Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker

922 Pages·2018·2.19 MB·German

by  Edmund Weitz

Edmund Weitz
Konkrete
Mit
Hunderten
Mathematik
von Videos
(nicht nur)
für Informatiker
Mit vielen Grafi ken und Algorithmen
in Python
Konkrete Mathematik
(nicht nur) für Informatiker
Edmund Weitz
Konkrete Mathematik
(nicht nur) für Informatiker
Mit vielen Grafiken
und Algorithmen in Python
Mit Illustrationen von Heike Stephan
EdmundWeitz
FakultätDesign,MedienundInformation
HAWHamburg
Hamburg,Deutschland
ISBN978-3-658-21564-4 ISBN978-3-658-21565-1(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-21565-1
DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillier-
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SpringerSpektrum
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Textgestaltung:EdmundWeitz
Illustrationen:HeikeStephan,Hamburg
VerantwortlichimVerlag:UlrikeSchmickler-Hirzebruch
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isteinTeilvonSpringerNature.
DieAnschriftderGesellschaftist:Abraham-Lincoln-Str.46,65189Wiesbaden,Germany
Vorwort
Peopledon’tdomathematicsbecause
it’suseful.Theydoitbecauseit’s
interesting.
PaulLockhart
DiesesBuchistandersals„typische“LehrbücherfürMathematik:
– DerTextwirdvonetwa400Videosunterstützt.
– DieMathematikwirddirektamComputer(inPython)umgesetzt.
– StattformalerBeweisegibteskonkreteBeispiele.
– Über1100AufgabensollenzumMitdenkenanregen.
– DieInhaltewurdenspezifischfürInformatikerausgewählt.
– NichtsdestotrotzistdasBuchaberauchfürandereLesergedacht.
Ob es sich deswegen besser als andere Bücher für Sie eignet, weiß ich natür-
lichnicht;ichhoffeesaber.LassenSiemichaufdieobigenPunkteetwasge-
nauer eingehen, damit Sie entscheiden können, ob Sie ein Buch in der Hand
halten,dasfürSiehilfreichoderspannend(oderbeides)seinkönnte.
BegleitendeVideos
DasBuchistauseinerVorlesungfürMedieninformatikerentstanden,dieich
regelmäßiganderHochschulefürAngewandteWissenschafteninHamburg
halte.SämtlicheVeranstaltungeneinesJahrgangshabeichaufgezeichnetund
die entsprechenden Videos finden Sie jeweils anhand der QR-Codes an den
entsprechendenStellenimBuch.(EinerstesBeispielsehenSiehieramRand.)
Sollte Ihnen also etwas beim Lesen nicht sofort klar sein, dann können Sie
sichdasquasivonmir„persönlich“nochmalerklärenlassen.Siekönnensich
daraufverlassen,dassindenVideostatsächlichdieselbenDingebesprochen
VI Vorwort
werdenwieimBuchunddassauchdieselbenSchreibweisenundKonventio-
nen verwendet werden. Außerdem sollte sich das Buch dadurch auch zum
Selbststudiumeignen.
WennSiedasBuchalsPDFlesen,dannsinddieQR-CodesgleichzeitigLinks,
die man anklicken kann. Durch dunkelgrüne Farbe werden QR-Codes für
weiterführende Materialien markiert, z.B. für vertiefende Videos oder inter-
aktiveDemos.
EinsatzdesComputers
Nach meiner Erfahrung können Studenten der Informatik mathematische
Sachverhalte meistens besser verstehen, wenn sie sie explorativ und experi-
mentell direkt am Computer umsetzen. Daher wird in diesem Buch der Stoff
konsequent dadurch begleitet, dass er am PC erfahrbar gemacht wird. Jede
vorgestellte Methode, jeder Algorithmus, jedes Ergebnis wird, wenn irgend
möglich,umgehendinPythonüberprüft,nachvollzogen,implementiertund
genutzt. Gleichzeitig setze ich aber nicht voraus, dass Sie Python schon be-
herrschen oder überhaupt Programmierkenntnisse haben. Wenn Sie dieses
Buchkomplettdurcharbeiten,dannlernenSie„nebenbei“auchdasProgram-
mieren;undeinederweltweitamhäufigstenverwendetenProgrammierspra-
chen.DaswirdIhnenimspäterenBerufslebensichernichtschaden.
Zudem erfahren Sie anhand von vielen Beispielen, wie Computeralgebra-
systeme eingesetzt werden und welche erstaunlichen Fähigkeiten diese Pro-
gramme inzwischen haben. Da solche Methoden auch in der sogenannten
„reinen“ Mathematik eine immer größere Rolle spielen, hege ich die Hoff-
nung, dass Sie auch von diesem Buch profitieren können, wenn Sie sich in
denerstenSemesterneinesMathematikstudiumsbefinden.
„Konkrete“Mathematik?
Das Wesen der Mathematik ist die Abstraktion. Das macht sie aber auch
für viele schwierig. Aus didaktischen Gründen vermeide ich daher wenn
möglichabstrakteDefinitionenundstützemichlieberaufkonkrete1 Beispie-
le. Und ich verwende diese auch für informelle Begründungen anstelle von
formalen Beweisen. Meine Mathematikerkollegen werden sich vielleicht mit
Grausenabwenden;wenndieInhaltedadurchaberfürmeineLeserverständ-
licher werden, kann ich damit leben. Dieser Ansatz geht einher mit einem
„Plauderton“, der im Vergleich zu einem „klassischen“ Mathebuch fast ge-
1Miristbewusst,dasseseinbekanntesamerikanischesLehrbuchausden1990erJahrenmit
demTitelConcreteMathematicsgibt.DerTitelmeinesBuchsollabernichtimplizieren,dassich
michmitGigantenwieDonaldKnuthoderRonaldGrahamvergleiche.
Vorwort VII
schwätzig erscheinen mag. Ich hoffe jedoch, dass diese Art der Präsentation
denTextfürSielesbarerundklarermacht.
AktivesLesen
TrotzPlaudertonundkonkretenBeispielengibtesaberkeinen„Königsweg“
zur Mathematik.2 Der Mathematiker Carl Runge hat es mal so formuliert,
dass man das Klavierspielen nicht durch den Besuch von Konzerten lernt.
Für den Leser eines Mathebuches heißt das, dass es mit dem Lesen alleine
nichtgetanist.MansollteimmerZettelundStift(undindiesemFallauchden
Computer)dabeihabenundallesfürsichselbstnochmalnachvollziehen.
DeswegengibtesindiesemBuchauchsovieleAufgaben,dienichtamEnde
der Kapitel „versteckt“ sind, sondern mitten im Text auftauchen. An genau
diesen Stellen sollen Sie auch bearbeitet werden! Ich erwarte nicht, dass Sie
alle Aufgaben lösen können, aber Ihr schlechtes Gewissen sollte Sie plagen,
wenn Sie einfach weiterlesen und es nicht wenigstens versuchen. (Und evtl.
verstehen Sie den folgenden Text dann auch gar nicht, weil ich frecherweise
beimSchreibenvorausgesetzthabe,dassSieüberdieAufgabennachdenken.
Tja...)DamitdasBuchnichtzudickwird,wurdendieLösungenineinsepa-
rates PDF ausgelagert, das Sie sich beim Verlag auf (cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:6)(cid:7)(cid:3)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11) kostenlos
herunterladenkönnen;sieheQR-CodeamRand.
Ungeachtet dieser Trennung betrachte ich die Lösungen aber als wesentli-
chenBestandteildesBuchesundhabemirdeswegenauchbeimAufschreiben
derselben ebenso viel Mühe gegeben wie beim Rest des Textes. Die meisten
LösungenbestehennichtetwanurauseinerZahlodereinerFormel,sondern
sieenthaltenErklärungen,Codebeispiele,GrafikenundweiterführendeHin-
weise. Es gibt sogar ein paar Lösungen, die mehrere Seiten einnehmen. Sie
merken schon: Ich halte es für eine gute Idee, die Lösungen so aufmerksam
zu studieren wie den Rest des Buches. (Natürlich erst, nachdem Sie vorher
selbstversuchthaben,dieAufgabenzulösen!)
MathematikfürInformatiker
InformatikerbrauchenandereMathematikalsz.B.IngenieureoderBiologen.
Ich kann zwar nicht wissen, was genau Sie mal benötigen werden, aber Sie
können davon ausgehen, dass ich mir schon recht genau überlegt habe, was
angehende Informatiker wissen sollten. (Und was man notfalls weglassen
kann, weil die Semester ja immer zu kurz sind...) Ich habe dabei von mei-
ner eigenen langjährigen Berufserfahrung im IT-Bereich profitiert und mich
natürlichauchmitKollegenberaten,dieandereFächerunterrichten.
2Dassollschonvorfast2500JahrenEuklidzuKönigPtolemäusI.gesagthaben.
VIII Vorwort
Ichbauedarauf,dassdasBuchdurchdieStoffauswahlunddieAnwendungs-
beispiele für Sie sowohl interessant als auch hilfreich ist. Es wäre schade,
wenn Sie die Mathematik nur als ein unangenehmes Pflichtfach wahrneh-
menwürden,dasmanirgendwiehintersichbringenmuss.
Mathematikfüralle!
Aber warum sollten nur Menschen dieses Buch lesen, die aufgrund ihres
Studiums dazu quasi gezwungen wurden? Dafür ist die Mathematik viel
zu schön und spannend! Mein wichtigstes Ziel in der Lehre ist immer, die
Ästhetik der Mathematik, die Rolle der Kreativität beim Problemlösen und
die Freude am Suchen und Entdecken zu vermitteln. Und viele Rückmel-
dungen, die ich zu meinen Vorträgen und Videos erhalte, bestärken mich in
der Sichtweise, dass Mathe einfach Spaß machen und ein gewinnbringender
Zeitvertreibseinkann.
In diesem Sinne hoffe ich, dass das Buch, dessen Vorwort Sie gerade lesen,
sich auch als „Lesebuch“ für vergnügliche und lehrreiche Stunden eignet.
Dafür muss man nicht an einer Hochschule immatrikuliert sein; ein wacher
Geistreichtaus!
InformationenfürLehrende
Der Stoff des Buches entspricht 12 Semesterwochenstunden. Diese werden
bei uns typischerweise auf vier Semester verteilt und begleitet durch Übun-
gen,indenenmitPythongearbeitetwird,sowieTutorien,indenendieAuf-
gabenausdemBuchbesprochenwerden.3 WennnichtsovielZeitzurVerfü-
gungsteht,gibtesdiverseWege,denStoffzukürzen:
– MankannnatürlicheinfachamEndeetwasweglassen,z.B.dieStochas-
tikabKapitel60.
– Es gibt aber auch zwischendrin Material, das man überspringen kann,
weildaraufspäternichtmehrBezuggenommenwird:4
– alleKapitelundAbschnitte,inderenTiteldasWort„Anwendung“
vorkommt,
– Kapitel 20 über überabzählbare Mengen (wenn man später in der
StochastikdenBegriff„abzählbar“kurzerläutert),
3MancheAufgaben,diemittenimTextauftauchen,richtensichinersterLinieanLeser,de-
renLektürenichtdurchHochschulveranstaltungenbegleitetwird.Siekönnenaberauchgutin
VorlesungeneingebautwerdenodereignensichfürFragenansAuditorium.
4Eskönntehöchstenssein,dassdortmaleinePython-Funktioneingeführtwird,dieanan-
dererStelleerneutverwendetwird.
Vorwort IX
– Kapitel38überGrenzwertespeziellerFolgen,
– Kapitel36überdiekomplexenNullstellen,
– Kapitel40überdieMandelbrotmenge,
– Kapitel47überGrundlagenderAnalysis,
– Kapitel50überdenFundamentalsatzderAlgebra,
– die „Fourier-Kapitel“ 54 und 55 (wenn man später auch auf die
Reed-Solomon-Codesverzichtet),
– Kapitel57zuPolynomenüberendlichenKörpern,dasnurfürdie
beidenfolgendenAnwendungskapitelgebrauchtwird,und
– Kapitel66überGrenzwertsätzederStochastik.
– SchließlichgibtesamEndeeinigerKapitelVertiefungen,diemaneben-
falls„gefahrlos“streichenkann;dassindinsbesonderedieAusführun-
genzuoffenenFrageninderZahlentheorie,zuDedekindschenSchnit-
ten, zur Singulärwertzerlegung, zu kubischen Gleichungen, zum Zwi-
schenwertsatz,zurKonvergenzbeschleunigungundzuGaloiskörpern.
Danksagungen
Als dieses Buch noch ein Vorlesungsskript war, haben Studenten, Kollegen,
Freunde und Verwandte mich auf Fehler hingewiesen und Verbesserungs-
vorschläge gemacht. Dafür danke ich Daniel von Ahn, Azad Amid, Maxi-
milian Barzantny, Max Bauer, Finn Bayer, Kathrin Braun, Anne Fomferra,
VincentFriedrich,FinnHansen,SimonHoyosCadavid,MarilenaJens,Chris-
tina Jung, Hoang Tuong Vy Nguyen, Paula Sachse, Tobias Saladauski, Nick
Schestag,AndreasScholten,JoseffaSteuernagel,TilcoSuling,AlexandraVoß,
Said-RezaWaezsada,MounaWeitzundinsbesondereArthurLemmens(und
hoffe,niemandenvergessenzuhaben).CarolineWolfhatdasgesamteManu-
skript gewissenhaft durchgelesen und unzählige kleine und größere Fehler
gefunden,wofürichmichhiermitbesondersherzlichbedanke.
Trotzdem wird es in diesem Buch leider noch Fehler geben und die gehen
natürlich auf meine Kappe. Wenn Sie einen finden (und sei es auch nur ein
„kleiner“ Tippfehler), dann schicken Sie mir bitte eine Mail an die Adres-
se (cid:0)(cid:2)(cid:3)(cid:4)(cid:5)(cid:2)(cid:6)(cid:7)(cid:0)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:11)(cid:12)(cid:13)(cid:7)(cid:14)(cid:12)(cid:13)(cid:3)(cid:15)(cid:4)(cid:16)(cid:17)(cid:6)(cid:2)(cid:0). Eine Liste der aktuell bereits bekannten
FehlerfindenSiemittelsdesQR-CodesamRand.
Prof.Dr.JörnLoviscachvonderFachhochschuleBielefeldhatwohlalsErster
im deutschsprachigen Raum Videos von seinen Mathevorlesungen ins Inter-
net gestellt. Er hat mich dadurch inspiriert, das ebenfalls zu tun. Außerdem
haben die von ihm geschriebene Software und seine technischen Hinweise
X Vorwort
mir sehr geholfen, einen Workflow zu entwickeln, der die Mehrarbeit durch
dasAufnehmenundBearbeitenderVideosimerträglichenRahmenhält.Da-
fürebenfallsvielenDank!
MeinenherzlichenDankauchanUlrikeSchmickler-Hirzebruch,Cheflektorin
Mathematik bei Springer Spektrum, für die ausgezeichnete Betreuung. Sie
hat das Buch von Anfang an sehr wohlwollend begleitet, stand jederzeit mit
Rat und Tat zur Verfügung und hat durch ihre Ideen und Vorschläge einen
wesentlichenAnteilanderendgültigenFormdesvorliegendenWerkes.
Zum Schluss mein ganz besonderer Dank an meine Frau, die über hundert
wundervolle Illustrationen beigesteuert hat. Ohne sie wäre das Buch nicht
nur weniger schön, es würde gar nicht existieren. Ich konnte es nämlich nur
schreiben,weilsiesovielGeduldmitmirhat.
Hamburg,imMai2018 EdmundWeitz