l\1étodo de Ajuste de Superficies Mediante Parches NURBS Optimizados

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JPERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS
tero, para obtener finalmente la rejilla que sirve para
l\1étodo de Ajuste de Superficies Mediante Parches NURBS Optimizados
todo de regulari:tación de la malla cuadrilatcral, éste
e la etapa anterior (ver Figura 5.8). Para obtener la
un parche de superficie, el método fue aplicado para
'va en la Figura 5.8(g).
NURBS optimizados.
estrategia evolutiva (EE), para determinar
NURBS, sin modificar la ubicación de los (a) ObjeLo Clwdri- (b) Selección del CUIl- (e) Se!ccción de horc1('s.
era que se reduzca el error en el ajuste de laterizado. dri látf'ro.
el
ontinuidad entre los parches NURBS
descrito en el Algoritmo 5.5.
inista por inclusióll (d) Hf'gularizi1cióll ele los borclr.s f'mplealldo (el !le'gILlarízaríón de'
os de control de bs,\TRBS R-S p1i lIes. 1,,;:; cu rv¡j::; ge()d~.~i­
ca.s llt.ilizil.lldo
I~-Splilles.
os de control Pi,j, lo
l<lican sus puntos de
le el movimiento de
(f) Rejilla resultado de la Hegulmi­
(o) Hegulmizaeirín.
~a('i(¡n pn,ril 1.111 cl1adriliíLE'ro.

Figura .:í.8: Regularización para un objeto real de topología arbitaria.
118
AJUSTE DE SUPERFICIES :[\"IEDIANTE PARCHES NURBS

Los factores de peso Wi,j de la superficie NURBS, determinan el grado de influencia local de
un punt.o en la topología tle la superficie. Generalmente, los pesos tle los puntos tle control tle Método de Ajuste de Superficies Mediar
una superficie NURBS se asignan de manera homogénea e iguales a 1, reduciéndose ésta a su
caso particular conocido como superficie B-Spline, la cual es limitada para la representación
de superficies arbitrariamente curvatlas y superficies cónicas. l = Ir! 11\
La det.erminación de los pesos de los puntos de control, para el ajuste de superficies arbi­
trariament.e curvadas, es un problema complejo que implica tratar con problemas no lineales
durante el proceso de ajuste. Además de la dificultad de manipulación de los pesos de los Figura .~L!.): Individuo tic
puntos tle control, existe una limitante muy importante en el ajuste con superficies NURBS,
es el requisito de topología rectangular de los datos. Este restringe el trazado de la NURBS,
objeto físico , nuesLro problema consiste entone
a conjuntos de puntos regulares en los que es necesario que cada fila contenga el miso número
de puntos, por lo que no es posible trazar la superficie sobre una nube de puntos dispersos
no ordenados. 1
71
E(s) = -n "L
Cuando se ajusta una superficie de función explícita usando una superficie NURBS, nor­
1=
malmente se intenta minimizar la siguiente ecuación:
donde dPi ,8i representa la distancia entre un pu
la superficie original S, y un punto sobre la SU]
la configuración de la superficie S' que haga ¡;;
(5.9)

La manipulación se realiza por medio de una f
siguiente manera:
donde Ni,p(n) y Nj,,,(v) son las funciones base TI-Spline de grado p y q en las direcciones
paramétricas 'u y v respectivamente, W;,j los pesos, P i,j los puntos control y np el número de • Criterio de representación: La represe l
puntos de control. Si el número de knots y sus posiciones son fijas, al igual que el conjunto
reales. Es frecuente usar una representaci(
de pesos, y sólo los puntos de control ({ {I~i,j }i~l}];;'1 E IR), son considerados durante la
cont.rola la correlaC'Íón entre las mufaC'Í<
minimización de la ecuación 5.9, tenemos un problema lineal de mínimos cuadrados. Si los
costoso del método, se decidió utilizar sól
knots o los pesos se consideran desconocidos, será necesario resolver un problema no lineal
durante el proceso de ajuste. En muchas aplicaciones la posición óptima de los knots no es • Criterio de tratamiento de los indh
necesaria, de ahí que el problema de la ubicación de los knots se resuelva usando algún tipo éstos individuos ignorando los no factible
de heurística. aptitlld sllpere el valor de t.olerancia 8.
En este capítulo se emplean EE múltiples de tipo "más". Estas EE, generalmente, se denotan • Operadores genéticos:
de la siguiente manera: (A,+ 11,) , donde /\ es el tarnaiio de la población y fL es el tamaiio de
la descendencia. El símbolo ",+" se usa para señalar la existencia de dos posibilidades de Individuo: Se conforma por los p
reemplazo: reerríplazo determinista por inclusión (o de tipo "más") o reemplazo determinista la nube de puntos original y los p'
por inserción (o de tipo "coma"). como lo ilustra la Figura 5.9.
Los valores iniciales Wi, 6, de los al
El proceso de optimización se describe forrnaIrnente de la siguiente manera: Sea ¡> =
mente en el intervalo [0.5, 1,5]. S'
{P P Pn}, un conjunto de puntos en IR3 muestreados a partir de la superficie de un
1, 2" .. , los valores iniciales de los alelos
pesos de los puntos de control y
119
deformaría la geometría del oujct
valores inferiores a 1 cuando se
UPERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS
ficie NURBS, determinan el grado de influencia local de
ieie. Generalmcnte, los pesos de los puntos de control de Método de Ajuste de Superficies Mediante Parches NURBS Optimizados
manera homogénea e iguales a 1, reduciélldose ésta a su
ficie B-Spline, la cual es limitada para la representación
las y superficies cónicas.
[
Ul (J"
's puntos de control, para el ajuste de superficies arbi­
a complejo que implica tratar con problemas no lineales
3.s de la dificultad de manipulación de los pesos de los Figura 5.0: Illdividuo d" la c::;traLcgia ('\'()lutiv(t
te muy importante en el ajuste con superficies NURBS,
ar de los datos. Este restringe el trazado de la NURBS,
s que es necesario que cada fila contenga el miso número objeto físico, nuestro problema consiste entonces ell minimizar:
trazar la superficie sobre una nube de puntos dispersos
1 Ln
E(s) = - dPi ,s, < d (5,10)
función v-l' . erficie NURBS, nor­ n
i= l
donde dPi,Si representa la distancia entre un punto del conjunto P de puntos muestreados de
la superficie original S, y un punto sobre la superficie aproximada /)". Se pret.ende conseguir
la configuración de la superficie S' que haga E menor que una tolerancia c5 dada,
(5.9)
La manipulación se realiza por medio de una estrategia evolutiva (¡'L + ,\) configurada de la
siguiente manera:
las direcciones
1
np el número de
• Criterio de representación: La representación se realiza mediante parejas de vectores
'que el conjunto
reales, Es frecuente usar una representación mediante ternas, en la qUE' el último vector
dos durante la
cont.rola la correlación entre las mut.aciones de cada component.e, pero debido a lo
adrados, Si los
costoso del método, se decidió utilizar sólo duplas.
• Criterio de tratamiento de los individuos no factibles: Se hace un filtrado de
éstos individuos ignorando los no factibles, es decir, aquellos individuos cuyo valor de
o.
aptitud supere el valor de t.olerancia
, se denotan
• Operadores genéticos:
Individuo: Se conforma por los pesos de los puntos de control pertenecientes a
la nube de puntos original y los parámetros de adaptación del paso de mutación,
como lo ilustra la Figura 5.9.
Los valores iniciales 'Wi, di de los alelos de cada individuo se distribuyen uniforme­
mente en el intervalo [0.5, l.5]. Se escoge este rango, porque es en el que se dan
los valores iniciales de los alelos de los individuos, los cuales corresponden a los
pesos de los puntos de control y por eso inicialmente no deben ser cero. porque se
deformaría la geometría del objeto original: y h&:ita 1.5 para poder compensar los
valores inferiores a 1 cuando se utilizan pesos homogéneos iguales al,
12U
AJUSTE DE SUPERFICIES :MEDIANTE PARCHES NURBS

Mutación: La mutación de los individuos de la estrategia será de tipo no corre­
lacionada con n (J' s (pasos dc mutación), como se estableció en la configuración l\létodo de Ajuste de Superficies Mediant,
del individuo y se realiza conforme lo indican las siguientes ecuaciones:
Proceso
Imagenes procesadas
(J, (J'ie(cuN(O, l)+c,.N,(O.l)) (.5. LL)
Prorrwclio de puntos por in
x; - Xi + (J;.Ni(O, 1) (5.12) Tiempo emplei1.do en la op
Recluccion de la distancia
donde N(O, 1) es una distribución Normal con esperanza O y varianza 1, Co, Ci Error relativo promedio
son constantes que controlan el tamaño del paso de la mutación. Lo anterior se
refiere al cambio en paso de mutación (J, una vez que se ha actualizado el paso de
mutación se genera la mutación de los alelos de los individuos Wi. Tabla 5.1: Rf'::iUlllCn de la:; 1
• Criterio de selección: Se seleccionan los mejores individuos en cada generaClOn.
conforme al ajuste obtenido en la función de aptitud dada por la Ecuación (5.10).
• Criterio de reemplazo: En las EE el reemplazo siempre es determinista, es decir, ::le
eligen los ¡lOA mejores miembros. En este caso, se utilizó el reemplazo por inclusión
(de tipo "más"), en el que se juntan los ¡l descendientes con los A reproductores en una
sola población, y de ella se toman los A mejores miembros para la nueva población. valor del alelo del nuev
• Operador de recombinación: Se aplican dos tipos de recombinación, según si se
están recombinando variables objeto Wi o parámetros de la estrategia (Ji. Para las El número de indivi
variables objeto se utiliza una recombinación intermedia global: el intervalo [2, n). El
puntos muestreados
, 1 P los parámetros ('Uk ,
b = - Lb (5.13)
i k .i
La Figura 5.10 mu
P k=l
la optimi:¿Ctción de
b;
donde es el nuevo valor del alelo i, y p el número de individuos de la población, p el
rojos representan
el número de individuos en la población, y bk,i es el valor del alelo ¿ del individuo k.
azules representa
Para los parámetros de la estrategia, se emplea una recombinación intermedia local: superficie NUrm
hacia los punto'
(5.14) con EE. La diste
que la deterrnin
b;
donde es el nuevo valor del alelo i, y 'U; es un número real que se distribuye unifor­ de 4.55, medida
memente en el intervalo [O, 11.
Para validar el
intensiva sobr,
Lo anterior, se refiere al tipo de recombinación de individuos, así: en intermedia local se selec­
resume en la
cionan aleatoriamente 2 individuos y se promedian los alelos correspondientes para obtener el
expresado co
121 la superfiCie!
error de aju
geométricos
I
I
I
/
:>ERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS

los individuos de la estrategia será de tipo no corre­
le mutación), como se estableció en la configuración .Método de Ajuste de Superficies Mediante Parches NURBS Optimizados
lforme lo indican las siguientes ecuaciones:
Proceso Valor
Illlagcnes procesadas 30
(Je(cO .N(O,I)+C,.N;(O.I)) (S.U)
t Promedio de punt.os por imagen 15K
Xi + (J;.Ni(O, 1) (G .12 ) 'l·iernpo empleado en la optimización :3 J'vJinutos
Heduccion de la distancia H 7r
?UClOn Normal con esperanza O y varianza 1, Co, C,
Error relativo promedio 0.0:31 7r
n el tamaño del paso de la mutación. Lo anterior se
mutación (J, una vez que se ha actualizado el paso de
:ión de los alelos de los individuos tUi. Tabla 5. l: R0slHIwn de las pruehas de opt.illli;,:ación
ccionan los mejores individuos en cada generación.
" .. -.~"'- -1 ~cuación (5.10).
lÍsta, es decir, se
zo por inclusión
ductores en una
va población. valor del alelo del nuevo individuo; yen intermedia global se promedian los alelos respectivos
de todos los individuos del grupo de recombinación.
ión, según si se
ia (Ji. Para las El número de individuos seleccionados para recombinación se distribuye uniformemente en
el intervalo [2,n). El cálculo de la distancia entre las superficies NURBS S' y el conjunto de
puntos muestreados P, se realiza mediante un esquema iterativo que calcula los valores de
los parámetros (1tk ,Vk), que hacen S'(1tk, vd más cercana a cada Pk·
(5.13)

La Figura 5.10 muestra un ejemplo sobre una superficie sintética y presenta el resultado de
la optimización de los puntos de control de la superficie NURBS mediante EE. Los círculos
población, p el
rojos representan los puntos de control de la superficie .\'URBS, mientras que los puntos
1 individuo k.
azules representan muestras diseretas ubicadas sobre ésta. Se aprecia como los puntos de la
rmedia local:
superficie NURDS no optimizada mostrada en la Figura 5.10(a) , presentan menor tendencia
hacia los puntos de control, que los mostrados en la Figura 5. 1O(b), la cual fue optimizada
(5.14) con EE. La distancia entre la superficie NURBS de la Figura 5.10(b) y los puntos de control
que la determinan, calculada según la ecuación 5.10, es de J.4i:S, 23 % menos que la distancia
tribuye unifor­
de 4.55, medida entre la superficie NURBS de la Figura 5.10(a) y los puntos de control dados.
Para validar el comportamiento del método de optimización propuesto, se realizó una prueba
intensiva sobre 30 imágenes de rango. El resultado de optimización de los parámetros se
a. local se selec­
resume en la Tabla 5.1. En general se logró una reducción promedio en el error de ajuste
para obtener el
expresado como la distancia media entre los puntos iniciales y los puntos generados sobre
la superficie NURBS. El error relativo de ajuste obtenido es de 0.031 %. La reducción del
error de ajuste permite un rnodelamiento con un mayor grado de precisión de los detalles
geométricos que pertenecen a la superficie descrita por el conjunto de puntos original.
122
AJUSTE DE SUPERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS

__ .....
..
.....". ....,- .....
Método de Ajuste de Superficies lVIediant
.I ......... . . .. ~.. .... . ..... •
~ ~
(d) Sllj.Jcdicie i'\urUlS djustada. sobl'(; dalos 1I11X'S- (b) Supcrficie NCHJlS ajust.Ll(b subl" > lu::; daJ.us
1[ radtl,.;. con conjullto de pe~os homog 'llros lllucst.rC'Fldos, con COll.lllnto de pesos Obt.C'lliclos
igllales éL l. por la EJ::.
FigUICl 5.10: Optimizacióll ,!c l()~ puntus de coutrol ele la supcrlíc:i(' :'\ U lU3S.
Unión de parches NURBS.
La continuidad entre funciones NURBS ensambladas ha sido uno de los tópicos de mayor
interés en el area de reconstrucción mediante funciones B-Splines. Diversos autores emplean
esquemas complejos para garantizar una continuidad de normales en los modelos reconstrui­ ofreciendo una repres r
dos. Loop ¡68] plantea un esquema de continuidad en el cual se emplean tres tipos de parches entre un parche y otro.
diferentes para casos especiales. En los vecindarios con curvas pronunciadas se emplean par­
En este trabajo se gaf'
ches B6zier bicuárticos, en las esquinas con vecindarios triangulares, parches B6zier cúbicos
de continuidad de Pet
y en las zonas de ensamble regular parches Splines bicuadráticos. De forma similar, Eck y
ciones Splines bicúbica
Hoppe [42] emplean un modelo en el cual se fusionan funciones B-Splines bicuadráticas y 'S1
I36zier bicúbicas, para garantizar la continuidad entre los parches de su partición. bicúbicas con vector
direcciones paramétriC'
La continuidad en los casos regulares (4 parches unidos en uno de los vértices), es un pro­ N URBS gcneralizant
blema resuelto [42]. Sin embargo, en vecindarios donde el número de vecinos es diferente ramétricas, funciones
de 4 (u ;:::: 3 --+ v f. 4) la continuidad debe ser ajustada para garantizar una transición Figura 5.11 ilustra UJ
suave de la función de superficie implícita entre los parches de la partición. Aun4ue existen continuidad entre ej
l
diversos esquemas de continuidad entre las fronteras de funciones paramétricas, dos de es­
tos planteamientos se han destacado y se han convertido en un estándar en la industria de
e
la computación gráfica mediante funciones B-Splines. La continuidad O plantea que debe
existir una continuidad de vértices entre 2 parches vecinos, este tipo de continuidad sólo
I
garantiza que no hallan espacios ni agujeros en el límite de ensamble entre dos superficies
el
param6tricas. La continuidad plantea que debe existir continuidad en las normales entre
dos parches vecinos. Este tipo de continuidad garantiza una transición suave entre parches,
Continuidad entr
123
sobre el ejc y ::;u::; VC(
para dos parches N
TPERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS
•
·. ,,' • •• ,.. tI'
,.: ··. ... -........ ... ...... . . . _-_.... ... , .., "'.".. .... " ' ."..,,. 'Método de Ajuste de Superficies :Mediante Parches NURBS Optimizados
,.
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~ . ..,
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b~ lllUl'S- (L) Supcl'fki(' N U ltBS a.iu~t.'ldd ~(Jbl"e 1(J~ d(lt\J~
r og('·llC'Q.<; 11111 - " ('011.1 IlU! ó) dC' j)t:>so. oht c'nidns
erfici(' :\UH.13S.
Figura 5.11: Rpd ele p r1l'dl PS Nl TI 13S.
los tópicos de mayor
rsos autores emplean
s mouelos reeonstrui­ ofreciendo una representación gráfica correcta, mediante la cual no se aprecia la transición
tres tipos de parches entre un parche y otro.
das se emplean par­
el
En este trabajo se garantiza la continuidad entre parches NURBS, empleando el modelo
'ches Bézier cúbicos
de continuidad de Peters [81], en el cual se garantiza la continuidad de normales entre fun­
rma similar, Eck y
es bicuadráticas y ciones Splines bicúbicas. Peters propone un modelo regular y general de funciones B-Splines
bicúbicas con vectores de nodos regulares y el mismo número de puntos de control en ambas
direcciones paramétricas, De esta manera, se adaptó el modelo de Peters eligiendo funciones
NURBS generalizan tes, con el mismo número de puntos de control en ambas direcciones pa­
ramétricas, funciones bases bicúhicas y expansiones regulares en sus vectores de nodos, La
r una transición Figura 5.11 ilustra una red de parches NURBS ensamblados de forma suave, ga.rantizando
Aunque existen continuidad entre ejes y continuidad entre vértices.
icas, dos de es­
, la industria de
,ntea que uebe
ntinuidad sólo
os superficies
orrnalcs cntre
ntre parches,
Continuidad entre ejes, Para garantizar la continuidad entre ejes. los puntos de control
sobre el eje y sus vccinos ueucn ser colinealcs. La Figura 5.12 ilustra la contilluiuau cutre ejes
para dos parches NURBS.
124
AJUSTE DE SUPERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS

¡- -
Método de Ajuste de Superficies Mediantl
Continuity
Neighborhood
/ Pateh A_ ·_e --<-___
Figura 5.1:2: Continuidad entre ejes.
el
Para garantizar la continuidad entre los ejes de parches vecinos, se deben encontrar los
puntos de control extremos que afectan la continuidad entre parches. Debido al ordenamiento
de los datos en el esquema de parametrización propuesto, dos parches adyacentes tendrán el
mismo número de puntos de control sobre el eje común, sin importar su disposición. Para Bajo el esquema de
ajustar la continuidad entre ejes, se calculan los puntos de control sobre el eje analizado, para
partición es generaliz
hacerlo colineal con los puntos de control vecinos sobre los parches adyacentes.
parches que se encue
dado y P es un punt
La Ecuación 5.15 ilustra la nueva posición para un punto de control sobre el eje Peje dado,
ec ec de cuatro puntos, se
donde P'A es el punto vecino a Peje en el parche A y P'B es el punto vecino a Peje en el
de puntos dado.
parche B. El nuevo punto de control Peje es el punto medio entre los dos puntos de control
ec ec
adyacentes P'A y P'B , lo cual garantiza que los puntos de control sobre el eje y sus vecinos
La Ecuación 5.16 mue
adyacentes en cada parche, sean colineales. l~ 1r con n > 4 son
11 - ,
mediante la desco.~p~
matriz P la ecuaClOn
del error cuadrático
(5.15)
aj~
Continuidad en los vértices. La continuidad en los vértices de la partición se garantiza La continuidad se
al haeer que todos los puntos de control adyacentes al vértice analihado sean coplanares. La Ecuación 5.16. Esto ~
Figura 5.13 ilustra la continuidad en los vértices de unión de varias funciones NURBS.
donde N = [nI, n2, n'
:>ERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS

.Método de Ajuste de Superficies Mediante Parches NURBS Optimizados
Contínulty
Neíghborhood
Contimlíty
~Jetghborhood
encontrar los
Figura 5.13: Continuidad en los vérticp.s.
Para
IV".' I.., 1C-1l1. Bajo el esquema de continuidad propuesto por Peters, la continuidad en los vértices de la
partición es generalizante, es decir, el proceso de ajuste es igual sin importar el número de
parches que se encuentren en un vértice dado. Se tiene que 1fTP = 0, donde 1f es un plano
dado y P es un punto sobre el plano. Si se conforma un sistema sobredeterminado con más
de cuatro puntos, se puede encontrar la ecuación del plano que mejor se ajuste a un conjunto
de puntos dado.
La Ecuación 5.16 muestra la disposición del sistema sobredeterminado, donde P = [PI. P2, .. . ,
P"1 con n 2: 4, son los puntos de control sobre el vértice analizado. El sistema es resuelto
'j'
mediante la descomposición en valores singulares SDV(P), siendo la última columna de la
ma triz P la ecuación del plano que mejor se aproxima al conjunto de puntos P en el sentido
del error cuadrático medio [55].
pi pi
l ~ PY; p2z
z (5.16)
P;
pn pn
x .!
La continuidad se ajusta al proyectar los puntos de control en P, sobre el plano dado por la
Ecuación 5.16. Esto es:
(5.17)
donde N = [nI, n2, n3] es la normal del plano y Po = [xo, Yo, zo] es un punto sobre el plano, se
126
AJUSTE DE SUPERFICIES MEDIANTE PARCHES NURBS

tiene que la proyección p¡ = [XI, y¡, z¡] de un punto P = [Px, Py, Pz] sobre el plano, está dada
por: Resultados
(5.18)
donde t es el valor pararnétrico de la recta que pasa por el punto P y tiene la dirección de la
normal del plano N, así:
(5.19)
Mediante la Ecuación 5.18 es posible proyectar los puntos de control sobre el plano dado, con
lo cual se garantiza la continuidad de normales en los vértices de la partición, al hacer que
todos los puntos de control adyacentes a un vértice dado, sean coplanares.
el
Por lo anterior, se concluye que la continuidad garantiza una representación suave y
continua de los modelos reconstruidos mediante el esquema de parametrización propuesto.
El esquema de continuidad empleado simplifica el cálculo de funciones de acople complejas
como las que se emplean en algunos de los trabajos reportados en la literatura, ya que el
modelo paramétrico URBS empleado es general y se puede aplicar a todos los vecindarios
generados en el proceso de particionamiento.
En la Figura 5.14, se muestra en detalle el procedimiento de optimización y unión de los
parches NURBS propuesto en esta etapa, aplicado a un objeto real.
5.4 Resultados.
Para validar la funcionalidad del método propuesto para el ajuste de superficies mediante
parches URBS, se presentan los resultados obtenidos para un objeto de forma libre (ver
Figura 5.15).
Para medir la calidad del ajuste se utiliza el error cuadrático medio de las distancias entre
los puntos originales <le la superficie y los puntos <le los parches. Para la Figura 5.15, el error
de ajuste es de 5.3 x 10-3.
127