Kinematik kleiner ebener und räumlicher Schwingungen

107 Pages·1971·6.723 MB·German

by  Walther Meyer zur Capellen, Manfred Werner

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr.2123
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
Prof. Dr.-Ing. Wal/ocr Meyer zur CapelIen
Dipl.-Ing. Manfred Werner
Institut für Getriebelehre und Maschinendynamik
der Rhein.-Westf Techn. Hochschule Aachen
Kinematik kleiner ebener und räumlicher Schwingungen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1971
Verlags-Nr.012123
© 1971 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag GmbH, Köln und Opladen 1971
Gesamtheratellung: Westdeutscher Verlag
ISBN 978-3-663-20136-6 ISBN 978-3-663-20498-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-20498-5
Vorwort
In der vorliegenden Arbeit werden zunächst (in Teil I) als dynamisches Problem kurz
die erzwungenen ebenen Schwingungen eines Säulenfundamentes behandelt. Hierbei
treten periodische Verschiebungen des Schwerpunktes und eine periodische Drehung
um eine zur Bewegungsebene senkrechte Achse auf. Die Gesetze dieser Bewegungs
+
koordinaten haben die Form a cos rot b sin rot mit a und b als gewissen Konstanten.
Hiervon ausgehend wird nun mit gewissen Rückblicken auf das dynamische Problem
die folgende ebene Bewegung eines Körpers betrachtet: Sein Schwerpunkt (oder ein
anderer Bezugspunkt) vollführe in zwei Koordinatenrichtungen periodische Ver
schiebungen und erfahre um eine dazu senkrechte Achse (kleine) periodische Drehungen
von der oben angegebenen Form. Hierbei interessieren zunächst die Bahnkurven der
einzelnen Punkte, und hierbei werden die (allgemein übliche) Näherung ersten Grades,
anschließend die Näherung zweiten Grades und schließlich die Bahnform ohne Ver
nachlässigung betrachtet, um danach auch die Güte der Näherungen zu erkennen.
Darüber hinaus werden aber auch die den Bewegungsvorgang kennzeichnenden Rast
und Gangpolkurven diskutiert - mit und ohne Näherung.
Es lag nahe, das analoge räumliche Problem zu behandeln, und hier wurde, ohne auf das
dynamische Problem der Fundamentschwingungen mit sechs Freiheitsgraden ein
zugehen, in Teil II sofort die folgende räumliche Bewegung eines Körpers betrachtet:
Sein Schwerpunkt (oder ein anderer Bezugspunkt) erfahre periodische Verschiebungen
in den drei Achsenrichtungen und gleichzeitig (kleine) periodische Drehungen um drei
Achsen mit formal gleichen Gesetzen wie bei der ebenen Bewegung.
Nach Entwicldung der allgemeinen Transformationsgleichungen und der Komponenten
des momentanen Winkelgeschwindigkeitsvektors werden dann zunächst die Bahnkurven
betrachtet - wiederum mit und ohne Näherungen. Im allgemeinen handelt es sich dabei
um räumliche Kurven, die jedoch genähert durch ebene Kurven dargestellt werden
können.
Während die ebene Bewegung durch Abrollen von Gangpolkurve (bzw. -zylinder) auf
der Rastpolkurve (bzw. dem -zylinder) dargestellt werden kann, wird die allgemeine
räumliche Bewegung durch das Abschroten entsprechender Achsenflächen aufeinander
beschrieben. Zur Ermitdung dieser Flächen werden allgemeine, für den vorliegenden
Zweck besonders nützliche Methoden entwickelt und mit Hilfe derer für verschiedene
Sonderfälle auch die Achsenflächen zeichnerisch dargestellt. Es genügte zur anschau
lichen Wiedergabe dabei nicht nur eine Zweitafelprojektion, sondern es wurde auch
jedesmal eine axonometrische Darstellung herangezogen.
Eine Sonderform der Bewegung ergibt sich, wenn der Schwerpunkt (oder Bezugspunkt)
ruht, also eine (periodische) Bewegung um einen festen Punkt vorliegt. Hierauf wird in
einem besonderen Abschnitt eingegangen.
Die für die ebene, insbesondere aber für die räumliche Bewegung benutzten und entwickel
ten Methoden können im übrigen in gleicher Weise herangezogen werden, um die
Bewegungsverhältnisse eines ebenen, vor allem eines räumlichen Getriebes zu unter
suchen mit dem Sonderfall des sphärischen Getriebes bei der Bewegung um einen
Punkt.
Für die rechnerische Auswertung und Darstellung der Beispiele erwies sich nicht allein
der Digitalrechner, sondern auch und vor allem der Graphornat als sehr nützlich und als
3
wesentliche Hilfe. Besonders bei der axonometrischen Darstellung konnte nach einem
bestimmten Programm das Bild gezeichnet und durch Variation der Parameter der
axonometrischen Projektion verschiedene Bilder entworfen und daraus das für die
Anschauung günstigste herausgesucht und hier wiedergegeben werden.
Da solche Darstellungen bei Untersuchung räumlicher Getriebe und ihrer Bewegungen
wiederholt auftreten, kann' auch von hier aus die Raumkinematik befruchtet werden.
So sei dem Rechenzentrum (Leiter: Prof. DR. F. REUTTER) für die wertvolle Hilfe
gedankt, ganz besonders aber dem Herrn Ministerpräsidenten für die Förderung und
Unterstützung der vorliegenden Untersuchung.
Aachen, im Dezember 1969 Die Verfasser
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Inhalt
1. Teil: Kinematik kleiner Schwingungen in der Ebene ...................... 9
1. Das ebene Problem ................................................... 9
2. Erregung durch Einzelkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Die Bewegungsgleichungen und ihre Lösung ....................... 10
2.1.1 Bewegungsgleichungen .......................................... 10
2.1.2 Lösungen ...................................................... 10
2.1.3 Sonderfälle..................................................... 10
2.2 Das kinematische Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Die Bahnkurven (Näherungen) .................................... 12
a) 1. Näherung ................................................. 12
b) Näherung zweiter Ordnung........................ . ........... 13
2.4 Der Momentanpol und die Polkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Nochmals die Bahnkurven (genaue Darstellung) ..................... 15
2.6 Wendekreis und Gleichenkreis .................................... 16
2.6.1 Der Wendekreis... ......... .............. ....................... 16
2.6.2 Der Gleichenkreis ............................................... 17
2.6.3 Der Beschleunigungspol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6.4 Sonderfälle ..................................................... 18
2.7 Anwendung auf das Modell..... .................................. 19
3. Erregung durch Kraftkreuz .................... ........................ 20
3.1 Modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3.2 Das kinematische Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20
3.2.1 Die Bahnkurven (Näherungen) .................................... 21
a) Bahnkurven ................................................. 21
b) Geschwindigkeiten und Beschleunigungen ....................... 21
c) Sonderfall der Kreisbahn ...................................... 22
d) Sonderfall der in eine Strecke entartenden Ellipse ... . . . . . . . . . . . . . . 25
e) Näherung zweiter Ordnung.................................... 26
f) Exakte Form der Bahnkurven .................................. 27
3.2.2 Der Momentanpol und die Polkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
a) 1. Näherung ................................................. 27
b) Momentanpol und Rastpolkurve (ohne Näherung) ................ 28
c) Momentanpol und Gangpolkurve (ohne Näherung) ............... 31
d) 1. Sonderfall ................................................. 31
e) 2. Sonderfall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
4. Benachbarte Probleme ................................................ 32
4.1 Periodisch erregtes physisches Pendel .............................. 32
4.2 Satz von der Erhaltung des Schwerpunktes ......................... 33
Literaturverzeichnis zum I. Teil ........................................... 34
Anhang zum 1. Teil ..................................................... 35
5
II. Teil: Das räumliche Problem..................................... . .... 52
1. Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2. Koordinatensysteme, Lagrangesche Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
2.1 Koordinatensysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52
2.2 Die Drehwinkel '" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
2.3 Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeiten .................... 54
2.4 Kleine Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
3. Reine Sinus-Komponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
3.1 Bezeichnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55
3.2 Die Bahnkurven ................................................ 56
3.2.1 Allgemeine Form ............................................... 56
3.2.2 Sonderfälle ..................................................... 56
4. Sinus- und Cosinus-Komponenten ...................................... 57
4.1 Bezeichnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 Die Schwerpunkts ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Die wrEllipse .................................................. 58
4.4 Bahn eines beliebigen Punktes .................................... 58
4.5 Sonderfälle der Bahnellipsen ...................................... 59
4.5.1 Ebenes Problem ................................................ 59
4.5.2 Besondere Lagen der Ellipsenebenen ..................... . . . . . . . . .. 59
4.5.3 Bahnellipsen als doppelt zählende Strecken ......................... 60
4.5.4 Bahnkurve als Kreis ............................................. 60
4.5.5 Bahnen der Punkte auf den Koordinatenachsen...................... 61
4.5.6 Nochmals der wk-Vektor ......................................... 61
a) Darstellung im festen Raum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
b) Darstellung im körperfesten System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62
5. Allgemeine Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63
5.1 Die körperfeste Achsenfläche ..................................... 63
5.2 Die raumfeste Achsenfläche ....................................... 65
5.3 Weitere Darstellungen ........................................... 65
5.4 Die reduzierte Ganghöhe .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.5 Sonderfälle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66
5.5.1 Ebene Bewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66
5.5.2 Reine Sinus-Komponenten....................... ........ ......... 66
5.5.3 wk-Ellipse linear, Schwerpunkts ellipse in der Y-Z-Ebene .............. 68
5.5.4 wk-Ellipse linear, Schwerpunktsellipse senkrecht zur Y-Z-Ebene ....... 69
5.5.5 wk-Ellipse in der X-Y-Ebene, Schwerpunktsbahn linear. . . . . . . . . . . . . . . 69
5.5.6 Erweiterung von Sonderfall 5.5.5 ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
5.5.7 wk-Ellipse und Schwerpunktsellipse in einer Ebene .................. 71
5.5.8 Allgemeiner Fall ................................................ 72
6. Bewegung um einen Punkt ............................................ 73
6.1 Die Bahnkurven ................................................ 73
6.1.1 Sphärische Koordinaten ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.1.2 Kugelkoordinaten ............................................... 74
6
6.1.3 Kartesische Koordinaten ......................................... 75
a) Allgemeine Entwicklung ...................................... 75
b) Nur Sinus-Komponenten...................................... 76
c) Sinus- und Co sinus-Komponenten .............................. 76
d) Sonderfälle .................................................. 78
6.2 Die Polkegel ................................................... 78
6.2.1 Der Rastpolkegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2.2 Der Gangpolkegel ............................................. " 79
6.2.3 Nur Sinus-Komponenten......................................... 79
6.2.4 Allgemeine Bewegung ........................................... 79
6.2.5 Die wk-Vektoren ................................................ 79
6.2.6 Allgemeine räumliche Bewegung .................................. 80
Literaturverzeichnis zum 11. Teil .......................................... 80
Anhang zum 11. Teil .................................................... 81
7
1. Teil: Kinematik kleiner Schwingungen in der Ebene
Ausgehend von den Bewegungsgleichungen eines Säulenfundamentes mit erregendem
Rotor wird die Kinematik kleiner Schwingungen in der Ebene betrachtet und daran
anschließend das gleiche Problem für räumliche Vorgänge behandelt. Die Dynamik des
ebenen Beispiels soll ausschließlich zur Herleitung der Kinematik dieser ebenen und
dann auch der räumlichen Schwingungen dienen.
1. Das ebene Problem
Als reales Ausgangsproblem werden die Schwingungen eines Säulenfundamentes (Abb. 1
*.
zeigt eine Versuchsanordnung) betrachtet
Auf dem Fundament, das sich nur in der waagerechten Ebene bewegen kann, befindet
sich eine Maschine mit nicht ausgewuchtetem Rotor, wobei Rotorwelle und -lager aber
als starr angesehen werden sollen. Das Fundament von der Masse m bewege sich in der
raumfesten X-Y-Ebene, während die körperfesten Koordinaten durch ein durch den
Fundamentschwerpunkt S gehendes ~-1')-System festgelegt sind. Der Schwerpunkt S
verschiebe sich in X-Richtung um x, in Y-Richtung umy, während sich das Fundament
um die zur Zeichenebene senkrechte ~-Achse durch S um den Winkel T drehen kann,
e
siehe Abb. 2 und 3. Das Massenträgheitsmoment um diese Achse werde mit be
zeichnet.
Die gesamte Unwucht des Rotors wirkt sich als Kraftkreuz aus: In der Ebene 1, vgl.
Abb. 4, greift die Fliehkraft FI = ,uICIW2 an, in der Ebene 2 die dazu senkrechte
Fliehkraft F2 = ft2C2w2, ,ui = Masse der Unwucht, Ci = Exzentrizität, w = konstante
Winkelgeschwindigkeit des Rotors. Die Kraftebenen, welche parallel zur 1')-~-Ebene
sind, mögen von dieser die Abstände /I und h haben. Dann gilt für die zur 1')-Achse
parallelen Komponenten der Fliehkräfte: ,uICIW2 • sin (X bzw. ,u2C2W2. cos (x, wenn
w t = (X gesetzt wird, t = Zeit.
Schließlich sei die Wirkung der elastischen Stützen entsprechend den drei Freiheits
graden x,y, T durch ein Potential U von der Form
Cxx' x2 + cYY'y2 + c({J({J' T2 + + +
U = -2- -2- -2- Cxy • xy cX({J • xT cY({J 'YT (1)
gegeben, worin die Cik gewisse Federkonstanten sind.
Hierin ist Rücksicht auf einen allgemeinen Fall nach Abb. 5 genommen, während bei
der vorliegenden Fundamentanordnung Cxy = 0 und bei quadratischem bzw. kreis
förmigem Querschnitt der Stützen Cxx = Cyy = C angenommen werden kann.
2. Erregung durch Einzelkraft
Im Hinblick auf die Kinematik sei zunächst angenommen, daß nur eine Einzelkraft
wirke, d. h. ,u2C2 und damit F2 werde zu Null angenommen.
*
Die Abbildungen stehen im Anhang ab Seite 35.
9
2.1 Die Bewegungsgleichungen und ihre Losung
2.1.1 Bewegungsgleichungen
Mit Hilfe der Langrangeschen Gleichungen zweiter Art erhält man, wie leicht nach
zurechnen, die drei linearen Differentialgleichungen
d2x + + +
m' - Cxx • x cxy 'Y Cxq; • rp = 0 (2a)
dt2
d~ + + + .
m' - Cyy 'Y Cxy • x Cyq; • rp = Plclm2 • sm mt (2b)
dt2
e· d-2rp + Cq;q;' rp + Cxq; • x + Cyq; 'Y = hPICl • m2sin mt. (2c)
dt2
Bei dieser Entwicklung ist angenommen, daß die in der X-Richtung wirkende Kom
ponente PI . sin oe • sin rp bei kleinem rp vernachlässigt werden kann.
2.1.2 Lösungen
Die Ansätze
x = Bx • sin mt, Y = By • sin mt, rp = Bq; • sin mt (3)
liefern, eingeführt in die Differentialgleichungen, ein lineares Gleichungssystem für die
Konstanten Bi (i = x,Y, rp), woraus sich folgende Formen ergeben:
Bx = m2• DxlD, By = m2• DylD, Bq; = m2• Dq;ID, (4)
und worin die D, die nachstehenden Werte haben
e( +1 1
D x = PICI [(CXq;Cyq; - CXy(Cq;q; - 2)} {CXyCyq; - CXq;(cyy - m(2)}] (Sa)
D y = Plill [{(cxx - m(2). (Cq;q; - @(2) - C~q;} + /1 {CXyCXq; - Cyq;(cxx - m(2)}] (Sb)
Dq; = PICI [{CXy - Cyq;(cxx - m(2)} +1 1 {(cxx - m(2) (cyy - m(2) - cxy}], (Sc)
während die Nennerdeterminante D die noch nicht ausgewertete Form
(Cxx - m(2) Cxy Cxq;
D = Cxy (Cyy - m(2) Cyq; (Sd)
e (
Cxq; Cyq; (Cq;q; - 2)
hat. Für die Nullstellen von D tritt Resonanz auf, und es wäre zweifellos interessant, die
Resonanzkurven (Amplitudenfunktionen) für den allgemeinen Fall aufzuzeigen, doch
ist dies im Hinblick auf die Kinematik nicht beabsichtigt. Wir stellen nur fest, daß für
gewisse Winkelgeschwindigkeiten m die Amplitude Bi verschwinden kann und be
trachten im übrigen einige Sonderfälle, die eine leichtere Übersicht geben.
2.1.3 Sonderfälle
a) Es sei, wie oben bereits angedeutet, Cxy = 0 und, wie bei Stützen mit kreisförmigem
oder quadratischem Querschnitt angenommen werden kann, Cxx = Cyy = c. Dann wird
zunächst die Nennerdeterminante (Sd)
D = (c- m(2) D*, (6a)
mit
(6b)
10