Kontinuumsmechanik: Einfuhrung in die materialunabhangigen und materialabhangigen Gleichungen

347 Pages·2012·4.076 MB·German

by  Holm Altenbach (auth.)

Kontinuumsmechanik
Holm Altenbach
Kontinuumsmechanik
Einführung in die materialunabhängigen
und materialabhängigen Gleichungen
2. Auflage
Prof.Dr.-Ing.habil.Dr.h.c.HolmAltenbach
Otto-von-Guericke-UniversitätMagdeburg
Deutschland
ISBN978-3-642-24118-5 ISBN978-3-642-24119-2(eBook)
DOI10.1007/978-3-642-24119-2
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©Springer-VerlagBerlinHeidelberg2012
UrsprünglicherschienenbeiViewegundTeubner,1994
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Dieses Lehrbuchistmeinem vielzu früh
verstorbenenakademischenLehrer
Prof.PavelA. Zhilin(1942–2005)
gewidmet.
Vorwort
Innovative Projekte der Technik erfordern vielfach solide Kenntnisse in der Kon-
tinuumsmechanik. Die Ursache hierfür liegt in der Komplexität der Aufgaben-
stellungen, die oftmals nicht mehr im Rahmen klassischer Konzepte der Tech-
nischen Mechanik zu lösen sind. Auch verlangt der Übergang von geometrisch
linearen zu geometrischnichtlinearenModellennach Alternativenzur klassischen
BeschreibungderVerzerrungsgrößen.GleichzeitigmüssendieSpannungstensoren
neudefiniertwerden.BesondereAufmerksamkeitistaufdieModellierungkomple-
xenMaterialverhaltenszurichten.
InderKontinuumsmechanikwerdendieGrundgleichungeninzweigroßeGrup-
penunterteilt–diematerialunabhängigenunddiematerialabhängigenGleichungen.
Diesewerdennachfolgenddiskutiert,wobeidasvorliegendeBuchinmöglichstein-
facher Weise in die Grundlagen dieses theoretisch anspruchsvollen Gebietes ein-
führenwill. DerSchwerpunktliegtbeifestendeformierbarenKörpern.Dievorge-
stelltenKonzeptelassensichaberauchaufFluideohneSchwierigkeitensinngemäß
übertragen.DasBuchrichtetsichanStudierendedesMaschinenbausunddesBau-
ingenieurwesens,aberauchandieindenBereichenKonstruktion,Entwicklungund
ForschungtätigenIngenieure.
Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Höheren Mathematik, der Physik, der
Technischen Mechanik und der Werkstoffkunde, wie sie in Ingenieurstudiengän-
genzuBeginnderAusbildungvermitteltwerden.DieKontinuumsmechaniksollte
dann gleich im Anschluss folgen, um zur Anwendungder Bilanzgleichungenund
derphänomenologischenMaterialmodelleimweiterenStudiumanzuregen.Gleich-
zeitig wird dem Studierenden eine ganzheitliche Betrachtung angeboten, die die
teilweisenichtmehrüberschaubareAufsplitterunginviele,scheinbarunabhängige
technischeTeilproblemevermeidet.
ZurKontinuumsmechanikgibtesbisheuteunterschiedlicheLehrmeinungen,die
durchzahlreichewissenschaftlicheSchulenvertretenwerden.Mitdemvorliegenden
Lehrbuchwirdversucht,auchdasLesenvonSpezialliteraturzuerleichtern,wobei
dieaxiomatischorientiertenDarstellungenderGrundlagendominantsind.Zahlrei-
che Literaturhinweiseerleichtern das weiterführendeund vertiefendeStudium, da
VII
VIII Vorwort
bei den knapp bemessenen Stundentafeln in der Ausbildung nicht mehr auf jedes
Problemeingegangenwerdenkann.
Besonderen Einfluss auf die vorliegendeEinführungin die Kontinuumsmecha-
nikhabendieLehrbücher/MonographienvonA.I.Lurie1[13,14],E.Krempl2[12],
P. Haupt3 [10],P.A. Zhilin4 [26] undV.A. Palmov5 [17] gehabt.Die Stoffauswahl
und Darstellung wurden vorrangig durch die Zielstellung bestimmt, in möglichst
kompakterFormindieGrundlagenderKontinuumsmechanikeinzuführen.Ausge-
wähltedurchgerechneteBeispieleillustrierenanschaulichdietheoretischenZusam-
menhänge.
Nach einer kurzen Einführung in Aufgaben, Betrachtungsweisen und Modelle
der Kontinuumsmechanik werden zunächst die für eine Einführung notwendigen
GrundzügederTensorrechnunginknapperFormvorangestellt.Dabeiwerdenzwei
Darstellungformengenutzt–dieinvarianteunddieindizierte.DieVor-undNach-
teilewerdenhiernichtdiskutiert.ImSinneeinerEinführungerfolgteineBeschrän-
kung auf kartesische Koordinaten. Ergänzungen und Erweiterungen können der
Spezialliteraturentnommenwerden.
Die folgenden Kapitel behandeln systematisch die materialunabhängigenAus-
sagen der Kontinuumsmechanik, d.h. die Kinematik, die Kinetik und die Bilan-
zen.DieErhaltungssätzewerdenalsSonderfällederBilanzaussagenformuliert.Es
folgendiematerialabhängigenAussagen.AusgehendvondenallgemeinenGrund-
sätzenderMaterialtheoriewerdenfürFestkörperundFluideexemplarischKonsti-
tutivgleichungen auf deduktivem und auf induktivem Wege formuliert sowie die
MethodederrheologischenModellierungerläutert.IndenabschließendenKapiteln
wirdwiederumexemplarischandenfürtechnischeAnwendungenbesonderswich-
tigenTeilgebietenderKontinuumsmechanik,dergeometrisch-linearenTheorieder
Elastizität undderThermoelastizitätsowie derlinear-viskosenFluidegezeigt,wie
die materialunabhängigenunddie materialabhängigenGleichungenzusammenge-
fasstundfürdiegenanntenGebietedieAnfangs-Randwertaufgabenformuliertwer-
denkönnen.AlleAussagenbeziehensichaufdieklassischeKontinuumsmechanik
thermomechanischer Felder. Andere physikalische Felder, mehrphasige Systeme
und verallgemeinerte Kontinuumsmodelle bleiben ausgeschlossen. Entsprechende
weiterführendeLiteraturhinweisesindangegeben.
1AnatolyIsakovichLurie(1901–1980),ProfessorfürMechanikamLeningraderPolytechnischen
Institut(heuteSt.PetersburgerStaatlichePolytechnischeUniversität),grundlegendeBeiträgezur
MechanikundRegelungstechnik
2 Erhard Krempl (1934–2010), Professor am Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY, Werk-
stoffmodellierung
3PeterHaupt(geb.1938),ProfessorfürTechnischeMechanik/KontinuumsmechanikanderUni-
versitätKassel,BeiträgezurMaterialtheorie
4PavelAndreevichZhilin(1942–2005),ProfessorfürRationaleMechanikanderSt.Petersburger
StaatlichenPolytechnischen Universität,Beiträgezuverschiedenen TeildisziplinenderKontinu-
umsmechanik
5 Vladimir Alexandrovich Palmov (geb. 1934), Professor für Mechanik an der St. Petersbur-
gerStaatlichenPolytechnischenUniversität,BeiträgezurnichtlinearenKontinuumsmechanikund
Rheologie
Vorwort IX
Das Buch basiert auf dem Konzept des Lehrbuchs „Einführung in die Kon-
tinuumsmechanik“ [1], an dem der Autor mitwirkte. Dieses war der Nachfolger
des Lehrbuchs von Becker und Bürger [3], welches stärker auf fluidmechanische
Aspekteorientiertwar.AufGrundderzahlreichenpositivenLeserbewertungendes
LehrbuchswurdedasGrundkonzeptweitgehendbeibehalten.Eswurdemehrfachan
deutschenundausländischenHochschulenerprobtundentsprichtinseinemUmfang
einer einsemestrigen Vorlesung mit vier Wochenstunden Vorlesungen und zwei
WochenstundenÜbungen.DaimZusammenhangmitderUmstellungaufBachelor-
undMasterstudiengängevielfachnurModulemitinsgesamtdreiStundenangebo-
ten werden können, wurde der Stoff so aufbereitet, dass man das Buch auch zum
Selbststudiumeinsetzenkann.
Der Autor bedankt sich bei seiner Universität für die Genehmigung eines For-
schungsfreisemesters,welches der Autor zu großenTeilen in Nagoya (Japan)und
Lublin(Polen)verbrachte,undbeiderJapanSocietyforthePromotionofScience
(ID No. RC 21115001), die den Aufenthalt an der Nagoya Daigaku (Universität
Nagoya)unterstützte,sowiederEuropäischenUnion,dieinnerhalbdes7.Rahme-
nenprogramms(CEMCAST –Centre ofExcellenceforModernCompositesApp-
liedinAerospaceandSurfaceTransportInfrastructureFP7-245479)denAufenthalt
an der Politechnika Lubelska ermöglichte. Dem Springer-Verlag sei für die her-
vorragendeZusammenarbeitgedankt,insbesondereFrauHestermann-Beyerle,Frau
Kollmar-Thoni und Herrn Holzwarth (LATEX-Unterstützung). Abschließend sei
meinenaktuellenundehemaligenMitarbeiternVictorEremeyev,AnnaGirchenko,
Carsten KrönerundBarbaraRennergedankt.IhrekritischeDurchsichtdesManu-
skripts, die Unterstützung bei der grafischen Gestaltung sowie die Erstellung von
BeispielaufgabenhatzuweiterenVerbesserungengeführt,diehoffentlichauchvom
Lesersoakzeptiertwerden.NichtvergessenmöchteichandieserStellemeineFrau,
diewieschonoftmichbezüglichderLiteratur,derQuellenundderbiographischen
Angabenberiet.
In den letzten Jahren erschienen zahlreiche Lehrbücher bzw. Monografien zur
Kontinuumsmechanik. Ohne Anspruch auf Vollständigkeit zu erheben, seien hier
einige erwähnt. Unter den deutschsprachigen Büchern sind insbesondere die von
Betten [5] (mit zahlreichen Beispielen zu Problemen der Plastizitätstheorie und
Kriechmechanik), Giesekus [8] (Rheologie), Greve [9] (klassische Feldtheorie
deformierbarer Körper), Krawietz [11] (mit den Schwerpunkten Rheologie und
rheologischeModelle),Müller[15](Einbeziehungvonnicht-thermomechanischen
Problemen),Parisch[21](LösungenmitFinitenElemente)undWillner[24](Anwen-
dungeninderKontaktmechanik)zuerwähnen.UnterdenenglischsprachigenWer-
ken seien hier die Bücher von Bas¸ar & Weichert [2] (Schwerpunkt bei nichtli-
nearen Effekten bei elastischen Materialien), Bertram [4] (unter spezieller Beach-
tung der Besonderheiten der Plastizität), Eringen [6, 7] (nichtklassische Konti-
nua),Haupt[10](mitdemSchwerpunktMaterialtheorie),Nemat-Nasser[16](finite
Deformationen heterogener inelastischer Materialien), Palmov [17] (rheologische
Modelle), Šilhavý [22] (Rationale Thermodynamik),Tanner [23] (Rheologie)und
Wu[25](Plastizität)aufgezählt.Auchwennfürvielenichterschließbar,dainRus-
sischabgefasst,sollenauchdieBüchervonPalmov[18–20]undZhilin[27]angege-
X Vorwort
benwerden.DiesegehörenzudenbestenrussischsprachigenLehrbüchernaufdem
GebietderKontinuumsmechanikbzw.behandelnAspektediesesBuches.Sieunter-
scheiden sich deutlich von den anderensowjetischen/russischen Mechanikschulen
inihrerDarstellungsart.
Nagoya,Magdeburg,Lublin HolmAltenbach
2011
Literaturverzeichnis
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anisotroperStoffe,2.Aufl.Springer,Berlin
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18. PalmovVA(2008)GrundgesetzederNatur(inRuss.).VerlagderPolytechnischenUniversität,
St.Petersburg
19. Palmov VA (2008) Konstitutivgleichungen thermoelastischer, thermoviskoser und thermo-
plastischerMaterialien(inRuss.).VerlagderPolytechnischenUniversität,St.Petersburg
20. PalmovVA(2008)TheoriederKonstitutivgleichungenindernichtlinearenThermomechanik
deformierbarerKörper(inRuss.).VerlagderPolytechnischenUniversität,St.Petersburg
21. ParischH(2003)Festkörper-Kontinuumsmechanik: VondenGrundgleichungen zurLösung
mitFinitenElementen.Teubner,Stuttgart
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24. WillnerK(2003)Kontinuums-undKontaktmechanik:SynthetischeundanalytischeDarstel-
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25. WuHC(2000)ContinuumMechanicsandPlasticity.Chapman&Hall/CRC,BocaRaton
26. Zhilin PA (2001) Vektoren und Tensoren 2. Stufe im dreidimensionalen Raum (in Russ.).
Nestror,St.Petersburg
27. ZhilinPA(2012)RationaleKontinuumsmechanik(inRuss.).VerlagderPolytechnischenUni-
versität,St.Petersburg
Inhaltsverzeichnis
TeilI GrundbegriffeundmathematischeGrundlagen
1 Einführung.................................................... 3
1.1 WichtigeEntwicklungsetappenderKontinuumsmechanik ........ 3
1.2 AufgabenundModellederKontinuumsmechanik............... 7
1.3 TeilgebietederKontinuumsmechanik ......................... 10
1.4 GrundlegendeBegriffeinderKontinuumsmechanik............. 11
1.4.1 Raum ............................................. 11
1.4.2 Zeit ............................................... 12
1.4.3 Körper ............................................ 12
1.4.4 Masse ............................................. 13
1.4.5 HomogenitätundIsotropie............................ 13
Literaturverzeichnis ............................................. 14
2 MathematischeGrundlagen
derTensoralgebraundTensoranalysis............................ 17
2.1 KoordinatenfreieundIndexschreibweise....................... 17
2.1.1 DarstellungsformenfürSkalare,VektorenundTensoren ... 18
2.1.2 VektorenundTensoren............................... 22
2.2 Tensoralgebra............................................. 25
2.2.1 RechenregelnfürVektoren............................ 26
2.2.2 RechenregelnfürDyaden............................. 29
2.2.3 SpezielleTensorenzweiterStufe....................... 33
2.2.4 RechenregelnfürspezielleTensoren.................... 36
2.2.5 EigenwertproblemfürsymmetrischeTensoren ........... 37
2.2.6 PolareZerlegungvonnicht-singulärenTensoren2.Stufe .. 41
2.3 Tensoranalysis ............................................ 42
2.3.1 TensorwertigeFunktioneneinerskalarenVariablen ....... 42
2.3.2 Nabla-Operator ..................................... 43
2.3.3 Integralsätze........................................ 45
XI
XII Inhaltsverzeichnis
2.4 Tensorfunktionen.......................................... 46
2.4.1 LineareFunktionentensoriellerArgumente.............. 47
2.4.2 SkalarwertigeFunktionentensoriellerArgumente ........ 48
2.4.3 DifferentiationvonspeziellenskalarwertigenFunktionen .. 48
2.4.4 DifferentiationvontensorwertigenFunktionen........... 50
2.4.5 IsotropeFunktionentensoriellerArgumente ............. 50
2.5 Übungsbeispiele........................................... 51
2.6 Lösungen................................................. 53
Literaturverzeichnis ............................................. 68
TeilII MaterialunabhängigeGleichungen
3 KinematikdesKontinuums ..................................... 71
3.1 MaterielleKörperundihreBewegungsmöglichkeiten............ 71
3.2 Lagrange’scheundEuler’scheBetrachtungsweise,Zeitableitungen 74
3.2.1 ZweiBetrachtungsweisen ............................ 74
3.2.2 Ableitung skalarer, vektorieller und tensorieller
FunktionennachderZeit ............................. 76
3.3 DeformationenundDeformationsgradienten ................... 78
3.4 Geschwindigkeitsfelder,Geschwindigkeitsgradient.............. 83
3.5 VerzerrungenundVerzerrungsmaße .......................... 90
3.6 Deformations-,Rotations-undVerzerrungsgeschwindigkeiten ....106
3.7 VerschiebungsvektorundVerschiebungsgradiententensor.........112
3.8 GeometrischeLinearisierung
derkinematischenGleichungen ..............................115
3.9 Übungsbeispiele...........................................121
3.10 Lösungen.................................................124
Literaturverzeichnis .............................................135
4 KinetischeGrößenundGleichungen .............................137
4.1 KlassifikationderäußerenBelastungen........................137
4.2 Cauchy’scherSpannungsvektorundSpannungstensor ...........140
4.3 GleichgewichtsbedingungenundBewegungsgleichungen ........146
4.4 Spannungsvektoren und Spannungstensoren
nachPiola-Kirchhoff.......................................152
4.5 Übungsbeispiele...........................................158
4.6 Lösungen.................................................160
Literaturverzeichnis .............................................166
5 Bilanzgleichungen..............................................169
5.1 AllgemeineFormulierungvonBilanzgleichungen...............169
5.1.1 GlobaleundlokaleGleichungenfürstetigeFelder ........170
5.1.2 IntegrationvonVolumenintegralenmitzeitabhängigen
Integrationsbereichen–Transporttheorem...............175
5.1.3 EinflussvonSprungbedingungen ......................179