Komplexitätstheorie: als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research PDF
Preview Komplexitätstheorie: als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research
Stephan Zelewski Komplexitätstheorie Programm Angewandte Informatik Herausgeber/Editors Paul Schmitz Norbert Szyperski Wulf Werum/Hans Windauer: Introduction to PEAR L Process and Experiment Automation Realtime Language Joachim Kanngiesser: Die Abrechnung von ADV-Systemleistungen Eric. D. Carlson/Wolfgang Metz/Günter Müller/ Ralph H. Sprague/Jimmy A. Sutton: Display Generation and Management Systems (DGMS) for Interactive Business Applications Bernd Rosenstengel/Udo Winand: Petri-Netze, Eine anwendungsorientierte Einführung Pau/ Schmitz /Heinz Bons/Rudolf van Megen: Software-Qualitätssicherung - Testen im Software-Lebenszyklus Christina Tiedemann: Kostenrechnung für Rechenzentren Norbert Szyperski/Margot Eu/-Bischoff: Interpretative StrukturmodelIierung Günther Becher: Datenverarbeitung im Luftverkehr Gerd Wolfram: Bürokommunikation und Informationssicherheit Dieter Eu/er/Ralf Jankowski/Andreas Lenz/ Pau/ Schmitz/Martin Twardy: Computerunterstützter Unterricht Stephan Zelewski: Komplexitätstheorie Stephan Zelewski Kom pi exitätstheorie als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek Zelewski, Stephan: Komplexitätstheorie: als Instrument zur Klassifizierung und Beurteilung von Problemen des Operations Research / Stephan Zelewski. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1989 (Programm Angewandte Informatik) Das in diesem Buch enthaltene Programm-Material ist mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Art verbunden. Der Autor übernimmt infolgedessen keine Ver antwortung und wird keine daraus folgende oder sonstige Haftung übernehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht. Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1989 Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1989 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzu lässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN 978-3-528-03608-9 ISBN 978-3-663-06863-1 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-06863-1 Vorwort Im Rahmen der Komplexitätstheorie wird versucht, die Schwierigkeit von Problemen durch den Ressourcenverzehr zu messen, der durch die Problem lösung verursacht wird. Zur Untersuchung dieser Problemschwierigkeit ("Komplexität") werden der Lösungsaufwand für den schlechtest denkmög lichen Fall (worst case-Analysen) oder der durchschnittlich zu erwartende Lösungsaufwand (average case-Analysen) betrachtet. Wesentl iche Analyse konzepte der Komplexitätstheorie stellen Entscheidungsprobleme und Turing-Automaten dar. Auf ihrer Grundlage lassen sich Komplexitätsklassen von Problemen bilden. Diese Problemklassen und die ihnen zugehörige Pro blemschwierigkeit bilden ein Fundament, aus dem Empfehlungen für erfolg versprechende Lösungsalgorithmen abgeleitet werden können. Einen Schwerpunkt bildet die Klasse der NP-vollständigen Probleme. Sie zeichnen sich dadurch aus, daß ihre Lösung einerseits besonders aufwendig ist. Andererseits besitzen sie für die Bewältigung zahlreicher praktisch inter essanter Aufgaben aus dem Bereich des Operations Research eine heraus ragende Rolle. Hierzu gehören beispielsweise die Planung von Transport routen, das Festlegen von Standorten für Auslieferungslager oder die inner betriebliche Belegung von Maschinen mit Fertigungsaufträgen. Es werden neuere Erkenntnisse der Komplexitätstheorie vorgestellt, welche die Klasse NP-vollständiger Probleme intern differenzieren und über sie hinausführen. Einschränkungen solcher Analysen werden an hand mehrfacher Validitäts probleme aufgezeigt. Die Bedeutung komplexitätstheoretischer Analysen wird aus der Perspektive des Operations Research an zwei Beispielen konkretisiert. Aktuelle Entwick lungen auf dem Gebiet der linearen Optimierung verdeutlichen das Spannungs verhältnis zwischen theoretisch ausgerichteten worst case-Untersuchungen und praktisch orientierten average case-Untersuchungen. Hierbei werden der Simplex-Algorithmus einerseits sowie der Khachiyan- und Karmarkar-Algo rithmus andererseits einander gegenübergestellt. Zweitens wird anhand eines graphentheoretisch fundierten Problems aus der Petrinetz-Theorie aufgezeigt, daß komplexitätstheoretische Problemuntersuchungen selbst sehr schwierige (Meta-)Probleme darstellen können. Ihre Lösung stellt mitunter einen fesseln den, sich in mühseligen Teilschritten vollziehenden und von kontroversen Debatten begleiteten Prozeß wissenschaftlicher Erkenntnissuche dar. Köln, im November 1988 Stephan Zelewski VI Inhaltsverzeichnis seite Abbildungsverzeichnis 111 1 Einführung in den aufwandsbezogenen Komplexitätsbegriff 1 2 Konzeptionelle Grundlagen der Komplexitätstheorie 5 2.1 Rückführung der Komplexitätsbetrach tungen auf Entscheidungsprobleme 5 2.2 Komplexitätsrelevante Eigenschaften von Entscheidungsproblemen 11 2.3 Turing-Automaten als allgemeine Instrumente für die Problemlösung 19 2.4 Die Thesen von Church, Post und Turing 30 2.5 Analysekonzepte der Komplexitätstheorie 42 2.6 Komplexitätsklassen zur Beur- teilung des Lösungsaufwands von Problemen 51 2.6.1 Die Klassen P und NP 51 2.6.1.1 Überblick 51 2.6.1.2 P-komplexe Probleme 53 2.6.1.3 NP-komplexe Probleme 59 2.6.1.4 NP-vollständige Probleme 63 2.6.2 weiterführende Komplexitätsklassen 74 2.6.2.1 Differenzierungen inner- halb der Klasse NP 74 2.6.2.2 Probleme außerhalb der Klasse NP 82 2.7 Validitätsprobleme der Komplexitätstheorie 94 VII seite 3 Anwendung der Komplexitätstheorie auf Probleme des Operations Research 98 3. 1 Überblick 98 3.2 Beispiele 103 3.2.1 Das Erreichbarkeitsproblem der Petrinetz-Theorie 103 3.2.1.1 Einführung in das Kon- zept der Petrinetze 103 3.2.1.2 Exemplarische Veran schaulichung des Er- reichbarkeitsproblems 112 3.2.1.3 Die allgemeine Lösung des Erreichbarkeitsproblems 120 3.2.2 Das Problem der linearen Optimierung 129 Literaturverzeichnis 141 VIII Abbildungsverzeichnis seite Abb. 1: Maschinentafel für einen Turing Automaten mit 4 Zuständen über dem Alphabet {O,l,nil} 23 Abb. 2.1: Verhalten des in Abb. 1 (S. 23) durch seine Maschinentafel beschriebenen Turing-Automaten für den Start zustand zl' eine vorgegebene Bandbeschriftung und ursprüngliche Positionierung des Schreib-/Lese-Kopfes auf dem zu lesen- den Symbol "1" (Phasen 1 und 2) 25 Abb. 2.2: Verhalten des in Abb. 1 (S. 23) durch seine Maschinentafel beschriebenen Turing-Automaten für den Start zustand zl' eine vorgegebene Bandbeschriftung und ursprüngliche Positionierung des SChreib-/Lese-Kopfes auf dem zu lesen- den Symbol "1" (Phasen 3 und 4) 26 Abb. 3.1: Netzzustand unter der Markierung M vor dem Schalten der Transition ti 108 Abb. 3.2: Netzzustand unter der Markierung M' nach dem Schalten der Transition ti 108 Abb. 4: (Erweiterter) Gozinto-Graph einer Produktions struktur 113 Abb. 5: Petrinetz für die Produktions struktur aus der Abb. 4 (S. 113) 114 Abb. 6: Erreichbarkeitsgraph für das Petrinetz aus der Abb. 5 (S. 114) 119 1 1 Einführung in den aufwandsbezogenen Komplexitäts begriff Die Komplexität von Problemen kann - ausgehend von einer gemeinsamen systemtheoretischen Betrachtungswei seI) - auf zwei grundsätzlich verschiedenen Ebenen un tersucht werden. Auf der ersten Ebene wird die struktur von Systemen analysiert, auf der zweiten dagegen ein spezieller Aspekt des Systemverhaltens. Der strukturorientierte Ansatz geht davon aus, daß Probleme, die es in der Realität zu lösen gilt (Real probleme), auf Modelle abgebildet werden. Diese Modelle werden formalsprachlich als Systeme beschrieben (Ideal oder Formalprobleme). Die Komplexität eines modellier ten Problems läßt sich durch Größen messen, die auf die struktur des Systems Bezug nehmen2). Sie stellen Indi katoren3) zur Operationalisierung eines intuitiven Kom- 1) Vgl. zu abweichenden, hier nicht weiter berührten Komplexitätskonzepten z.B. Savage (1976), S. 9ff. 2) Vgl. Luhmann (1980), Sp. 1064. 3) Beispielsweise dienen als Indikatoren der Modellkom plexität: die Anzahl der elementaren Modellkomponen ten - z.B. die Konstanten und Variablen eines mathe matischen Modells - (Elemente-Varietät), die Anzahl und Art der Attribute, die diesen Komponenten je weils zukommen (Attribute-varietät), die Anzahl und Art der Relationen, die zwischen diesen Komponenten definiert sind (Konnektivität), die Anzahl und Art von übergeordneten Komponenten- (z.B. Variablen mit charakteristischen Definitionsbereichen) und Rela tionengruppen (z.B. Relationen unterschiedlicher Stelligkeit oder Funktionen verschiedenen Grades) oder die Anzahl und Art möglicher Systemzustände (Variabilität). Neben die Deskriptoren "Anzahl" und "Art" können auch die Unschärfe, Unvollständigkeit oder Widersprüchlichkeit der vorgenannten System aspekte als Komplexitätsindikatoren treten. Vgl. hierzu Ulrich (1970), S. 116f.; Beensen (1971), S. 11f.; Kawamura (1977), S. 347; Pfohl (1977), S. 254; Kirsch (1978), S. 142f.; Luhmann (1980), Sp. 1065; Szyperski (1983), S. 4f.; Ernst (1984), S. 16.
The list of books you might like
