Kohomologie von Schemata WS 2009/2010

114 Pages·2010·0.495 MB·German

by  Uwe Jannsen

Kohomologie von Schemata
Prof. Dr. Uwe Jannsen
Wintersemester 2009/10
Inhaltsverzeichnis
1 Differentiale 1
2 Separierte und eigentliche Morphismen 10
3 Flache, unverzweigte und ´etale Morphismen 19
4 Formal unverzweigte, ´etale und glatte Morphismen 26
5 Abelsche Kategorien und Komplexe 39
6 Abgeleitete Funktoren 47
7 Garbenkohomologie 61
8 Cˇech-Kohomologie und die Kohomologie affiner Schemata 69
9 Koh¨arente und ample Modulgarben 77
10 Kohomologie projektiver Schemata 80
11 Ext-Gruppen, Ext-Garben und Paarungen 87
12 Grothendieck-Serre-Dualit¨at 97
13 Koszulkomplexe und lokale Ext-Gruppen 107

1 Differentiale
Sei A ein Ring, B eine A-Algebra und M ein B-Modul.
Definition 1.1 Eine A-Derivation von B nach M ist eine Abbildung
D : B → M
die A-linear ist und fu¨r die die Leibniz-Regel gilt:
′ ′ ′
(6.1) D(bb) = bD(b)+bD(b)
Lemma/Definition 1.2 Es gibt einen B-Modul Ω1 , den Modul der (relativen) (K¨ahler-)
B/A
Differentiale von B u¨ber A, und eine Derivation
d : B → Ω1 ,
B/A
die universell fu¨r alle A-Derivationen in B-Moduln ist: Ist D : B → M eine A-Derivation,
so gibt es genau einen B-Modul-Homomorphismus φ : Ω1 → M, der das Diagramm
B/A
Ω1
== B(cid:31)/A
{{{d{{{{{ (cid:31)(cid:31)
(cid:31)
B EEEEEEEEE (cid:31)(cid:31)(cid:31)∃!φ
D "" (cid:15)(cid:15)
M
kommutativ macht.
Konstruktion: Setze
{ }
Ω1 = freier B Modul u¨ber Symbolen d˜b,b ∈ B /N
B/A
wobei N der Untermodul ist, der von allen Elementen
d˜(b+b′)−d˜b−d˜b′
d˜(bb′)−b′d˜b−bd˜b′
˜
da
fu¨r b,b′ ∈ B und a ∈ A erzeugt wird. Definiere d : B → Ω1 durch
B/A
˜
d(b) = Klasse von db
Lemma 1.3 Sei B = A[X | i ∈ I] ein Polynomring, in beliebig vielen Variablen X . Dann
i i
ist Ω1 ein freier A-Modul mit Basis dX ,i ∈ I.
B/A i
1
Beweis Offenbar sind die dX Erzeugende, wie man durch Induktion beweist:
i
∏ ∑ ∏
d( Xni) = n XnjXni−1dX .
i i j i i
i i j
j̸=i
∑
Angenommen, P dX = 0 mit P ∈ B. Die formale partielle Ableitung
i i i
∂ : B → B
∂Xi ∏Xnj 7→ n Xni−1 ∏ Xnj
j i i j
j j
j̸=i
ist eine Derivation; es gibt also einen B-Modulhomomorphismus
φ : Ω1 → B
i B/A
∑
mit φ (dX ) = ∂Xj = δ . Angewendet auf P dX folgt P = 0, fu¨r alle i.
i j ∂Xi ij j j i
Bemerkung 1.4 Fu¨r ein Polynom P folgt noch die Regel
∑
dP = ∂P dX ,
∂Xi i
i
wie es sein soll.
Proposition 1.5 Sei µ : B ⊗ B → B definiert durch µ(b ⊗ b′) = b · b′ und I = ker(µ).
A
Betrachte B ⊗ B als B-Modul u¨ber die Multiplikation von links, und I/I2 als B-Modul
A
durch die induzierte Struktur. Sei
d : B → I/I2
b 7→ 1⊗b−b⊗1 mod I2.
Dann ist (I/I2,d) isomorph zu (Ω1 ,d).
B/A
Beweis: (a) d ist Derivation: selbst.
(b) Wir erhalten einen Homomorphismus
φ : Ω1 → I/I2
B/A
db 7→ 1⊗b−b⊗1
(c) In B⊗ B gilt x⊗y = xy⊗1+x(1⊗y−y⊗1), also wird I als B-Modul von Elementen
A
der Form db erzeugt.
(d) Sei M ein beliebiger B-Modul. Dann kann man auf der abelschen Gruppe B ⊕M eine
Ring-Struktur definieren durch
′ ′ ′ ′ ′
(b,m)(b,m) = (bb,bm +bm)
(selbst); dieser Ring sei mit B ∗M bezeichnet. Die Abbildung
π : B ∗M → B
(b,m) 7→ b
2
ist ein surjektiver Ring-Homomorphismus; der Kern ist M, und als Ideal ist M2 = 0.
In unserer Situation ist B∗M auch eine A-Algebra (sogar eine B-Algebra durch den Schnitt
s : B → B ∗M,b 7→ (b,0)), von π.
Sei nun D : B → M eine A-Derivation. Dann ist
ψ : B ⊗ B → B ∗M
A
b⊗b′ 7→ (bb′,bD(b′))
ein wohldefinierter Ringhomomorphismus:
b b ⊗b′b′ 7→ (b b b′b′,b b D(b′b′)) = (b b b′b′,b b (b′D(b′)+b′D(b′))
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
= (b b′,b D(b′))·(b b′,b D(b′)).
1 1 1 1 2 2 2 2
Wegen der Kommutativit¨at von
B ⊗AB ψ //B ∗M
µ π
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
B = B
ist ψ(I) ⊆ M, und wegen M2 = 0 ist ψ(I2) = 0. Wir erhalten also einen wohldefinierten
B-Modul-Homomorphismus
ψ : I/I2 → M ,
der 1⊗b−b⊗1 mod I2 auf D(b) schickt, also mit den Derivationen vertauscht. Angewandt
auf M = Ω1 erhalten wir eine Umkehrabbildung fu¨r φ.
B/A
Proposition 1.6 (a) Ist A′ eine A-Algebra, so ist
Ω1 ∼= Ω1 ⊗ A′ ∼= Ω1 ⊗ B′ ,wobei B′ = B ⊗ A′.
B⊗AA′/A′ B/A A B/A B A
(b) Ist S ⊆ B eine multiplikative Teilmenge, so ist
Ω1 ∼= S−1Ω1 .
S−1B/A B/A
Beweis: selbst (folgt aus den universellen Eigenschaften).
Satz 1.7 (1. fundamentale Sequenz) Ist C eine B-Algebra, so hat man eine exakte Sequenz
Ω1 ⊗ C →α Ω1 →β Ω1 → 0
B/A B C/A C/B
Beweis Es sei α(db ⊗ c) = cdb und β(c dc ) = c dc ; dann sind diese Homomorphismen
1 2 1 2
wohldefiniert, und es ist β surjektiv und βα = 0. Fu¨r die Exaktheit in der Mitte genu¨gt es
zu zeigen, dass fu¨r jeden C-Modul M die Sequenz
(1.7.1) Hom (Ω1 ,M) → Hom (Ω1 ,M) → Hom (Ω1 ⊗ C,M)
C C/B C C/A C B/A B
3
exakt ist(universelle Eigenschaft des Kokerns von α). Nach den universellen Eigenschaften
identifiziert sich (1.7.1) mit der Sequenz
(1.7.2) Der (C,M) → Der (C,M) → Der (B,A) = Hom (Ω1 ,M)
B A A B B/A
die nach Definition exakt ist (Eine A-Derivation d ist genau dann eine B-Derivation, wenn
db = 0 fu¨r alle b ∈ B).
Satz 1.8 (2. fundamentale Sequenz) Sei J ein Ideal von B und C = B/J. Dann gibt es eine
exakte Sequenz von C-Moduln
J/J2 →δ Ω1 ⊗ C →α Ω1 → 0
B/A B C/A
wobei δ(b mod J2) = db⊗1 fu¨r b ∈ J.
Beweis: (a) Fu¨r b ∈ B und b′ ∈ J ist d(bb′) = b′db+bdb′. Daher ist b′ 7→ db′ ⊗1 B-linear
und bildet J2 auf 0 ab.
(b) Offenbar ist α surjektiv und αδ = 0. Es genu¨gt also, fu¨r jeden C-Modul M die Exaktheit
von
Hom (Ω1 ,M) → Hom (Ω1 ⊗ C,M) → Hom (J/J2,M)
C C/A C B/A B C
zu zeigen. Aber diese Sequenz identifiziert sich mit
Der (C,M) → Der (B,M) → Hom (J,M)
A A B
wobei die zweite Abbildung D auf D| abbildet. Diese Sequenz ist offenbar exakt.
J
Corollar 1.9 Ist B eine endlich erzeugte A-Algebra oder eine Lokalisierung davon, so ist
Ω1 endlich erzeugt.
B/A
Beweis Ist B = A[X ,...,X ]/J, so ist nach 1.3
1 n
∼
Bn = Ω1 ⊗B (cid:16) Ω1 ,
A[X1,...,Xn]/A B/A
und der zweite Fall folgt mit 1.6 (b).
Beispiel 1.10 Sei L = K(α)/K eine K¨orpererweiterung, die durch ein Element erzeugt
wird.
(1) α ist transzendent u¨ber K, d.h., L ∼= K(t) = α 7→ t(K[t]r{0})−1K[t]. Nach 1.3 und 1.6
(b) ist dann
Ω1 = (K[t]r{0})−1K[α]dα = Ldα
L/K
eindimensional u¨ber L.
∼
(2) α ist algebraisch u¨ber K. Sei f(x) das Minimalpolynom von α u¨ber K. Dann ist L =
a 7→ xK[x]/ < f(x) >. Nach der 2. fundamentalen Sequenz haben wir eine exakte Sequenz
∼
< f(x) > / < f(x)2 > → K[x]/ < f(x) >= Ldx → Ω1 → 0
L/K
f(x) 7→ df = f′(x) mod < f(x) > dx
= f′(α)dx ∈ Ldx
4
(2a) Ist α separabel u¨ber K, so ist f′(α) ̸= 0 und daher
Ω1 = 0.
L/K
(2b) Ist α nicht separabel u¨ber K, so ist f′(x) ≡ 0 und
Ω1 = Ldα.
L/K
(3) Zusatz: Ist α separabel u¨ber K und ist A ⊆ K ein Unterring, so ist
Ω1 ⊗L →∼ Ω1 .
K/A L/A
Denn: wir wissen bereits die Surjektivit¨at (nach (2a)) und mu¨ssen zeigen, dass fu¨r jeden
L-Modul M die Ableitung
Der (L,M) → Der (K,M)
A A
surjektiv ist. Dies folgt aus dem Diagramm
Der (K[x],M) //D bestimmt durch DX ∈ M (cid:31) //(f 7→ f′(α)·Dx)
K (cid:15)(cid:15) VVVVVVVVVVVVVVVVV**
Der (L,M) //Der (K[x],M) //Hom (< f >,M)
A A K[x]
(cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15)
Der (K,M)
A
mit exakten Zeilen und Spalten.
Corollar 1.11EineK¨orpererweiterungL/K istgenaudannalgebraischundseparabel,wenn
Ω1 = 0.
L/K
Beweis Fu¨r α ∈ L haben wir die 1. fundamentale Sequenz
Ω1 ⊗L → Ω1 → Ω1 → 0.
K(α)/K L/K L/K(α)
Ist nun L endlich erzeugt u¨ber K (als K¨orper) und Ω1 = 0, so folgt induktiv, dass L/K(α)
L/K
endlich separabel ist, und dass die erste Abbildung ein Isomorphismus ist, also Ω1 = 0.
K(α)/K
(Zusatz zu 1.10), also auch K(α)/K separabel. Die Umkehrung folgt noch leichter.
Ist L beliebig erzeugt, so ist L = UL ,L endlich erzeugt, und
i i
Ω1 = limΩ1 ,
L/K → Li/K
i
und die Behauptung folgt fu¨r L aus dem Fall der endlich erzeugten L .
i
Satz 1.12 Sei k ein K¨orper und A eine lokale k-Algebra und der Restklassenk¨orper A/m
isomorph zu k. Dann ist die Abbildung
δ : m/m2 → Ω1 ⊗ k
A/k A
5
aus der 2. fundamentalen Sequenz 1.8 ein Isomorphismus.
Beweis Nach 1.8 ist Coker(δ) = Ω1 = 0, also δ surjektiv. Fu¨r die Injektivit¨at von δ genu¨gt
k/k
es zu zeigen, dass die Abbildung
Hom (Ω1 ⊗ k,k) //Hom (m/m2,k) D/m
k A/k rrArrrrrrrrrrrrrrrrrrrr99k ;{{{{{{{{{{{{{{{{{{==
Der (A,K) D
k
der Dualr¨aume surjektiv ist. Sei f : m/m2 → k gegeben, und π : A → k die Projektion, so
dass a−π(a) ∈ m fu¨r alle a ∈ A. Definiere
D : A → k
a 7→ f(a−πa mod m2).
Dann ist D eine k-Derivation: Die Additivit¨at ist klar, und fu¨r die Leibnizregel haben wir:
aa′ 7→ f(aa′ −π(aa′) mod m2) = f(a′(a−π(a))+a(a′ −π(a′)))
−(a−π(a))(a′ −π(a′)) mod m2) = a′D(a)+aD(a′).
Weiter ist D| = 0 (also D k-linear) und D| = f.
k m
Definition 1.13 Sei L/K eine K¨orpererweiterung.
(a) Eine Transzendenzbasis (x ) von L/K heißt separierend, wenn L/K(x /i ∈ I) separa-
i i∈I i
bel ist.
(b) L/K heißt separabel (erzeugt), wenn es eine separierende Transzendenzbasis gibt.
Bemerkung 1.14 Ist K vollkommen, so ist jede endlich erzeugte K¨orpererweiterung L/K
separabel erzeugt (s. Zariski-Samuel ‘Commutative Algebra, Vol 1, S. 105).
Proposition 1.15 Sei L/K eine endlich erzeugte K¨orpererweiterung. Dann ist L/K genau
dann separabel erzeugt, wenn gilt
dim Ω1 = tr.gr L.
L L/K K
Zusatz: Sind in diesem Fall α ,...,α ∈ L, so dass dα ,...,dα eine Basis von Ω1 bilden,
1 n 1 n L/K
so ist α ,...,α eine separierende Transzendenzbasis von L/K.
1 n
Beweis Ist L separabel algebraische Erweiterung von K(X ,...,X ), so ist tr.deg L = n
1 n K
und nach 1.11 und 1.10 (3) ist
∼ ∼
Ω1 = Ω1 ⊗ L = Ln,
L/K K(X1,...,Xn)/K K(X1,...,Xn)
wobei der letzte Isomorphismus nach 1.3 und 1,6 (b) gilt. Gilt die Gleichheit, so gibt es
α ,...,α ∈ L, so dass dα ,...,dα eine Basis von Ω1 bilden. Sei L = K(α ,...,α ).
1 n 1 n L/K 0 1 n
Wegen der exakten Sequenz
Ω1 ⊗ L → Ω1 → Ω1 → 0
L0/K L0 L/K L/L0
6
ist Ω1 = 0, nach 1.11 also L/L separabel algebraisch. Wegen tr.deg L = n mu¨ssen also
L/L0 0 K
α ,...,α transzendent u¨ber K sein.
1 n
Satz 1.16 Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper, A eine endlich erzeugt k-Algebra
und m ⊆ A ein maximales Ideal. Dann sind ¨aquivalent:
(a) A ist regul¨ar.
m
(b) Ω1 ⊗ A = Ω1 ist frei vom Rang dimA (= dimA, falls A irreduzibel ist).
A/k A m Am/k m
Beweis Gilt (b), so ist nach 1.12 dimm/m2 = dimmA /m2A = dimA , also (a) nach
m m m
Definition der Regularit¨at. Umgekehrt folgt aus (a) mit 1.12 dim (Ω1 ⊗ k) = r :=
k Am/k Am
dimA . Andererseits sei K = Quot(A ). Dann ist nach 1.6 (b)
m m
Ω1 ⊗ K = Ω1
Am/k Am K/k
und dies hat nach 1.14 und 1.15 die Dimension tr.gr K = dimA′ = dimA = r fu¨r die (in-
k m
tegre) irreduzible Komponente Spec(A′) von Spec(A), in der m liegt (Alg. Geo I, Proposition
7.10). Nun folgt die Behauptung aus
Lemma1.17SeiAeinlokalerIntegrit¨atsringmitRestklassenk¨orperk undQuotientenk¨orper
K. Ist M ein endlich erzeugter A-Modul mit
dim M ⊗ k = r = dim M ⊗ K,
k A K A
so ist M frei vom Rang r.
BeweisIstdim M⊗ k = r,sohatM nachdemNakayama-LemmarErzeugendem ,...,m ,
k A 1 r
und wir erhalten eine exakte Sequenz
0 → N → Ar (cid:16) M → 0.
Beim Tensorieren mit K bleibt diese Sequenz exakt; es folgt N ⊗ K = 0, also N = 0, da
A
N torsionsfrei ist.
Definition 1.18 Sei f : X → S ein Morphismus von Schemata, und sei ∆ : X →
X
X × X die Diagonale (definiert durch die beiden Komponentabbildungen (id ,id ) und
S X X
die universelle Eigenschaft des Faserprodukts). Dies ist eine abgeschlossene Immersion in ein
offenes Unterschema W von X × X (siehe Lemma 2.3 unten); sei J ⊆ O die zugeh¨orige
S W
Idealgarbe. Setze dann
Ω1 := ∆∗ (J/J2);
X/S X
dies ist die Garbe der relativen (K¨ahler)-Differentiale von X u¨ber S.
Bemerkungen 1.19 (a) Sind U = SpecA ⊆ S und V = SpecB ⊆ X offen affin mit
g
f(V) ⊆ V, so ist offenbar J/J2 = I/I2 fu¨r I = Ker(B⊗ B → B), betrachtet als B⊗ B/I
A A
∼ ]
Modul bzw. O -Modul; nach 1.5 gilt also Ω1 = Ω1 .
X X/S|V B/A
(b) Die lokalen Differentiale verkleben sich zu einer O -Derivation d : O → Ω1 .
S X X/S
Aus den bisherigen Ergebnissen fu¨r den affinen Fall und Bemerkung 1.19 ergeben sich sofort
die folgenden Resultate.
7
Proposition 1.20 (a) Ist S′ → S ein Morphismus, so ist
Ω1 ∼= p∗Ω1 ,
X×SS′/S′ 1 X/S
wobei p : X × S′ → X die erste Projektion ist.
1 S
(b) Ist U ⊆ X offen, so ist
Ω1 = Ω1 .
U/S X/S|U
Satz 1.21 (1. fundamentale Sequenz) Fu¨r Morphismen X →f Y →g Z von Schemata hat
man eine kanonische exakte Sequenz von O -Modulgarben
X
f∗Ω1 → Ω1 → Ω1 → 0
Y/Z X/Z X/Y
Satz 1.22 (3. fundamentale Sequenz) Ist i : Z ,→ X eine abgeschlossene Immersion, mit
Idealgarbe J ⊆ O , so hat man eine exakte Sequenz
X
J/J2 → i∗Ω1 → Ω1 → 0.
X/S Z/S
Beispiel 1.23Ist X = An, so ist Ω1 freier O -Modul vom Rangn, mit Basis dx ,...,dx .
S X/S X 1 n
Satz 1.24 Sei A ein Ring. Dann gibt es eine exakte Sequenz
0 → Ω1 → O (−1)n+1 → O → 0.
Pn/A Pn Pn
A A A
Beweis Sei R = A[X ,...,X ]. Definiere den Morphismus graduierter R-Moduln
0 n
n
φ : E := ⊕ R(−1)e → R
i
i=0
e 7→ X
i i
und setze M = kerφ. Da φ surjektiv in Graden ≥ 1 ist, erhalten wir eine exakte Sequenz
von O -Moduln, X = Pn
X A
0 → M˜ → ⊕n O (−1)e →φ˜ O → 0.
X i X
i=0
u¨ber D (X ) haben wir eine exakte Sequenz
+ i
0 → M → E → R → 0,
Xi Xi Xi
wobeiM freierR -ModulvomRangnist,mitBasis{e −Xje | j ̸= i},alsoΓ(D (X ),M˜)
Xi Xi j Xi i + i
freier R = Γ(D (X ),O )-Modul mit Basis { 1 e − Xje | j ̸= i}. Definiere
(Xi) + i X Xi j Xi2 i
φ : Ω1 →∼ M˜|
i X/A|D+(Xi) D+(Xi)
dXj 7→ 1 (X e −X e ) (j ̸= i)
Xi Xi2 i j j i
8