Klausurentrainer Technische Mechanik: Aufgaben und ausführliche Lösungen zu Statik, Festigkeitslehre und Dynamik

512 Pages·2017·3.719 MB·German

by  Andreas Jahr, Joachim Berger (auth.)

Andreas Jahr
Joachim Berger
Klausurentrainer
Technische Mechanik
Aufgaben und ausführliche Lösungen
zu Statik, Festigkeitslehre und Dynamik
4. Auflage
Klausurentrainer Technische Mechanik
(cid:2)
Andreas Jahr Joachim Berger
Klausurentrainer Technische
Mechanik
Aufgaben und ausführliche Lösungen zu
Statik, Festigkeitslehre und Dynamik
4., überarbeitete Auflage
AndreasJahr JoachimBerger
FB4Maschinenbau Mettmann,Deutschland
HochschuleDüsseldorf
Düsseldorf,Deutschland
ISBN978-3-658-14782-2 ISBN978-3-658-14783-9(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-14783-9
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Vorwort
AlsichvonmeinemLehrerundFreund,JoachimBerger,unddemVerlaggefragtwurde,
obichInteressehätte,dasBuchKlausurtrainerTechnischeMechanikindernächstenAuf-
lageweiterzuführen,empfandichdiesalsEhre,derichgernnachkommenwollte.Joachim
Berger fühlte sich, gezeichnet durch Krankheit, nicht mehr in der Lage, sein Lieblings-
werkweiterzuführen.EinigeDiskussionen undAbstimmungenkonnteich nochmitihm
vornehmen,bevorerimJuni2012verstarb.IchbleibeihminDankbarkeitundZuneigung
fürimmerverbunden.
HinweiseundTipps
Wie in den vorherigen Auflagen werden insbesondere in der Statik zeichnerische Lö-
sungenderKlausuraufgabenangegeben,aberdierechnerischenWegevorgezogen.Auch
wenndieZeichnerischenLösungenfürdasVerständnisunddieSchnelligkeithäufigVor-
teile aufweisen, so ist ihre Allgemeingültigkeit eingeschränkt. Heutige leistungsfähige
Computer-ProgrammehelfenrichtigaufgestellteGleichungensicherzulösen.
DaswesentlicheAugenmerkistdaheraufdierichtigenGleichungenundGleichungs-
systemezurichten.HierzuistinderRegeleineSkizzenotwendig,inderallebekannten
undunbekanntenGrößen,wieKräfte,Momente,GeschwindigkeitenundBeschleunigun-
geneingetragenwerdensollen.IhreRichtungenwerdenambestendurcheinevektorielle
Darstellungfestgelegt.
DieSkizzensindzurbesserenÜbersichtundPlatzeinteilungmeistnichtmaßstäblich,
sondern nur qualitativ und teilweise auch plakativ dargestellt, damit die wesentlichen
Merkmale möglichst deutlich erkennbar sind. Braucht man konkrete zeichnerische Er-
gebnisse,somusseineeigenemaßstäblicheZeichnungangefertigtwerden.
OhneSkizzeunddiedarinfestgelegtenRichtungenundVorzeichenisteineRechnung
wertlos, da die mechanischen Größen im Wesentlichen vorzeichen- sowie richtungsbe-
haftet oder wirkungsliniengebunden (Kräfte) sind. Besonders wichtig sind die Skizzen
der von der UmgebungfreigemachtenSysteme (Freikörperbild),diezum Aufstellen der
Gleichgewichtsbedingungen oder der Bewegungsgleichungenmit Hilfe von d’Alembert
notwendigsind.
V
VI Vorwort
EinezeichnerischeLösungkannauchzurKontrolleundzurVerbesserungderVorstel-
lungdienen.
DierechnerischeLösunghatweiterhindenwesentlichenVorteil,dasssiekoordinaten-
behafteteWerteliefert,diewiederumanweitereProgramme,wiez.B.FEM-Programme
übergebenwerdenkönnen.
In den Klausuren werden teilweise noch Aufgaben gestellt, deren rechnerische Auf-
lösung relativ aufwendig ist. Meist wird dann in einer Klausur nur die Aufstellung der
notwendigen Ansätze und Gleichungen für die Unbekannten ohne deren Ausrechnung
verlangt.
Aufschlussreichundanschaulichistes,amEndeeinerRechnungnochmalsalleEinzel-
teileeinesSystemsinFormeiner„Explosionsskizze“mitsämtlichenwirksamenKräften
undMomentenvonHandherauszuzeichnen.DannkannmandieFunktionderKonstrukti-
onbessererkennen,dieBeanspruchungderBauteileleichtererfassenunddieAnschauung
kannzurPlausibilitätsprüfung herangezogenwerden.DabeimussjedeseinzelneBauteil
fürsichimGleichgewichtsein.DurchdasnochmaligeÜberdenkenderProblematikmög-
lichstinBegleitungmitHandskizzenunddurchdenVergleichmitähnlichentechnischen
Erfahrungenwird dasingenieurmäßigeDenkengeschultundauchdasso wichtigeSkiz-
zierengeübt.
Wenn man mit vektoriellen Größen arbeitet, achte man darauf, strikt zu trennen zwi-
schendersymbolischenRechnung,beiderz.B.dieSummeallerVektorenmitpositiven
Vorzeichnen gleich Null ist (Kräfte und Momentein der Statik) oder gleich der Summe
derTrägheitsgrößen(MassemalBeschleunigung,MassenträgheitsmomentmalWinkelbe-
schleunigunginderDynamik).SobaldmandiekoordinatenbehaftetenWerte(Komponen-
ten) einsetzt, müssen diese mit den Vorzeichen versehen werden, die die Vektorkompo-
nenten im gewählten Koordinatensystem besitzen. Die vorzeichenbehafteten Ergebnisse
zeigendann,obdieunbekanntenVektorenindieskizzierteRichtungzeigenoderentge-
gengesetzt.Wennnichtandersangegeben,sollbeiebenenProblemeneinrechtshändiges,
kartesischesKoordinatensystemangenommenwerden,beidemdiepositivey-Achseho-
rizontalnachrechts,diepositivey-Achsevertikalnachobenundfolgerichtigdiez-Achse
nachvornezeigt,ausderPapierebenehinaus.
Die Zahlenrechnungen werden zur Vereinfachung meist (wenn keine Zweifel beste-
hen)ohneEinheitendurchgeführtundauf2StellennachdemKommabeschränkt.Sollen
Vergleichsrechnungen weitestgehend übereinstimmen, sind manchmal mehr Stellen zur
Vermeidungbzw. Reduzierungvon Rundungsfehlernnötig. Erst beim Endergebniswird
dieEinheitmitdemZahlenwertangegeben.Um denEinflussdereinzelnenGrößenbes-
ser zu erkennen und um aus den Endformeln Schlussfolgerungen für die Praxis ziehen
zu können,solldieRechnungmöglichstmitallgemeinen Zahlensymbolen(Buchstaben)
durchgeführtwerdenundkonkreteZahlenerstamSchlusseingesetztwerden.
GewichtskräftesindnurbeidenKörpernzuberücksichtigen,beideneneigenseinGe-
wicht angegeben ist. Alle anderen Körper sind als gewichtslos bzw. als vergleichsweise
vonvernachlässigbaremGewichtanzusehen.MitReibungs-bzw.Haftungskräfteninden
BerührungsflächenvonKörpernsollnurdanngerechnetwerden,wenndieentsprechenden
Vorwort VII
Koeffizienten angegeben sind. Andernfalls sollen die Flächen als glatt, d.h. reibungslos
angenommenwerden.
ZurVorbereitungaufeineKlausurrateich,früheinenZeitplanzuerstellen,nachdem
maningemischterReihenfolgeeigeneÜbungs-undKlausuraufgabensowiedieausdie-
semBuch,zunächstalleine,dannmitKommilitonenunddannwiederalleine,zuletztauf
Schnelligkeit,durcharbeitet.NutzenSieihreSprechstundenzuRückfragen,dannwerden
SieErfolghaben.
Die 4. Auflage wurde wieder um dreineue Aufgabenergänzt,zwei aus dem Bereich
FestigkeitslehreundeineausderDynamik.IchbedankemichfürdieAnregungenunddie
BetreuungdurchHerrnDipl.-Ing.ThomasZipsnerunddenVerlagSpringerVieweg.
Neuss,imSommer2016 AndreasJahr
Inhaltsverzeichnis
1 Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Freimachen,Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Dreigelenkbogen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Fachwerke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.4 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.5 HaftungundReibunganebenenFlächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.6 HaftungundReibungangekrümmtenFlächen(Seilreibung) . . . . . . . . 100
1.7 Schnittgrößen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.8 RäumlicheSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
1.9 VirtuelleArbeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
1.10 StabilitätvonGleichgewichtslagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
1.11 AufgabenzurSelbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2 Festigkeitslehre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.1 SpannungundVerformungbeiLängsbeanspruchung,HookeschesGesetz 181
2.2 MohrscherSpannungskreis,SpannungeninfolgeInnendrucks . . . . . . . 195
2.3 SpannungundVerformungbeiBiegungundTorsion. . . . . . . . . . . . . 209
2.4 EinfachstatischunbestimmteBalkensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2.5 Flächenträgheitsmomente,SteinerscherSatz,schiefeBiegung . . . . . . . 291
2.6 SchubspannungendurchQuerkräftebeiderBiegung. . . . . . . . . . . . . 312
2.7 TorsiondünnwandigerProfile,BredtscheFormeln . . . . . . . . . . . . . . 320
2.8 KnickenvonStäben,Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
2.9 AufgabenzurSelbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
3.1 Kinematik,geradlinigeBewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
3.2 KrummlinigeBewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
3.3 EulerscherGeschwindigkeits-undBeschleunigungssatz . . . . . . . . . . 361
3.4 DynamischesGrundgesetz,Prinzipvond’Alembert . . . . . . . . . . . . . 369
3.5 PrinzipdervirtuellenArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
3.6 Arbeitssatz,Impuls-undDrallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
IX
X Inhaltsverzeichnis
3.7 Stoßvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
3.8 Relativbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
3.9 Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
3.10 AufgabenzurSelbstkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
Statik 1
1.1 Freimachen,Gleichgewichtsbedingungen
S1 Motorplatte
Ein elektrischer Getriebemotor 2 mit Hohlwelle wird auf eine Welle gesteckt, welche
in einer Platte 1 gelagert ist (Bild S 1). Auf die Welle und damit auf den Motor wirkt
das Reaktionsmoment M. Der Motor ist auf der Platte 1 mit der Wellenachse im Punkt
A drehbar gelagert und über die Momentenstütze im Lager B. Aufgrund des vertikalen
LanglochesinderMomentenstützekönneninBnurhorizontaleKräfteübertragenwerden.
Momentenstütze
B Motor 2 B
G G
A
r A
M
M
h Platte 1
a
y C c d D Welle y
(cid:2)
+
x z
Bild S 1
Gegeben
G D 150N; M D 80Nm; r D 80mm; h D 150mm; a D 70mm; c D 75mm;
d D175mm
©SpringerFachmedienWiesbadenGmbH2017 1
A.Jahr,J.Berger,KlausurentrainerTechnischeMechanik,DOI10.1007/978-3-658-14783-9_1