Kompendium der Mathematik PDF
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Dos nebenstehende Inholtsverzeichnis gibt einen Oberblick uber die Kopitel dieses Buches und orientiert ouf die forbigen Morken des Rondregisters. z..w Beginn eines jeden Kopitels gibt eine forbige Strukturubersicht V 0 R BE MER K U N G E N uber den Aufbou des jeweiligen Stoffgebietes Auskunft. Jedes Kopitel is t d u rch Zwi schen u bersch riften in Abschnitte untergliedert. die am Kopf jeder Seile zur Orienlierung mitgefUhrt werden .. Du rch e i ne Stichwortleisle wurde der Text weiter oufgeschlossen. Definitionen und SCilze werden durch dos Zeichen ..... Beispiele durch dos Zeichen • gekennzeichnet. Auf mehrmoliges Auflreten einzelner Begriffe. Beweise. SCifze usw. wird mil Hilfe des Zeichens zuzuglich der befreffenden Seilenzohl oufmerksom gemocht. Auf diese Weise wurde eine enge Verflechtung oiler Kopitel erreicht und ein zusommenhCingendes Erorbeiten ermoglicht. GGRRUUNNDDBBEEGGRRIIFFFFEE DDEERR MMEENNGGEENNLLEEHHRREE ZZAA HH LLEE NN BBEE RREEII CC HH EE ~~ IMPENDIUM Dr. Rudolf Bittner DER MATHEMATIK Dr. Dieter IIse Siegmar Kubicek Werner Tietz 2. Auflage Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1970 Copyright © 1970 by Springer Fachmedien Wiesbaden Ursprunglich erschienen bei Volk und Wissen Volkseigener Verlag Berlin 1970 Lizenzousgobe fUr den Verlog Friedr. Vieweg + Sohn GmbH. Brounschweig Bestell-Nr.4907 ISBN 978-3-528-04907-2 ISBN 978-3-663-06853-2 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-06853-2 Vorwort Dieses Kompendium der Mafhemafik gibt die im Unterricht gewonnenen Kenntnisse und Erkenntnisse, zum Teil erganzt. in fachwissenschaftlicher Systematik zusammenhangend dargestellt wieder. Durch diese fachsystematische Darstel lung leistet dos Kompendium nicht nur gute Dienste bei der Wiederholung. Festigung. Auffrischung des Wissens und Konnens. es regt darUber hinaus viele Leser an. noch um fassender und tiefer in die Mathematik einzudringen. Mit diesem Kompendium sollte weder ein .. Skelett" oder eine Formelsammlung noch ein neues Lehrbuch geschaffen wer den. Einerseits wUrde namlich ein Skelett keine systematische Darstellung der Zusammenhonge erlauben. andererseits wUrde ein Schullehrbuch herkommlicher Art einen zu gro Ben' Umfang erfordern. Aus diesem Grunde sind in dos vorliegende Buch zwar erlouternde Beispiele. jedoch keine Obungsaufgaben aufgenommen worden. Der Leser findet sowohl mathematische Begriffe und Sotze als ouch inhalt liche Zusammenhonge. Es wurde also eine Synthese zwi schen Skelett und Lehrbuch angestrebt. Leere Menge Allmengen 1. MENGENBILDUNG Aussagen, Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Aussageformen • ~ ItAussagen wahr oder falsch a) Die Stadt Dresden liegt an tier Elbe wahr b) Dos chemische Element Schwefel ist falsch ein Metall c) Die notUrliche Zahl 7 isl eine Primzohl wahr d) 5 = 6 falsch Von Aussageformen kann man nicht sagen, ob sie wahr oder falsch sind. • 1 Aussageformen a) Die Stodt S liegt on der Elbe b) Dos chemische Element r. is! ein Metall c) Die naturliche Zahl n ist eine Primzohl d) )( = 6 Aussageformen werden durch bestimmte Einsetzungen fUr die Variablen zu wahren oder falschen Aussagen. • Aussogeformen ~ussQgen wahr oder falsch a) Die S!adt S Die Sl.ldt V' I tenberg wahr lieg! an der Elbe liegt an der Elbe Die S!adt Ber n falsch liegt an der Elbe b) Die naWrliche Die naiUrliche Zahl 20 falsch Zahl n ist eine is! eine Primzahl Primzahl Die noWrliche Zahl 31 wahr ist eine Primzahl c) It = 6 6 = 6 wahr 1 = 6 falsch 6 1. MENGENBILOUNG Bilden von Mengen Mengen werden gebildet, indem man aus einem zugrunde gelegten Bereich von Dingen, dem Grundbereich, nach bestimmten Gesichtspunkten Dinge auswahlt und zu einer Gesamtheit zusammenfaBf. • Grundbereich Qusgewahlte Oinge ' I a) Qlle SchUler einer Milglieder des Chors dieser Schule beslimmlen Schule b) alle Geraden alle GerQden dieser Ebene, die eine einer Ebene vorgegebene Richtung haben c) Qlle notUrlichen Qlle notiirlichen Zohlen, die durch 3 Zohlen teilbar sind und lwischen 10 und 30 liegen Oer Begriff "Menge" Eine Gesamtheit von aus dem Grundbereich ausgewahlten Dingen nennt man Menge. Als Variable fOr Mengen benutzen wir groBe lateinische Buchstoben, evtl. mit Indizes. z.B.: M;N;A;B; Mo;M M I; 2• Elemente Die Dinge. die dieser Gesamtheit ongehoren. nennt man Elemente der betreffenden Menge. Als Variable fOr Elemente benutzen wir kleine loteinische Buchstaben, evtl. mit Indizes. z.B.: x;y;a;b; xo; Xl; X2• AngabevonMengen . M = {12; 15; 18; 21; 24; 27} Ourch Angabe Um mitzuteilen. daB z. B. a Element der Menge M 1st oder oiler Elemente z. B. y nicht Element der Menge N ist. schreibt man: o E M gelesen: ,,0 ist Element von M" oder ,,0 Element MU y ~ N gelesen: "y ist nicht Element von N" oder .. y nlcht Element N" Enthalt eine Menge sehr viele oder unendlich viele Ele Ourch Angobe des Grundbereichs und einer mente, die nicht einzeln aufgefUhrt werden konnen. so Aussageform gibt man den Grundbereich und eine Aussageform an. mit deren Hilfe man die betreffende Menge bilden konn. 7 1. MENGENBILDUNG Grundbereich Aussogeform Angobe der Menge a) Menge der x < 70000 x E M genou donn, nolUrlichen wenn x < 70000 Zohlen b) Menge der 10 < x < 300 x E M genou donn, wenn nolUrlichen und x I 3 10 < x < 300 Zohlen und x I 3 c) Menge der x < 70000 x E M genou donn, gonzen Zohlen wenn x < 70000 Bemerkung: Zur Festlegung beispielsweise der Menge unter a) in der Tabelle genUgt es nicht zu sagen: (1) Wenn eine naturliche Zahl kleiner als 7 ist, so ist sie Element der zu bildenden Menge. Dadurch wird namlich nicht ausgeschlossen, daB. eventuell noch andere naturliche Zahlen zur Menge gehoren konnen. Betrachten wir beispielsweise die Menge M* = {O; 1; 2; 38; 19; 4; 3; 100; 5; 6}, so ist die Forderung, daB jede natOrliche Zahl, die kleiner als 7 ist, Element der Menge sein soli, auch fUr M* erfUllt. Um wirklich nur die Zahlen, die kleiner als 7 sind, als Elemente der Menge zu erhalten, mUssen wir noch zusatzlich sagen: (2) Wenn eine naturliche Zahl Element der zu bildenden Menge ist, so ist sie kleiner als 7. Mit (1) und (2) ist die im Beispiel angefUhrte Menge M genau festgelegt. Es ist Ublich, (1) und (2) zu folgender Sprechweise zusammenzufassen: (3) Eine naturliche Zahl ist Element der Menge M genou donn, wenn sie kleiner als 7 ist. < KUrzer: x E M genau dann, wenn x 7. Durch die Sprechweise "genau dann, wenn" wird zum Ausdruck gebracht, daB alle die Dinge aus dem Grundbe reich Elemente der jeweils zu bildenden Menge sind, die die Aussageform zu einer wahren Aussage machen, aber auch nur diese. Man sagt auch: "Zur Menge M gehoren genau die Dinge, die die Aussageform zu einer wahren Aussage machen." 8
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