Kontinuums- und Kontaktmechanik: Synthetische und analytische Darstellung

556 Pages·2003·39.14 MB·German

by  Dr. Kai Willner (auth.)

Willner
Kontinuums- und Kontaktmechanik
Springer-Verlag Berlin
Heidelberg GmbH
n
OONNLLIINNEE LLIIBBRRAARRYY
Engineering
http://www.springer.de/engine-de/
K. Willner
Kontinuums-
und Kontaktmechanik
Synthetische und analytische Darstellung
Mit 80 Abbildungen und 26 Tabellen
Springer
Dr. Kai Willner
Institut A für Mechanik
der Universität Stuttgart
Pfaffenwaldring 9
70550 Stuttgart
E-mail: [email protected]
ISBN 978-3-642-62825-2 ISBN 978-3-642-55814-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-55814-6
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der
Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funk
sendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in
Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Verviel
fältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der
gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. Septem
ber 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhand
lungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes.
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
ein Unternehmen der Bertelsmannspringer Science+Business Media GmbH
http://www.springer.de
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2003
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2003
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berech
tigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der
Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann
benutzt werden dürften.
Sollte in diesem Werk direkt oder indirekt auf Gesetze, Vorschriften oder Richtlinien (z.B. DIN, VDI, VDE)
Bezug genommen oder aus ihnen zitiert worden sein, so kann der Verlag keine Gewähr für Richtigkeit,
Vollständigkeit oder Aktualität übernehmen. Es empfiehlt sich, gegebenenfalls für die eigenen Arbeiten die
vollständigen Vorschriften oder Richtlinien in der jeweils gültigen Fassung hinzuzuziehen.
Text: Datenerstellung durch Autoren
7/3020hu -543 2 1 0-
Vorwort
Ziel dieser Arbeit ist die Beschreibung von thermoelastischen Kontaktpro
blemen mit den Mitteln der Kontinuumsmechanik. Dabei soll erstens eine
durchgangige Darstellung der Konzepte der Kontinuumsmechanik und der
Kontaktmechanik erfolgen, zweitens eine geschlossene Darstellung sowohl der
synthetischen als auch der analytischen Beschreibung geboten werden und
drittens sollen alle wesentlichen mathematischen Hilfsmittel in das Gesamt
konzept integriert werden.
Da dies eine sehr ehrgeizige Aufgabe darstellt, die kaum erschopfend in ei
nem Werk geleistet werden kann, ist eine Beschrankung des Stoffes notig. Die
se wird hier durch eine Fokussierung der Kontinuumsmechanik auf isotrope,
elastische Probleme erreicht. Das heiBt, es werden nur isotrope, hyperelasti
sche Materialgesetze behandelt und es werden ausschlieBlich echte Kontinua
betrachtet, ohne spezielle strukturmechanische Annahmen zu machen. Dies
reduziert zum einen die benotigten Konzepte fUr die Materialtheorie und zum
anderen vereinfacht es die Behandlung der Kinematik und Kinetik. Die Kon
taktmechanik wird mit den Konzepten der Kontinuumsmechanik behandelt,
insbesonders wird die allgemeine Form konstitutiver Kontaktgesetze aus ther
modynamischen Restriktionen abgeleitet, wobei die Kontaktflache als eine
singulare Flache des Kontinuums aufgefaBt wird. In Analogie zur Kontinu
umsmechanik erfolgt hier ebenfalls eine Beschrankung auf den rein elastischen
Kontakt. Spezielle Formulierungen, die sich zum Beispiel aus tribologischen
Uberlegungen ableiten, werden nicht diskutiert. 1m Rahmen dieser Grenzen
wird aber eine moglichst umfassende Behandlung angestrebt, die alle rele
vanten Konzepte anspricht und auch weiterfUhrende Literatur nennt.
Die ungewohnliche Behandlung sowohl der synthetischen als auch der
analytischen Darstellung inklusive der beiden wesentlichen mathematischen
Hilfsmittel, namlich der Tensorrechnung und der Variationsrechnung, soll
dem Leser eine einheitliche Darstellung des gesamten Stoffes bieten und
ihm das gleichzeitige Arbeiten mit verschiedenen Texten ersparen. Der da
mit oft verbundene Wechsel der Notation erschwert insbesonders Anfangern
das Verstandnis der eigentlich gleichartigen Konzepte und Methoden. Da
natiirlich selbst bei den gemachten Beschrankungen nicht alle Details be
friedigend dargestellt werden konnen, ist am Anfang jedes Abschnittes eine
ausfUhrliche Auswahl der relevanten Standardwerke und Lehrbticher angege-
'II \Torvvort
ben, die es ermoglicht, sich einen Uberblick tiber das Thema zu verschaffen
und erganzende Literatur zu finden. Die reichlichen Zitate im Text konnen
als Referenz dienen und vveisen den Weg zu vveiterftihrender Literatur. Damit
bietet sich dieses Buch durch die ganzheitliche Darstellung und die umfangrei
chen Literaturzitate sovvohl als Einstieg in die Thematik als auch als Referenz
an.
Entsprechend dem Gesamtkonzept gliedert sich die Arbeit in vier Teile,
die sovvohl untereinander als auch innerhalb eines Teils nach didaktischen
Gesichtspunkten gegliedert sind. Dabei folgt die Kontaktmechanik der Kon
tinuumsmechanik und die analytische Darstellung folgt jevveils auf die syn
thetische:
• Synthetische Kontinuumsmechanik
Nach einer Einftihrung in die grundlegenden Konzepte der Kontinuums
mechanik vvird zuerst die Tensorrechnung als das vvichtigste mathemati
sche Hilfsmittel rekapituliert. Der restliche Aufbau folgt dann dem tibli
chen Kanon der synthetischen Kontinuumsmechanik: Kinematik, Kinetik,
Bilanzgleichungen und Materialgleichungen. Ziel ist hier zum einen die
Einftihrung von typischen Konzepten vvie Verzerrungs- und Spannungs
groBen und die Formulierung der kontinuumsmechanischen Bilanzgleichun
gen in diesen GroBen; zum anderen steht der Formalismus zur Gevvinnung
thermodynamisch konsistenter Materialgleichungen im Sinne der rationa
len Thermodynamik im Vordergrund, der ausftihrlich anhand des elasti
schen, des thermischen und des thermoelastischen Materialverhaltens de
monstriert vvird.
• Analytische Kontinuumsmechanik
Nach einem Vergleich der analytischen mit der synthetischen Formulie
rung der Kontinuumsmechanik vvird auch hier zuerst das vvichtigste ma
thematische Hilfsmittel, namlich die Variationsrechnung, behandelt. Die
Diskussion von Naherungsverfahren auf der Basis analytischer Prinzipe
schlagt die Brticke zu modernen numerischen Methoden und motiviert die
ausfiihrliche Beschaftigung mit der analytischen Mechanik, die haufig nicht
Bestandteil einer Ingenieurausbildung ist. Die Konzepte der analytischen
Mechanik vverden daher zunachst an einfachen Systemen der Punktmecha
nik eingefiihrt und dann auf die klassischen Arbeitsprinzipe der linearen
Elastostatik ervveitert. AbschlieBend folgt dann eine Ubertragung auf nicht
lineare und dynamische Probleme.
• Kontaktmechanik
Nach einer Einfiihrung in die Kontaktmechanik, die sovvohl einen klei
nen historischen Uberblick als auch eine Diskussion der neueren Forschung
enthalt, folgt der Aufbau der Darstellung der Kontinuumsmechanik. Das
heifit, es vvird zunachst eine synthetische Formulierung im Rahmen der
Theorie singularer Flachen entvvickelt und danach vverden die entsprechen
den analytischen Darstellungen prasentiert. Ein Schvverpunkt liegt dabei
vvieder auf der Formulierung thermodynamisch konsistenter Konstitutiv-
Vorwort VII
beziehungen mit den Mitteln der rationalen Thermodynamik. Die analyti
schen Formulierungen werden dabei bereits im Hinblick auf eine numerische
Behandlung der entstehenden Variationsungleichungen diskutiert .
• Numerische Umsetzung und Beispiele
Der letzte Teil behandelt die Losung des thermoelastischen Kontaktpro
blems durch Diskretisierungsverfahren, insbesonders durch die Methode
der finiten Elemente. Die Losung der im allgemeinen nichtlinearen und
zeitabhangigen Probleme macht eine Linearisierung und Inkrementierung
notig. Da diese auf der Ebene der kontinuumsmechanischen Formulierung
durchgefuhrt werden kann, wird sie hier ausfUhrlich behandelt. Die Be
handlung der eigentlichen numerischen Umsetzung gehort jedoch nicht
mehr in den Bereich der Kontinuumsmechanik und wurde auch den Rah
men sprengen. Es werden daher nur die wesentlichen Schritte einer Behand
lung mit der Methode der fin it en Elemente diskutiert, ohne auf Details ein
zugehen. Ausfuhrliche Literaturhinweise ermoglichen aber auch hier dem
interessierten Leser einen leichten Einstieg. Eine Reihe von abschlieBenden
Beispielen zeigt zum einen die Moglichkeiten der numerischen Umsetzung
und demonstriert zum anderen die wesentlichen Effekte, die sich aus der
thermomechanischen Kopplung sowohl fur rein kontinuumsmechanische
Probleme als auch fur Kontaktprobleme ergeben. In den meisten Fallen
sind ebenfalls analytische VergleichslOsungen oder zumindest Abschatzun
gen angegeben, die eine Uberprufung der numerisch ermittelten Losungen
ermoglichen.
Der Tatsache entsprechend, daB es sich beim vorliegenden Text urn eine
Habilitationsschrift handelt, geht diese Arbeit allerdings uber den Inhalt ei
nes reinen Lehrbuchs hinaus, und prasentiert daher neb en den Grundlagen
auch die Ergebnisse der aktuellen Forschung und auch einige neue Resultate.
Dazu gehOrt vor allem die Behandlung des Kontakts als singulare Flache und
die Anwendung der Kontinuumsthermodynamik zur Gewinnung konstituti
ver Kontaktgesetze.
Die Entstehung einer derartigen Arbeit ist naturlich nicht ohne ein ent
sprechendes Umfeld moglich. Ich mochte mich daher an dieser Stelle bei allen
Kolleginnen und Kollegen am Institut A fur Mechanik der Universitat Stutt
gart fur die fruchtbare und entspannte Atmosphare bedanken, in der diese
Arbeit entstanden ist. Mein besonderer Dank gilt dabei Herrn Professor Gaul,
der als Direktor des Instituts wesentlich zu diesem Klima beigetragen hat und
mir stets die notigen Freiraume zur Verwirklichung dieses Projekts gegeben
hat. Herrn Professor Miehe, Institut fur Mechanik (Bauwesen), danke ich fUr
die wertvollen Hinweise und die wohlwollende Ubernahme des Korreferats
im Habilitationsverfahren. Ein ganz spezieller Dank geht an Herrn Profes
sor Selvadurai, McGill University, Montreal, der mir wahrend seiner Zeit als
Humboldt-Forschungspreistrager am Institut A fur Mechanik nicht nur viele
nutzliche Anregungen gab, sondern auch zu einem Freund wurde. Der dreimo
natigen Forschungsaufenthalt an der McGill University, den er mir groBzugig
VIII Vorwort
ermoglichte, wird mir dank des Engagements auch seiner Familie stets als ein
sehr personliches Erlebnis in Erinnerung bleiben.
Zuletzt, aber dafur umso inniger, mochte ich meiner Frau Martina fur die
Liebe und das Verstandnis danken, die sie mir wahrend der Fertigstellung
dieser Arbeit entgegengebracht hat.
Stuttgart, im Fruhjahr 2003 Kai Willner
Inhaltsverzeichnis
Synthetische Kontinuumsmechanik
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
2.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15
2.3 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
2.4 Tensoralgebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25
2.5 Tensoranalysis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
2.6 Doppeltensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
3 Kinematische Gro6en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
3.1 Konfiguration und Deformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
3.2 Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . .. 58
3.3 Deformation und Deformationsgradient .................. 60
3.4 Verschiebung und Verschiebungsgradient . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
3.5 Verzerrung und VerzerrungsmaBe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64
3.6 Kompatibilitatsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
3.7 Geschwindigkeitsgradient und Verzerrungsgeschwindigkeit .. 72
3.8 Starrkorperkinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76
3.9 Geometrische Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
3.10 Allgemeine Darstellung von Verzerrungstensoren . . . . . . . . .. 80
4 Kinetische Gro6en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
4.1 AuBere Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
4.2 Cauchy-Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 84
4.3 Piola-Kirchhoff-Spannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86
5 Bilanzgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
5.1 ZustandsgroBen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89
5.2 Transporttheoreme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
5.3 Allgemeine Bilanzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
5.4 Massenbilanz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
5.5 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97
X Inhaltsverzeichnis
5.6 Drehimpulsbilanz ..................................... 100
5.7 Energiebilanz ......................................... 106
5.8 Entropiebilanz ........................................ 109
5.9 Bilanzen des thermomechanischen Problems .............. 111
5.10 Konjugierte und duale Variable ......................... 113
6 Materialgleichungen ...................................... 121
6.1 Allgemeine Form ...................................... 122
6.2 Objektive Tensoren .................................... 124
6.3 Isotrope Funktionen ................................... 133
6.4 Materialklassen ....................................... 134
6.5 Hyperelastisches Material ....... , ...................... 136
6.6 Lineare Elastizitat ..................................... 142
6.7 Finite Elastizitat ...................................... 145
6.8 Warmeleitung ........................................ 150
6.9 Thermoelastisches Material ............................. 155
6.10 Lineare Thermoelastizitat .............................. 158
6.11 Finite Thermoelastizitat ............................... 159
7 Grundgleichungen der linearen Thermoelastizitat ......... 163
Analytische Kontinuumsmechanik
8 Analytische und synthetische Kontinuumsmechanik ....... 171
9 Grundlagen der Variationsrechnung ...................... 177
9.1 Funktionalanalysis ..................................... 178
9.2 Notwendige Bedingungen fur ein relatives Minimum ....... 183
9.3 Euler-Lagrangesche Gleichung .......................... 188
9.4 Naturliche Randbedingungen ........................... 193
9.5 Der Lagrangesche c5-ProzeB ............................. 195
9.6 Aufgaben mit mehreren unbekannten Funktionen .......... 199
9.7 Aufgaben mit mehreren unabhangigen Variablen .......... 201
9.8 Aufgaben mit hOheren Ableitungen ...................... 204
9.9 Aufgaben mit Nebenbedingungen ........................ 207
10 Das inverse Problem der Variationsrechnung ............. 215
10.1 Potential eines Vektorfeldes ............................. 215
10.2 Funktional einer Differentialgleichung .................... 216
10.3 Lineare Differentialgleichungen .......................... 220