Kombinatorische Optimierung: Theorie und Algorithmen

680 Pages·2008·7.857 MB·German

by  Bernhard Korte, Jens Vygen (auth.)

Kombinatorische Optimierung
Bernhard Korte · Jens Vygen
Kombinatorische
Optimierung
Theorie und Algorithmen
Aus demEnglischenvonR. von Randow
123
Prof.Dr.BernhardKorte Übersetzer:
Prof.Dr.JensVygen Dr.RabevonRandow
ForschungsinstitutfürDiskreteMathematik ForschungsinstitutfürDiskreteMathematik
UniversitätBonn UniversitätBonn
Lennéstraße2 Lennéstraße2
53113Bonn 53113Bonn
[email protected] [email protected]
[email protected]
ISBN 978-3-540-76918-7 e-ISBN 978-3-540-76919-4
DOI 10.1007/978-3-540-76919-4
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MathematicsSubjectClassification(2000):90C27,68R10,05C85,68Q25
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Vorwort zur deutschen Ausgabe
Wir freuen uns, dass unser Buch nun auch in unserer Muttersprache erscheint.
DiesisteineU¨bersetzungder viertenAuflagederenglischenOriginalausgabe,
in die einige seit dem Erscheinen der 4. Auflage vorgenommenen Erga¨nzungen,
Verbesserungen und Aktualisierungen bereits eingearbeitet sind.
WirdankenRabevonRandowfu¨rdieausgezeichneteU¨bersetzungundhoffen,
dass sie zu einer noch sta¨rkeren Verbreitungunseres Buches an Universita¨ten des
deutschsprachigen Raumes beitra¨gt.
Bonn, im Mai 2008 Bernhard Korte und Jens Vygen
Vorwort zur vierten englischen Auflage
Die vorliegendevierteenglischeAuflageundU¨bersetzungenin vierweitereSpra-
chenzeigendasgroßeInteresseanunseremBuch,u¨berdaswirunsnatu¨rlichfreuen.
Wiederum sind Verbesserungen, Aktualisierungen und wesentliche Erga¨nzungen
in diese Auflage eingeflossen. Wir habeneinige klassische Themen eingefu¨gt,die
derLeser bishervielleichtvermissthat,insbesondereimBereich derlinearenOp-
timierung, des Netzwerk-Simplexalgorithmusund des Max-Cut-Problems. Ferner
haben wir einige neue Aufgaben und aktuelle Literaturangaben hinzugefu¨gt. Wir
hoffen,dassdamitunserBuchalsGrundlagefu¨rForschungundLehrenochbesser
geeignet ist.
Wir danken wiederumder Union der Deutschen Akademiender Wissenschaf-
ten und der Nordrhein-Westfa¨lischen Akademie der Wissenschaften fu¨r die Un-
terstu¨tzungimRahmendesLangzeitforschungsprojekts DiskreteMathematikund
”
Anwendungen“.Weiter dankenwir allen, die uns wertvolle Kommentarezur drit-
ten Auflage gegeben haben, insbesondere Takao Asano, Christoph Bartoschek,
Bert Besser, Ulrich Brenner, Jean Fonlupt, Satoru Fujishige, Marek Karpinski,
JensMaßberg,DenisNaddef,SvenPeyer,KlausRadke,RabevonRandow,Dieter
Rautenbach, Martin Skutella, Markus Struzyna, Ju¨rgen Werber, Minyi Yue und
Guochuan Zhang.
AufderInternetseitewww.or.uni-bonn.de/∼vygen/co.htmlwerden
wir die Leser weiterhin auf dem Laufenden halten.
Bonn, im August 2007 Bernhard Korte und Jens Vygen
Vorwort zur dritten englischen Auflage
Nachfu¨nfJahrenwaresanderZeit,einevollsta¨ndigu¨berarbeiteteundwesentlich
erweiterte neue Auflage herauszugeben.Die wesentlichste Erga¨nzungist ein ganz
neuesKapitelu¨berStandortprobleme.Fu¨rdiesewichtigeKlassevonNP-schweren
ProblemenwarennochvorachtJahrenkeineApproximationsalgorithmenmitkon-
stanter Gu¨tegarantie bekannt. Heute gibt es einige sehr verschiedene, interessante
Methoden,die zu guten Approximationsgarantienfu¨hren. Dadurchhat dieses Ge-
bieteinegroßeAnziehungskraftentwickelt,auchfu¨rLehrzwecke.InderTatistdas
neue Kapitel aus einer Spezialvorlesung u¨ber Standortprobleme hervorgegangen.
VielederanderenKapitelsindwesentlicherga¨nztworden.Neuhinzugekommen
sind insbesondere Fibonacci-Heaps, Fujishiges neuer Algorithmus fu¨r maximale
Flu¨sse,zeitabha¨ngigeFlu¨sse,SchrijversAlgorithmuszurMinimierungsubmodula-
rer Funktionenund der Approximationsalgorithmusfu¨r Steinerba¨ume von Robins
und Zelikovsky. Mehrere Beweise sind gegla¨ttet und viele neue Aufgaben und
Literaturhinweise hinzugefu¨gtworden.
Wir danken allen, die uns mit ihren wertvollen Kommentaren zur zweiten
Auflagegeholfenhaben,insbesondereTakaoAsano,YasuhitoAsano,UlrichBren-
ner,StephanHeld,TomioHirata,DirkMu¨ller,KazuoMurota,DieterRautenbach,
Martin Skutella, Markus Struzyna und Ju¨rgen Werber. Besonders Takao Asanos
Anmerkungen und Ju¨rgen Werbers sorgfa¨ltige Durchsicht von Kapitel 22 haben
wesentlich zur Verbesserung beigetragen.
Auch mo¨chten wir hier wieder der Union der deutschen Akademien der Wis-
senschaftenundderNordrhein-Westfa¨lischeAkademiederWissenschaftenfu¨rdie
ununterbrochene Unterstu¨tzung im Rahmen des langfristigen Forschungsprojekts
Diskrete Mathematik und Anwendungen“ danken, das vom Bundesminister fu¨r
”
Bildung und Forschung und vom Land Nordrhein-Westfalen finanziert wird.
Bonn, im Mai 2005 Bernhard Korte und Jens Vygen
Vorwort zur zweiten englischen Auflage
Es war fu¨r uns eine große U¨berraschung,dass die erste Auflage des vorliegenden
BuchesbereitsnachrundeinemJahrvergriffenwar.Dievielenpositivenundsogar
enthusiastischenBemerkungenundMitteilungenvonKollegenundausderLeser-
schaft haben uns gefreut. Einige unserer Kollegen waren uns bei der Fehlersuche
behilflich;insbesonderedankenwir Ulrich Brenner,Andra´sFrank, Bernd Ga¨rtner
undRolfMo¨hring.Selbstversta¨ndlichhabenwiralleKorrekturenindieseAuflage
eingearbeitet. Die Literaturverzeichnisse wurden sorgfa¨ltig aktualisiert.
Im Vorwortzur ersten Auflagehaben wir zwar alle Personenerwa¨hnt,die uns
beiderErstellungdesBuchesgeholfenhaben,esaberleiderversa¨umt,unsfu¨rdie
Unterstu¨tzungdurch verschiedeneInstitutionen zu bedanken.Das wollen wir hier
nachholen.
Esistselbstversta¨ndlich,dasseinProjektwiediesesBuch,dassichu¨bereinen
Zeitraum von sieben Jahren erstreckt hat, nicht ohne die Unterstu¨tzung verschie-
dener Forschungsfo¨rdererzustande kommen konnte. Dankend erwa¨hnen mo¨chten
wir besonders das durch die Ungarische Akademie der Wissenschaften und die
Deutsche Forschungsgemeinschaft gefo¨rderte bilaterale Forschungsprojekt, zwei
Sonderforschungsbereicheder Deutschen Forschungsgemeinschaft,den Ministe`re
Franc¸ais de la Recherche et de la Technologieund die Alexander-von-Humboldt-
Stiftung fu¨r ihre Unterstu¨tzung durch den Prix Alexandre de Humboldt sowie
die EU-Kommission fu¨r die Teilnahme an zwei DONET-Projekten. Ganz beson-
ders haben wir der Union der Deutschen Akademien der Wissenschaften und der
Nordrhein-Westfa¨lischen Akademie der Wissenschaften zu danken. Ihr langfristi-
ges, vom Bundesministeriumfu¨r Bildung und Forschung(BMBF) und vom Land
Nordrhein-Westfalen unterstu¨tztes Projekt Diskrete Mathematik und Anwendun-
”
gen“ spielte eine besondere Rolle bei der Entstehung dieses Buches.
Bonn, im Oktober 2001 Bernhard Korte und Jens Vygen
Vorwort zur ersten englischen Auflage
Kombinatorische Optimierung ist eines der ju¨ngsten und aktivsten Gebiete der
diskreten Mathematik und heute wahrscheinlich ihre treibende Kraft. Seit rund
fu¨nfzigJahrenistdiekombinatorischeOptimierungeineigensta¨ndigesFachgebiet.
DasvorliegendeBuchbeschreibtdiewichtigstenIdeen,theoretischenResultate
undAlgorithmender kombinatorischenOptimierung.Wir habenes als ein fortge-
schrittenesLehrbuchkonzipiert,dasauchalsaktuellesNachschlagewerkderneues-
ten Forschungsergebnissedienenkann. Es entha¨ltdie grundlegendenDefinitionen
undResultatederGraphentheorie,derlinearenundganzzahligenOptimierungund
der Komplexita¨tstheorie. Es deckt sowohl die klassischen als auch die neuesten
Gebiete der kombinatorischen Optimierung ab. Wir haben den Schwerpunkt auf
theoretischeResultateundbeweisbarguteAlgorithmengelegt.Anwendungenund
Heuristiken werden nur gelegentlich erwa¨hnt.
Die kombinatorische Optimierung hat ihre Wurzeln in der Kombinatorik, im
Operations Research und in der theoretischen Informatik. Sie wird getragen von
einer VielzahlkonkreterAnwendungsprobleme,die als abstrakte kombinatorische
Optimierungsproblemeformuliert werden ko¨nnen. Wir konzentrieren uns auf das
detaillierteStudiumklassischerProbleme,dieinvielfachenZusammenha¨ngenauf-
treten, und auf die zugrunde liegende Theorie.
DiemeistenProblemederkombinatorischenOptimierungko¨nnenaufnatu¨rliche
Weise als Graphenproblem oder als (ganzzahliges) lineares Programm formuliert
werden. Daher beginnt dieses Buch, nach einem einfu¨hrenden Kapitel, mit den
Grundlagender Graphentheorieund denjenigen Ergebnissen aus der linearen und
ganzzahligen Optimierung, die fu¨r die kombinatorische Optimierung besonders
relevant sind.
Danach werden die klassischen Gebiete der kombinatorischen Optimierung
eingehend betrachtet: minimale aufspannende Ba¨ume, ku¨rzeste Wege, Netzwerk-
flu¨sse, Matchings und Matroide. Die meisten in den Kapiteln 6–14 besprochenen
Probleme haben polynomielle (“effiziente”) Algorithmen, wa¨hrend die Mehrzahl
derindenKapiteln15–21besprochenenProblemeNP-schwersind,d.h.einpoly-
nomiellerAlgorithmusexistiertvermutlichnicht.InvielenFa¨llenkannmanjedoch
ApproximationsalgorithmenmiteinergewissenGu¨tegarantiefinden.Wirerwa¨hnen
auch einige andere Strategien zur Behandlung solcher “schweren” Probleme.
Der Umfang dieses Buches geht in verschiedener Hinsicht u¨ber normale
Lehrbu¨cher der kombinatorischen Optimierung hinaus. Beispielsweise behandeln
XIV Vorwort zur ersten englischen Auflage
wir auch die A¨quivalenz von Optimierung und Separation (fu¨r volldimensionale
Polytope), O(n3)-Implementierungen von Matching-Algorithmen, basierend auf
Ohrenzerlegungen,Turingmaschinen,den(schwachen)Perfekte-Graphen-Satzvon
Lova´sz, MAXSNP-schwere Probleme, den Karmarkar-Karp-Algorithmusfu¨r Bin-
PackingsowieneuereApproximationsalgorithmenfu¨rMehrgu¨terflu¨sse,Survivable-
Network-DesignunddasEuklidischeTraveling-Salesman-Problem.AlleResultate
werden vollsta¨ndig bewiesen.
Natu¨rlich kann kein Buch u¨ber kombinatorische Optimierung das Gebiet
erscho¨pfend behandeln. Beispiele von Themen, die wir nur kurz streifen oder
gar nicht erwa¨hnen, sind Baumzerlegungen, Separatoren, submodulare Flu¨sse,
Path-Matchings, Delta-Matroide, das Parita¨tsproblem fu¨r Matroide, Standort- und
Scheduling-Probleme, nichtlineare Optimierung, semidefinite Optimierung, die
Average-Case-Analyse von Algorithmen, kompliziertere Datenstrukturen, paralle-
le und randomisierteAlgorithmensowie dieTheorieder probabilistischpru¨fbaren
Beweise (den PCP-Satz zitieren wir ohne Beweis).
AmEndeeinesjedenKapitelsbefindensichU¨bungsaufgaben,dievielfachwei-
tereResultateundAnwendungenenthalten.DievermutlichschwierigerenAufgaben
sind mit einem Sternchenmarkiert.Jedes Kapitel schließtmit einem Literaturver-
zeichnis, das auch weiterfu¨hrende Literatur entha¨lt.
Dieses Buch ist aus mehreren Vorlesungen u¨ber kombinatorische Optimie-
rung und aus Spezialvorlesungen u¨ber Themen wie polyedrische Optimierung
und Approximationsalgorithmen entstanden. Somit bietet es sowohl Material fu¨r
einfu¨hrende als auch fu¨r fortgeschrittene Lehrveranstaltungen.
Selbstversta¨ndlichhabenwirvielausDiskussionenmitKollegenundFreunden
undvonderenVorschla¨gengelernt,undnatu¨rlichauchausdervorhandenenLitera-
tur. BesonderenDankschuldenwir Andra´sFrank,La´szlo´ Lova´sz,Andra´sRecski,
AlexanderSchrijver und Zolta´n Szigeti. Unsere Kollegen und Studenten in Bonn,
Christoph Albrecht, Ursula Bu¨nnagel, Thomas Emden-Weinert, Mathias Haupt-
mann, Sven Peyer, Rabe von Randow, Andre´ Rohe, Martin Thimm und Ju¨rgen
Werber,habenverschiedeneVersionendesManuskriptssorgfa¨ltiggelesenundviele
Verbesserungsvorschla¨ge gemacht. Schließlich mo¨chten wir dem Springer-Verlag
fu¨r die a¨ußerst effiziente Zusammenarbeit danken.
Bonn, im Januar 2000 Bernhard Korte und Jens Vygen
Inhaltsverzeichnis
1 Einfu¨hrung ................................................ 1
1.1 Enumeration............................................... 2
1.2 Die Laufzeit von Algorithmen .............................. 5
1.3 Lineare Optimierungsprobleme .............................. 9
1.4 Sortieren.................................................. 10
Aufgaben...................................................... 12
Literatur....................................................... 13
2 Graphen .................................................. 15
2.1 Grundlegende Definitionen ................................. 15
2.2 Ba¨ume, Kreise und Schnitte ................................ 19
2.3 Zusammenhang ........................................... 27
2.4 Eulersche und bipartite Graphen ............................. 34
2.5 Planarita¨t ................................................. 37
2.6 Planare Dualita¨t ........................................... 46
Aufgaben...................................................... 49
Literatur....................................................... 53
3 Lineare Optimierung ....................................... 55
3.1 Polyeder ................................................. 57
3.2 Der Simplexalgorithmus .................................... 61
3.3 Implementierung des Simplexalgorithmus ..................... 64
3.4 Dualita¨t .................................................. 68
3.5 Konvexe Hu¨llen und Polytope ............................... 72
Aufgaben...................................................... 73
Literatur....................................................... 76
4 Algorithmen fu¨r lineare Optimierung ......................... 79
4.1 Die Gro¨ße von Ecken und Seitenfla¨chen ...................... 80
4.2 Kettenbru¨che ............................................. 82
4.3 Gauß-Elimination ......................................... 85
4.4 Die Ellipsoidmethode ...................................... 89
4.5 Der Satz von Khachiyan .................................... 95
4.6 Separation und Optimierung ................................ 98
Aufgaben......................................................105
Literatur.......................................................107