Klassenkörpertheorie: Neu herausgegeben von Alexander Schmidt

219 Pages·2011·1.94 MB·German

by  Jürgen Neukirch (auth.)

Springer-Lehrbuch

Ju¨rgen Neukirch
Klassenko¨rpertheorie
Neu herausgegeben von Alexander Schmidt
123
Ju¨rgenNeukirch†
Editor
Prof.Dr.AlexanderSchmidt
Universita¨tHeidelberg
MathematischesInstitut
ImNeuenheimerFeld288
69120Heidelberg
Deutschland
[email protected]
DievorliegendeAusgabe beruht auf der 1969imBibliographischen InstitutMannheim als
NeuauflagevonBand26derBonnerMathematischenSchriftenerschienenenAuflage
ISSN0937-7433
ISBN978-3-642-17324-0 e-ISBN978-3-642-17325-7
DOI10.1007/978-3-642-17325-7
SpringerHeidelbergDordrechtLondonNewYork
DieDeutscheNationalbibliothek verzeichnet diesePublikation inderDeutschenNationalbibliografie;
detailliertebibliografischeDatensindimInternetu¨berhttp://dnb.d-nb.deabrufbar.
MathematicsSubjectClassification(2010):11R37,11S31
(cid:13)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2011
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Geleitwort
Im Jahr 1969 erschien Jürgen Neukirchs Buch Klassenkörpertheorie im da-
maligen Bibliographischen Institut Mannheim. Ziel des Buches war es, einem
Leser, der sich mit den Grundlagen der algebraischen Zahlentheorie vertraut
gemachthat,einenraschenundmöglichstunmittelbarenZugangzurKlassen-
körpertheorie zu verschaffen. Sein Buch ist bis heute die beliebteste deutsch-
sprachige Einführung in das Gebiet geblieben. Und das, obwohl es seit vielen
Jahren vergriffen war; schon ich habe in den 1980er Jahren als Student mit
einer Kopie eines schon gut zerlesenen Bibliotheksexemplars gelernt.
So entstand die Idee, den Text wieder verfügbar zu machen: einerseits als ge-
drucktes Buch zum Arbeiten, und andererseits als frei herunterladbare Datei.
Der Text dieser Ausgabe ist im wesentlichen identisch mit dem des Neukirch-
schen Originals; es wurden lediglich einige wenige Fehler korrigiert und die
Schreibweise behutsam an die heutigen Üblichkeiten angepasst.
Ganz herzlich gedankt sei Frau Rita Neukirch, die die Neuausgabe dieses
Werkes ihres verstorbenen Ehemannes so aufgeschlossen und konstruktiv un-
terstützt hat. Gedankt sei auch Frau Rosina Bonn, die den Originaltext in
exzellenter Qualität ins LATEX-Format brachte.
Heidelberg, im Januar 2011 Alexander Schmidt

Meinem Lehrer
WOLFGANG KRULL
gewidmet

Vorwort
DievorliegendeSchriftisteineverbesserteNeuauflagederindenBonnerMa-
thematischenSchriften,Nr.26,zuersterschienenenArbeitgleichenTitels.Sie
hat ihren Ursprung in einer Vortragsreihe, die der Verfasser in den Jahren
1965/66 im Oberseminar von W. Krull in Bonn gehalten hat. Da es in der
Literatur an einer einheitlichen, auf den modernen kohomologischen Metho-
den beruhenden Abhandlung der Klassenkörpertheorie mangelte, schien eine
zusammenfassende Ausarbeitung der Vorträge nützlich zu sein. Dabei kam
es vor allem darauf an, dem Leser, der sich mit den Grundlagen der alge-
braischen Zahlentheorie vertraut gemacht hat, einen raschen und möglichst
unmittelbaren Zugang zur Klassenkörpertheorie zu verschaffen.
Die Schrift besteht aus drei Teilen, deren erster die Kohomologie der endli-
chen Gruppen behandelt. Die Kohomologie hat sich heute weite Bereiche der
algebraischenZahlentheorieerobert.DennochwirdimmerwiederdieFragege-
äußert,obnichtdieKlassenkörpertheorievonihrwiederbefreitwerdenkönne.
Abgesehen von den mit der Kohomologie eng verknüpften algebrentheoreti-
schenFormulierungsmöglichkeitenstehteinesolcheTheoriebisheutenichtzur
Verfügung,wennauchErwägungendieserArtdurchdieErgebnissevonJ.Lu-
binundJ. TateüberdieexpliziteBestimmungdeslokalenNormrestsymbols
neueNahrunggefundenhaben.Beiallemdarfjedochnichtübersehenwerden,
dass die Kohomologie – insbesondere für den Lernenden – eine Fülle weitrei-
chender Vorteile bietet. Sie spielt in der Klassenkörpertheorie die Rolle eines
Kalküls, der einen klaren, logischen und nach einheitlichen Gesichtspunkten
geordneten Aufbau der Theorie ermöglicht. Ihre Bedeutung liegt aber keines-
wegs allein im Formalen. Vielmehr erlebte die lokale Klassenkörpertheorie,
die zunächst über das durch den Frobeniusautomorphismus gegebene Norm-
restsymbol nur für die unverzweigten Körpererweiterungen entwickelt werden
konnte, einen entscheidenden Fortschritt gerade durch die Kohomologie, die
auch die verzweigten Erweiterungen der klassenkörpertheoretischen Behand-
lung zugänglich machte. Diese durch H. Hasse entdeckte Gesetzmäßigkeit,
die eine unmittelbare Auswirkung auch auf die globale Theorie hatte, wur-