Kurven und Flächen im Computer Aided Geometric Design: Eine praktische Einführung

379 Pages·1994·28.894 MB·German

by  Gerald Farin (auth.)

Gerald Farin
Kurven und Flächen
im Computer Aided
Geometric Design
Eine praktische Einführung
Second Edition
Gerald Farin
Kurven und Flächen
im Computer Aided
Geometrie Design
Gerald Farin
Kurven und Flächen
•
IDl
Computer Aided
Geometrie Design
Eine praktische Einführung
2. Auflage
Aus dem Amerikanischen übersetzt
von Hans J. Wolters
I I
VI&W eg
Dieses Buch ist die deutsche Ausgabe von Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD.
A practical Guide. 3'd Edition
Copyright© 1993, 1990, 1988 by ACADEMIC PRESS, INC.
Translation Copyright© 1994 by Vieweg
All rights reserved.
Übersetzung: Hans J. Wolters
Alle Rechte der deutschen Ausgabe vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1994
Originally published by Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden in 1994
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist
ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere
für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspei
cherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
IISSBBNN 997788--33--666633--1100660033--66 IISSBBNN 997788--33--666633--1100660022--99 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-10602-9
V
Vorwort
In den späten fünfzigerJahrenbegann man, über Hardware zu verfügen, die es ermöglichte,
dreidimensionale Formen aus Stahl oder Holz maschinell herauszufräsen1. Diese Formen konnten
dann als Stanzwerkzeuge für Produkte, wie zum Beispiel die Motorhaube eines Autos, verwandt
werden. Man fand schnell heraus, daß der Mangel an geeigneter Software die Effizienz dieser
Produktionsmethode stark beeinträchtigte. Um eine gewünschte Form mit Hilfe eines Computers
ausfräsen zu können, bedurfte es einer Beschreibung der Form, die vom Computer verarbeitet
werden konnte. Man erkannte schnell, daßd ie vielversprechendste Beschreibungsmethode in der
Verwendung parametrischer Flächen bestand. Ein Beispiel für diesen Ansatz findet man in den
Farbtafeln I und III in der Mitte des Buches: Tafel I zeigt die tatsächliche Motorhaube eines
Autos; Tafel III zeigt, wie sie intern als Smlung parametrischer Flächen dargestellt ist.
Die Theorie der parametrischen Flächen war in der Differentialgeometrie schon vollständig
entwickelt worden. Das Potential dieser Theorie im Zusammenhang mit der Darstellung von
Flächen in einer Computer-Aided-Design-(CAD-)Umgebung ist jedoch nicht bekannt gewesen.
Die Initiative, die Verwendung parametrischer Kurven und Flächen zu untersuchen, kann als
Ursprung des Computer Aided Geometrie Design (CAGD) angesehen werden.
Die bahnbrechenden Entwicklungen in CAGD waren zweifellos die Theorie derBezierflächen
und der Coonspftaster, welche später mit B-Spline-Methoden kombiniert wurden. Bezierkurven
und -flächen wurden von P. de Casteljau bei Citroen und P. Bezier bei Renault unabhängig von
einander entwickelt. De Casteljau entwickelte sie ein wenig früher als Bezier, aber seine Arbeiten
wurden nie veröffentlicht, was zur Folge hatte, daß die ganze Theorie der Polynomkurven und
-flächen in Bernsteinform nun Beziers Namen trägt. CAGD ist zu einer eigenständigen Diszi
plin im Jahre 1974 nach der Konferenz an der Universität Utah herangereift (siehe Barnhill und
Riesenfeld [27]).
Dieses Buch stellt eine einheitliche Behandlung der Hauptideen des CAGD dar. Während
der letzten Jahre versuchte man verstärkt, die geometrischen Hintergründe von Kurven- und
Flächenschemata herauszuarbeiten; ich habe dieser Tendenz Rechnung getragen, indem ich die
meisten Konzepte auf einfache geometrische Algorithmen aufgebaut habe. Zum Beispiel wird
ein Student in der Lage sein, Bezierkurven fast ohne Kenntnis des Konzepts einer parametrischen
Kurve zu konstruieren. Wenn später parametrische Kurven im Zusammenhang mit Differential
geometrie behandelt werden, können die Ideen aus der Differentialgeometrie auf konkrete Kurven
angewandt werden, die wir vorher entwickelt haben.
Die Theorie der Bezierkurven (und der rationalen Bezierkurven) spielt in diesem Buch ei
ne zentrale Rolle. Von den zur Zeit in CAD-Systemen benutzten Polynombasen sind diese die
numerisch stabilsten, wie kürzlich von Farouki und Rajan [178] gezeigt wurde. Somit sind
Bezierkurven der ideale geometrische Standard zur Darstellung stückweiser Polynomkurven.
Außerdem erleichtern Bezierkurven das geometrische Verständnis etlicher in CAGD vorkom
mender Phänomene, und sie können beispielsweise zur Herleitung der Theorie der rationalen und
nichtrationalen B-Spline-Kurven benutzt werden.
Während dieses Buch eine umfassende Behandlung der grundlegenden Methoden zum Mo
dellieren von Kurven und Flächen darstellt, ist es nicht dazu gedacht, Lösungen zu in der Praxis
vorkommenden anwendungsorientierten Problemen anzubieten. Insbesondere kommen keine Al
gorithmen zur Lösung von Problemen der Schnittbestimmung, der graphischen Wiedergabe oder
1 Ein Prozeß, der heute CAM für Computer Aided Manufacturing genannt wird.
VI Vorwort
der Bestimmung von Offsets vor. Zur Zeit gibt es keinen einheitlichen Zugang zur Lösung dieser
Probleme aus der "geometrischen Datenverarbeitung". Der hier behandelte Stoff sollte den Leser
jedoch dazu in die Lage versetzen, weiterführende Literatur zu diesen Themen zu studieren; über
Offsets: [162], [173], [174], [270], [273], [276], [293], [401], [460]; über Schnittbestimmung:
[24], [141], [143], [204], [209], [233], [274], [254], [277], [303], [310], [328], [432], [362], [384],
[405], [436], [434]; über graphische Wiedergabe: [1], [90], [194], [205], [311], [449].
Dieses Buch befaßt sich zudem nicht mit Solid-Modelling. Dies ist ein Teilbereich des geome
trischen Modellierens, welcher sich mit der Darstellung von solchen Objekten befaßt, die durch
eine Sammlung von Flächen eingeschlossen werden können, meist solch elementare Flächen wie
Ebenen, Zylinder oder Tori. Wenn solche Solid-Modelling-Systeme voll akzeptiert sind, dann
werden sie in der Lage sein, die in diesem Buch beschriebenen Freiformkurven und -flächen
mitzuverarbeiten. Literatur dazu ist unter anderem: [93], [177], [185], [264], [327], [337], [397],
[466].
Ich habe den hier vorgestellten Stoff sowohl in Kursen bei Konferenzen als auch in Univer
sitätsvorlesungen gelehrt. Die Vorlesungen waren zumeist solche, die für Studenten mittlerer
Semester angeboten werden. Die Aufgaben stammen meist aus höhersemestrigen Vorlesungen.
Im allgemeinen sollte der hier behandelte Stoff den Leser in die Lage versetzen, die vorgestellten
Konzepte zu benutzen. Die Aufgaben dienen zum tieferen Verständnis. Man sollte diese mit
einfacheren Übungen ergänzen, wenn der Text für Vorlesungen niedrigerer Semester benutzt
wird. Zur Vermittlung des Stoffes ist es notwendig, daß den Studenten graphikfaltige Rechner zur
Verfügung stehen; praktische Erfahrung erleichtert das Verständnis und fördert die Wertschätzung
des Stoffes, der sonst nur trockene Theorie bleiben würde.
Wenn ich das Buch für eine einsemestrige CAGD-Vorlesung für Studenten mittlerer Semester
benutze, behandle ich normalerweise die folgenden Kapitel: die erste Hälfte von Kapitel2, Kapitel
3, 4, 6, 8, 9, 16 und 17. Stoff aus anderen Kapiteln wird, wenn nötig, eingestreut.
Bei der zweiten Auflage wurde eine Reihe von C-Programmen hinzugefügt. Diese Programme
stellen meine Implementierung einiger (nicht aller) der wichtigsten hier beschriebenen Methoden
dar. Die Programme wurden anband vieler Beispiele getestet, sollen aber trotzdem nicht als
,,Industriestandard'' verstanden werden. Im allgemeinen wird die Korrektheit und Konsistenz der
Eingabedaten nicht getestet. Außerdem habe ich der Modularität einen höheren Stellenwert als
der Effizienz eingeräumt. Die Programme sind alle in C geschrieben, aber aus Rücksicht auf nicht
mit C vertraute Benutzer, sollten alle Module insbesondere leicht in FORTRAN übersetzbar sein.
Bei der dritten Auflage sind noch mehr Programme hinzugefügt worden, sowie Daten- und
Postscript-Dateien. Nur die Programmköpfe sind im Text zu finden, die Programme kann man
über das Netz kopieren. Es wurden Aufgaben hinzugefügt, die auf diesen Programmen aufbauen.
Anstatt beispielsweise ein Programm für kubische Splinekurven.zu schreiben, sollte der Student
nun die bereits gegebene kubische Splineroutine modifizieren und erweitern. Außerdem wurden
mehrere Abschnitte hinzugefügt, die sich mit dem neuen Konzept des Blossoming befassen.
Dies ist eine effektive Technik, die etliche Aspekte polynomialer und stückweiser polynomialer
Kurven einheitlich darstellt.
Dieses Buch wäre nicht möglich gewesen ohne die stimulierende Umgebung, die innerhalb
der CAGD-Forschungsgruppe an der Arizona State University (und davor an der University of
Utah), geleitet von Robert E. Bamhill, gegeben ist. Das Buch profitierte auch stark von unzähligen
Diskussionen, die ich mit solchen Experten wie T. Foley, Q. Fu, H. Hagen, J. Hoschek, S. Kersey,
G. Nielson, R. Patterson and A. Worsey geführt habe. Ich möchte auch meinen Dank für die
durch die National Science Foundation und das Department of Energy2 gewährte finanzielle
Unterstützung aussprechen. Mein besonderer Dank gilt D. C. Hansford für unzählige hilfreiche
2Grants DCR-8502858 bzw. DE-FG02-87ER25041
Vorwort VII
Vorschläge, die die mathematische Seite des Stoffes betreffen und auch W. Boehm, der ein
kritischer und konstruktiver Berater während aller Phasen dieses Buchprojektes war.
Für die zweite Auflage wurden etliche Verbess,~rungen gegenüber der ersten Auflage von S.
Abi-Ezzi, N. Beebe, W. Boehm, R. E. Barnhill, E. Clapp, P. J. Davis, D. Hansford, F. Kirnura,
S. Mann, G. Nielson, A. Swirnmer, K. Voegele, W. Waggenspack, M. Wozny und Y. Yamaguchi
vorgeschlagen.
Für die dritte Auflage geht mein besonderer Dank an T. De Rose, T. Foley, D. Hansford, J.
Hoschek, T. Klojcnik, N. Max, K. Opitz, H. Späthund T. Varady.
Tempe, Ariz. Gerald Farin
vm
Inhaltsverzeichnis
1 P. Bezier: Wie ein einfaches System entstand 1
2 Einführung 11
2.1 Punkte und Vektoren 11
2.2 Affine Abbildungen . 14
2.3 Lineare Interpolation 16
2.4 Stückweise lineare Interpolation . 18
2.5 Der Satz von Menelaos 19
2.6 Funktionenräume 20
2.7 Aufgaben . . . . . . . 22
3 Der Algorithmus von de Casteljau 24
3.1 Parabeln ....... . 24
3.2 Der de-Casteljau-Algorithmus . . 25
3.3 Eigenschaften von Bezierkurven 26
3.4 Der Blossom .... 30
3.5 Zur Implementierung 32
3.6 Aufgaben . . . . . . 32
4 Die Bernsteinform einer Bezierkurve 34
4.1 Bernsteinpolynome . . . . 34
4.2 Eigenschaften von Bezierkurven 36
4.3 Die Ableitung einer Bezierkurve 38
4.4 Ableitungen höherer Ordnung . . 39
4.5 Ableitungen und der de-Casteljau-Algorithmus 41
4.6 Unterteilung . . . . . . . . . . . 42
4.7 Der Blossom und die Polarform . 46
4.8 DieBezierkurve in Matrixform 48
4.9 Zur Implementierung 48
4.10 Aufgaben . . 51
5 Mehr über Bezierkurven 52
5.1 Gradanhebung . . . . . . . . . . . . . . 52
5.2 Wiederholte Gradanhebung ...... . 53
5.3 Die variationsvermindernde Eigenschaft 54
5.4 Gradreduzierung . . . . . . 55
5.5 Nicht-parametrische Kurven 57
5.6 Koordinatenschnitte .... . 57
5.7 Integrale .......... . 58
5.8 DieBezierform einer Bezierkurve . 59
5.9 Die baryzentrische Form einer Bezierkurve 60
5.10 Der Weierstraßsche Approximationssatz 63
5.11 Formeln für Bernsteinpolynome ..... . 63
Inhaltsverzeichnis IX
5.12 Zur Implementierung 64
5.13 Aufgaben ..... . 64
6 Polynominterpolation 66
6.1 Der Algorithmus von Aitken . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Lagrangepolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.3 Lösungsansatz mittels Vandermondescher Determinante 69
6.4 Grenzen der Lagrange-Interpolation . . 71
6.5 Kubische Hermite-Interpolation . . . . . . 72
6.6 Hermite-Interpolation 5. Ordnung . . . . . . 76
6.7 Die Newtonform und Vorwärtsdifferenzen 77
6.8 Zur Implementierung 78
6.9 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Splinekurven in Bezierform 80
7.1 Globale und lokale Parameter . 80
7.2 Glattheitsbedingungen . 81
7.3 C1-Stetigkeit ........ . 83
7.4 C2-Stetigkeit ........ . 84
7.5 C1-stetige Parametrisierungen 86
7.6 C1-stetige quadratische B-Spline-Kurven . 86
7.7 C2-stetige, kubische B-Spline-Kurven 90
7.8 Parametrisierungen ... .'. 92
7.9 Design und inverses Design . 93
7.10 Zur Implementierung 94
7.11 Aufgaben . . . . . . . . . . 94
8 Stückweise kubische Interpolation 96
8.1 C1-stetige, stückweise kubische Hermite-Interpolation 96
8.2 C1-stetige, stückweise kubische Interpolation I . 98
8.3 C1-stetige, stückweise kubische Interpolation II 100
8.4 Punkt-Normalen-Interpolation. 102
8.5 Erzeugung von Zeichensätzen . 102
8.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . 103
9 Kubische Spline-lnterpolation 104
9.1 Die B-Spline-Form 104
9.2 Die Hermireform . 107
9.3 Endbedingungen . 108
9.4 Zur Parametrisierung 112
9.5 Die Minimaleigenschaft . 117
9.6 Zur Implementierung 119
9.7 Aufgaben . . . . . . . . 120
10 B-Splines 122
10.1 Motivation . . . . . . . . . . 122
10.2 Das Einfügen von Knoten . . . 123
10.3 Der Algorithmus von de Boor 128
10.4 Glattheit von B-Spline-Kurven 131
X Inhaltsverzeichnis
10.5 Die B-Spline-Basis . . . . . . . . 131
10.6 Zwei Rekursionsformeln . . . . . 133
10.7 Wiederbottes Einfügen von Knoten 136
10.8 Zusätze ........ . 138
10.9 B-Spline-Blossoms .. . 140
10.10 Grundlagen für B-Splines 143
10.11 Zur Implementierung . . 144
10.12 Aufgaben ....... . 145
11 W. Boehm: Differentialgeometrie I 146
11.1 Parametrische Kurven und Bogenlänge . 146
11.2 Das Frenetsche Dreibein . 147
11.3 Variieren des Dreibeins . . 148
11.4 Der Schmiegkreis . . . . . 150
11.5 Nichtparametrische Kurven 152
11.6 Zusammengesetzte Kurven 152
12 Geometrische Stetigkeit I 155
12.1 Motivation ............. . 155
12.2 Charakterisierung G2-stetiger Kurven . 156
12.3 Nu-Splines . . . . . . . . . . . .. 157
12.4 G2-stetige stückweise Bezierkurven . 160
12.5 Direkte, G2-stetige kubische Splines 162
12.6 Zur Implementierung 164
12.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . 164
13 Geometrische Stetigkeit II 165
13.1 Gamma-Splines ............... . 165
13.2 Lokale Basisfunktionen für G2-stetige Splines 167
13.3 Beta-Splines ............... . 170
13.4 Geometrische Stetigkeit höherer Ordnung . 172
13.5 Zur Implementierung 174
13.6 Aufgaben ................ . 174
14 Kegelschnitte 175
14.1 Projektive Abbildungen der reellen Geraden 175
14.2 Kegelschnitte als rationale quadratische Kurven.·. 178
14.3 Eine Variante des Algorithmus von de Casteljau 182
14.4 Ableitungen . . . . . . .. 183
14.5 Die implizite Form . . . . 184
14.6 Zwei klassische Probleme . 185
14.7 Klassifizierung ... 186
14.8 Kontrollvektoren . . 188
14.9 Zur Implementierung 190
14.10 Aufgaben ..... . 190
15 Rationale Bezier-und B-Spline-Kurven 192
15.1 Rationale Bezierkurven ... 192
15.2 Der Algorithmus von de Casteljau . 193