(K,K) d'une algèbre monômiale Enzo Sérandon

48 Pages·2016·0.46 MB·French

A -structure sur la cogèbre TorA(K,K) d’une
∞ •
algèbre monômiale
Enzo Sérandon
Mémoire de M2 réalisé sous la direction de M. Estanislao Herscovich
1
Contents
1 Algèbres et cogèbres différentielles graduées 5
1.1 Modules gradués sur un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Produit tensoriel et Hom interne de modules gradués. . . . . . . 6
1.3 Differentielles et augmentations sur les modules gradués . . . . . 7
1.4 Homologie d’un module différentiel gradué . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Algèbres et cogèbres différentielles graduées . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Algèbre tensorielle d’un module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Produit tensoriel tordu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Constructions Bar et Cobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Algèbre homologique sur les modules gradués 18
2.1 Foncteurs Tor et Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Résolutions Bar et Cobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Résolutions projectives minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Les articles de Bardzell et Sköldberg . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Quelques calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 A -structures 31
∞
3.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 A -structures et algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . 39
∞
4 Quelques exemples de calculs 43
2
Introduction
La théorie des A -algèbres, développée initialement par J. Stasheff dans son
∞
article Homotopy associativity of H-spaces au début des années 60, trouve ses
origines dans la topologie algébrique, domaine auquel elle sera plus ou moins
cantonnée jusque dans les années 90. Un exemple particulièrement simple où
cette notion s’est révélée pertinente est l’étude homotopique des espaces de
lacets. Néanmoins, certains travaux de Stasheff et de ses successeurs laissent
déjàentrevoiruneouvertureversd’autresdomainesdesmathématiques,c’estle
cas par exemple de la thèse d’A. Prouté, [P], qui met en évidence une relation
étroite entre A -(co)algèbres et les constructions Bar et Cobar, constructions
∞
d’inspiration topologiques mais centrales en algèbre homologique. Le tournant
pour cette notion se situe au début des années 90, quand la pertinence de cette
notion se fait de plus en plus manifeste dans diverses branches de l’algèbre, de
la géométrie ou encore de la physique mathématique. Parmis ses avocats les
plus notoires citons M. Kontsevich dont la conjecture de la symétrie miroir ho-
mologique fait intervenir en bonne place les A -structures. Depuis lors, cette
∞
notion à connu divers développements, notamment, et c’est ceux-ci qui nous
intéressent dans ce mémoire, en algèbre homologique, sous l’impulsion, en par-
ticulier, de B. Keller.
Pour résumer brièvement le contenu de ce mémoire, présentons rapidement de
quoi il s’agit : une A -algèbre est un objet un peu plus général qu’une algèbre
∞
différentielle graduée en cela qu’on affaiblit l’axiome d’associativité du produit
en ne demandant, non plus qu’on ait µ ◦(µ ⊗1 ) = µ ◦(1 ⊗µ ), mais
A A A A A A
seulement que ces deux termes soient homotopes en un sens fort décrit dans
la partie 3. On trouve d’ailleurs quelques fois dans la littérature la terminolo-
gie sha-algèbres pour désigner les A -algèbres (pour strongly homotopically
∞
associative, fortement homotopiquement associative). Pour se faire une idée
intuitive et illustrée de la notion d’A -algèbre, je conseille la lecture des pre-
∞
mières pages de l’introduction de [P]. Un théorème de Kadeishvili (théorème
3.5) nous assure qu’on peut munir l’homologie H(A) d’une K-algèbre différen-
tielle graduée A d’une structure d’A -algèbre. Parallèlement, on peut naïve-
∞
ment mais légitimement se demander si, étant donné l’homologie d’un certain
complexe M de modules sur une K-algèbre graduée, on peut reconstruire M à
quasi-isomorphisme près. Comme dans le cas général la réponse à cette ques-
tion est négative, on se demande alors quelle structure mettre sur H(M) pour
y répondre. Une réponse nous est donnée par un théorème annoncé par Keller
(théorème 3.6), et c’est précisément une structure d’A -algèbre particulière,
∞
unique à A -isomorphisme près.
∞
3
L’objectif de ce mémoire est de calculer pour quelques exemples A ,A ,... pris
1 2
dans une classe de K-algèbres différentielles graduées particulières
(les K-algèbres monômiales), les A -structures dont on doit munir leurs al-
∞
gèbres de Yoneda (ou plus précisément leurs duals) pour reconstituer, à quasi-
isomorphismesprès,unerésolutionprojectiveminimaledeKcommeA -module.
i
Ces structures sont précisément celles données par le théorème 3.6 mais cette
condition est en revanche plus aisée à vérifier. Les résultats de ces calculs sont
exposés dans la partie 4. La première partie est consacrée à la présentation
des(co)algèbresdifférentiellesgraduéesetauxconstructionsclassiquesquileurs
sont associées, tandis que la partie 3 est consacrée à leurs généralisations, les
A -(co)algèbres, et aux résultats principaux les concernant. La seconde par-
∞
tie quant à elle a pour objectif la mise en place d’une méthode pour calculer
explicitement l’algèbre de Yoneda d’une algèbre monômiale. Cette entreprise
culmine avec un théorème de Bardzell (théorème 2.2).
Enfin, je tiens à remercier mon directeur de stage, E. Herscovich, avec qui j’ai
eu plaisir à travailler sur ce sujet.
4
1 Algèbres et cogèbres différentielles graduées
Cette première partie présente les objets de base de ce mémoire. On s’appuiera
essentiellement sur les deux premiers chapitres de [P], dans lesquels pour-
ront être trouvées toutes les démonstrations des résultats donnés ici sans leurs
preuves. Néanmoins nous n’adoptons pas les mêmes conventions de signes pour
être cohérent avec les articles étudiés les plus récents.
1.1 Modules gradués sur un anneau
Soit Λ un anneau commutatif unitaire.
Définition1.1. OnappelleΛ-moduleZ-gradué(ousimplementΛ-modulegradué)
un Λ-module M• muni d’une famille de sous-modules (Mn)n∈Z de M•, tels que:
(cid:77)
M =M
n •
n∈Z
Un élément x∈M est dit homogène de degré n, ce qu’on note |x|=n.
n
On confondra dans la suite M et M, son A-module sous-jacent.
•
Définition 1.2. Un Λ-module gradué est dit gradué positivement (respective-
ment négativement) si M = 0 pour tout p < 0 (respectivement p > 0). Il est
p
dit borné si la famille des p tels que M (cid:54)=0 est bornée.
p
Définition 1.3. Soient M et N deux Λ-modules gradués. Un morphisme ho-
mogène de degré p est une application Λ-linéaire :
f :M −→N telle que f(M )⊂N , pour tout n∈Z
n n+p
On écrira alors |f|=p.
Pour un Λ-module gradué M, on notera 1 ou 1 l’identité de M. Remar-
M
quons que |1 |=0.
M
On note mod (Λ) la catégorie des Λ-modules gradués dont les flèches sont
gr
les morphismes homogènes de degré 0. C’est une catégorie abélienne qui admet
des limites et des colimites arbitraires. On a des foncteurs
(·)[p]:mod (Λ)−→mod (Λ)
gr gr
définispar(M[p]) =M ,pourtoutpdansZ. OnditqueM[1]estlasuspen-
n n+p
sion deM et(·)[1]seraparfoisnotéS danslasuite. Onnoterasl’isomorphisme
canonique M (cid:39)M[1].
On munit Λ d’une structure de Λ-module gradué Λ en posant Λ = Λ et
• 0
Λ =0 pour n(cid:54)=0.
n
5
1.2 Produit tensoriel et Hom interne de modules gradués
Définition 1.4. Soient M et N deux Λ-modules gradués. On munit M ⊗ N
Λ
d’une structure de Λ-module gradué en posant :
(cid:77)
(M ⊗ N) = (M ⊗ N ).
Λ n p Λ q
p+q=n
On adoptera dans la suite les conventions de signes de Koszul:
Pour deux morphismes homogènes f :M −→M(cid:48) et g :N −→N(cid:48), on définit :
f ⊗g :M ⊗ N −→M(cid:48)⊗ N(cid:48)
Λ Λ
en posant:
(f ⊗g)(x⊗y)=(−1)|g||x|f(x)⊗g(y)
On note T :M ⊗ N −→N ⊗ M l’application définie par :
Λ Λ
T(x⊗y)=(−1)|x||y|y⊗x
Définition 1.5. Soient M et N deux Λ-modules gradués. On désigne par
Hom(M,N) le Λ-module gradué défini par :
(cid:77)
Hom(M,N) = Hom (M ,N )
n Λ p n+p
p∈Z
Autrement dit, les éléments de degré n de Hom(M,N) sont les morphismes
homogènesdedegréndeM dansN. RemarquonsqueHom(M,N)necontient
engénéralpastouteslesapplicationsΛ-linéairesdeM dansN (i.e.Hom (M,N)),
Λ
celles-cin’étantpasnécessairementdessommesfiniesdemorphismeshomogènes.
Les conventions de signes de Koszul pour Hom(·,·) sont les suivantes :
pour deux morphismes homogènes f :M −→M(cid:48) et g :N −→N(cid:48), on définit :
f∗ :Hom(M(cid:48),N)−→Hom(M,N)
g :Hom(M(cid:48),N)−→Hom(M(cid:48),N(cid:48))
∗
en posant:
f∗(α)=(−1)|α||f|α◦f
g (α)=g◦α
∗
Notons que lorsque la composée g◦f est définie, on a :
(g◦f)∗ =(−1)|f||g|f∗◦g∗
(g◦f) =g ◦f
∗ ∗ ∗
On définit le dual d’un Λ-module gradué M comme le Λ-module gradué
Hom(M,Λ),etonlenoteraM#. SiM estgraduépositivement,M# estgradué
négativement, et vice versa.
6
1.3 Differentiellesetaugmentationssurlesmodulesgradués
Définition 1.6. Soit M un Λ-module gradué. Une différentielle sur M est un
morphisme homogène
∂ :M −→M tel que |∂ |=1 et ∂ ◦∂ =0
M M M M
Un Λ-module gradué muni d’une différentielle est appelé un Λ-module dif-
férentiel gradué ou DG-module. Remarquons qu’un DG-module (M ,∂ ) peut
• M
être vu comme un un complexe de Λ-modules
∂−3 ∂−2 ∂−1 ∂0 ∂1 ∂2
···−M→M −M→M −M→M −→M M −→M M −→M ···
−2 −1 0 1 2
et vice versa.
Définition1.7. UnmorphismedeDG-modulesf :M −→N estunmorphisme
homogène vérifiant :
∂ ◦f =(−1)|f|f ◦∂ .
N M
Définition 1.8. Soit M un DG-module sur l’anneau Λ. Une augmentation
(respectivement coaugmentation) de M est un morphisme de DG-modules
(cid:15) :M −→Λ avec |(cid:15) |=0.
M M
(respectivement η :Λ−→M avec |η |=0).
M M
Si M est muni d’une augmentation ou d’une coaugmentation, on notera
M = ker((cid:15) ) son idéal d’augmentation et M+ = coker(η ) son idéal de
+ M M
coaugmentation.
Définition 1.9. Un Λ-module différentiel gradué augmenté, ou DGA-module,
est un DG-module M, muni d’une augmentation (cid:15) et d’une coaugmentation
M
η vérifiant :
M
(cid:15) ◦η =1
M M Λ
Définition 1.10. Un morphisme de DGA-module f : M −→ N est un mor-
phisme de DG-module vérifiant :
(cid:15) ◦f =(cid:15) et f ◦η =η
N M M N
Si(M,∂ ,(cid:15) ,η )et(N,∂ ,(cid:15) ,η )sontdesDGA-modules,onpeutmunir
M M M N N N
M ⊗ N et Hom(M,N) de structures naturelles de DGA-modules en posant :
Λ
∂ =∂ ⊗1+1⊗∂ ,(cid:15) =(cid:15) ⊗(cid:15) ,η =η ⊗η
M⊗N M N M⊗N M N M⊗N M N
et
∂ =∂ −∂∗,(cid:15) =(cid:15) ◦η∗ ,η =η ◦(cid:15)∗
H M∗ N H N∗ M H N∗ M
Définition 1.11. On dira qu’un DGA-module gradué positivement M est :
∼
1. connexe si (cid:15) :M −→Λ,
|M0 0
∼
2. simplement connexe si (cid:15) :M −→Λ et M =0.
|M0 0 1
7
1.4 Homologie d’un module différentiel gradué
Définition 1.12. Soit M un DG-module. On définit son homologie, H (M),
• •
comme le module gradué :
H (M)=Ker(∂ (M ))/Im(∂ (M )).
• M • M •−1
Proposition 1.1. Si
f g
0−→M −→M −→M −→0
1 2 3
est une suite exacte courte de DG-modules avec f et g homogènes, alors on a
une suite exacte longue en homologie de modules gradués :
H (M ) f∗ (cid:47)(cid:47)H (M )
• (cid:95)(cid:95)1 • 2
δ∗ (cid:127)(cid:127) g∗
H (M )
• 3
Définition 1.13. Soient M,N deux DG-modules et f,g :M −→N deux mor-
phismes de DG-modules de même degré. Une homotopie de f à g est une ap-
plication
h:M −→N
telle que
|h|=|f|+1 et g−f =∂ ◦h−(−1)|h|h◦∂ .
N M
S’il existe une homotopie de f à g, on dit que f et g sont homotopes, ce
qu’on note f ∼ g.
h
On dit que f :M −→N est une équivalence d’homotopie s’il existe
g :N −→M telle que g◦f ∼ 1 et f ◦g ∼ 1 .
h M h N
∼
Sif :M −→N induitunisomorphismeH (M)−→H (N),onditquec’est
• •
un quasi-isomorphisme.
Définition 1.14. On dira qu’un DGA-module gradué M est :
1. acyclique si H (M)=0,
•
2. contractile si (cid:15) :M −→Λ est une équivalence d’homotopie.
M
8
1.5 Algèbres et cogèbres différentielles graduées
Définition1.15. Unealgèbredifférentiellegraduéeassociative,ouDGA-algèbre
associative,estunDGA-module(A,∂ ,(cid:15) ,η ),munid’unmorphismedeDGA-
A A A
modules µ :A⊗ A−→A tel que les diagrammes
A Λ
1. (Associativité) A⊗ A⊗ A 1A⊗µA (cid:47)(cid:47)A⊗ A
Λ Λ Λ
µA⊗1A µA
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
(cid:47)(cid:47)
A⊗ A A
Λ µA
2. (Unitarité) Λ⊗ A ηA⊗ 1A (cid:47)(cid:47)A⊗ A(cid:111)(cid:111) 1A⊗ηA A⊗ Λ
Λ Λ Λ
µA
(cid:39) (cid:39)
(cid:15)(cid:15)
(cid:38)(cid:38) (cid:120)(cid:120)
A
commutent.
A est dite commutative si de plus :
T (cid:47)(cid:47)
A⊗ A A⊗ A
Λ Λ
µA (cid:33)(cid:33) (cid:125)(cid:125) µA
A
commute.
On dit alors que µ est le produit sur A et η l’unité de A. L’opérateur µ
A A A
sera parfois simplement noté . dans la suite.
Un morphisme de DGA-algèbres f : A −→ A(cid:48) est un morphisme de DGA-
modules qui fait commuter :
f⊗f (cid:47)(cid:47)
A⊗ A A(cid:48)⊗ A(cid:48)
Λ Λ
µA µA(cid:48)
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
(cid:47)(cid:47)
A A(cid:48)
f
Pour deux DGA-Λ-algèbres A et A(cid:48), on définit une structure de DGA-Λ-
algèbre sur A⊗ A(cid:48) en définissant le produit sur A⊗ A(cid:48) comme le morphisme
Λ Λ
faisant commuter :
9
(A⊗ΛA(cid:48))⊗Λ(A⊗ΛA(cid:48)) µA⊗ΛA(cid:48) (cid:47)(cid:47)A(cid:58)(cid:58)⊗ΛA(cid:48)
1A⊗T⊗1A(cid:48) µA⊗µA(cid:48)
(cid:36)(cid:36)
A⊗ A⊗ A(cid:48)⊗ A(cid:48)
Λ Λ Λ
Définition 1.16. Une dérivation d sur une DGA-Λ-algèbre A est une applica-
tion Λ-linéaire homogène de degré 1 qui satisfait la règle de Leibniz graduée:
d(a.b)=d(a).b+(−1)|a|a.d(b) ∀a,b∈A.
Un DGA-A-module à gauche sur une DGA-Λ-algèbre A est un
DGA-Λ-module M muni d’une A-action à gauche :
e :A⊗ M −→M
M Λ
compatible avec le produit µ et l’unité η de A, dans le sens où :
A A
1. Le diagramme suivant commute:
A⊗ A⊗ M
Λ Λ
µA⊗1M 1A⊗eM
(cid:127)(cid:127) (cid:31)(cid:31)
A⊗ M A⊗ M
Λ Λ
eM (cid:31)(cid:31) (cid:127)(cid:127) eM
M
2. La composée M −∼→Λ⊗ M ηA−⊗→1M A⊗ M −e→M M est l’identité de M.
Λ Λ
On définit de manière analogue les DGA-A-modules à droite.
On définit maintenant les notions duales de cogèbre différentielle graduée
coassociative et de DGA-comodule sur une DGA-cogèbre, en inversant le sens
des flèches dans les diagrammes précédents.
Définition 1.17. Une cogèbre différentielle graduée coassociative, ou DGA-
cogèbrecoassociative,estunDGA-module(C,∂ ,(cid:15) ,η ),munid’unmorphisme
C C C
de DGA-modules ∆ :C −→C⊗ C tel que les diagrammes
C Λ
1. (Coassociativité) C ∆C (cid:47)(cid:47)C⊗ C
Λ
∆C ∆C⊗1C
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
(cid:47)(cid:47)
C⊗ C C⊗ C⊗ C
Λ Λ Λ
1C⊗∆C
10