Klassische elementare Analysis

208 Pages·1987·4.474 MB·German

by  Prof. Dr. Max Koecher (auth.)

Max Koecher
Klassische
elementare Analysis
1987 Springer Basel AG
Prof. Dr. Max Koecher
Westfalische Wilhelms-U niversitiit
Mathematisches Institut
Universitiit Munster
EinsteinstraBe 62
D-4400 Munster
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Koecher, Max:
Klassische elementare Analysis / Max Koecher. -
Basel; Boston: Birkhiiuser, 1987.
NE: GT
Die vorliegende Publikation ist urheberrechtlich geschutzt. Aile
Rechte vorbehaIten. Kein Teil dieses Buches darf ohne schriftliche
Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form durch Fotokopie,
Mikrofilm oder andere Verfahren reproduziert oder in eine fUr
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Vortrag, Funk und Fernsehen sind vorbehalten.
© 1987 Springer Basel AG
Urspriing1ich erschienen bei Birkhauser Verlag Basel 1987.
Umschlaggestaltung und Typografie: Albert Gomm
ISBN 978-3-0348-5168-8 ISBN 978-3-0348-5167-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5167-1
Vorwort
Fur Hansi
Dieses Buch will die vielfiiltigen Anwendungsmoglichkeiten der zentralen Satze
der Infinitesimalrechnung einer Variablen exemplarisch aufzeigen: Der Leser
solI dadurch zu einer Beschaftigung mit Mathematik stimuliert werden, gleich
zeitig werden damit aber die Begriffsbildungen der reellen Analysis auf beson
dere Weise motiviert.
Das vorliegende Buch wendet sich an Studenten in mittleren und hohe
ren Semestern, an Mathematiklehrer und an interessierte Laien. Es eignet sich
als Erganzung und als Begleitliteratur zu einfUhrenden Vorlesungen uber reelle
Analysis und als Vorlage fUr Proseminare. Daruber hinaus kann der vorliegende
Stoff ganz oder teilweise zu mathematikdidaktischen Vorlesungen verarbeitet
werden. Aber auch der Kenner wird neue Varianten finden (z. B. 111.4.5 (5) oder
V.5.5).
Ein Zit at 111.5.2 bedeutet Abschnitt 2 im Paragraphen 5 des Kapitels III.
Innerhalb eines Kapitels wird die (romische) Kapitelnummer, innerhalb eines
Paragraphen die Paragraphennummer weggelassen, entsprechend wird inner
halb eines Abschnitts vorgegangen. Eine in Klammern angefUgte Zahl bezeich
net die Nummer einer Gleichung. Abschnitte und Paragraphen, die mit einem
Stern * gekennzeichnet sind, konnen (und soIlen) bei der ersten Lekture fort
gelassen werden.
Dieser Text ist aus einer Vorlesung zur Fachdidaktik, die ich mehrfach
an der Universitat Munster gehalten habe, entstanden. Dabei wurde ich bei
der Durchsicht der Manuskripte von meinen Mitarbeitern Dr. E. NEHER, Dr.
J. HEINZE, Dr. A. KRIEG und N. KOTISSEK tatkraftig unterstutzt, ihnen allen gilt
mein Dank. Das endgiiItige Manuskript war im Fruhjahr 1985 fertiggestellt.
Ich danke den Kollegen D. PUMPLUN und R. BRAUN fUr eine erne ute kritische
Durchsicht des Manuskriptes bzw. von Teilen des Manuskriptes. Das inzwi
schen erschienene schone Buch Geometrische und analytische Zahlentheorie
(Manz-Verlag Wien 1986) von E. HLAWKA, J. SCHOISSENGEIER, R. TASCHNER ent
halt u. a. Erganzungen zum Kap. IV.
Der Birkhauser Verlag hat die Drucklegung des Textes mit bewahrter
Sorgfalt betreut.
Tecklenburg, den 2. April 1986 M. KOECHER
Inhal tsverzeichnis
Kapitel I
Der goldene Schnitt
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
§ 1 Elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Definition - 2. Konstruktion mit Zirkel und Lineal - 3. Konstruktion
eines reguHiren Fiinfecks - 4. PENROsE-Mosaike - 5. Zur Mystik des
goldenen Schnittes
§2 Das Pentagondodekaeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1. Die platonischen Karper - 2. Die EULERsche Polyeder-Formel -
3. Reguliire Karper - 4. Dodekaeder und Ikosaeder - 5. * Die Ikosaeder
Gruppe
§ 3 Grenzprozesse fur den goldenen Schnitt . . . . . . . . . . . . . 21
1. Numerische Berechnung - 2. Konvergenz - 3. Ein Kettenbruch-
4. Zur Approximation von Irrationalzahlen - 5. Ein Zusammenhang
mit dem Dilogarithmus
§4 FIBONAccI-Zahlen...................... 24
1. Historische Bemerkungen - 2. Cber die Lasung einer Rekursions-
formel - 3. Anwendungen - 4. Einige Aufgaben - 5. Nicht-triviale
Resultate - 6. Eine Tabelle - 7. Die Phyllotaxis (Blattstellungslehre)
§5 Algebraische Aspekte des goldenen Schnitts. . . . . . . . . . . 30
1. Der Ring Z[g] - 2. Die Einheiten von Z[g] - 3. Z[g] als euklidischer
Ring
§6 N eueste wissenschaftliche Entdeckungen . . . . 33
1. Der Kohlenstoff-FuBball - 2. Das Polio-Virus
Kapitel II
Foigen ond Reihen reeller Zahlen
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
§ 1 Das LANDAusche O-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36
1. Cber den Nutzen einer abkiirzenden Symbolik - 2. Eine Aquivalenz
relation - 3. Das LANDAu-Symbol - 4. Die Beispiele M c lR und
MeN - 5. Cber den Nutzen des O-Symbols - 6. Asymptotische
Gleichheit - 7. Der mittlere Binomialkoeffizient - 8. Weitere
Anwendungen
§2 Erste Versuche zur Konvergenzverbesserung . . . . . . . . . . . . 45
1. Die Folgen (n(s) - 2. Die Konvergenz von ((s) - 3. Zur numerischen
Berechnung von ((2) - 4. Eine weitere Verbesserung - 5.* Noch ein
Trick - 6. Zur numerischen Berechnung von ((3) - 7. Funktionswerte
der (-Funktion
8 Inhaltsverzeichnis
§3 Reihen mit positiven Gliedern ................ . 53
1. Problemstellung - 2. Differenzreihen - 3.* Die Standard-Beispiele
4. * Anwendungen auf ((s) - 5. Historische Bemerkungen
§4* Fur Fortgeschrittene: Uber die Werte von ((s) fUr ungerades s .... 58
1. Problemstellung - 2. Die Reihen YJ (s) - 3. Darstellung von ((3) und
( (5)
§5 Alternierende Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1. Bildung von Differenzreihen - 2. Anwendung auf die LEIBNIz-Reihe -
3. Historische Bemerkungen - 4. Eine Kettenbruchentwicklung
Kapitel III
Das RIEMANNSche Integral und der Logarithmus
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
§ 1 Das RIEMANNSche Integral. . . . . . . . . . . . . . . . 67
1. Das Ober- und Unterintegral - 2. Der Hauptsatz tiber das
RIEMANNSche Integral - 3. Der Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung - 4. Stammfunktionen - 5. Eine Liste von
Stammfunktionen - 6. Der Vektorraum der auf einem Intervall stetigen
Funktionen - 7. Die Integration als Umkehrung der Differentiation
§ 2 Integrationsmethoden...................... 74
1. Ober effektive Integration - 2. Partielle Integration - 3. Substitution
4. Partialbruch-Zerlegung: Problemstellung - 5. Partialbruch-Zerlegung:
Reduktionsschritt - 6. Integration der Grundtypen
§ 3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1. Vorbemerkung - 2. Die RIEMANNSchen Summen als Approximation
des Integrals - 3. Uneigentliche Integrale und das Integralkriterium -
4. Die erste Quadraturformel - 5. Die Trapezregel
§ 4 Der Logarithmus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1. Vorbemerkung - 2. Der Logarithmus und seine Eigenschaften -
3. Beweis des Satzes - 4. Eine Methode - 5. Die harmonische Reihe -
6. Die STIRLINGSche Formel- 7.* Weitere logarithmische Reihen
§ 5 Die Exponentialfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1. Vorbemerkung - 2. Die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften -
3. Die allgemeine Potenz - 4. Die Limes-Darstellung der
Exponentialfunktion - 5. Zinseszinz-Rechnung - 6. Die STIRLINGSche
Formel
Kapitel IV
Aigebraische und zahlentheoretische Anwendungen
§ 1 Algebraische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1. Die reellen Zahlen als Vektorraum tiber <Q - 2. Einige Gruppen
isomorphismen - 3. Die Automorphismen von 1R - 4. Approximation
algebraischer Zahlen - 5. LIOUVILLEsche Transzendente
Inhaltsverzeichnis 9
§2 Einige Anwendungen aus der Zahlentheorie. . . . . . . . . . . . . 109
1. Vorbemerkung - 2. Das Teilerproblem - 3. Anzahl der Gitterpunkte
in einem Kreis - 4. Die Primzahlzerlegung von n! - 5. tiber die
Verteilung der Primzahlen - 6. Eine Primzahlreihe
§ 3 Eine Summationsformel mit Anwendungen . . . . . . . . . . 115
1. Die GAuss-Klammer - 2. Die EULERsche Summationsformel-
3. Potenzsummen - 4. Die ,-Funktion - 5. Die STiRLINGSche Formel
6. Restabschatzungen - 7. * Eine allgemeine Asymptotik
§ 4 Rationalitiitsfragen for Logarithmus und Exponentialfunktion . . . . . . 125
1. Die Ergebnisse - 2. Hilfsmittel - 3. Beweis von Satz 1 A
Kapitel V
Erzeugung von Funktionen durch unendliche Reihen
Einletiung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 1 Vertauschung von Grenzprozessen bei Reihen von Funktionen 130
1. Bezeichnungen und Definitionen - 2. Kriterien fUr gleichmaBige
Konvergenz - 3. GleichmaBig konvergente Reihen stetiger Funktionen
4. GleichmaBige Konvergenz und Differenzierbarkeit
§ 2 Potenzreihen.......................... 133
1. Festlegung einer Redeweise - 2. Konvergenzbereich einer Potenzreihe
3. Durch Potenzreihen dargestellte Funktionen - 4. Der ABELsche
Grenzwertsatz - 5. O-Abschatzungen
§ 3 Exponentialfunktion und Logarithmus . . . . . . . . . . . .. . 137
1. Die Exponentialfunktion - 2. Der Logarithmus - 3. Berechnung von
Logarithmen - 4. Anwendungen
§4 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
1. Definition durch Reihen - 2. Ein ausgezeichneter Vektorraum -
3. Ungleichungen - 4. tiber die Perioden einer durch Potenzreihen
dargestellten Funktion - 5. Sinus und Cosinus als periodische
Funktionen - 6. Die Standard-Parametrisierung des Einheitskreises -
7. Polarkoordinaten - 8. Flache und Umfang des Einheitskreises -
9. Historische Bemerkungen
§ 5 Die Partialbruchentwicklung des Cotangens. . . . . . . . . . . . . . 153
1. Die Cotangens-Verdopplung - 2. Eine Partialbruchreihe -
3. Eindeutigkeitssatz - 4. Die Potenzreihe von nx . cot nx - 5. Zur
Berechnung von ,(2n) - 6. Das Sinus-Produkt - 7. Berechnung von
Partialsummen
§ 6 Der Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
1. Vorbemerkung - 2. Die Integraldarstellung - 3. Reihen fur n - 4. Ein
schneller Algorithmus fur n
Kapitel VI
Perlen der elementaren Analysis
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 1 Die BERNOuLLIschen Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1. Definition - 2. Eine Funktionalgleichung - 3. Potenzsummen -
4. tiber die Nenner der BERNOuLLIschen Zahlen
10 Inhaltsverzeichnis
§ 2 Eine EULERsche Reihe .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
1. Vorbemerkung - 2. Eine trigonometrische Identitat - 3. Die Reihen
Pm{x) - 4. Die Potenzreihe des Tangens - 5. Die erzeugende Funktion
§ 3 Summationsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
1. Die EULERsche Summationsformel - 2. Die erste POISsoNsche
Summationsformel - 3. Die zweite POISsoNsche Summationsformel -
4. Die dritte POISsoNsche Summationsformel
§ 4 Anwendungen der EULERschen Summationsformel . . . . . . . . . . . 181
1. Restabschatzungen - 2. Eine verallgemeinerte (-Reihe - 3. Die
harmonische Reihe
§ 5 Anwendungen der POISsoNschen Summationsformeln . . . . . . 184
1. Die geometrische Reihe - 2. Die Theta-Reihe - 3.* Summation einiger
spezieller Partialbruch-Reihen
§ 6 EULERsche Reihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189·
1. Vorbemerkung - 2. Der Konvergenzsatz - 3. Die Reihen vm{r) -
4. Summation der EULERschen Reihen
§7 Die Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 193
1. Historische Bemerkung - 2. Konvexe Funktionen - 3. Logarithmisch
konvexe Funktionen - 4. Die Hauptsatze tiber die Gamma-Funktion
5. Beweise - 6.* Die STiRLINGSche Formel - 7.* Die LEGENDRESche
Relation - 8. Die Funktionalgleichung der RIEMANNSchen Zeta-
Funktion
Literatur ........ . 206
Namen- und Sachverzeichnis 207
11
Kapitel I
Der goldene Schnitt
Einleitung. Am Beispiel der "stetigen Teilung" oder, wie man heute meist sagt,
des "goldenen Schnittes" (sectio aurea) solI zunachst gezeigt werden, wie bei
einfachen Fragestellungen sehr verschiedene mathematische Gesichtspunkte
auftreten konnen. Seit der Antike versteht man unter der "stetigen Teilung" die
Unterteilung einer gegebenen Strecke auf eine wohldefinierte und gleichzeitig
iisthetische Weise. Eine solche asthetische Frage taucht z. B. bei der Wahl des
Formats eines Buches, einer Zeitschrift oder eines Bildes von selbst auf. Bei
Zeitungen und Zeitschriften richtet man sich heute meist nach der DIN-Richt
J2
linie, wonach sich Breite und Rohe wie 1 : verhalten. In der darstelIenden
Kunst werden die Proportionen aber oft nach der Regel vom goldenen Schnitt
konstruiert.
Der Satz 11 des II. Buches von EUKLID fordert, "eine gegebene Strecke so zu
teilen, daB das unter der Ganzen und einem der beiden Abschnitte enthaltenen
Rechteck dem Quadrat des anderen Abschnittes gleich sei". In freier Uberset
zung des griechischen Fachausdrucks nennt man dies seit dem 18. Jahrhundert
die Teilung im "mittleren und auBeren Verhaltnis" oder auch stetige Teilung.
Dieses "stetig" hat mit "stetigen Funktionen" nichts gemein.
§ 1 Elementare Eigenschaften
1. Definition. Unter dem goldenen Schnitt versteht man die Unterteilung
einer Strecke AB durch den Punkt P, so daB die Verhaltnisse
Gesamtstrecke AB GroBer Abschnitt AP
--------------=--- und
GroBer Abschnitt AP Kleiner Abschnitt PB
gleich sind. Bezeichnet man die Lange der Strecke AB mit a und von AP mit x,
so folgt fUr den goldenen Schnitt, also fUr den gemeinsamen Wert g dieser beiden
Ver haltnisse
a x
(1 )
g:=x~ =a---x.
Schreibt man dies als a(a - x) = x2, so hat man die erwiihnte Forderung von
EUKLID erfUlIt. Mit (1) folgt
_1+J5_ *
(2) g2 = g + 1, also g - 2 - 1,618.033.988 .
* Wenn Zahlen als Dezimalbriiche angegeben werden, dann sind aile angegebenen
Stellen korrekt, die letzte Stelle ist also nicht gerundet. Rationale Zahlen werden (von
Tabellen abgesehen) meist als gewohnliche Briiche geschrieben.