Kis matematikai szintézis

233 Pages·7.027 MB·Hungarian

by  Csákány Béla

POLYGON
JEGYZETTÁR
Csákány Béla
KIS
MATEMATIKAI
SZINTÉZIS
KIS
MATEMATIKAI
SZINTÉZIS
Ez a könyv az Oktatási Minisztérium által kiírt,
Felsőoktatási Pályázatok Irodája által lebonyolított felsőoktatási
tankönyvtámogatási program támogatásával jelent meg
I T A T Á S I
x V L IN IS Z T E R IU M
Csákány Béla
KIS
MATEMATIKAI
SZINTÉZIS
POLYGON
Szeged, 2003
IP®IW(BdDRí jJHBYfMmrÁm
Szerkeszti:
Kurusa Árpád
Lektorálta:
Dr. Hajnal Péter
A MÁT. TUD. KANDIDÁTUSA
ISSN 1417—0590
Kiadja az SZTE BOLYAI INTÉZET
a POLYGON jegyzetsorozataként
Felelős vezető: Kincses János főszerkesztő
Bolyai Intézet
Szeged, Aradi vértanúk tere 1., 6720
e-mail: [email protected]
http: / / www.math. u-szeged.hu / polygon /
©Dr. Csákány Béla, 2003.
Előszó
Az utóbbi évtizedekben legalább ötszáz mai matematikatanár utolsó egye­
temi vizsgáját ültem végig figyelmesen, s eközben a vizsgázók temérdek örömet és
bosszúságot szereztek nekem. Most a vizsgáztatást ideje abbahagynom; helyette
megpróbálok magam vizsgázni, remélve, hogy ezzel sokaknak segíthetek.
Ez a könyv tizennyolc fejezetből áll, amelyek kölcsönösen egyértelmű mó­
don megfelelnek a szegedi matematikatanár-jelöltek sok év óta szokásos záróvizsga­
tételeinek. Ezekhez járul még egy függelék a számfogalom felépítéséről, amelynek
a tartalmát — bár nem vizsgatétel — hasznos is, illik is ismerni. A fejezetek
mindegyike azt a kis előadást tartalmazza, amelyet jómagam tartanék a tekinté­
lyes vizsgabizottság előtt az éppen kihúzott vizsgatételről, ha valamely csoda —
vagy rendelet — folytán holnap újból tanári záróvizsgát kellene tennem. Sajátsá­
gos lenne a helyzet, s ez magyarázza a könyv furcsaságait, amelyekről a következő
bevezetésben — reményem szerint olvasóim hasznára, de mindenképpen a magam
mentségére — részletesebben is írok. Javasolom is, hogy aki idáig eljutott az olva­
sásban, a bevezetést feltétlenül olvassa el, különösen akkor, ha az egész könyvet el
akarja olvasni.
Hálás vagyok záróvizsgáztató kollégáimnak, Csörgő Sándornak, Hajnal Péter­
nek, Hatvani Lászlónak, Kincses Jánosnak, Megyesi Lászlónak és Totik Vilmosnak
önzetlen és alapos munkájukért, amellyel a fejezeteket elolvasták, megbírálták és
korrigálták. Hajnal Péter az elkészült teljes kéziratot is végigolvasta, s hosszú lenne
elmondani, milyen jót tettek a szövegnek az ő értő megjegyzései, javaslatai. Mivel
szakkönyv előszavának szokásos eleme a köszönetnyilvánítás, szeretném megismé­
telni és aláhúzni, hogy tényleg és nagyon hálás vagyok mindnyájuknak. Speciális
köszönet illeti Juhász Rozáliát, feleségemet, a geometria-tételekről folytatott be­
szélgetésekért és az ábrák elkészítéséért. Ha a szövegben mégis maradtak hibák,
az csak az én figyelmetlenségemnek vagy önfejűségemnek tulajdonítható.
Szeged, 2003. június 15-én.
Tartalomjegyzék
Előszó..........................................................................................................................................i
Bevezetés..................................................................................................................................1
1. Kombinatorika.....................................................................................................................5
1.1. Teljes indukció.........................................................................................................5
1.2. Egyszerű összeszámlálási feladatok....................................................................7
1.3. Nevezetes számok....................................................................................................9
1.4. Binomiális tétel és egyebek................................................................................11
1.5. Gráfok.......................................................................................................................12
1.6. Gráfelméleti problémák.......................................................................................15
2. Algebrai egyenletek.........................................................................................................18
2.1. Polinom, polinomgyűrü........................................................................................18
2.2. Az alaptétel és következményei................................................. 22
2.3. Gyökképletek.........................................................................................................24
2.4. Szerkeszthetőség....................................................................................................26
3. Az egész számok.............................................................................................................28
3.1. Oszthatóság.............................................................................................................28
3.2. Az alaptétel.............................................................................................................31
3.3. Prímszámok.............................................................................................................32
3.4. Kongruenciák.........................................................................................................33
3.5. Számelméleti függvények....................................................................................35
4. Csoportok...........................................................................................................................38
4.1. Csoportműveletek.................................................................................................38
4.2. Példák.......................................................................................................................40
4.3. Csoportelméleti alapfogalmak...........................................................................41
4.4. Izomorfia.................................................................................................................45
4.5. Direkt szorzat.........................................................................................................47
5. Lineáris egyenletrendszerek..........................................................................................49
5.1. Egyenletek, egyenletrendszerek.........................................................................49
5.2. Gauss-féle elimináció............................................................................................50
5.3. Determináns...........................................................................................................52
Tartalomjegyzék iii
5.4. Vektoregyenlet, mátrixegyenlet....................................................................55
6. Lineáris algebra..........................................................................................................59
6.1. Vektor, vektortér..............................................................................................59
6.2. Bázis, dimenzió................................................................................................62
6.3. Lineáris leképezések és mátrixok..................................................................65
7. Geometriai transzformációk....................................................................................69
7.1. A síkgeometria axiómarendszere...................................................................69
7.2. Izometriák.........................................................................................................71
7.3. Hasonlóságok és affinitások............................................................................75
7.4. Térizometriák...................................................................................................77
7.5. Kollineációk.......................................................................................................78
8. Analitikus geometria................................................................................................80
8.1. Koordináták bevezetése..................................................................................80
8.2. Vektoralgebra...................................................................................................84
8.3. Alakzatok egyenletei.......................................................................................86
8.4. Baricentrikus koordináták..............................................................................88
8.5. Transzformációk leírása..................................................................................89
9. Nemeuklideszi geometriák.......................................................................................91
9.1. Projektív geometria.........................................................................................91
9.2. A projektív sík koordinátázása.....................................................................94
9.3. Kúpszeletek a projektív geometriában........................................................97
9.4. Az inverzív sík..................................................................................................99
9.5. Hiperbolikus síkgeometria............................................................................101
10. Görbék......................................................................................................................104
10.1. Kúpszeletek.....................................................................................................104
10.2. Bézier-görbék..................................................................................................109
10.3. Térgörbék........................................................................................................112
10.4. Egyebek...........................................................................................................115
11. Sorozatok, sorok....................................................................................................117
11.1. Sorozatok.........................................................................................................117
11.2. Sorok................................................................................................................120
11.3. Hatványsorok, függvénysorok......................................................................121
12. Függvények.............................................................................................................127
12.1. A függvény fogalma.......................................................................................127
12.2. Elemi függvények..........................................................................................129
12.3. Függvény határértéke...................................................................................131
12.4. Függvény grafikonja......................................................................................132
12.5. Folytonosság...................................................................................................133
IV Tartalomjegyzék
13. Differenciálás...........................................................................................................137
13.1. Differenciálhányados.......................................................................................137
13.2. Függvénydiszkusszió......................................................................................142
13.3. Parciális és totális differenciálás..................................................................145
14. Integrálás..................................................................................................................148
14.1. Határozott integrál.................................................................. 148
14.2. Határozatlan integrál.....................................................................................151
14.3. Lebesgue-integrál............................................................................................154
14.4. Többváltozós függvény integrálja................................................................156
15. Mérték........................................................................................................................160
15.1. Jordán-mérték..................................................................................................160
15.2. Terület, térfogat..............................................................................................162
15.3. Lebesgue-mérték..............................................................................................166
15.4. ívhossz, felszín.................................................................................................168
16. Valószínűség.............................................................................................................171
16.1. Valószínűségi kísérlet......................................................................................171
16.2. Valószínűségi mező..........................................................................................172
16.3. A valószínűségi mező általános fogalma.....................................................175
16.4. A nagy számok törvénye...............................................................................178
16.5. Véletlen változók.............................................................................................179
17. Halmazok.................................................................................. 184
17.1. Alapfogalmak...................................................................................................184
17.2. Számosság.........................................................................................................185
17.3. Rendezett halmazok........................................................................................190
17.4. Antinómiák.......................................................................................................192
18. Matematikai logika................................................................................................195
18.1. Nyelvek és struktúrák.....................................................................................195
18.2. ítéletkalkulus....................................................................................................199
18.3. Függvény kalkulus........................................................................... 201
18.4. Egyebek.............................................................................................................203
Számok.............................................................................................................................206
1. Természetes számok.......................................................................................206
2. Egész és racionális számok............................................................................208
3. Valós számok....................................................................................................210
4. Komplex számok.............................................................................................213
Név- és tárgymutató...................................................................................................217
Bevezetés
Elterjedt és nem teljesen alaptalan vélekedés, hogy a matematikához istenadta
tehetség kell. Azokban, akik matematikatanárnak készülnek, ez bizonyára megvan,
hiszen ha nem lettek volna jó feladatmegoldók az iskolában, aligha merték volna ezt
a pályát választani. Hogy ez a sok gyerekben meglévő, és az élet minden területén
kamatoztatható adottság minél előbb kibontakozzék, annak nem elhanyagolható
feltétele — habár nem szükséges és nem is elegendő — hogy a matematikát olyan
tanártól tanulják, aki ki tudja fejleszteni a bennük lappangó tehetséget. Könyvünk
szeretne segíteni abban, hogy erre felkészült tanárok tanítsák a matematikát.
E magas célja mellett van egy földhözragadtabb is: összefoglalni, szintetizálni
az egyetemen hallott matematikai anyagot, hogy a tanárjelölt megfelelően elren­
dezett tudás birtokában mehessen el az utolsó egyetemi megmérettetésre, a záró­
vizsgára. Ezt a szintézist a hallgató nem kaphatja meg az egyes féléves előadások
során, és nincsenek külön szintetizáló előadások sem. Könyvünk azok számára lesz
a leghasznosabb, akik maguk is megpróbálkoznak a szintézissel, végiggondolják,
miről beszélhetnének a 18 vizsgatétel kapcsán, s utána szembesítik elképzeléseiket
a könyv fejezeteivel. Akinek erre nem jut ereje, vagy ideje, azon a könyv még
mindig segíthet. Persze, többet segít annak, aki nem az utolsó két hétben próbálja
memorizálni a tartalmát, hanem legalábbis a záróvizsga előtti félév során rendsze­
resen tanulmányozza. Reménykedem azonban, hogy a könyv még azok számára
is nyújt kapaszkodót, akik csak azért jutottak el a záróvizsgáig, mert a vizsga-
eredmény olyan véletlen változó, amelynek nagy a szórása. Belőlük is válhat jó
matematikatanár.
Bárki megkérdezhetné: hát ennyi az egész, amit egy leendő középiskolai ta­
nárnak tudnia kell? Hiszen ezt a kétszáz oldalt „be lehet vágni” tíz nap alatt, aztán
el lehet menni vizsgázni belőle. Attól tartok, hogy ez nem így van. Ez a könyv főleg
azoknak szól, akik a tartalmát, vagy annak legalább 90 százalékát, egyszer vagy
kétszer, kollokviumra vagy szigorlatra készülve részletekben már meggondolták,
megtanulták, aztán, meglehet, nagy részét el is felejtették. De a tudás nem vész
el, csak lapul az agysejtek szövetében. A könyv egyik célja, hogy ezt a rejtőzködő
tudást életre keltse.
2 Bevezetés
Matematika záróvizsgán a diákok nagy többsége — szerencsére — életében
egyszer esik át, ezért az esemény titokzatosnak látszik: mit kell ott tudni, hogyan
zajlik az egész? Néhány gyakran feltett kérdésre itt is válaszolhatunk. Minek a
bizonyítását kérdezhetik a záróvizsgán? Ritka eset, hogy bizonyítást kérdeznek, s
ha igen, akkor is csak olyan egyszerű és alapvető dolgokét, mint pl. azét, hogy
végtelen sok prímszám van. Azt viszont értékelni szokták, ha a vizsgázó nevezetes
összefüggések ismertetésekor, amelyek bizonyításának történetesen létezik egy-két
mondatban összefoglalható alapgondolata, ezeket a mondatokat minden külön ké­
rés nélkül elmondja. Ebből baj nem lehet; olyan vizsgáztatóval még nem ültem
együtt, aki erre így reagálna: „Igen? Akkor fejtse csak ki ezt teljes részletesség­
gel!”. Az a megjegyzés elképzelhető, hogy „hát erre nem egészen pontosan tetszik
emlékezni... mi a következő dolog, amiről beszélni akar?” Hogy még ez se fordul­
jon elő, sok jelentős tétel kimondása után egy-két (de legfeljebb három) mondatban
utalunk a bizonyítás ötletére. Ha egy állításról ebben a könyvben csak annyit ol­
vashatunk, hogy „igazolható”, akkor az állítás igazolását komoly vizsgáztató — aki
még világosban szeretne hazaérni — nem fogja kérni.
A matematika egyetemi tananyagban szereplő fejezeteit többféleképpen le­
het és szokás tárgyalni. Semmi sem biztosítja, hogy az olvasó tanára ugyanazt a
felépítést használta, mint e könyv szerzője. (Azt sem, hogy ugyanazokat a jelölé­
seket használta.) Ne aggódjunk emiatt. Mint Pascal írta Fermatnak, „az igazság
ugyanaz Toulouse-ban, mint Párizsban”; a különböző felépítések'és jelölések mögött
ugyanaz a matematikai igazság áll. Gyakran a kissé különböző definíciók mögött is:
egy kedves kollégám pl. a 0-t természetes számnak tekinti, én meg nem. Ezt sem
egymástól, sem az esetleg más véleményen levő diáktól nem szoktuk rossz néven
venni.
Bizonyos ismereteinket — pl. a vektorokra vonatkozókat — több vizsgaté­
tellel kapcsolatban is „bevethetjük”. Ezek egyik-másika könyvünkben is többször
szerepel, néha több oldalról megközelítve.Sok esetben hivatkozunk egy másik vizs­
gatételre, amelyben az éppen tárgyalt összefüggés ugyancsak előfordul.
Az általános és középiskolák szokásos matematika-anyagára esetenként mint
iskolai matematikára utalunk. Az „iskolai” jelző nem fejez ki sem lebecsülést, sem
elismerést — azért van rá szükségünk, hogy a záróvizsga anyagának és a leendő
tanár által megtanítandó anyagnak a kapcsolataira rámutassunk. Mindenképpen
célszerű záróvizsga előtt az általános és középiskolai anyagot is feleleveníteni (a
számokra vonatkozó ismereteket pedig a könyv függelékében átnézni — ha valakiről
a záróvizsgán derül ki, hogy nem tud komplex számokkal számolni, reménytelen
azzal védekeznie, hogy „az nem vizsgatétel”). Az iskolai tananyagot illetően a jelen
könyv nem nyújt segítséget; ki-ki szedje elő iskolai tankönyveit. Ugyancsak hasznos
lehet Varga Tamás Matematika című lexikonjának forgatása (Műszaki Könyvkiadó,