Konzeptualisierung und Diagnose von mathematischem Grundwissen und Grundkönnen: Eine theoretische Betrachtung und exemplarische Konkretisierung am Ende der Sekundarstufe II PDF
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Perspektiven der Mathematikdidaktik Gabriele Kaiser Hrsg. Nora Feldt-Caesar Konzeptualisierung und Diagnose von mathe- matischem Grundwissen und Grundkönnen Eine theoretische Betrachtung und exemplarische Konkretisierung am Ende der Sekundarstufe II Perspektiven der Mathematikdidaktik Herausgegeben von G. Kaiser, Hamburg, Deutschland In der Reihe werden Arbeiten zu aktuellen didaktischen Ansätzen zum Lehren und Lernen von Mathematik publiziert, die diese Felder empirisch untersuchen, quali- tativ oder quantitativ orientiert. Die Publikationen sollen daher auch Antworten zu drängenden Fragen der Mathematikdidaktik und zu offenen Problemfeldern wie der Wirksamkeit der Lehrerausbildung oder der Implementierung von Innovatio- nen im Mathematikunterricht anbieten. Damit leistet die Reihe einen Beitrag zur empirischen Fundierung der Mathematikdidaktik und zu sich daraus ergebenden Forschungsperspektiven. Herausgegeben von Prof. Dr. Gabriele Kaiser Universität Hamburg Nora Feldt-Caesar Konzeptualisierung und Diagnose von mathe - matischem Grundwissen und Grundkönnen Eine theoretische Betrachtung und exemplarische Konkretisierung am Ende der Sekundarstufe II Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Regina Bruder Nora Feldt-Caesar Technische Universität Darmstadt Deutschland Vom Fachbereich Mathematik der Technischen Universität Darmstadt zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Dissertation Tag der Einreichung: 05.02.2016 Tag der mündlichen Prüfung: 28.04.2016 Referentin: Prof. Dr. Regina Bruder 1. Korreferent: Prof. Dr. Hans-Dieter Sill 2. Korreferentin: Prof. Dr. Kathrin Winter Darmstadt, D 17 Perspektiven der Mathematikdidaktik ISBN 978-3-658-17372-2 ISBN 978-3-658-17373-9 (eBook) DOI 10.1007/978-3-658-17373-9 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National- bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informa- tionen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Geleitwort Nora Feldt-Caesar hat an der TU Darmstadt das Lehramtsstudium für Gymnasien in Mathematik und Chemie absolviert. Sie besitzt vielfältige Erfahrungen aus der Betreuung von universitären Lehrveranstaltungen zur Mathematik für Ingenieure und in der Fachdidaktik im Lehramt und wurde für ihre Innovationen in der Lehre 2014 mit dem Best E-Teaching Award der TU Darmstadt ausgezeichnet. Zielbegründung und Forschungsmotivation der hier vorgelegten Dissertationsschrift von Nora Feldt-Caesar setzen an den im deutsch- sprachigen Raum aktuell wieder viel diskutierten Problemen einer Ver- fügbarkeit mathematischer Grundlagen am Übergang zwischen Schule und Hochschule an. Adressiert werden die dahinter stehenden grund- sätzlichen und vielschichtigen Fragen einer Auswahl und Begründung von mathematischen Mindeststandards und ein Diagnoseansatz für die Verfügbarkeit dieser mathematischen Grundlagen. Sowohl die theoretischen als auch die empirischen Anteile der Ar- beit verstehen sich als Beitrag zur curricularen Grundlagenforschung aus fachdidaktischer Perspektive in interdisziplinären Zusammenhängen. Nora Feldt-Caesar konzeptualisiert Mindeststandards für den allgemein- bildenden Mathematikunterricht mit einer exemplarischen Operationali- sierung. Hierfür wird der Begriff des Mathematischen Grundwissens und Grundkönnens auf tätigkeitstheoretischer Grundlage geprägt. Darüber hinaus und in logischer Konsequenz der Frage nach der Umsetzbarkeit des gewählten Mindeststandardkonzeptes leistet die Arbeit einen inno- vativen testtheoretischen Grundlagenbeitrag mit der Entwicklung eines neuen Formates für diagnostische Testaufgaben, dem elementarisieren- den Testen. Für beide Zielbereiche werden die relevanten Begrifflichkei- ten zu Beginn der Arbeit bereitgestellt. Der Anspruch einer Konzeptualisierung von Mindeststandards für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht erfordert zunächst eine Klärung möglicher Perspektiven und geeigneter Ziele für ein solches Konstrukt sowie eine Reflexion bisheriger Ansätze und Modelle in die- sem Bereich. Schließlich sind geeignete theoretische Grundlagen für die Konzeptualisierung auszuwählen, darzustellen und anzuwenden. Alle diese Aspekte werden von der Autorin berücksichtigt und umgesetzt. Die VI Geleitwort hier denkbaren möglichen Perspektiven anhand konsensfähiger relevan- ter Kriterien bzw. Fragen herauszuarbeiten ist ein Verdienst der Autorin und sehr hilfreich zum Einordnen bestehender und zur Begründung des von ihr entwickelten Konzeptes. Den bestehenden Konzepten stellt Frau Feldt-Caesar den Begriff des Mathematischen Grundwissens und Grundkönnens als eigene Mindeststandardinterpretation zur Seite, um hier auch Lücken zu schließen zu den bisherigen Konzepten, die nicht immer eindeutig die zugrunde gelegten Verfügbarkeitskriterien und einen möglichen Hilfsmitteleinsatz transparent machen. Diese Vorteile bzw. Besonderheiten der gewählten Interpretation werden jedoch erst er- kennbar, wenn mit der Tätigkeitstheorie als Hintergrundtheorie operiert wird. Deshalb wird der Entwicklung des theoretischen Hintergrundes auch ein gesondertes Kapitel gewidmet, bevor der Faden der Konzeptu- alisierung von Mindeststandards wieder aufgenommen wird. Eine besondere Leistung der Autorin gemeinsam mit ihrem Kollegen Oliver Schmitt ist die vorgenommene begründete Reduktion der von Pippig vorgeschlagenen Qualitätsmerkmale für Kenntnisse auf die vier Merkmalsbereiche: Verfügbarkeit, Exaktheit, Allgemeinheit und Über- tragbarkeit. Mit diesen vier Bereichen lassen sich Unterschiede in der Aneignungsqualität von Kenntnissen auf der Individuenebene überzeu- gend modellieren. Dies gelingt insbesondere durch Verknüpfungen mit weiteren Theorieelementen, den Orientierungsgrundlagen, und damit verbunden auch den Phänomenen von Bewusstheit und Unbewusstheit sowie hierarchisch aufgefassten Handlungselementen. Damit gelingen recht feingliedrige, aber sehr plausible Abstufungen, die das bereits in dieser Richtung entwickelte Konstrukt des sicheren Wissens und Kön- nens von Sill und Sikora anreichern. Der mit diesem Ansatz erreichte Erkenntnisgewinn wird in dem Unterkapitel „5.7. Verstehen als globale Zielkategorie“ besonders deutlich. Bekannte Phänomene wie schemati- sches Arbeiten zu einem Thema oder intuitive Vorstellungen, die vom Lernenden nicht nachvollziehbar verbalisierbar sind, lassen sich jetzt überzeugend als unterschiedliche Aneignungsqualitäten in Verbindung mit den jeweiligen Orientierungsbildungen in der konkreten Situation deuten, die auch wieder von vorherigen Situationen beeinflusst werden. Ein sehr interessanter und in seiner Tragweite nicht zu unterschät- zender Zugewinn der theoretischen Modellierung von Aneignungsquali- täten von Kenntnissen ist eine auf dieser Grundlage mögliche objekti- vierte Beschreibung einer ersten oder grundlegenden Stufe des Verste- hens mathematischer Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren (in dem auf Skemp bezogenen Begriffsverständnis von Verstehen). Diese Stufe des Verstehens kann als ein mögliches Deutungsmuster für reale Be- (cid:42)(cid:72)(cid:79)(cid:72)(cid:76)(cid:87)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:87) VII obachtungen bei Lernenden fungieren und eine zentrale Rolle für die Entwicklung von Diagnoseaufgaben spielen. Im 6. Kapitel wird der Faden der Konzeptualisierung von Mindest- standards in Form eines allgemeinen Vorgehens – jetzt im Vokabular der Tätigkeitstheorie – wieder aufgenommen. Das Ergebnis ist eine Art Handlungsanweisung, die man durchlaufen sollte, wenn man eine weite- re, andere Konzeptualisierung vornehmen möchte, was jederzeit durch die unterschiedlichen Antwortmöglichkeiten auf die gestellten Leitfragen realisierbar erscheint. Frau Feldt-Caesar ist sich dessen bewusst, dass solche hierarchisch angelegten Idealmodelle auch ihre Grenzen haben (müssen), was den Wert des Beschreibungsmodells jedoch in keiner Weise mindert. Im Gegenteil: Jetzt können vor dem Hintergrund des ausgearbeiteten Modells zur Konzeptualisierung von Mindeststandards die vorliegenden und eingangs in der Arbeit bereits referierten Konzepte klar voneinander unterschieden werden, um dann eine eigene Definition von Mindeststandards entlang der Konzeptualisierungskette begründet zu entwickeln. Es wird anhand der gewählten Beispiele auch sehr schön deutlich, wie viele stoffdidaktische Überlegungen (eigentlich) notwendig sind, um gut begründete Entscheidungen über die tatsächlich notwendig als mathematisches Grundwissen und Grundkönnen zu beherrschenden Wissenselemente treffen zu können. Wichtigstes und innovatives Ergebnis im zweiten Zielbereich, der Diagnose von mathematischem Grundwissen und Grundkönnen, ist das Konzept des elementarisierenden Testens. Dieses Konzept ist wiederum zunächst ein theoretisches Konstrukt, das schließlich exemplarisch ope- rationalisiert wird. Das Konzept wird aus verschiedenen Überlegungen (kumuliertes und elementarisiertes Testen) zusammengeführt. Die Vor- teile des Konzeptes bei digitaler Umsetzung und Verfügbarkeit von Kenntnissen über typische Schülerschwierigkeiten im Testbereich liegen auf der Hand: Konsequente Individualisierung und ein zunächst lehrer- unabhängig mögliches Feedback. Hier geht es allerdings nur um eine punktuelle Entlastung von Lehrkräften, nicht um das Ersetzen einer Lehrkraft. In dem elementarisierenden Testen steckt ein großes Potenzial zur Weiterentwicklung der Grundlagendiagnostik im Mathematikunterricht aus theoretischer und unterrichtspraktischer Perspektive. Der tätigkeits- theoretische Hintergrund liefert tiefere Einsichten zur Testitemkonstruk- tion auch bezüglich einer Validierung, indem z.B. zwischen Passungs- und Benennungsteil von Kenntnissen unterschieden wird. Die qualitativen und quantitativen empirischen Ergebnisse sind bei allen Einschränkungen durch das Versuchsdesign (keine Parallelitems) VIII Geleitwort doch ein guter Beleg dafür, dass die Testitementwicklung bereits mehr als befriedigend gelungen ist. Das ist keineswegs selbstverständlich, weil erfahrungsgemäß Itementwicklungen lange Pilotierungsphasen durchlaufen müssen, bis sie eine einigermaßen akzeptable Qualität er- reichen. Mit den beiden Konstrukten Fehleraufklärungsquote und kriti- sche Gruppe hat die Autorin geeignete, tragfähige Indikatoren für die Testqualität im Bereich von Mindeststandards entwickelt. Bei den Theorieentwicklungen und erzielten empirischen Ergebnis- sen ist die sehr klare und auch mögliche Gegenpositionen abwägende Darstellungsweise durch die Autorin besonders hervorzuheben. Mit die- ser Arbeit werden besonders solche Leserinnen und Leser angespro- chen, die an fachdidaktischen Begründungen für unterrichtsrelevante Konzepte interessiert sind. Ich wünsche dieser Schrift eine breite Rezep- tion in der Fachdidaktik. Darmstadt, 30.10.2016 Prof. Dr. Regina Bruder Danksagung Mein erster Dank gilt meiner Betreuerin Prof. Dr. Regina Bruder, die mich im gesamten Entstehungsprozess dieser Arbeit durch zahlreiche inhaltliche Anregungen und Diskussionen unterstützt hat, aber auch durch ihre Ermutigungen, ihre Hilfsbereitschaft und das angenehme und produktive Arbeitsklima in ihrer Arbeitsgruppe zum Gelingen dieser Dis- sertation beigetragen hat. Bei Frau Prof. Dr. Kathrin Winter bedanke ich mich für die Begut- achtung meiner Arbeit, insbesondere aber auch für die zahlreichen in- haltlichen Diskussionen. Ebenso möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr. Hans-Dieter Sill für die Begutachtung meiner Arbeit sowie für die kon- struktiven inhaltlichen Anregungen bedanken. Mein besonderer Dank gilt meinen Kollegen aus der Arbeitsgruppe Didaktik, insbesondere Oliver Schmitt, Renate Nitsch, Kristina Richter, Isabell Bausch, Ulrike Roder und Marcel Schaub, die durch unzählige inhaltliche Diskussionen einen Beitrag zu dieser Arbeit geleistet haben. Außerdem bedanke ich mich bei allen Korrekturlesern für die vielen hilfreichen Rückmeldungen. Schließlich möchte ich mich bei meiner Familie bedanken, insbe- sondere bei meinem Mann, meinen Eltern und meiner Schwester, die mich während meiner gesamten Promotionszeit unterstützt haben und immer für mich da waren.
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