Kvantitatívne metódy v ekonómii III.

395 Pages·2013·9.76 MB·Slovak

Tomáš Výrost
Eduard Baumöhl
Štefan Lyócsa

Kvantitatívne metódy v ekonómii III.

Košice, 2013
Recenzenti:
Dr. h. c. prof. RNDr. Michal Tkáč, CSc.
Katedra hospodárskej informatiky a matematiky, Podnikovohospodárska fakulta so sídlom
v Košiciach, Ekonomická univerzita v Bratislave
Ing. Silvia Megyesiová, PhD.
Katedra hospodárskej informatiky a matematiky, Podnikovohospodárska fakulta so sídlom
v Košiciach, Ekonomická univerzita v Bratislave
Mgr. Svatopluk Svoboda
Accenture Services s.r.o, Praha, Česká Republika

Publikácia neprešla jazykovou korektúrou. Za odbornú stránku a jazykovú úpravu textu
zodpovedajú autori.

Umiestnenie: http://www.econometrics.sk
Dostupné od: 07 / 2013
Vydanie prvé
Rozsah: 18.1 AH

© Autori:
Ing. Tomáš Výrost, PhD. – Ing. Eduard Baumöhl, PhD. – Ing. Štefan Lyócsa, PhD.
Podnikovohospodárska fakulta so sídlom v Košiciach, Ekonomická univerzita v Bratislave
2013
Všetky práva vyhradené.

ISBN 978-80-8086-211-4
O B S A H
ÚVOD 5
1 VEKTORY A MATICE 7
1.1 Stručná rekapitulácia poznatkov z teórie množín 7
1.2 Definícia pojmov vektor a matica 10
1.3 Operácie s maticami 17
1.3.1 Transponovaná matica 19
1.3.2 Násobenie matíc 21
1.3.3 Vlastnosti násobenia matíc 25
1.3.4 Inverzná matica a jej vlastnosti 29
1.3.5 Stopa matice 34
1.3.6 Maticové derivácie 36
1.3.7 Blokové matice 37
1.3.8 Kroneckerov súčin 39
2 VYBRANÉ POZNATKY LINEÁRNEJ ALGEBRY 42
2.1 Riešenie sústav lineárnych rovníc 42
2.2 Polia a vektorové priestory 76
2.3 Lineárna nezávislosť vektorov a báza vektorového priestoru 82
2.4 Hodnosť matice 87
2.5 Zmena bázy a lineárne zobrazenia 89
2.6 Skalárny súčin, Euklidovský priestor, norma vektora a ortogonalita 99
2.7 Ortogonálna projekcia 103
3 ZÁKLADY KLASICKEJ EKONOMETRIE 106
3.1 Stručná rekapitulácia poznatkov z teórie pravdepodobnosti 106
3.1.1 Pravdepodobnostný priestor 106
3.1.2 Náhodná premenná 109
3.1.3 Stredná hodnota, kovariancia, disperzia a variančno-kovariančná matica 115
3.2 Formulovanie ekonometrického modelu 126
3.2.1 Typy premenných a charakter dát 128
3.2.2 Jednoduché lineárne vzťahy medzi premennými 130
3.2.3 Aplikácie lineárnych modelov 135
3.3 Odhad lineárneho modelu 141
3.3.1 Vzťah ekonometrického modelu a jeho odhadu 144
3.3.2 Odhad modelu metódou najmenších štvorcov 146
3.3.3 Predpoklady lineárneho modelu 155
3.3.4 Odhad lineárneho modelu metódou maximálnej vierohodnosti 160
3.3.5 Geometrická interpretácia metódy najmenších štvorcov 169
3.4 Vlastnosti odhadu lineárneho modelu 172
3.4.1 Základné vzťahy pre odhadované regresné koeficienty 172
3.4.2 Vlastnosti bodového odhadu – neskreslenosť 176
3.4.3 Vlastnosti bodového odhadu – efektívnosť 177
3.4.4 Vlastnosti bodového odhadu – konzistentnosť 181
3.4.5 Odhad rozptylu poruchového člena 183
3.4.6 Koeficient determinácie 185
3.5 Porušenie predpokladov lineárneho modelu 193
3.5.1 Dôsledky porušenia predpokladov o homoskedasticite a autokorelácii 194
3.5.2 Zovšeobecnená metóda najmenších štvorcov 196
3.5.3 Heteroskedasticita 199
3.5.4 Autokorelácia 204
3.5.5 Multikolinearita 210
4 SIMULAČNÉ METÓDY TESTOVANIA PREDPOKLADOV LINEÁRNEHO MODELU213
4.1 Testovanie normality rezíduí 213
4.1.1 Monte – Carlo Jarque – Berov test 214
4.2 Testovanie heteroskedasticity rezíduí 225
4.2.1 Breusch – Paganov test 225
4.2.2 Whiteov test 226
4.2.3 Whiteov test – Bootstrap 228
4.3 Testovanie autokorelácie rezíduí 231
4.3.1 HR robust LM Breusch - Godfreyov test 232
4.3.2 Bootstrap HR robust LM Breusch - Godfreyov test 234
5 ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH RADOV 235
5.1 Autoregresívne procesy a procesy kĺzavých priemerov 235
5.2 Modely ARMA, ARCH a GARCH 242
5.3 Stacionarita časových radov 245
5.3.1 ADF-test 254
5.3.2 ADF-GLS test 261
5.3.3 KPSS test 265
5.3.4 Lee – Strazicich (2003, 2004) test 267
5.3.5 Carrion-i-Silvestre – Sansó (2007) test 269
5.3.6 Ostatné testy na stacionaritu 270
5.4 Problém falošnej regresie 272
5.5 Transformácia časových radov 277
5.6 Kauzalita v Grangerovom zmysle 283
6 PRÍKLADY 290
6.1 Lineárne modely a ich diagnostika 290
6.2 Stacionarita a kauzalita v Grangerovom zmysle 331
PRÍLOHA 1 364
PRÍLOHA 2 368
PRÍLOHA 3 370
PRÍLOHA 4 375
ZOZNAM LITERATÚRY 379
ZOZNAM OBRÁZKOV 388
ZOZNAM TABULIEK 390
ZOZNAM PROGRAMOVÝCH KNIŽNÍC 391
Úvod
Predkladané skriptá nadväzujú na našu publikáciu Kvantitatívne metódy v ekonómii I.
a Kvantitatívne metódy v ekonómii II. Vznikali v čase, keď sme sa podieľali na výučbe
rovnomenných predmetov na Podnikovohospodárskej fakulte so sídlom v Košiciach,
Ekonomickej univerzity v Bratislave (EUBA-PHF).
Na pôde fakulty sme stáli pri vzniku spomínaných výberových predmetov. Naším
cieľom bolo ponúknuť študentom možnosť rozšíriť si vedomosti v oblasti kvantitatívnych
metód. Prvé dva diely tejto série skrípt sa zaoberali deskriptívnou a induktívnou štatistikou
v prostredí štatistického programu R. Ukázalo sa, že zvládnutie relevantnej teórie a paralelne
aj získanie zručností v štatistickom programe, akým je R, predstavuje úlohu trvajúcu viac ako
jeden semester. R predstavuje veľmi užitočný, komplexný a flexibilný štatistický program,
ktorý je aktívne udržiavaný komunitou vývojárov a tvorí voľnú (open-source) alternatívu
k drahším komerčným systémom. Táto komplexnosť a flexibilita však kladie určité nároky aj
na používateľa – naučiť sa pracovať v tomto prostredí vyžaduje určité úsilie. Po absolvovaní
dvoch semestrov majú naši študenti možnosť pokračovať v štúdiu voliteľného predmetu
Finančná ekonometria. Obsahom tohto predmetu je okrem výsledkov klasickej ekonometrie aj
jednoduchý úvod k problematike časových radov a modelovanie stacionárnych časových
radov. Práve oblasť ekonometrie je spracovaná v tomto treťom pokračovaní série skrípt.
Okrem samotnej ekonometrickej teórie sme tieto skriptá poňali širšie a preto je ich
prvá časť venovaná poznatkom z maticovej a lineárnej algebry. Zistili sme, že študenti
mávajú s touto časťou matematiky určité problémy, čo komplikuje výklad v rámci
ekonometrie. Teóriu ekonometrie je možné prezentovať veľmi efektívne práve
prostredníctvom maticových zápisov. Prvá časť týchto skrípt je zamýšľaná aj ako referenčný
text využiteľný študentmi v situáciách, keď im využívané maticové zápisy a operácie
spôsobujú ťažkosti.
Ďalším dôvodom pre zahrnutie poznatkov lineárnej algebry bolo ich využitie pri
predmete Meranie efektívnosti produkčných jednotiek I. a II., v rámci ktorých sme sa
zaoberali hodnotením efektívnosti založeným na metóde analýzy obalu dát (angl. Data
Envelopment Analysis, DEA). Tieto metódy súvisia s úlohami lineárneho programovania,
ktoré sú taktiež založené na lineárnej algebre: využívajú sa napríklad lineárne kombinácie
vektorov, Gauss-Jordanova eliminačná metóda, elementárna zmena bázy. Poznatky
5
z lineárnej algebry umožňujú prezentovanú ekonometrickú teóriu rozšíriť aj o modernejšie
témy, ktoré by sa inak nevyučovali, napríklad geometrickú interpretáciu metódy najmenších
štvorcov.
Skriptá sú rozdelené do šiestich kapitol. Prvá kapitola zhŕňa poznatky o vektoroch
a maticiach, ako aj základných operáciách s nimi. Druhá kapitola popisuje vybrané poznatky
z maticovej algebry. V tejto kapitole sú definované vektorové priestory, ale aj lineárne
zobrazenia a ortogonálne projekcie, ktorých využitie neskôr prezentujeme vo vzťahu
k metóde najmenších štvorcov.
Tretia kapitola je venovaná klasickej ekonometrii – po krátkej rekapitulácii nutných
pojmov z teórie pravdepodobnosti a štatistiky popisujeme spôsob formulácie
ekonometrického modelu, jeho odhad pomocou metódy najmenších štvorcov a metódy
maximálnej vierohodnosti. Pri odhade regresných koeficientov sa zaoberáme jeho
vlastnosťami, ako aj dôsledkami porušenia predpokladov modelu. Štvrtá kapitola nadväzuje
na tretiu ako nadstavbová, kde popisujeme niektoré pokročilé techniky testovania
predpokladov modelu pomocou simulačných metód.
V piatej kapitole uvádzame jednoduchý úvod do skúmania stacionárnych časových
radov. Popísané sú modely ARMA a GARCH. Keďže stacionarita je kľúčovým
predpokladom, ktorému s výnimkou špecializovaných publikácií nebýva venovaný veľký
priestor, kapitola obsahuje pomerne podrobne rozpracovaný popis rôznych testov, ktoré je
možné pre overenie stacionarity využiť, a to vrátane testov, ktoré zohľadňujú prítomnosť
štrukturálnych zlomov v časových radoch. Posledná, šiesta kapitola je venovaná príkladom.
Aj keď v texte priebežne prezentujeme rôzne ukážky, rozhodli sme sa zaradiť aj niekoľko
príkladov, ktoré sú väčšieho rozsahu a komplexnejšie zachycujú ekonometrickú analýzu vo
viacerých krokoch. Všetky príklady sú realizované v programe R.
Predkladané skriptá si nekladú za cieľ byť prelomovým učebným textom. Ako sme
uviedli vyššie, vznikali ako súhrn poznatkov, s ktorými sme pracovali v rámci nami
vyučovaných predmetov. Tieto skriptá sa zaoberajú dvomi oblasťami – lineárnou algebrou
a ekonometriou. Na Slovensku existujú vynikajúce učebnice v obidvoch oblastiach – ako
príklad môžeme uviesť publikácie Lineárna algebra a geometria (Zlatoš, 2011)
a Ekonometria (Hatrák, 2007). Cieľom týchto skrípt v žiadnom prípade nie je tieto (a iné)
učebnice nahrádzať – je ním snaha o vytvorenie pomôcky primárne pre študentov EUBA
PHF. Sekundárne sú skriptá určené našim diplomantom ako aj iným čitateľom, ktorým môžu
poslúžiť ako prvé priblíženie poznatkov z daných oblastí.
6
1 Vektory a matice
V tejto kapitole uvedieme niektoré základné definície týkajúce sa matematických
objektov, ktoré nazývame vektory a matice, ako aj operácie, ktoré s nimi môžeme
uskutočňovať. Vektory a matice nám dávajú možnosť veľmi úsporným spôsobom popísať
viacero modelov, či už ekonometrických, alebo optimalizačných. Zápis pomocou matíc nám
umožňuje namiesto modelov, ktorých rovnice by vyžadovali rádovo desiatky znakov často
použiť päť – šesť znakov, pričom pôjde o ekvivalentný zápis bez akéhokoľvek zjednodušenia.
Keďže s maticami sú výklad, ako aj praktické výpočty oveľa ľahšie, je výhodné sa s týmto
aparátom oboznámiť a následne ho využívať v ďalších častiach.
V celej kapitole sa budeme zaoberať výhradne číselnými maticami a vektormi, ich
prvkami teda budú reálne čísla. Budeme taktiež dodržiavať konvenciu v označovaní číselných
množín, a písmenami ℕ, ℤ, ℚ a ℝ budeme v tomto poradí označovať prirodzené, celé,
racionálne a reálne čísla.
1.1 Stručná rekapitulácia poznatkov z teórie množín
V ďalšom texte budeme využívať pojmy pochádzajúce z teórie množín. V tejto
podkapitole si v krátkosti zopakujeme niektoré z nich tak, aby sme ich mohli neskôr využívať.
Množina predstavuje súbor rôznych objektov, nazývaných prvkami množiny.
Množiny budeme označovať veľkými písmenami a kurzívou, prvky množín malými
písmenami. Ak objekt a patrí do množiny A, a teda je jej prvkom, označujeme to a ∈ A.
Výnimkou sú číselné množiny, ktoré pre ich časté využívanie a ľahkú odlíšiteľnosť budeme
používať zdvojené písmená. Písmenom ℕ bude označovať množinu prirodzených čísel, ℚ
množinu racionálnych a ℝ množinu reálnych čísel. Prázdnu množinu (množinu
neobsahujúcu žiadne prvky) budeme označovať ∅.
Uvažujme o ľubovoľných množinách A, B a C. Ak pre všetky prvky a ∈ A platí a ∈ B,
potom hovoríme, že množina A je podmnožinou B a zapisujeme to A ⊆ B.
Ak platí A ⊆ B a súčasne B ⊆ A, potom hovoríme o rovnosti množín A a B, čo
zapisujeme A = B.
Ak je A podmnožinou B, ale nie je rovná B, potom A nazývame vlastnou
podmnožinou B, a značíme to A ⊂ B.
7
Zjednotením množín A a B nazývame množinu, ktorej prvky sú zároveň prvkami
aspoň jednej z množín A a B. Zjednotenie množín A a B označujeme A ∪ B.
A ∪ B = {c; c ∈ A ∨ c ∈ B} (1.1)
Prienikom množín A a B nazývame množinu, ktorej prvky patria do množiny
A a súčasne patria aj do množiny B. Prienik množín A a B označujeme A ∩ B. Ak A ∩ B:
A ∩ B = {c; c ∈ A ∧ c ∈ B} (1.2)
Rozdielom množín A a B (v tomto poradí) nazývame množinu, ktorej prvky patria do
množiny A, ale nie do množiny B. Rozdiel množín A a B označujeme A\B.
A \ B = {c; c ∈ A ∧ c ∉ B} (1.3)
Nech A ⊆ B. Potom doplnkom (komplementom) množiny A v množine B nazývame
množinu prvkov patriacich do B, ktoré nepatria do A. Doplnok množiny A v množine B
označujeme Ac.
B
Ac = {ac; ac ∈ B ∧ ac ∉ A} (1.4)
B
Ak je z kontextu zrejmé, že doplnok sa realizuje vzhľadom na množinu B, označujeme
ho skrátene aj Ac.
Zobrazenie f: A → B priraďuje každému prvku z A práve jeden prvok z množiny B.
Ak zobrazenie f priraďuje prvku a ∈ A prvok b ∈ B, túto skutočnosť zapíšeme ako f(a) = b.
Zobrazenie f nazývame surjektívnym (f je surjekcia), ak pre každý prvok b ∈ B
existuje nejaký prvok a ∈ A, pre ktorý platí f(a ) = b. Ak je f surjektívne zobrazenie,
b b
hovoríme o zobrazení „na množinu B“, v opačnom prípade o zobrazení „do množiny B“.
Zobrazenie f nazývame injektívnym (f je injekcia), ak pre ľubovoľné dva prvky
a , a ∈ A, platí a ≠ a ⇒ f(a ) ≠ f(a ). Inak povedané, injektívne zobrazenie f zobrazuje každé
1 2 1 2 1 2
dva rôzne prvky z A na dva rôzne prvky v B. Injektívne zobrazenia niekedy označujeme aj
ako prosté zobrazenia.
Ak je zobrazenie f súčasne surjektívne aj injektívne, a teda spĺňa obidve vlastnosti,
nazývame ho bijektívnym zobrazením (f je bijekcia), resp. vzájomne jednoznačným
zobrazením.
Ak existuje bijekcia medzi množinou A a množinou {1,2,…,n} pre n ∈ ℕ, tak
hovoríme, že množina A má mohutnosť n a je konečná. Túto skutočnosť označujeme |A| = n.
Pri konečných množinách predstavuje mohutnosť jej „veľkosť“, resp. počet jej prvkov.
Trochu komplikovanejšie je to v prípade množín, ktoré nie sú konečné. Ak existuje bijekcia
medzi množinou A a množinou prirodzených čísel ℕ, potom hovoríme, že A má mohutnosť ℵ
0
8