Komplexe Analysis für Ingenieure

167 Pages·1997·3.575 MB·German

by  Peter Henrici, Rita Jeltsch (auth.)

Uni-Taschenbücher 627
UTB
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Peter Henrici
Rita Jeltsch
Komplexe Analysis
fiir Ingenieure
Band 1
Springer Basel AG
1962 Professor an
der ETHZ.
Prof. Dr. RITA JELTSCH-FRICKER, geboren 1942 in Solothurn,
Schweiz. Studium der Mathematik an der Universităt Basel
und der ETHZ; 1971 Promotion ETHZ. 1972 Assistentin
bei Prof. Dr. A. M. Ostrowski, Universitat Basel; daneben
Lehrauftrag fiir Ingenieurmathematik an der ETHZ. 1974
Habilitation Universitat Basel. 1975 Dozent fiir Mathematik
an der Ruhr-Universitat Bochum. Seit 1976 Professor fiir
Ingenieurmathematik an der Gesamthochschule Kassel.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Henrici, Peter
Komplexe Analysis fur lngenieure/Peter Henrici;
Rita Jeltsch.-Basel, Stuttgart: Birkhăuser.
NE: Jeltsch, Rita:
Bd. 1.-1. Autl.-1977.
(Uni-Taschenbiicher; 627)
ISBN 978-3-7643-0861-2 ISBN 978-3-0348-7649-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-7649-0
Nachdruck verboten. Alle Rechte, insbesondere
das der Ubersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1977
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel, 1977
Vorwort
Das vorliegende Taschenbuch gibt zusammen mit dem
noch folgenden zweiten Band den Inhalt von Vorlesungen
wieder, welche seit mehreren Jahren an der Eidgenössischen
Technischen Hochschule Zürich (ETHZ) für Studierende der
Elektrotechnik im zweiten Studienjahr gehalten werden.
Diesen Vorlesungen geht im ersten Studienjahr eine
gründliche Einführung in die Differential- und Integralrech
nung voraus, welche auch die Elemente der Vektoranalysis
und das Rechnen mit komplexen Zahlen umfasst.
Im Mathematikunterricht für Ingenieure hat sich an der
ETHZ die Tradition herausgebildet, das intuitive Erfassen
der Tatsachen und Begriffe in den Vordergrund zu stellen
und Beweisführungen nur da zu erbringen, wo sie zum
anschaulichen Verständnis des Stoffes beitragen. Der Zielset
zung der Ingenieurausbildung gernäss kann dagegen auf die
vollständige Erarbeitung der logischen Grundlagen sowie auf
das Erlernen einer eigentlichen Beweistechnik verzichtet
werden. Die dadurch gewonnene Zeit wird zur Darstellung
von Anwendungen benützt, die dem Erlebnisbereich des
Ingenieurs nahestehen.
Auch unsere für Ingenieure bestimmten Vorlesungen
über komplexe Analysis halten sich an dieses bewährte Re
zept. Studierende, welche sich näher über einen begrifflich
vollständigen Aufbau der Theorie informieren möchten - und
es gibt solche fast in jedem Jahrgang - sind gehalten, Einsicht
in eines der zahlreichen guten für Mathematiker bestimmten
Lehrbücher der komplexen Analysis zu nehmen.
Zürich und Kassel, P. HENRICI
im Sommer 1977 R. JELTSCH-FRICKER
Inhaltsverzeichnis
Band I
1. Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen 1
1.1. Begriff und geometrische Deutung . . . . . . . . . . 1
1.2. Die linearen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Die quadratische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Die komplexe Exponentialfunktion.......... 21
1.5. Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Der komplexe Logarithmus, allgemeine Poten-
zen...................................... 31
1.7. Die Joukowski-Funktion................... 42
2. Die Möbius-Transformationen 57
2.1. Die Riemannsche Zahlenkugel . . . . . . . . . . . . . 57
2.2. Geometrische Eigenschaften der Möbius-
Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3. Analytische Funktionen 85
3.1. Komplexe Diflerenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2. Analytische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3. Geometrische Deutung der komplexen
Diflerenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4. Lösung ebener Potentialprobleme durch konforme
Abbildung 116
4.1. Konforme Verpflanzung von Potentialen . . . . . 116
4.2. Ebene elektrostatische Felder . . . . . . . . . . . . . . 130
Inhaltsverzeichnis
4.3. Ebene stationäre Strömungen idealer inkom
pressibler Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . 148
Liste der Symbole................................ 158
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Band II
5. Komplexe Integration
5.1. Definition und Berechnung komplexer Integrale
5.2. Integrale analytischer Funktionen
5.3. Die Cauchysche Integralformel
5.4. Anwendungen der Cauchyschen Integralformel
5.5. Die Taylor-Reihe
5.6. Die Laurent-Reihe
5. 7. Isolierte Singularitäten
5.8. Residuenkalkül
6. Die Laplace-Transformation
6.1. Die Operatorenmethode
6.2. Die Laplace-Transformierte einer Originalfunk
tion
6.3. Analytische Eigenschaften der Laplace-Trans-
formierten
6.4. Grundregeln der Laplace-Transformation
6.5. Gewöhnliche Differentialgleichungen
6.6. Die Uebertragungsfunktion
6.7. Die Faltung
6.8. Die Rücktransformation
1 Komplexe Funktionen
einer komplexen Variablen
1.1. Begriff und geometrische Deutung
Gegenstand unserer Untersuchungen sind die komplexen
Funktionen einer komplexen Variablen. Wir erklären in
diesem Abschnitt, was darunter zu verstehen ist. Dazu
benötigen wir zwei Begriffe, den Begriff der komplexen Zahl
und den Begriff der Funktion.
Wir nehmen an, dass der Leser die komplexen Zahlen
und ihre Rechenregeln kennt. Insbesondere sollte der Leser
mit der geometrischen Deutung der komplexen Zahlen als
Punkte oder Vektoren einer Ebene, der sogenannten
komplexen Ebene, vertraut sein, ebenso mit der geometri
schen Deutung von Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division komplexer Zahlen. Es wird auch angenommen,
dass die Schreibweise
e;<~> := cos c/J + i sin c/J, c/J reell ,
bekannt ist.
Im Zusammenhang mit einer komplexen Zahl z werden
die folgenden Bezeichnungen benutzt: Re z für den Realteil
von z, Im z für den Imaginärteil, lzl für den Betrag und i für
die zu z konjugiert komplexe Zahl. Die Menge der komplexen
Zahlen resp. die komplexe Ebene wird wie üblich mit C
bezeichnet.
Bekanntlich ist das Argument einer komplexen Zahl
z -:1 0 nur bis auf ein Vielfaches von 27T bestimmt, während es
für z = 0 nicht definiert ist. Wir bezeichnen die Menge aller
Argumentwerte von z-:1 0 mit {arg z}. Mit arg z meinen wir
irgendeinen Wert dieser Menge. (Oft wird der Wert arg z
2 1. Komplexe Funktionen einer komplexen Variablen
durch eine zusätzliche Bedingung, z.B. durch die Bedingung
-7r <arg z ::5 7T, eindeutig festgelegt sein.)
Ferner verwenden wir die beiden folgenden üblichen
Darstellungen einer komplexen Zahl z (s. Fig. l.la):
(i) die cartesische Koordinatendarstellung
Z =X+ iy,
wobei
x : = Re z, y : = Im z ;
(ii) die Polarkoordinatendarstellung
wobei
r:= \z\, </>:=arg z.
Fig. l.la
Welches ist die allgemeine Bedeutung des Begriffs
Funktion? Seien A und B zwei beliebige Mengen. Unter
einer Funktion f von A in B versteht man eine Vorschrift, die
jedem Element x E A genau ein Element y = f(x) E B zuordnet,
symbolisch
f:x--7 f(x), xEA
(s. Fig. l.lb). x ist das Funktionsargument, y ist der
Funktionswert von f (an der Stelle x). Man bezeichnet auch x
als unabhängige, y als abhängige Variable. Die Menge A
heisst der Definitionsbereich von f, Bezeichnung D(f). Die
1.1. Begriff und geometrische Deutung 3
Menge aller y E B, die Funktionswert von f sind, heisst der
Wertebereich von f, Bezeichnung W(f}.
Fig. l.lb
Wir definieren nun: Eine komplexe Funktion einer
komplexen Variablen ist eine Funktion, deren Definitions
bereich und deren Wertebereich beides Punktmengen der
komplexen Ebene sind. Gernäss dem allgemeinen Funktions
begriff ordnet also eine solche Funktion f jedem Punkt z
einer Punktmenge Ac ([; genau einen Punkt w = f(z) E ([; zu:
f:z~f(z), ZEA
(s. Fig. l.lc); im konkreten Fall ist diese Zuordnung durch
eine Formel gegeben. Die Bezeichnung z für das Funktions
argument, w für den Funktionswert ist üblich, wobei man
w = u+iv, u:=Re w, v:=Im w
setzt.
@v
Fig. l.lc