Koszul-algebraer over endelige kropper

97 Pages·2009·0.652 MB·Norwegian

by  Kari-Lise Frisvold Olsen

Koszul-algebraer over endelige
kropper
Kari-Lise Frisvold Olsen
Master i matematikk
Oppgaven levert: Juli 2008
Hovedveileder: Øyvind Solberg, MATH
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet
Institutt for matematiske fag

i
Oppgavetekst
Masteroppgaven er innen algebra, nærmere bestemt Koszul-teori for
algebraer. Koszul-algebraer, ble først definert av Priddy, har en sentral
rolle innen algebra, geometri og topologi. Projektive moduler er viktige for
˚a finne invarianter av moduler og ringer, b˚ade for kommutative og ikke-
kommutative ringer. Over Koszul-algebraer er det en stor klasse av moduler
som har projektive oppløsninger med en fin lineær struktur. I tillegg er
det kjent at alle Koszul-algebraer er kvadratiske algebraer, men det er ikke
kjent en metode for˚a avgjøre n˚ar en kvadratisk algebra er Koszul eller ikke.
Denne masteroppgaven vil gi en innføring i teorien for Koszul-algebraer, og
spesieltundersøkekvadratiskealgebraeroverendeligekropper.Overendelige
kroppers˚afinnesdetbareendeligmangekvadratiskealgebraer.Forkonkrete
eksempler s˚a ønsker en˚a finne hvor mange av de kvadratiske algebraer som
er Koszul og i tillegg undersøke isomorfi-klassene av disse.
ii
iii
Forord
Med denne masteroppgaven er jeg ferdig med mitt fem˚arige opphold p˚a
NTNU Gløshaugen. Det har vært lærerike og givende ˚ar, b˚ade faglig og
sosialt.
Arbeidet med denne masteroppgaven har vært en utfordrende, men ogs˚a
en fin opplevelse. Tusen takk til mine medstudenter p˚a gangen som har
bidratt til mange trivelige pauser. Og en særlig takk til Trude Sundtjønn,
b˚adefordittsosialebidragogforfagligediskusjoneravalleslag.Enstortakk
g˚ar til min veileder Øyvind Solberg. Tusen takk for all hjelp, og ikke minst
din smittende faglige entusiasme og gode humør! Takk til Dag Madsen for
hjelp til den siste finpuss p˚a oppgaven, og svar p˚a de spørsm˚al det innebar.
Til slutt en takk til Halvard Amble.
Trondheim juli 2008
Kari-Lise Frisvold Olsen
iv
Innhold
Innledning vii
1 Graderte moduler 1
1.1 Graderte moduler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algebraen vi ser p˚a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Noen grunnleggende egenskaper ved graderte moduler . . . . 5
2 N˚ar Λ er Koszul 21
2.1 Projektive oppløsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 At Λ er Koszul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Koszul-algebraer er kvadratiske . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Yoneda-algebraen til en Koszul-algebra 29
3.1 Yoneda-algebraen til Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Dersom Λ er Koszul er ogs˚a E(Λ) Koszul . . . . . . . . . . . 50
3.3 Et nyttig korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Dersom Λ er kvadratisk og monomiell 55
4.1 N˚ar E(Λ) er endelig 1-generert . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 N˚ar Λ er kvadratisk og monomiell . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Diverse teori 65
5.1 Gr¨obnerbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Koszuldualet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Eksempler 69
Sammendrag og videre arbeid 85
v
vi INNHOLD
Innledning
Denne oppgaven er i hovedsak en innføring i en del teori om Koszul-
algebraer, hvor vi finner kriterier for, og konsekvenser av, at en veialgebra
Λ = kΓ/I er Koszul. Teorien blir ogs˚a satt ut i praksis gjennom en del
eksempler der vi sjekker om Λ er Koszul for diverse quiver Γ, kropper k og
relasjoner I.
Vi startet arbeidet med denne oppgaven med˚a regne p˚a om Λ = kΓ/I
er Koszul for kroppen Z , quiveret
2
1(cid:62)
(cid:0) (cid:62)
(cid:0) (cid:62)
α(cid:0)(cid:0) (cid:62)(cid:62)β
(cid:0) (cid:62)
(cid:0) (cid:62)
(cid:0)(cid:0)(cid:0) (cid:30)(cid:30)
2(cid:62) 3
(cid:62) (cid:0)
(cid:62) (cid:0)
(cid:62) (cid:0)
(cid:62) (cid:0)
(cid:62) (cid:0)
γ (cid:62)(cid:30)(cid:30) (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) δ
4
og kvadratiske I 1. Undersøkte om Λ = kΓ/I var Koszul ved˚a finne lineære
oppløsninger av de graderte simple Λ-modulene. For dette eksempelet
medførte det hverken veldig mye eller særlig kompliserte utregninger. Dette
endret seg da vi startet med quiveret
α (cid:57)(cid:57)1(cid:101)(cid:101) β
og ønsket ˚a se om Λ = kΓ/I var Koszul for blant annet I = (cid:104)α2 + β2(cid:105).
˚A skrive ned en basis for Λe over k var ingen udelt hyggelig opplevelse. I
1
det hele tatt var forsøkene p˚a˚a regne ut lineære oppløsninger av de simple
Λ-modulene en fin motivasjon for ˚a sette seg inn i mer teori om Koszul
algebraer.
Definisjonen av Koszul som blir brukt i denne oppgaven avhenger av˚a
se Λ som en gradert k-algebra. Vi vil derfor etter˚a først ha g˚att gjennom
noen grunnleggende definisjoner, se nærmere p˚a graderte moduler og bevise
en del teori for dem. Videre vil vi bevise at n˚ar Λ er Koszul s˚a er ogs˚a Λ
kvadratisk, for slik˚a legitimere at vi kun sjekker om Λ = kΓ/I er Koszul
for kvadratiske I. S˚a vil vi bevise at n˚ar Λ er Koszul, s˚a er E(Λ), Yoneda-
algebraen til Λ, ogs˚a Koszul. Dette er et steg p˚a veien til˚a vise at n˚ar Λ er
1Vi anvender allerede her at dersom Λ er Koszul s˚a er Λ kvadratisk.
vii
viii INNLEDNING
Koszul s˚a er E(Λ) = kΓ/I(cid:48) ogs˚a Koszul, der I(cid:48) er det kvadratiske dualet til
I. Beviset av dette er ikke med i denne oppgaven, men vi har tatt det med
som et teorem og bruker det i eksemplene. Oppgavens siste hovedbevis er
beviset av at dersom Λ er kvadratisk og monomiell, da er Λ Koszul. G˚ar s˚a
kortgjennomlittteoriomGr¨obnerbasisførvitilsluttpresentereroppgavens
eksempler. Vi avgjør om Λ = kΓ/I er Koszul for forskjellige kropper, quiver
ogkvadratiskerelasjoner,ogherf˚arvigodbrukforallteorienfradetidligere
kapitlene.
Følgende blir regnet som forkunnskaper i denne oppgaven: ringer,
moduler, veialgebraer, representasjoner av veialgebraer og homologisk
algebra.
a b
Notasjon. I denne oppgaven vil en vei · −→ · →− · skrives som ba.