 1024kg), T~0,1 K y
T
peratura y la aceleración es tan chica que el efecto para la masa de una montaña de unos 1018 kg la
no se ha podido medir experimentalmente todavía. temperatura de la radiación térmica es de unos
Pero no es inaccesible y hay algunas propuestas 7000 K, es decir, estos micro-agujeros negros se
para medirlo en los próximos años. En un mundo verían como una estrella.
Pares de pPaartríecsu ldaes partículas
virtuales sev icrtrueaalne s se crean
y aniquilany aniquilan
Placas de mPleatcaals de metal
Espacio vaEcsíopacio vacío Efecto CasEimfeicrto Casimir
Figura 5. Pares de partículas virtuales se crean y destruyen permanentemente en el vacío. El efecto Casimir permite detectarlas
mediante la atracción entre placas paralelas.
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haya suficiente energía para crearlas. Se crean por
incertezas en la energía. Se podría decir que toman
prestada la energía necesaria para su creación y
luego rápidamente la devuelven y desaparecen. Típi-
camente estos cuantos virtuales se pueden separar
cierta distancia antes de recombinarse y aniquilarse.
El proceso por el cual el observador acelerado
detecta partículas calientes y los agujeros negros
adquieren temperatura es esta creación de pares vir-
tuales partícula-antipartícula por efectos cuánticos. En
Figura 6. Un par partícula-antipartícula virtual que se forma cerca
algunos casos es posible separar el par usando ener-
del horizonte de un agujero negro puede dar lugar a partículas
gía externa para evitar la aniquilación, y entonces las
reales debido a la geometría del espacio-tiempo.
partículas virtuales se convierten en reales. Por ejem-
plo, supongamos que el par partícula-antipartícula se
forma justo en el horizonte del agujero negro. Si un
¿Cuál es el origen de la temperatura detectada miembro del par cae dentro del agujero negro el
por un observador acelerado? La temperatura es observador que está afuera no puede ver la aniquila-
energía. Si el termómetro mide debe haber una fuen- ción del par y debe interpretar el cuanto que ve como
te de energía y esta viene de los motores de la nave una partícula real. Lo mismo le sucede al observador
del observador, que son el origen de su aceleración. acelerado en el espacio vacío, que también tiene un
Por el principio de equivalencia, en el caso de los horizonte, una región oculta del universo a la que no
agujeros negros esa energía debe originarse en el tiene acceso. La antipartícula, digamos, cae detrás de
propio campo gravitatorio. Y la fuente de este campo su horizonte y el detector mide la partícula que quedó
es la masa. Por lo tanto la energía responsable de la en su región accesible del universo, como se ve en la
temperatura del agujero negro proviene de su masa. figura 6.
Pero la temperatura no solo es energía. Es ener- Las propiedades de los miembros del par partí-
gía en movimiento aleatorio. Y para entender por cula-antipartícula están correlacionadas de manera
qué es aleatorio el movimiento de las partículas que que una descripción completa de uno de ellos
detecta el observador acelerado o de las que crea el requiere necesariamente un conocimiento del otro.
campo gravitatorio del agujero negro hay que Cada partícula que detecta el observador acelerado
entender otros principios básicos de la mecánica está correlacionada con la antipartícula que está del
cuántica. otro lado del horizonte. Esto implica que parte de la
El vacío, por ejemplo, es un estado muy poco información necesaria para hacer una descripción
intuitivo en mecánica cuántica. Hay pares de partí- completa de las partículas que forman la radiación
cula-antipartícula que se crean continuamente y de los agujeros negros es inaccesible porque está
luego se aniquilan. Aun en un vacío perfecto, se en la antipartícula que cayó en la región oculta,
crean y destruyen constantemente pares de partícu- detrás del horizonte. En consecuencia, lo que se
las virtuales. Por ejemplo, un fotón puede decaer en observa es intrínsecamente aleatorio, no hay forma
un par electrón-positrón y luego el electrón y el de predecir exactamente cómo se comportarán las
positrón se aniquilan creando un nuevo fotón. Aun- partículas. Pero movimiento aleatorio es, por defini-
que no podemos verlas, sabemos que estas partí- ción, calor. Entonces, las partículas detectadas por
culas virtuales están realmente en el espacio vacío el observador acelerado o por el que está afuera del
porque dejan algunas trazas detectables. Un efecto agujero negro se ven calientes.
de los fotones virtuales es producir un pequeño Las propiedades térmicas de los agujeros
corrimiento en los niveles de energía de los átomos, negros entonces mezclan la mecánica cuántica con
que ha sido medido con gran precisión. Otra mani- la relatividad general. Es muy difícil mezclar estas
festación de estas partículas virtuales es el efecto teorías. Si se intenta hacerlo aparecen problemas. Y
Casimir. Este efecto es una atracción que se obser- es en este contexto que surge la paradoja de la pér-
va entre dos placas paralelas de metal descargadas dida de información de los agujeros negros o para-
y se debe a que se pueden crear menos partículas doja de Hawking. Veamos en qué consiste.
virtuales entre las placas que en el espacio que las
rodea y por lo tanto se genera una presión de afue-
ra hacia adentro que acerca a las placas. Evaporación del agujero negro
El principio de indeterminación de Heisenberg
permite explicar que estas partículas virtuales exis- La radiación emitida por un agujero negro, lla-
tan por períodos de tiempo cortos aun cuando no mada radiación de Hawking, se lleva energía. Y esto
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implica que un agujero negro en el espacio vacío muy grandes. Consecuentemente, la energía de
debe perder masa, porque no hay otra fuente de Planck es enorme (1019 GeV) y la temperatura
energía que compense la radiación que emite. El correspondiente es solo comparable a la alcanzada
proceso por el cual un agujero negro pierde su durante las etapas más tempranas de nuestro uni-
masa por radiación se llama evaporación del aguje- verso. A estas energías tan grandes, mucho mayo-
ro negro. A medida que un agujero negro emite res que cualquier energía que podemos alcanzar en
radiación, su masa disminuye. Pero como su tem- los laboratorios terrestres o incluso que podemos
peratura es inversamente proporcional a su masa, a observar en los procesos astrofísicos más energéti-
medida que pierde masa se calienta. Se hace más y cos, las propias nociones de espacio y de tiempo de
más pequeño y más y más caliente. Se va evapo- Einstein podrían no ser válidas. Para poder enten-
rando. Parecería que llegará un momento en que no der la física a estas escalas es necesaria una teoría
le quedará más masa y desaparecerá. de la gravedad cuántica. Pero si intentamos aplicar
La evaporación de un agujero negro astrofísico las reglas de la mecánica cuántica a la relatividad
es un proceso muy lento. La velocidad de evapora- general, de manera análoga a como se aplican en
ción, que depende de la temperatura, es muy lenta otros procesos (por ejemplo a los electrones y foto-
porque la propia temperatura es muy baja inicial- nes) aparecen problemas de consistencia matemá-
mente. Un agujero negro de la masa del Sol demo- tica en las ecuaciones, los cálculos dan resultados
raría unas 1060veces la edad actual del universo en infinitos que no tienen sentido y surgen paradojas
evaporarse. Pero un agujero negro de unos 1012kg físicas como las que plantea la evaporación de los
tiene una vida comparable a la edad del universo, agujeros negros.
es decir que podríamos observar el proceso de eva- Antes de explicar en qué consiste la paradoja,
poración de estos agujeros negros si se formaron todavía es necesario definir los conceptos de entro-
durante los primeros instantes de la vida del uni- pía e información en la física cuántica.
verso. Entonces, si tenemos suficiente paciencia, el
agujero negro microscópico se tornará muy calien-
te, se evaporará cada vez más rápido, se hará más Entropía de los agujeros negros
y más pequeño, más y más caliente. Nada puede
impedir que convierta toda su masa en radiación y La cantidad de aleatoriedad que hay en un sistema
desaparezca completamente. caliente se llama entropía. Es decir, la entropía es una
Y esto nos coloca frente a la paradoja de la pér- medida de cuánto desorden o aleatoriedad hay en el
dida de información. La pregunta sobre qué sucede movimiento de los átomos de un sistema caliente.
al final de la evaporación del agujero negro es lo En un sistema aleatorio, como un gas a cierta
que conduce a la paradoja de Hawking: ¿Qué suce- temperatura, hay una gran cantidad de entropía en
de con la información atrapada dentro del agujero el movimiento aleatorio de las moléculas. Esta
negro? entropía es información sobre las posiciones y
El proceso de evaporación continúa hasta que la movimientos de las moléculas que no queda espe-
temperatura es tan alta que cada fotón emitido tiene cificada cuando se describe el gas en términos de
una energía muy grande llamada energía de Planck. cantidades como densidad y temperatura. Estas
En ese momento la masa del agujero negro es casi cantidades se promedian sobre todos los átomos en
como la masa de Planck, unos 2 x 10-5 g y su hori- el gas, así que cuando uno habla de un gas en estos
zonte es de unas pocas longitudes de Planck (10-33 términos la mayoría de la información sobre las
cm). Estas unidades de Planck definen el régimen posiciones y movimientos reales de las moléculas
donde los efectos cuánticos de la gravedad se hacen se desprecia. La entropía de un gas es una medida
importantes. ¿Qué sucede a estas temperaturas, a de esta falta de información. En una descripción
estas distancias? ¿Cómo evoluciona después el agu- macroscópica la entropía es proporcional a la ener-
jero negro? ¿Cómo termina su vida, si es que termi- gía de las moléculas del gas e inversamente pro-
na? Esto solo podrá responderlo una teoría de la gra- porcional a su temperatura.
vedad cuántica. El agujero negro, ¿desaparecerá La información sobre los estados exactos de las
complementamente? ¿O comenzarán a jugar otros partículas calientes que ve el observador acelerado
aspectos, impredecibles por ahora, mientras no ten- no es completa porque está codificada en los esta-
gamos esa teoría de la gravedad cuántica? dos de las partículas de su región inaccesible
La escala de Planck que acabamos de mencionar (detrás del horizonte). Como la aleatoriedad es
es muy interesante. A estas distancias deberíamos resultado de la presencia de una región oculta, la
observar los cuantos elementales que forman el entropía debería estar relacionada con el tamaño
espacio y el tiempo. Por otro lado, para observar del mundo que no puede ver el observador acelera-
distancias tan pequeñas necesitaríamos energías do o el observador que está afuera del agujero
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negro. Es decir, la entropía debería tener que ver energía de sus átomos y moléculas. Entonces, ¿cuál
con el tamaño de la región inaccesible al observa- es la física microscópica que explica las propieda-
dor. En realidad resulta ser una medida del tamaño des termodinámicas de los agujeros negros?
de la frontera que lo separa de su región oculta. Cada molécula de un gas, como partícula cuán-
Además, el cambio en la entropía del agujero negro tica, tiene estados de energía cuantizados; y para un
es la cantidad de energía que emitió o absorbió divi- gas, se pueden contar los microestados accesibles a
dida por su temperatura. Sabemos expresar la ener- esas moléculas. La entropía es el logaritmo de ese
gía del agujero negro en términos de su tamaño (E número. En física estadística cuántica, una gran
m r ), y también sabemos expresar su temperatu- entropía se asocia con un gran número de estados
α h
ra en función de su masa (T m-1 r -1). Entonces cuánticos accesibles en los que el sistema puede
α α h
podemos encontrar la dependencia de la entropía fluctuar en equilibrio térmico.
del agujero negro con su tamaño: S = E/T m2 r 2. ¿Qué son todos estos grados de libertad cuánti-
α α h
La entropía de la radiación caliente que se observa cos microscópicos del agujero negro que dan ori-
resulta ser precisamente proporcional al área del gen a esta entropía? ¿Qué son estas partículas que
horizonte. Esta relación entre el área del horizonte y se están moviendo aleatoriamente y originan el
la entropía fue descubierta en 1970 por un estu- calor y la entropía del agujero negro? Necesitamos
diante de doctorado: Jacob Bekenstein. Bekenstein una teoría cuántica de los agujeros negros que nos
y Unruh trabajaban bajo la supervisión de John revele qué es su entropía, que nos dé una interpre-
Wheeler, quien un año antes había dado su nombre tación de la entropía en términos de estados
a los agujeros negros. microscópicos del agujero negro.
Para agujeros negros simples, que no rotan y no Los agujeros negros en relatividad general son
tienen carga eléctrica, los valores de la temperatura independientes de qué los forma y de cómo se for-
y la entropía se pueden expresar entonces de mane- man. Sus propiedades térmicas dependen de la gra-
ra muy sencilla. La entropía S es proporcional al vedad y de la mecánica cuántica. Por lo tanto el ori-
área (A), más precisamente: S = A/4hG. Es decir, la gen de su entropía debería ser explicado por una
entropía es 1/4 del área del horizonte de eventos del teoría de la gravedad cuántica. A grandes rasgos,
agujero negro dividido por la unidad de área de intuimos que la entropía del agujero negro debería
Planck (hG). La unidad de área de Planck es el cua- venir del movimiento de los cuantos del espacio-
drado de la longitud de Planck: 10-66cm2. En conse- tiempo, de las partículas elementales que forman el
cuencia, la entropía de un agujero negro es enorme: espacio-tiempo. Y para saber qué son estos cuantos
para un agujero negro de la masa del Sol, la entro- de espacio-tiempo necesitamos una teoría de la gra-
pía es aproximadamente 1078. Este número es muy vedad cuántica. Se piensa hoy que entender estos
grande (la entropía del Sol es unos 20 órdenes de aspectos térmicos de los agujeros negros permitirá
magnitud menor). aprender mucho sobre la estructura cuántica del
Pero hay una gran contradicción en lo que espacio-tiempo.
hemos dicho hasta ahora. Por un lado, cuando des-
cribimos a los agujeros negros en relatividad gene-
ral dijimos que son objetos muy simples, con muy Información en mecánica cuántica
poca estructura. Independientemente de cómo se y la paradoja de Hawking
formaron, los agujeros negros se pueden caracteri-
zar muy simplemente, es decir sus propiedades físi- Otro aspecto de la mecánica cuántica relevante
cas se pueden describir completamente especifi- para esta discusión es que la información no se
cando solo su masa (y eventualmente su carga y puede destruir.
momento angular). Por otro lado, acabamos de Supongamos que codificamos la información
decir que los agujeros negros tienen una enorme que hay en una enciclopedia en bits, así como una
entropía y una gran entropía indica gran compleji- computadora almacena la información, en secuen-
dad. La cantidad de movimiento aleatorio, imprede- cias de ceros y unos. Si escaneamos la enciclopedia
cible, es muy grande. Entonces ¿los agujeros y guardamos la información en la computadora, al
negros son simples o son complejos? día siguiente podremos leerla sin inconvenientes en
¿De dónde proviene la entropía? Uno de los principio. Pero en mecánica cuántica la evolución
grandes logros de la mecánica cuántica fue explicar temporal de un sistema lo hace cada vez más com-
el origen microscópico del comportamiento termo- plicado. Los distintos bits de información están
dinámico de los sistemas macroscópicos. Las pro- correlacionados y evolucionan con el tiempo de
piedades termodinámicas de los gases se pueden manera que no se puede conocer el estado de cada
entender en términos de estados cuantizados de la uno de ellos sin tener un conocimiento completo de
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CIENCIA HOY
todos. De manera que si queremos leer una enci- ción que quedó nos permitirá recuperar esa infor-
clopedia cuántica al día siguiente de haberla codifi- mación. En la jerga física se dice que un estado
cado necesitamos una enorme cantidad de infor- cuántico puro, con mucha información (toda la
mación. Esto no significa que no podamos leerla, información contenida en la enciclopedia, por ejem-
que la información se destruye. Solo que se hace plo) ha evolucionado hacia un estado mezcla, con
más y más difícil reconstruirla a medida que pasa el gran cantidad de información faltante (la radiación
tiempo. Pero la información no se destruye. Esta es térmica que emitió el agujero negro).
una premisa básica de la mecánica cuántica que se Esta es la paradoja de la pérdida de informa-
verifica experimentalmente en todos los procesos ción. Es una paradoja en el sentido de que hemos
conocidos hasta el momento. seguido los principios básicos de la relatividad
Aunque los procesos físicos pueden transformar general y la mecánica cuántica hasta el final y
la información contenida en un sistema y hacerla hemos concluido que un estado puro evoluciona a
inaccesible en la práctica, en principio la informa- un estado mezcla, lo cual viola los principios de la
ción siempre se debe poder recuperar. Una analogía mecánica cuántica.
de esta afirmación sería: Si quemamos la Enciclo- Es decir, podemos formar un agujero negro de
pedia Británica o la Enciclopedia de la Real Acade- muy distintas maneras, pero siempre se evapora de
mia Española, las llamas y las cenizas serán muy la misma forma, aunque los principios de la mecáni-
parecidas en los dos casos, pero en realidad hay ca cuántica implican que debería haber una descrip-
diferencias sutiles: con suficiente inteligencia y tec- ción precisa de los agujeros negros y que no todos
nología avanzada debería ser posible descifrar el los agujeros negros deberían evaporarse dejando los
contenido de la enciclopedia observando las llamas mismos residuos, indistinguibles unos de otros.
y las cenizas. Debería haber diferencias sutiles en lo que queda
Ahora estamos en condiciones de apreciar la cuando el agujero negro se evaporó, según cómo se
paradoja de Hawking. Supongamos que tenemos formó. Si los agujeros negros respetaran las leyes de
una enciclopedia con gran cantidad de información. la mecánica cuántica, entonces si un agujero negro
Imaginemos que los bits de información que codifi- se forma a partir de una enciclopedia, eventualmen-
can el contenido de la enciclopedia forman un gas te deberíamos ser capaces, en principio, de leer la
que colapsa por la fuerza de la gravedad y forman enciclopedia observando cuidadosamente la luz emi-
un agujero negro. Según la relatividad general, el tida cuando el agujero negro se evaporó.
agujero negro formado por la Enciclopedia Británi- Pero Hawking mostró que la evaporación del
ca o la Enciclopedia de la Real Academia Española, agujero negro es un fenómeno diferente de los pro-
serán exactamente iguales si las dos enciclopedias cesos físicos ordinarios; la información que cae
tienen la misma masa. Se dice que el agujero negro detrás del horizonte de eventos de un agujero negro
no tiene pelos. se perderá para siempre, permaneciendo oculta aún
Estos agujeros negros (llamémoslos británico y después de que el agujero negro se evaporó com-
español) empiezan a emitir radiación. Según Hawking pletamente y desapareció. La contradiccón entre la
esta radiación no tiene absolutamente ninguna infor- mecánica cuántica, que implica que necesitamos la
mación sobre la enciclopedia que dio origen al aguje- información, y la relatividad general, que implica
ro negro. En efecto, parte de la información que que no la podemos tener porque desapareció en
necesitamos para reconstruir la enciclopedia está una singularidad, se denomina la paradoja de la
detrás del horizonte, fuera de cualquier contacto pérdida de información.
causal con el exterior. No hay ningún problema con Durante cerca de 30 años Hawking dijo que los
esto porque en realidad solo estamos mirando una agujeros negros pueden destruir información cuán-
parte del sistema completo. La radiación no lleva tica. Como vimos, este tipo de destrucción de infor-
información porque parte del sistema es inaccesi- mación viola los principios de la mecánica cuántica.
ble, está detrás del horizonte. Pero supongamos Por lo tanto Hawking sugirió que esta teoría debía
que esperamos pacientemente hasta que el agujero ser abandonada o por lo menos modificada. Esa era
negro haya emitido la mayor parte de su masa. En una postura revolucionaria: proponía abandonar
algún momento el agujero negro se evaporará com- una teoría que ha sido verificada experimentalmen-
pletamente, el horizonte de eventos desaparecerá y te con una precisión impresionante.
ya no podremos decir que la información que falta Pero en julio de 2004 Hawking presentó esque-
está detrás del horizonte. La información que esta- máticamente un argumento que, según dijo, sus-
ba codificada en los bits adentro del agujero negro tenta la conclusión de que no hay pérdida de infor-
se pierde inevitablemente, cae en la singularidad y mación. Muchos físicos todavía adhieren a la posi-
ninguna medición que podamos hacer en la radia- ción anterior de Hawking y no están conformes con
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VOLUMEN 16 Nº 91 (FEBRERO-MARZO, 2006)