Kompendium der reellen Analysis - Grundlagen und Methoden für Physiker

498 Pages·2020·5.879 MB·German

by  Weissauer, Rainer

Rainer Weissauer
Kompendium
der reellen Analysis
Grundlagen und Methoden für Physiker
Kompendium der reellen Analysis
Rainer Weissauer
Kompendium der reellen
Analysis
Grundlagen und Methoden für Physiker
Rainer Weissauer
Mathematisches Institut
Universität Heidelberg
Heidelberg, Deutschland
ISBN 978-3-662-58773-7 ISBN 978-3-662-58774-4 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-58774-4
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Vorwort
Dieses Buch richtet sich in erster Linie an Physikstudenten. Die Anregung dazu
gingfu¨rmichvoneinerVorlesungHo¨hereMathematikfu¨rPhysikerII+III aus,dieich
2010/11 in Heidelberg gehalten habe. Gewisse Kenntnisse aus der Vorlesung Lineare
Algebra I konnten damals vorausgesetzt werden. Etliche der relevanten Beispiele und
AnwendungenderAnalysiswurdeninderdamaligenVorlesungimU¨bungsbetriebund
ineinerzusa¨tzlichenGroßu¨bungaufderGrundlageeinesSkriptszwarkurzbehandelt,
aberinderVorlesungselbstkaumthematisiert.
WasimRahmeneinesAnfa¨ngerzyklusnichtmo¨glichwar,wollteichineinemBuch
weiter ausfu¨hren, um neben den Grundlagen und unmittelbaren Anwendungen auch
Vertiefungen behandeln zu ko¨nnen mit der Absicht, zumindest elementare Konzepte
unter anderem der symplektischen und der Riemannschen Geometrie beru¨cksichtigen
zu ko¨nnen, ebenso auch die Anfangsgru¨nde der Kohomologietheorie und der Theorie
derLiegruppenundihrerDarstellungen.AlsRahmenundFundamentsolltedieknappe
Darstellung aller mathematischen Grundlagen auf Basis des Skripts zu der damaligen
Anfa¨ngervorlesung Ho¨here Mathematik fu¨r Physiker dienen. Mein Ziel war es, darauf
aufbauende Anwendungen der Analysis so einheitlich und kompakt wie mo¨glich zu
entwickeln, fu¨r Studenten mit der Option sowohl Grundlagen rekapitulieren als auch
weiterreichende Anwendungen und Methoden exemplarisch kennenlernen zu ko¨nnen.
AusdiesemdoppeltenGrundwollteichdasBuchsoweitwiemo¨glich‘selfcontained’
und von den Bezeichnungen und Methoden einheitlich gestalten, also ganz im Sinne
eines ‘Kompendiums’. Die Hauptmotivation war es, damit sowohl zum Eigenstudium
vonmathematischerLiteraturalsauchzumBesuchmathematischerSpezialvorlesungen
gezieltanzuregen.
Insgesamt hat die Darstellung dadurch einen recht speziellen Charakter erhalten.
Durch die Inhalte der ersten fu¨nf Kapitel werden in Form kurzer Abhandlungen die
wesentlichen Themen der traditionellen mathematischen Vorlesungen Analysis I–III
abgedeckt;manchesgehtstellenweiseetwasdaru¨berhinaus.EtlicheEinzelaspekte,die
imKontextderDarstellungnichtzwingendnotwendigwaren,wurdendabeikonsequent
ausgelagertinmathematischeAnha¨ngeandasEndedesBuches.Zusammenmitdiesen
Anha¨ngenwerdendieGrundlagenderreellenAnalysisfastvollsta¨ndigdargestellt,aber
diegewa¨hlteArtderDarstellungrichtetsichnichtinersterLinieanAnfa¨ngerstudenten.
v
InderTatwurdenvieleBeweisebewusstknappgehalten,jedochindenerstenKapiteln
mitBedachtausfu¨hrlicherdargestellt.DennochadressiertdiesesBucheher(abernicht
ausschließlich)StudentenabdemzweitenoderdrittenStudiensemester.
InhaltlichwurdenbeiderDarstellungmancheGesichtspunktebewusstunterschlagen.
Dazu einige Beispiele: Auf die Entwicklung des Riemannschen Integrals wurde ganz
verzichtet.Rechtschnellwirddafu¨rdieEntwicklungderLebesgueIntegrationstheorie
angestrebt,diesjedochbehutsaminmehrerenSchritten.Sa¨tzeu¨berReihenkonvergenz
(KonvergenzversusabsoluteKonvergenz)wurdenkomplettsubsummiertindieTheorie
der Lebesgue Integration. Komplexe Funktionentheorie wird im Anhang nur am Rand
gestreift. Einige wichtige Resultate der komplexen Funktionentheorie, wie etwa die
Laurent Entwicklung, das Maximumsprinzip etc., werden im Prinzip im allgemeinen
RahmenderTheorieharmonischerFunktionenaufEuklidschenRa¨umenimKapitel10
u¨berKugelfunktionenaberalsSpezialfallmitbehandelt.
Aufbauend auf den vorhergehenden Grundlagen werden in den Kapiteln 8 bis 12
einige ausgewa¨hlte Anwendungsthemen diskutiert. Dies umfasst Abschnitte u¨ber den
Laplace Operator und die Maxwell Gleichungen, u¨ber Kugelfunktionen, eine kurze
Einfu¨hrungindieSymplektischeGeometrie,diefu¨rdieElektrodynamikundMechanik
nu¨tzlich sind, sowie wegen der Querverbindungen auch einen kurzen Abschnitt u¨ber
StatistischeMechanikundDifferentialformen.
AbdemKapitel13werdendannmathematischweiterfu¨hrendeMethodenentwickelt,
die nicht unmittelbar von Kapitel 8–12 abha¨ngen (siehe dazu den Leitfaden). Diese
beinhalteneinigedergrundlegendenResultatederRiemannschenGeometrie,sowieder
Kohomologietheorie sowie der Darstellungstheorie von Liegruppen und Lie Algebren.
IchhabeThemengewa¨hlt,diefu¨rPhysikstudentenkonzeptionellrelevantseinko¨nnen
oder Inhalte komplementieren, die sie schon in Vorlesungen fu¨r Theoretische Physik
teilweiseoderinandererFormundSprachekennengelernthaben.
MeinbesondererDankgiltHerrnDr.M.Ro¨sner,derzahlreicheUngenauigkeitenund
Typosimurspru¨nglichenManuskriptaufgespu¨rthat.
RainerWeissauer(Heidelberg2019)
vi
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
1 DerKonvergenzbegriff 1
1.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 AngeordneteKo¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 DieEuklidscheNorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 MetrischeRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 FolgeninmetrischenRa¨umen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 DiegeometrischeReihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7 Vollsta¨ndigemetrischeRa¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 DerBanachscheFixpunktsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Quaderschachtelung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 ReelleZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.11 InfimumundSupremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 StetigeAbbildungen 26
2.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 EigenschaftenstetigerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 DerZwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Das"-�-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Gleichma¨ßigeStetigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7 ReellwertigestetigeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Gleichma¨ßigeKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9 Vollsta¨ndigkeitvonC X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
p q
2.10 MonotoneFolgenstetigerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Integration 41
3.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Gleichma¨ßigeApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
vii
Inhaltsverzeichnis
3.4 DasEuklidscheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 EigenschaftendesEuklidschenIntegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 DerLogarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7 DasmehrdimensionaleEuklidscheIntegral . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.8 AbstrakteIntegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.9 MonotoneHu¨llen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Differentiation 57
4.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 DasLandausymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 DieJacobiMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6 Extremwerte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.7 SymmetriederHesseMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.8 LokaleMaxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9 DerHauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.10 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.11 StetigpartielldifferenzierbareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.12 DerUmkehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.13 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.14 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.15 BeweisdesPoincare´ Lemmas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.16 SatzvonStokesfu¨rQuader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.17 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.18 DasMatrixExponential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5 LebesgueIntegration 100
5.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2 DasLebesgueIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 DerVerbandL X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
p q
5.4 BeppoLeviunddominierteKonvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5 Vertauschungssa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6 Nullmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.7 MessbareFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 VerallgemeinerteFunktionen 114
6.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2 Grundbegriffe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5 DasCoulombFeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
viii
Inhaltsverzeichnis
6.6 DieWellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.7 Stro¨me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7 DerLaplaceOperator 129
7.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.3 HarmonischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4 HarmonischePolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.5 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.6 OrthogonaleGruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.7 Fourier-GraßmannTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.8 LaplaceOperatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.9 MaxwellGleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.10 Fundamentallo¨sungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8 Hilbertra¨ume 150
8.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 L2-Ra¨ume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.4 SatzvonFischer-Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.5 DerFolgenraumL2 Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
p q
8.6 Orthonormalbasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.7 FourierReihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.8 Stone-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.9 FourierTransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.10 DerharmonischeOszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
9 Mannigfaltigkeiten 171
9.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9.2 Karten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.3 Wegekomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.4 FormenaufMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.5 DerSatzvonStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.6 Hyperfla¨chenimRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.7 StandardintegralaufderKugeloberfla¨che . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.8 Zonalspha¨rischeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.9 GreenscheFormel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
9.10 VektorfelderaufMannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10 Kugelfunktionen 192
10.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
10.2 DerKernZ x,⇠ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
`
p q
ix
Inhaltsverzeichnis
10.3 DerPoissonKern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
10.4 Orthogonalita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.5 HarmonischeFunktionensindanalytisch . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.6 EntwicklungaufKugelschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.7 DiePotentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11 SymplektischeGeometrie 206
11.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.2 DieLieAbleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.3 PoissonKlammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.4 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.5 SatzvonDarboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.6 KanonischeTransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12 StatistischeMechanikundDifferentialformen 220
12.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
12.2 Entropie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.3 KanonischeVerteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.4 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.5 Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.6 IntegrierendeFaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
13 RiemannscheGeometrie 227
13.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13.2 DerBegriffderMetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.3 GlobaleMetriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.4 Kurvenla¨ngeundGeoda¨ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.5 Zusammenha¨nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.6 Levi-CivitaZusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.7 DasGaußLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.8 LokaleMinimalkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
13.9 KonstruktionvonNormalkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.10 LokaleGeoda¨ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.11 MetrischeKonvexita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
13.12 Vollsta¨ndigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
13.13 DerSatzvonHopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14 Kohomologietheorie 255
14.1 U¨bersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
14.2 Kohomologiegruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
14.3 Stro¨me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
14.4 Mayer-VietorisSequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
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