Kreisel: Theorie und Anwendungen

507 Pages·1971·18.12 MB·German

by  Dr. rer. nat. Kurt Magnus (auth.)

KREISEL
KREISEL
Theorie und Anwendungen
Kurt Magnus
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Dr. rer. nat. KURT MAGNUS
o. Professor und Direktor des InstitutsB fUr Mecha.nik
der Technischen Universitiit Miinchen
Mit 259 Abbildungen
ISBN 978-3-642-52163-8 ISBN 978-3-642-52162-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52162-1
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1971
Urspl'Onglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1971.
Softcover repr!nt of the hardcover lst ed1110n 1971.
Llbrary of Congress Catalog Card Number: 79·163432
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Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daB solche
Namen Im Sinne der Warenzelchen· und Markenschutz·Geaetzgebung als frei zu betrachten
wiren und daher von jedermann benutzt werden diirften.
Vorwort
Vor etwa 150 Jahren hat der Astronom SIR JOHN HERSCHEL den
Kreisel als ein philosophisches Instrument bezeichnet. Seither hat der
Kreisel nichts von seiner Faszination eingebiiBt. Es gilt vielmehr auch
heute noch die Feststellung von FELIX KLEIN und ARNOLD SOMMER
FELD (1910), daB kein anderes Instrument so geeignet ist, Verstandnis
fiir den Zusammenhang physikalischer Begriffe in der Mechanik zu
wecken.
"Oberblickt man das Schrifttum auf dem Gebiet des Kreisels, dann
lassen sich zwei fast voneinander unabhangige Tendenzen feststellen.
Auf der einen Seite wurde die Theorie der Drehungen starrer Korper
sehr ausfiihrlich bis zu kaum noch interessierenden Detailfragen aus
gelotet. Diese mathematische Disziplin verdankt ihre Forderung vor
allem der Tatsache, daB viele Mathematiker im Kreisel ein Objekt
erkannt hatten, an dem sich mathematische Methoden besonders ein
drucksvoll demonstrieren lieBen. Andererseits haben Physiker und
Ingenieure seit langem die eigenartigen Verhaltensweisen der Kreisel
untersucht, zum Teil aus wissenschaftlicher Neugier, zum Teil auch,
urn mit ihrer Hilfe gerade interessierende Probleme zu losen. Man denke
z. B. an LEON FOUCAULT, der im Jahre 1852 mit Kreiseln einen neuen
experimentellen Beweis fiir die Drehung der Erde zu liefern versuchte.
Seither gibt es zahlreiche Biicher zur Kreiseltheorie, die von Kreisel
technikern nicht verstanden werden, sowie Werke zur inzwischen weit
entwickelten Kreiseltechnik, aus denen ein Mathematiker wenig An
regung zu schopfen vermag. Zweifellos aber liegt der Reiz des Kreisels
gerade in der Verbindung von Theorie und Anwendungen. Diese Er
kenntnis hat RICHARD GRAMMEL dazu gefiihrt, in seinem Buch "Der
Kreisel" (1. Auf!. 1920, 2. Auf!. 1950), den Versuch eines Briicken
schlages zwischen den sonst meist getrennt dargestellten Gebieten zu
unternehmen. Er hat die interessantesten Ergebnisse der klassischen
Kreiseltheorie iibernommen, aber stets den physikalischen Hintergrund
sichtbar werden lassen; er hat ferner die wichtigsten Anwendungen
beschrieben und sie mit den Mitteln der Theorie analysiert. So wurde
GRAMMELS Darstellung von Theoretikern und Anwendern gleichermaBen
geschatzt.
VI Vorwort
Seit dem Erscheinen des Grammelschen Buches hat sich die Kreisel
technik in erstaunlichem Umfang weiterentwickelt. Aber auch die
Kreiseltheorie, die schon fast als abgeschlossen bezeichnet werden
konnte, hat neue AnstoBe, vor allem von der Raumfahrt, bekommen.
Die extremen Bedingungen, denen Satelliten und Raumsonden im
Weltraum unterworfen sind, haben neuartige Problemstellungen ge
schaffen und damit einen neuen Dberdeckungsbereich zwischen der
kIassischen KreiseItheorie und der Kreiseltechnik sichtbar werden
lassen. So hat die Notwendigkeit, einen Satelliten wahrend seiner Bahn
umlaufe in ganz bestimmter Weise auszurichten, besonderes Interesse
an den Problemen der selbsterregten Kreisel und der Gyrostaten ge
weckt; der EinfluB fliissigkeitsgefiiIlter Behalter auf die Kreiselbewegun
gen von Raumschiffen und Raketen muBte untersucht werden; und
schlieBlich ergaben sich neuartige Probiemstellungen bei Korpern, deren
Massen oder Tragheitsmomente nicht konstant sind.
Eine allgemeinere Theorie der Kreiselsysteme, die auf den kIassischen
Ergebnissen von THOMSON und TAIT aufbauend in den letzten Jahren
auBerordentlich erweitert werden konnte, muBte den ihr gebiihrenden
Platz in diesem Buche finden. Hier jedoch - wie auch bei der Dar
stellung anderer Themen - muBte der wohl jeden Autor bedrangende
Wunsch nach VoIlstandigkeit zuriickgestellt werden zugunsten einer
mehr summarischen, lehrbuchartigen Darstellung. So wurde zwar eine
gewisse Abrundung beziiglich der Methoden und der wichtigsten Ergeb
nisse, nicht jedoch die systematische Untersuchung von Einzelerschei
nungen angestrebt.
AhnIiches gilt auch fUr die Darstellung der Kreiselanwendungen.
Hier wurden Fragen der Konstruktion oder der Technologie - so ent
scheidend wichtig sie im Einzelfall auch sein mogen - ausgekIammert.
Dagegen wurde der Versuch gemacht, die wesentIichen Gedanken und
Ergebnisse einer angewandten KreiseItheorie so herauszuarbeiten, daB
sie einen allgemeinen DberbIick iiber das vieIseitige Gebiet der Kreisel
gerate und der ihnen zugrunde liegenden physikalischen Erscheinungen
vermitteln. Dabei wurderi iibergreifende Phanomene, wie Schwingungs
effekte, Gleichrichterwirkungen oder Fragen der Abstimmung, bevor
zugt behandelt, wahrend Einzelfalle hOehstens als typische Beispiele
herangezogen wurden.
Der Leser mag aus dem InhaItsverzeichnis die Themenverteilung ent
nehmen. Er wird feststellen, daB sich das vorliegende Buch dureh die
Stoffauswahl zum Teil erheblich von den zur Zeit auf dem Markt be
findlichen Werken zu Kreiselproblemen unterscheidet. Wie schon bei
der Darbietung des Stoffes, so wurde auch bei der zitierten Literatur
bewuBt auf Vollstandigkeit verzichtet. Ein interessierter Leser wird
sieh hier leicht selbst weiterhelfen konnen. Es soIl ausdriicklich betont
Vorwort VII
werden, daB sich die angefiihrten Zitate stets nur auf die sachlichen
Probleme beziehen, nie aber irgendwelche Prioritaten dokumentieren
sollen. Zu dem beim gegenwartigen Stand von Wissenschaft und Tech
nik meist gegenstandslosen Streit um Prioritaten beizutragen, diirfte
miiBig sein.
Die Kreiseltheorie erfordert geeignete mathematische Hillsmittel.
Adaquate Werkzeuge hierzu sind Vektoren und Tensoren. lch habe
mich entschlossen, diese GroBen durchgehend in analytischer lndizes
schreibweise darzustellen, da diese prazis und konzentriert zugleich ist.
Daneben werden auch Matrizen verwendet, soweit sich das aus den
Problemstellungen zwanglos ergibt und well damit zugleich auch eine
computerfreundliche Formulierung erreicht wird. Auf speziellere mathe
matische Hilfsmittel habe ich insbesondere dann verzichtet, wenn das
wiinschenswerte Gleichgewicht zwischen Aufwand und Erfolg verloren
gegangen ware.
Das nun vorgelegte Buch ist aus Forschungsberichten, Vortragen und
verschiedenartigen Vorlesungen entstanden. Vielfaltige Anregungen habe
ich dabei im Laufe der Jahre von meinen Mitarbeitern, Kollegen, Zu
harern und Gesprachspartnern empfangen, und ich glaube, daB manches
davon seinen Niederschlag in diesem Buche gefunden hat. AuBerdem
habe ich bei der Fertigstellung des Manuskriptes mannigfache Hille aus
dem Kreise meiner engeren Mitarbeiter gefunden. lch machte an dieser
Stelle herzlich dafiir danken. Besonders erwahnen will ich die Herren
Dr.-lng. WERNER SOHIEHLEN und Dr.-lng. GERHARD SOHWEITZER. Sie
haben das gesamte Manuskript sorgfiiltig und kritisch durchgesehen und
dabei eine solche Fiille von wertvollen Bemerkungen beigesteuert,
daB - wie ich glaube - die Verstandlichkeit und Priizision des Dar
gestellten an zahlreichen Punkten gewonnen hat. SchlieBlich danke ich
dem Springer-Verlag und seinen erfahrenen Mitarbeitern fiir manche
Anregungen sowie vor aHem fiir das bereitwillige Eingehen auf meine
Wiinsche.
Miinchen, im Mai 1971
Kurt Magnus
Inhaltsverzeichnis
1. Einfiihrendes und Grundlagen . . . . . . . . 1
1.1 Kreisel und Kreiselerscheinungen. . . . . . 1
1.2 Zur Bezeichnung von Vektoren und Tensoren . 3
1.3 Massengeometrische Grundlagen . . . . 4
1.3.1 Triigheits- und Deviationsmomente 4
1.3.2 Wechsel des Bezugspunktes. . . . 7
1.3.3 Verdrehen der Bezugsachsen . . . 8
1.3.4 Triigheitsellipsoid und Haupttriigheitsachsen 12
1.3.5 Beziehungen zwischen den Triigheitsellipsoiden fUr verschie-
dene Bezugspunkte . . . . . . . . . . . • . 18
1.3.6 Klassifikation und Darstellung von Kreiseltypen 19
1.4 Kinematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Freiheitsgrade und Bewegungszustand . . . . . 23
1.4.2 Geometrische Beschreibung der Bewegung eines starren Korpers
mit Fixpunkt . . . . .. .......... 26
1.4.3 Analytische Beschreibung der Drehbewegung eines starren
Korpers. . . . . . 28
1.5 Kinetische Grundlagen . . .. ..... 39
1.5.1 Energie und Drall. . .. ..... 39
1.5.2 Hauptachsen, Drehachse und DraIlachse . 44
1.5.3 Drallsatz und Energiesatz . . . . . . 46
1.5.4 Die Bewegungsgleichungen des Kreisels 48
2. Der kriiftefreie Kreisel mit Fixpunkt. . . . . 52
2.1 Die geometrische Deutung der Kreiselbewegung nach POINSOT 53
2.1.1 Polkurven 55
2.1.2 Spurkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.3 Bahnkurven .................... 59
2.2 Die geometrische Deutung der Kreiselbewegung nach MACCuL1:..AGH 61
2.3 Analytische Berechnung nach EULER. . . . . . . . . 64
2.3.1 Integration der Eulerschen Differentialgleichungen 64
2.3.2 Die Bewegung der Hauptachsen. . . . . . . 69
2.4 Die Stabilitiit der Drehungen um die Hauptachsen 74
2.5 Der symmetrische Kreisel . . . . 77
2.5.1 Analytische wsung . . . . . . . . . . 77
2.5.2 Geometrische Beschreibung. . . . . . . 79
2.5.3 Die Stabilitiit des symmetrischen Kreisels 82
2.5.4 Der Kugelkreisel . . . . . . . . . • . 83
Inhaltsverzeichnis IX
3. Die Wechselwirkung von Kriiften und Bewegungen am Kreisel. 84
3.1 Die Kraftwirkungen gefiihrter Kreisel . . . . . 84
3.1.1 Die allgemeine Losung. . . . . . . . . . 84
3.1.2 Drehbewegungen um eine raumfeste Achse 85
3.1.3 Drehungen um bewegte Achsen. . . . . . 87
3.1.4 Kurvenkreisel und Kollermiihle. . . . . . 92
3.2 Allgemeines zur Bewegung eines Kreisels unter dem Einflull von
Krii.ften . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.1 Die Auswirkungen eines Momentes 98
3.2.2 Stolle auf die Figurenachse . 101
3.2.3 Allgemeine Niiherungen. . . . . . 103
3.3 Der schwere Kreisel . . . . . . . . . 105
3.3.1 Die Bewegungsgleichungen des schweren Kreisels, allgemeine
Integrale und Vbersicht . . . . . . . . . . . . 105
3.3.2 Der schwere symmetrische Kreisel Bach LAGRANGE . 109
3.3.3 Der schwere Kreisel Bach KOVALEVSKAJA . 125
3.3.4 Spezielle Bewegungen des schweren Kreisels . . . . 129
3.4 Der selbsterregte Kreisel. . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4.1 Die allgemeine Losung fUr den selbsterregten symmetrischen
Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.4.2 Anwendung auf den Fall konstanter Erregermomente. . . . 145
3.4.3 Erregung des symmetrischen Kreisels durch MomentenstoJ3e. 148
3.4.4 Selbsterregung des unsymmetrischen Kreisels . 152
3.4.5 Drehzahlabhiingige Selbsterregung ............. 155
3.5 Der zwangserregte Kreisel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.5.1 Erregung durch Wechselfelder parallel zum konstanten Feld 159
3.5.2 Erregung durch Wechselfelder quer zum konstanten Feld 162
4. Gyrostat und Kardankreisel . . . . . . . . . . 168
4.1 Der Gyrostat. . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.1 Die Bewegungsgleichungen des Gyrostaten 168
4.1.2 Der kriiftefreie symmetrische Gyrostat . . 169
4.1.3 Erzwungene Bewegungen des symmetrischen Gyrostaten 171
4.1.4 Der kriiftefreie unsymmetrische Gyrostat . . . . . 171
4.1.5 Permanente Drehungen eines Bchweren Gyrostaten 173
4.1.6 Der Gyrostat mit drehzahlgeregeltem Rotor 174
4.2 Allgemeines zum Kardankreisel. . . . . 176
4.3 Der schwere symmetrische Kardankreisel . . 178
4.3.1 Die allgemeine Losung ....... 179
4.3.2 Das Phasenportriit fiir die Bewegungen 182
4.3.3 Partikuliire LOsungen . . . . . . . . 185
4.3.4 Die Stabilitiit des Kardankreisels bei vertikaler Rotorachse. 187
4.4 Auswanderungserscheinungen eines astatisch gelagerten symmetri
schen Kardankreisels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.5 Die Stabilitiit des astatisch gelagerten unsymmetrischen Kardan-
kreisels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.5.1 Die Bewegungsgleichungen und partikuliire Losungen . 195
4.5.2 Drehungen um die Rotorachse . . . . . 196
4.5.3 Drehungen um die iiuJ3ere Rahmenachse . 199
4.5.4 Die Stabilitiit der Prandtl-Drehungen . . 201
x Inhaltsverzeichnis
o. Kreiselsysteme. 204
5.1 Bewegungsgleichungen vom Lagrangeschen Typ 204
5.1.1 Elimination der zyklischen Koordinaten . 205
5.1.2 Die Bewegungsgleichungen nach KELVIN und TAIT 207
5.1.3 Gyroskopische Kriifte . . . . . . . . . . . . . 208
5.2 Aussagen iiber kleine Schwingungen von Kreiselsystemen 211
5.2.1 Gleichungen fiir die Nachbarbewegungen einer bekannten
Grundlasung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212
5.2.2 Allgemeine Satze zum Stabilitatsverhalten . . . . . . . . . 215
5.3 Naherungsbetrachtungen fiir Systeme mit schnellen Kreiseln. . . 221
5.3.1 Gleichungen fiir Systeme mit schnellen symmetrischen Kreiseln 222
5.3.2 Bewegungsformen und Eigenfrequenzen in Systemen mit
schnellen Kreiseln . . . . . . . . . . . 224
5.3.3 Beispiel: ein gefesselter 3-Rahmen-Kreisel . . . 229
5.4 Bewegungsgleichungen vom Eulerschen Typ. . . . . 234
5.4.1 Die Bewegungsgleichungen fiir einen Teilkarper 235
5.4.2 Die Bewegungsgleichungen fiir ein System von starren Korpern 237
6. Drebbewegungen nicbt-starrer Korper. 239
6.1 Verformbar feste Kreisel 239
6.2 Kreisel mit Fliissigkeitsfiillung . . . 246
6.3 Kreisel mit veranderlicher Masse. . 252
6.3.1 Die allgemeinen Bewegungsgleichungen. 253
6.3.2 Einfache Beispiele. . . . . . . . . 255
6.3.3 Strahldampfung taumelnder Raketen . 256
7. Drebbewegungen starrer Korper obne Fixpunkt. 259
7.1 Kreiselerscheinungen an geworfenen Karpern 260
7.1.1 Das Kreiselverhalten von Geschossen 261
7.1.2 Der Bumerang . . . . . . . . . 263
7.2 Starre Karper auf horizontaler Unterlage 266
7.2.1 Gleichungen fiir den Spielkreisel. . 267
7.2.2 Grenzfalle ........... 270
7.2.3 Eine notwendige Stabilitatsbedingung fiir den allgemeinen Fall 270
7.2.4 Folgerungen aus dem Stabilitatsdiagramm 272
7.2.5 Allgemeine FaIle. . . . . . . . . . 274
8. Kreisel im zentralsymmetriscben Scbwerefeld 275
8.1 Das Moment der Schwerkraft fUr einen starren Karper 275
8.2 Kreisel mit Fixpunkt . . . . . 278
8.2.1 Energie- und Drallintegral . . . . 278
8.2.2 Der Kugelkreisel . . . . . . . . 279
8.2.3 Der verallgemeinerte Euler-Kreisel. 279
8.2.4 Der verallgemeinerte Lagrange-Kreisel . 283
8.2.5 Verallgemeinerte Staude-Drehungen . . 284
8.3 Kreiselbewegungen kiinstlicher Satelliten . . 285
8.3.1 Partikulare Lasungen der allgemeinen Bewegungsgleichungen. 286
8.3.2 Naherungen fUr kleine Satelliten . . . . . . 290
8.3.3 Symmetrische Satelliten auf einer Kreisbahn. . . . . . . . 292
Inhaltsverzeichnis XI
8.3.4 Satelliten beliebiger Form auf einer Kreisbahn • • 295
8.3.5 Stiirende Einfliisse. . 300
9. Kreiselwirkungen an Rotoren . . . . . . . . . . . . 304
9.1 Die Kopplung der Drehbewegungen bei Fahr· und Flugzeugen 304
9.2 Schwingungen eines Kardankreisels mit nachgiebiger Rotorwelle. 308
9.2.1 Die Bewegungsgleichungen fUr einen Kardankreisel mit Un-
wucht und elastischer Rotorwelle . . . . . . . . . . 309
9.2.2 Eigenschwingungen bei ausgewuchtetem Rotor . . . . .. 311
9.2.3 Zwangsschwingungen des Kardankreisels mit Unwucht .. 316
9.3 Die Beeinflussung von Biegeschwingungen durch Kreiselwirkung 320
9.3.1 Schwingungen einer freifliegend gelagerten rotierenden Scheibe 320
9.3.2 Kritische Drehzahlen bei Rotoren mit mehreren Freiheitsgraden 325
9.3.3 Der EinfluB der Unsymmetrie von Rotor und Welle 327
10. Ansstze einer tecbniscben Kreiseltbeorie . . . . . . . . 329
10.1 Vereinfachte Bewegungsgleichungen fUr Kreiselsysteme 329
10.2 Kreisel in drehenden Bezugssystemen . . . . 335
10.3 Das Vbertragungsverhalten von Kreiseln 338
10.3.1 Strukturdiagramme eines Kreiselpendels . . . . . 338
10.3.2 Vbertragungsfunktionen und Vbertragungematrizen 340
10.3.3 Blockschaltbilder fiir Untersuchungen mit Analogrechenan-
lagen ....... . . . . . . . . . . 342
11. Kreiselgeriite, Klassifikation und allgemeines Verbalten 345
11.1 Klassifikation von Kreiselgeraten . . . . . . . 345
11.2 Reibungseffekte . . . . . . . . . . . . . . . 348
11.2.1 Viskose Dampfung in den Rahmenlagern eines gefesselten
Kardankreisels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
11.2.2 Das Kreiselpendel mit Coulomb·Reibung in den Kardanlagern 350
11.2.3 Die Auswirkung von Coulomb-Reibung im Rahmenlager eines
Kreisels mit zwei Freiheitsgraden 357
11.3 An- und Auslauf von Kreiseln . . . . . 359
11.4 Schwingungseffekte . . . . . . . . . . 362
11.4.1 Auswirkungen der Rabmentragheit 362
11.4.2 Auswirkungen des gestorten Momentengleichgewichtes um die
Rotorachse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.4.3 Auswirkungen der Elastizitat der Bauelemente eines Krei-
selgerates . 369
12. Lagekreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 373
12.1 Der kinematische Fehler kardanisch aufgehiingter Lagekreisel 373
12.2 Der Kurskreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.2.1 Allgemeines Verhalten, Fiihrung und Stiitzung 380
12.2.2 Der Taumelfehler gestiitzter Kurskreisel . . 383
12.3 Der Lotkreisel ................. 385
12.3.1 Das Einschwingen des gefiihrten Lotkreisels . 386
12.3.2 Elementare Theorie des Lotkreisels bei bewegtem Trager 388
12.3.3 Storungstheorie des Lotkreisels bei beliebigen Bewegungen
seines Aufhiingepunktes lange der Erdoberflache . . . . . 393