Komplexe Analysis

129 Pages·2006·1 MB·German

Komplexe Analysis
Prof. Dr. A. Bobenko
Stand: 21. November 2006
INHALTSVERZEICHNIS 1
Inhaltsverzeichnis
1 Holomorphe Funktionen 3
2 Zusammenhang reeller und komplexer Differenzierbarkeit 5
3 Potenzreihen 9
4 Elementare Funktionen 12
5 Lineare Transformationen und die Riemann’sche Zahlensph¨are 15
6 Kurvenintegrale 25
7 Der Cauchy’sche Integralsatz fu¨r Rechtecke 28
8 Die Cauchyformel 34
9 Der Potenzreihenentwicklungssatz 36
10 Der Satz von Morera 41
11 Nullstellen holomorpher Funktionen 45
12 Identit¨atssatz und Maximumsprinzip 49
13 Isolierte Singularit¨aten 53
14 Laurentreihen 56
15 Analytische Fortsetzung und der komplexe Logarithmus 62
16 Homotopie 66
17 Die Umlaufzahl 72
18 “Cauchy auf Zykeln” 75
19 Der Residuensatz 80
20 Residuenkalku¨l 85
21 Kompakte Konvergenz 91
22 Konvergenzs¨atze 94
23 Der Riemann’sche Abbildungssatz 97
24 Partialbruchentwicklung 102
INHALTSVERZEICHNIS 2
25 Produktentwicklung 107
26 Elliptische Funktionen: Allgemeine Eigenschaften 111
27 Die Weierstraß’sche ℘-Funktion 117
28 Die Weierstraß’schen Funktionen ζ und σ 120
29 Darstellung Elliptischer Funktionen durch Weierstraß’sche Funktionen 124
Mitgeschrieben von Sander Wahls bis Kapitel 16, vervollst¨andigtund u¨berarbeitet von Christina Puhl
und mit Bildern von Emanuel Huhnen-Venedey.
1 HOLOMORPHE FUNKTIONEN 3
1 Holomorphe Funktionen
In diesem Kapitel lernen wir:
Def.: komplex diffbar, holo, ganz
•
Beispiele. Wichtig: f(z)=z ist nicht holo, denn h hat fu¨r h 0 keinen eindeutigen Grenzwert
• h →
Elementare Eigenschaften von holomorphen Funktionen
•
Polynome sind ganz, Rationale Funktionen holo an den Stellen an denen der Nenner =0 ist
• 6
Definition 1.1 (Komplexe Differenzierbarkeit) Eine Funktion f : C U C, U offen, heißt
⊃ →
(komplex) differenzierbar an der Stelle z C, genau dann, wenn
0
∈
f(z) f(z ) f(z +h) f(z )
0 0 0
f′(z0):= lim − = lim −
z→z0 z−z0 h→0 h
existiert. Dieser Grenzwert heißt Ableitung von f. Ist f ¨uberall in U differenzierbar, so nennt man f
holomorph auf U. Ist weiter U =C, so nennt man f auch eine ganze Funktion.
Beispiel 1.1 Wir betrachten wieder Funktionen f :C U C, U offen.
⊃ →
f(z)=c C ist holomorph.
• ∈
f(z)=z ist holomorph mit f (z)=1
′
•
f(z)=z¯ist nicht holomorph, denn es ist
•
f(z+h) f(z) z+h z¯ h¯
f′(z)= lim − = lim − = = lim e−2iargh =e−2iargh
h 0 h h 0 h h h 0
→ → →
Dabei wird die Winkeldarstellung z = z eiargz fu¨r komplexe Zahlen benutzt:
| |
Im
y z
z
| |
α=arg(z)
Re
x
Abbildung 1: Winkeldarstellung der komplexen Zahlen
WiemansiehtistdieAbleitungvondemWinkel,indemsichhdemPunktz ann¨ahert,abh¨angig.
Dieser Winkel ist aber nicht eindeutig und somit existiert kein Grenzwert f (z)!
′
f(z)=zz¯= z 2 ist nicht holomorph.
• | |
f(z)=z+z¯ist nicht holomorph
•
f(z)=z2 ist holomorph.
•
Bemerkung Es scheint, als ob holomorphe Funktionen nur von z, nicht aber von z¯abh¨angen du¨rfen.
1 HOLOMORPHE FUNKTIONEN 4
Satz 1.1 (Elementare Eigenschaften holomorpher Funktionen)
Sei f :C U C, U offen, holomorph. Dann gilt:
⊃ →
1. f ist stetig.
2. (U):= f :U C f holomorph ist ein komplexer Vektorraum, d.h.
H { → | }
(c f +c f ) (U), c ,c C,f ,f (U)
1 1 2 2 1 2 1 2
∈H ∀ ∈ ∈H
Außerdem ist auch die Ableitung linear:
(c1f1+c2f2)′ =c1f1′ +c2f2′, ∀c1,c2 ∈C,f1,f2 ∈H(U)
3. (U) ist abgeschlossen gegen¨uber Produktbildung, d.h.
H
f f (U), f ,f (U)
1 2 1 2
∈H ∀ ∈H
F¨ur die Ableitung eines Produktes gilt die Produktregel:
(f f ) =f f +f f , f ,f (U)
1 2 ′ 1′ 2 1 2′ ∀ 1 2 ∈H
4. Ist 0=f(z) (U) f¨ur alle z U, so sind
6 ∈H ∈
1 1 ′ f′
und = (U)
f f −f2 ∈H
(cid:18) (cid:19)
5. Es gilt die Kettenregel:
(g(f(z)))′ =g′(f(z))f′(z), f (U),g (V) mit f(U) V
∀ ∈H ∈H ⊂
Zus¨atzlich ist die Verkn¨upfung selbst holomorph: g f (U).
◦ ∈H
Beweis Wie im reellen Fall.
Beispiel 1.2 (Wichtige holomorphe Funktionen)
Polynome P(z)= N a zk, a ,z C sind holomorph mit P (z)= N a kzk 1.
• k=0 k k ∈ ′ k=1 k −
Rationale FunktionPen P
• P(z)
R(z)= , P,Q Polynome
Q(z)
sind dort holomorph, wo Q(z)=0. R ist ebenfalls rational.
′
6
2 ZUSAMMENHANG REELLER UND KOMPLEXER DIFFERENZIERBARKEIT 5
2 Zusammenhang reeller und komplexer Differenzierbarkeit
Was wir in diesem Kapitel lernen:
Def.: reell diffbar
•
Theorem: holo reell diffbar + CR-Diffgl.
• ⇔
Def.: harmonisch. f =u+iv holo u,v harmonisch
• ⇒
Holomorphe Funktionen sind durch Realteil und Imagin¨arteil bis auf Addition einer Konstante
•
eindeutig bestimmt.
Def.: Ableitung nach z und z. f holo f reel diffbar und df 0
• ⇔ dz ≡
Merke: f(z)= z 2 =zz ist nicht holo.
• | |
Man kann die komplexen Zahlen C mit R2 identifizieren (die beiden R¨aume sind isomorph) und eine
komplexe Funktion f : C U C, U offen, als eine Funktion f : R2 U R2 interpretieren. Ein
⊃ → ⊃ →
komplexesz =x+iy CentsprichtdabeiderreellenZahl(x,y) R2,dieFunktionspaltetmananalog
∈ ∈
in Realteilu und Imagin¨arteilv auf: f(z)=u(z)+iv(z) C wird zuf(x,y)=(u(z),v(z)) R2. Diese
∈ ∈
reelle Funktion kann man nun, wie aus Analysis II bekannt, differenzieren:
f heißtander Stelle (x,y) R2 reell differenzierbar, wennes eine lineare Abbildung A:R2 R2 gibt,
∈ →
so dass
o(h)
f((x,y)+(p,q))=f(x,y)+A(p,q)+o(h) mit lim | | =0
| | h 0 h
→ | |
Dabeiisth=(p,q),also h = p2+q2.Die lineareAbbildung AheißtdannDifferential vonf ander
| |
Stelle (x,y) und wird mit d f bezeichnet. Als Matrix ist A durch die Jacobi-Matrix gegeben:
(x,yp)
∂u ∂u
A= ∂x ∂y
∂v ∂v
∂x ∂y !
Schreibt man jetzt die obige Gleichung aus, so erh¨alt man
u(x,y) ∂u ∂u p
f((x,y)+(p,q))= + ∂x ∂y +o( p2+q2)
v(x,y) ∂v ∂v q
(cid:18) (cid:19) ∂x ∂y !(cid:18) (cid:19)
p
Was hat jetzt diese reelle Differenzierbarkeit mit der komplexen zu tun?
Satz 2.1 (Cauchy-Riemann’sche DGL, reell) Eine Funktion f : C U C, U offen, ist genau
⊃ →
dann holomorph, wenn sie reell differenzierbar ist und ihr Realteil u(z) sowie ihr Imagin¨arteil v(z) die
Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen erf¨ullen:
∂u ∂v ∂u ∂v
= , = , (z =x+iy) (1)
∂x ∂y ∂y −∂x
Bemerkung Nachfolgend wird die ku¨rzere Notation u := ∂u verwandt.
x ∂x
Beweis Die reelle Ableitung A in Richtung h=(p,q) R2
∈
p u p+u q
A = x y
q v p+v q
x y
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19)
schreibt sich komplex als
′
f (z) h=(u p+u q)+i(v p+v q) (2)
x y x y
·
2 ZUSAMMENHANG REELLER UND KOMPLEXER DIFFERENZIERBARKEIT 6
” ” Sei f holomorph. W¨ahle h=p+0i (also ist der Imagin¨arteil q =0). Dann ist
⇒
f(z+h) f(z) (2) (uxp+uyq)+i(vxp+vyq)
lim − = lim
h 0 h (p+iq) 0 p+iq
→ →
(q=0) uxp+ivxp
= lim
p 0 p
→
= u +iv
x x
W¨ahlt man dagegen h=0+iq (Realteil p=0), so erh¨alt man
f(z+h) f(z) (2) (uxp+uyq)+i(vxp+vyq)
lim − = lim
h 0 h (p+iq) 0 p+iq
→ →
(p=0) uyq+ivyq
= lim
q 0 iq
→
= v iu
y y
−
Da f holomorph ist, mu¨ssen die beiden Grenzwerte gleich sein, d.h.
z C : ux(z)+ivx(z)=vy(z) iuy(z) ux =vy,vx = uy (=1)
∀ ∈ − ⇔ −
” ” Es sei (1) erfu¨llt, dann gilt u =v und v = u . Fu¨r die Ableitung gilt mit h=p+iq
x y x y
⇐ −
f(z+h) f(z) (2) (uxp+uyq)+i(vxp+vyq)
lim − = lim
h 0 h (p+iq) 0 p+iq
→ →
(u +iv )p+(v iu )iq
x x y y
= lim −
(p+iq) 0 p+iq
→
(1) (ux+ivx)p+(ux+ivx)iq
= lim
(p+iq) 0 p+iq
→
= u +iv (=v iu )
x x y y
−
Also existiert der Limes und f ist holomorph.
Definition 2.1 (Harmonische Funktionen & Laplace Operator) Eine Funktion g : R2 U
⊃ →
R2, U offen, heißt harmonisch genau dann, wenn gilt:
∂2g ∂2g
+ =0
∂x2 ∂y2
Mit Hilfe des Laplace Operators ∆= ∂2 + ∂2 l¨asst sich dies auch kurz als ∆g =0 schreiben.
∂x2 ∂y2
Laplace-Operatoren(harmonischeFunktionen)werdeninderTheoriederDifferentialgleichungenh¨aufig
zumL¨osenvonGleichungenverwendet.GenausoindernichtlinearenOptimierungzurBestimmungder
Kuhn-Tucker-Gleichungen.
Korollar 2.2 Sei f : U C, U C offen, holomorph. Dann sind u und v harmonische Funktionen
→ ⊂
(f ist aber i.A. nicht harmonisch).
Beweis Durch Differenzieren der Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen u = v ,u = v
x y y x
−
(u,v sind zweimal stetig partiell differenzierbar) nach y bzw. x folgt
u = v
xy yy
u = v
yx xx
−
und da hier nach dem Satz von Schwarz u =u ist, folgt
xy yx
v = v v +v =0 ∆v =0
yy xx xx yy
− ⇔ ⇔
Analog zeigt man ∆u=0.
2 ZUSAMMENHANG REELLER UND KOMPLEXER DIFFERENZIERBARKEIT 7
Definition 2.2 (Zusammenh¨angende Mengen) EineMengeX Cheißtzusammenh¨angend,wenn
⊂
eskeineoffenenMengenA,B gibt mitA=∅=B,X B =∅undX A=∅,X =A B und A B =
6 6 ∩ 6 ∩ 6 ∪ ∩
∅.
Bemerkung Die zusammenh¨angenden Teilmengen von R sind genau: ∅, a , alle Intervalle und R.
{ }
Im folgenden Korollar wird deutlich, dass holomorphe Funktionen sehr unflexibel sind. Kennt man
ihren Real- oder Imagin¨arteil, so kennt man schon die ganze Funktion bis auf eine Konstante.
Korollar 2.3 Eine holomorphe Funktion f : G C, G C offen und zusammenh¨angend, ist durch
→ ⊂
ihren Realteil (bzw. Imagin¨arteil) bereits bis auf Addition einer Konstante eindeutig bestimmt.
Beweis Seien g,h holomorphe Funktionen wie im Korollar;es sei g h:=iv rein imagin¨ar. Dann ist
−
dieFunktionvebenfallsholomorphunddieCauchy-Riemann’schenDifferentialgleichungenvereinfachen
sich zu 0=v , 0=v . Da nun U zusammenh¨angend ist, folgt daraus, dass v konstant ist.
y x
DieAbleitungnachz bzw.z gibtunseinweiteresKriteriumimreellenan,obeineFunktionholomorph
ist, oder nicht. Die Ableitung nach z ist i.A. nicht gleich der holomorphen Ableitung, wie in Kapitel
1, sondern nur, wenn df = 0 (n¨achster Satz). Die Existenz von df besagt auch noch nicht, dass f
dz dz
holomorph ist.
Definition 2.3 (Ableitungen ∂f und ∂f) Als Ableitungnach z bzw. z¯einer holomorphen Funktion
∂z ∂z
f :C U C, U offen, mit z =x+iy f(z) definieren wir
⊃ → 7→
∂f 1 ∂f ∂f ∂f 1 ∂f ∂f
:= ( i ), := ( +i )
∂z 2 ∂x − ∂y ∂z¯ 2 ∂x ∂y
Im
f(z)
x
Re
Abbildung 2: Idee der Richtungsableitung: df schaut in Richtung der x- Achse, wie sich die Funktion
dx
¨andert,wennmansichetwasinx-Richtungbewegt. df schauthingegenrechtsherumimKreis,wiesich
dz
die Funktion ver¨andert, wenn man sich etwas bewegt.
Satz 2.4 Sei f :U C, U C offen, mit z =x+iy f(z) ist holomorph genau dann, wenn f reell
differenzierbar ist un→d ∂f ⊂0. 7→
∂z¯ ≡
Beweis Sei f : U C, U C offen, reell differenzierbar (wir benutzen trotzdem die komplexe
→ ⊂
Schreibweise). Dann ist mit h=p+iq die Taylorentwicklung gleich:
f(z+h)=f(z)+f p+f q+O(h)
x y
| |
und somit ergibt sich:
∂f ∂f o(h)
f(z+h) f(z)= p+ q+o(h), lim | | =0
− ∂x ∂y | | h 0 h
→
2 ZUSAMMENHANG REELLER UND KOMPLEXER DIFFERENZIERBARKEIT 8
Beachtet man, dass h¯ =p iq, so sieht man
−
h+h¯ h h¯
p= , q = −
2 2i
Damit schreibt sich obige Gleichung als
1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f
f(z+h) f(z) = ( + )h+ ( )h¯+o(h)
− 2 ∂x i ∂y 2 ∂x −i ∂y | |
= i =i
−
∂f ∂f
= h+|{z}h¯+o(h) |{z}
∂z ∂z¯ | |
Wir erhalten also fu¨r die Ableitung
f(z h) f(z) ∂f ∂f h¯ o(h)
lim − − = lim  + + | | 
h 0 h h 0 ∂z ∂z¯h h
→ →
 
 →0 
∂f ∂f ¯h 
= + lim | {z }
∂z ∂z¯h 0h
→
Wie verh¨alt sich h¯? Da fu¨r
h
h¯ h¯
h R: lim =1, aber fu¨r ih R: lim = 1
∈ h 0h ∈ h 0h −
→ →
existiert der Grenzwert lim h¯ nicht. Deshalb ist f genau dann holomorph, wenn ∂f 0.
h→0 h ∂z¯ ≡
Bemerkung Holomorphe Funktionen sind also die Funktionen, die nicht von z¯ abh¨angen. Fu¨r die
Ableitungennachz,z¯geltendiegleichenRechenregelnwieimreellen,wennmanzundz¯alsunabh¨angige
Variablen betrachtet.
Beispiel 2.1 (Ableitungen nach z)
Sei z =x+iy C.
∈
∂z = 1(∂z +i∂z)= 1(1+ii)=0.
• ∂z¯ 2 ∂x ∂y 2
∂|z|2 = ∂zz¯ =z
• ∂z¯ ∂z¯
∂(z+z¯) =1
• ∂z¯
∂ z¯ = 1
• ∂z¯z z
3 POTENZREIHEN 9
3 Potenzreihen
Was wir in diesem Kapitel lernen:
Def. Potenzreihe, glm. konvergenz,Konvergenzradius
•
Potenzreihen sind holo; Abl. wird gliedweise gebildet.
•
Definition 3.1 (Potenzreihen) Eine Reihe der Form ∞k=0ak(z−z0)k, wobei (ak) ⊂ C eine Folge
ist und z,z C sind, heißt Potenzreihe.
0
∈ P
Bemerkung Aus der Analysis I ist bekannt, dass man fu¨r U C und eine Funktionenfolge (f ) mit
n
⊂
f :U C sagt, (f ) konvergiert gleichm¨aßig gegen f :U C, falls
n n
→ →
ε>0 N N n N x U : fn(x) f(x) <ε
∀ ∃ ∈ ∀ ≥ ∀ ∈ | − |
oder kurz mit der Supremumsnorm,falls lim f f =0. Insbesondere folgt, falls die Funktio-
n n
→∞k − k∞
nenfolge f stetig auf D ist, dass es auch der Grenzwert f ist.
n
Satz 3.1 Die Potenzreihe ∞k=0ak(z−z0)k konvergiere f¨ur ein z1 ∈C mit z0 6=z1. Seien r0 ∈R+ mit
0 < r < z z und K := z C z z r . Dann konvergiert die Potenzreihe absolut und
0 | 1− 0| r0P { ∈ | | − 0| ≤ 0}
gleichm¨aßig auf K .
r0
z
1
r
0
Potenzreihe um z konvergiertin z
z 0 1
0
K
r0
Potenzreihe um z konvergiert
0
absolut und gleichm¨aßig auf K
r0
Beweis Analysis I.
Definition 3.2 (Konvergenzradius) Der Wert R := sup{|z −z0| | ∞k=0ak|z −z0|k konvergiert}
heißt Konvergenzradius der Potenzreihe ∞k=0ak(z−z0)k. P
P
Satz 3.2 Zu jeder Potenzreihe ∞n=0an(z−z0)n (an ∈C fest, z ∈C) gibt es ein eindeutig bestimmtes
R, 0 R mit folgender Eigenschaft:
≤ ≤∞ P
∞ a (z z )n konvergiert ∀z : |z−z0|<R
n 0
nX=0 − (divergiert ∀z : |z−z0|>R
U¨ber die Konvergenz bzw. Divergenz f¨ur z z =R ist keine allgemeine Aussage m¨oglich.
0
| − |
R ist der Konvergenzradius von ∞n=0an(z−z0)n und KR(z0) heißt Konvergenzkreis. Es gilt:
RP=sup ρ 0, (a ρn) beschr¨ankt .
n n 0
{ ≥ ≥ }
Beweis M := ρ>0, (a ρn) beschr¨ankt sei nach oben beschr¨ankt, R:=supM.
n n 0
{ ≥ }
1. Fall: Sei z C, z z <R.
0
∈ | − |
Dann folgt: ρ M : z z <ρ<R. Deswegen gilt dann: (a ρn) ist beschr¨ankt. Zusammen mit
0 n n 0
dem Abelsch∃en∈Lemma| f−olgt|daraus, dass ∞n=0an(z−z0)n absolut≥konvergiert.
P