Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie

302 Pages·1972·9.2 MB·German

by  Saunders Mac Lane (auth.)

Saunders Mac Lane
Kategorien
Beg riffssprache
und mathematische Theorie
Aus dem Englischen libersetzt von
Klaus Schlirger
Springer-Verlag
Berlin· Heidelberg· New York 1972
Saunders Mac Lane
Max Mason Distinguished Service
Professor of Mathematics, University of Chicago
Klaus SchUrger, 6901 Dossenheim, SchulstraBe 1
Englische Ausgabe: Graduate Texts in Mathematics, Vol. 5
"Categories. For the Working Mathematician".
AMS Subject Classifications (1970)
Primary: 18-02, 18Axx, 18C15, 18010, 18015, 18E10, 18G30
Secondary: 06-02, 08-02, 08 A 05, 08 A 1 0, 08 A 15, 08 A 25
ISBN-13: 978-3-540-05634-8 e-ISBN-13: 978-3-642-65296-7
001: 10.1007/978-3-642-65296-7
Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt. Die dadurch begriindeten Rechte. insbesondere die der Ober·
setzung. des Nachdruckes. der Funksendung. der Wiedergabe auf photomechanischem oder lihnlichem
Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen bleiben. auch bei nur auszugsweiser Ver·
wertung. vorbehalten. Bei Vervielfaltigungen fUr gewerbliche Zwecke ist gemaB § 54 UrhG eine Ver·
giitung an den Verlag zu zahlen. deren Hohe mit dem Verlag zu vereinbaren ist. © by Springer·Verlag
Berlin-Heidelberg 1972.
Vorwort
Die Theorie der Kategorien hat sich rasch entwickelt. Die Begriffe und Methoden, de
ren Behandlung sich das vorliegende Buch zum Ziel setzt, lassen sich jetzt nutzbringend
von Mathematikern anwenden, die auf verschiedenen anderen Gebieten der Mathematik
forschen. Die Darstellung erfolgt in mehreren Stufen. Auf der ersten Stufe liefern Ka
tegorien eine brauchbare Begriffssprache, der die Begriffe "Kategorie", "Funktor",
"nattirliche Transformation", "Kontravarianz" und "Funktorkategorie" zugrunde liegen;
sie werden - zusammen mit geeigneten Beispielen - in den Kapiteln I und II behandelt.
Der fundament ale Begriff eines Paares adjungierter Funktoren schlieBt sich an, der in
vielen, im wesentlichen einander gleichwertigen Formen auftritt: als universelle Kon
struktion, als Limes und Colimes sowie als Paar von Funktoren - zusammen mit einem
nattirlichen Isomorphismus zwischen entsprechenden Pfeilmengen. AIle diese Formen
und ihre wechselseitigen Beziehungen werden in den Kapiteln III - V untersucht. Man
konnte sagen: "Adjungierte Funktoren treten tiberall auf".
Der fundamentale Begriff in der Theorie der Kategorien ist derjenige eines Monoids,
d.h. einer Menge mit einer zweistelligen Verkntipfung (Multiplikation), die assoziativ
ist und eine Einheit besitzt. Eine Kategorie selbst HiBt sich als eine Art verallgemei
nertes Monoid auffassen. In den Kapiteln VI und VII werden dieser Begriff und seine
Verallgemeinerungen studiert; seine enge Beziehung zu Paaren adjungierter Funktoren
erhellt die Begriffsbildungen der universellen Algebra und gipfelt im Satz von Beck, der
Kategorien von Algebren charakterisiert. Kategorien mit einer monoidalen Struktur (ge
geben durch ein Tensorprodukt) ftihren un t era n d ere mauch zur Untersuchung ge
wisser Kategorien von topologischen Raumen, die oft fUr die Anwendungen beque mer
sind.
Da eine Kategorie aus Pfeilen besteht, lieBe sich unser Thema auch als Behandlung
des Problems auffassen, wie man ohne Elemente auskommen und statt ihrer Pfeile be
nutzen kann. Dieser Gedanke wird von Anfang an mit verfolgt und erweist sich besonders
wichtig im Kapitel VIII, das die elementare Theorie der abelschen Kategorien sowie die
Hilfsmittel bringt, mit denen dann alle Diagrammlemmata ohne Diagrammjagd von Ele
menten bewiesen werden.
In den letzten beiden Kapiteln kommen schlieBlich aIle Grundbegriffe der Theorie der
Kategorien vor. Der Leser findet dort: Interessante Eigenschaften von Limites - insbe
sondere von filtrierenden Limites, einen "Enden"-Kalktil sowie den Begriff der Kan-Er
weiterung. Dies ist die tieferliegende Form der grundlegenden Konstruktion von Adjun-
IV
gierten. Zum AbschluJ3 wird gezeigt, daB sich "alle" Begriffe der Theorie der Kate
gorien als Kan-Erweiterungen auffassen lassen (§ 7 von Kapitel X).
Ich hatte oft Gelegenheit, Vorlesungen tiber den Stoff dieses Buches zu halten: in Chi
kago; in Boulder in einer Reihe von Kolloquiumsvorlesungen fUr die American Mathema
tical Society; in St. Andrews dank der Edinburgh Mathematical SOciety; in Ztirich dank
Beno Eckmann und des Forschungsinstituts fUr Mathematik; in London dank A. Frohlich
sowie des King's und Queen's College; in Heidelberg dank H. Seifert und Albrecht Dold;
in Canberra dank Bernhard Neumann, Hanna Neumann und eines Fulbright-Stipe~diums;
in Bowdoin dank Dan Christie und der National Science Foundation; in Tulane dank Paul
Mostert und der Ford Foundation - sowie schlieBlich wieder in Chikago dank Robert May
nard Hutchins und Marshall Harvey Stone.
Zahlreiche Fachkollegen halfen mir bei meinen Studien. Vieles lernte ich von einer
Reihe von Gasten in Chikago (deren Besuch durch eine wirkungsvolle Unterstiitzung sei
tens des Air Force Office of Scientific Research, des Office of Naval Research und der
National Science Foundation ermoglicht wurde): M. Andre, J. Benabou, E. Dubuc, F.W.
Lawvere und F.E. J. Linton. Wertvolle Anregungen verdanke ichMichael Barr, John Gray,
Myles Tierney, Fritz Ulmer, Brian Abrahamson, Ronald Brown, W.H.Cockcroft und
Paul Halmos. Daniel Feigen und Geoffrey Phillips fertigten von einigen meiner Vorle
sungen brauchbare Ausarbeitungen an. Mein alter Freund A.H. Clifford und andere Fach
kollegen aus Tulane gewahrten mir mannigfache Untersttitzung. John MacDonald und Ross
Street verdanke ich wertvolle Hinweise zu einigen Kapiteln, wahrend Spencer Dickson,
S.A. Huq und Miguel LaPlaza weiteren Stoff kritisch durchsahen. Peter May verbesserte
durch seine wichtigen Bemerkungen wesentlich Auswahl und Anordnung des Stoffes, wah
rend Max Kelly's Scharfblick im fertigen Manuskript noch manche Mangel entdeckte.
Mein Dank gilt schlieBlich: Dorothy Mac Lane und Tere Shuman fUr die Anfertigung der
Reinschrift, Dorothy Mac Lane fUr die Zusammenstellung des Sachverzeichnisses als
auch M.K. Kwong fUr sorgfaltiges Lesen der Korrekturen. Ftir die verbleibenden Irr
tUrner sowie fUr Auswahl und Anordnung des Stoffes bin ich allein verantwortlich.
Dune Acres, 27. Marz 1971
Inhaltsverzeichnis
E in! eitung ••••••.•••..•...•..••••••.••.•.•.••••..•.•••.•••••••••••••••.•.••• 1
I. Kategorien, Funktoren und naturliche Transformationen •••••.•..•..•.••.••• 6
1. Axiome fur Kategorien ••••••.•••.•.•••••••••••••••• • • • • • • • • • • • • • • . • • • 6
2. Kategorien.......................................................... 9
3. Funktoren •••••••••••.••••••••••.••.•••••••••••••••••••••.•••••••.•• 12
4. Naturliche Transformationen • • . • •• . • • • • • • . • . . • • • • . . • • • . • . . . • • • . • • • • • •• 16
5. Monomorphe und epimorphe Pfeile; Nullobj ekte • • • • • • • • • • • • • • . . • . • . . . . •• 19
6. Grundlegungen ••••..••••..••..••••••.•..•..••..••.•••••••...•.•••..• 22
7. GroBe Kategorien • • . • • • • . • . • • • . . . • . • . . • • . . . . . • . . . • • • • • • . . • . • . • • • • . • .• 25
8. Hom-Mengen • • • • • • • • • • • . • • • • • . . . • • . • • . . • . • • • • • • • • • • . . • . . . • . • • • • • • . •• 28
II. Konstruktionen mit Kategorien ••• . • • • • • . . • • • • • • • . . • • • • • • • • • . • • • • . • . • . • • •• 32
1. Dualitat ••.•.••..••...•.•••..••.•.•....••••.••.•••••...•.••..•••..•• 32
2. Kontravarianz und duale Kategorien •..•••••••.••.•••••••.••.•..•...••• 34
3. Produkte von Kategorien. . • • • . . • . • • • • . • • • . • • • • • • • • • . • • • • . • • . • • . . • • • . .• 37
4. Funktorkategorien ••••••••.••••.•••...•• • • . • • . • • • • • • . • . • • • • • • . • . • • • •• 41
5. Die Kategorie aller Kategorien • . . . • • . • • . • • • . • . • • . • • • . • • • • • . • • • • • • . • • .• 44
6. Komma-Kategorien.................................................. 48
7. Graphen und freie Kategorien •••••••. • . • . . • • • • • • • • • • • • • • • • . • . • . . • . • • .• 51
8. Quotienten von Kategorien ••• • . • . . . . • . • . • • . • • . • • • • • . . • • • • • . • • . . . . • • • .• 54
III. Universelle Konstruktionen und Limites 57
1. Universelle Pfeile •• • • • . • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • . • • . •• 57
2. Das Yoneda-Lemma. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • . • • • • • • • • •• 62
3. Coprodukte und Coli mites ••••••••••••••••••.•••••••.•••••.••••.•••••. 65
4. Produkte und Limites ••••••••.••••.•••••••••..•••••••••••••..•.•••.•• 72
5. Kategorien mit endlichen Produkten ••••••••••••••••••••••..•.•....•.•• 77
6. Gruppen in Kategorien ••••••••••.••..•••••••••••••••..•••.••••.••.••. 79
IV. Adjungierte Funktoren ••••••••..••••••••••••••••.••.••••.•••••••..•••••• 82
1. Adjunktionen ••••.•••.•.•••••••••••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • . • . . • . • •• 82
2. Beispiele fur Adjungierte • • . • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • . . • . • • • •• 91
3. Reflektive Unterkategorien .••.•.••••••••.•.••••••••••.••.•••••..•••.• 95
4. Aquivalenz von Kategorien • • • • • • • • • • • • . . • • • • . • . • • • • • • . . • • . • • • . • . • . . . .• 97
5. Adjungierte fur Vorordnungen ••...•.••••••••••••••.••••••••••..••••••• 100
6. Kartesisch abgeschlossene Kategorien ••.•..••••••••.•••.•••••••••.•••• 103
7. Transformation von Adjungierten ..•..•.••.•.•••••••••••••.••..••....•• 104
8. Komposition von Adjungierten .•.••••••••••.••••••••••.•••.••...•....•• 110
VI
V. Limites •••.••••••••••••••.•••.•••.••.•••••.••••••••••••.•••..•••••••••. 113
1. Erzeugung von Limites ••••.•••••••.••••••••••.••••••••.•.•.••.•••.••• 113
2. Existenzkriterien fur Limites, die Produkte und Differenzkerne benutzen .. 117
3. Limites mit Parametern ••••••••.••••••••.•••••••••••.••••••••.•••.•.. 120
4. Respektierung von Limites •••••••••••••••••••••••••••••••••.•••••••••. 122
5. Verhalten von Adjungierten auf Limi tes ••••••••.•••••••••••••..••••.••• 124
6. Der Hauptsatz von Freyd fUr adjungierte Funktoren ••••••••••••••••.••.. 126
7. Unterobjekte und Generatoren ••••••••••••••••••••••••••••.•.•••••••••• 133
8. Der spezielle Hauptsatz fur adjungierte Funktoren •••••••••••.•••••••••• 136
9. Adjungierte in der Topologie •••••.•••••••••••.•••••.•••••.••.••••••... 140
VI. Monaden und Algebren •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 146
1. Monaden uber einer Kategorie •••••.•••••••••••••••••••••••••.•••••••• 146
2. Algebren zu einer gegebenen Monade •••••••••••••••.•••••.•.•.•••••••• 149
3. Der Vergleich mit Algebren •••.•••••••••••.•••.•••••••••.••••.•..•.•. 152
4. Worte und freie Halbgruppen •••.•.••••••.••••••••••.•••••.•..••••••.•• 153
5. Freie Algebren zu einer gegebenen Monade •.••••••••••••••••••••.•••••• 157
6. Aufspaltende Differenzcokerne •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 159
7. Der Satz von Beck •••••••••••••••.•••••••••••••••••••••.•••••••.••••• 162
8. "Algebren sind T-Algebren" •••••••••••••••.••••••••••••••.•.••••..•.• 168
9. Kompakte Hausdorffsche Raume •••••.••••••••••••••••••••.•...••••••.• 170
VII. Monoide " •••••••••••.•••••••••..•..•••••••.••••••••••.•••••••••••.•••• 174
1. Monoidale Kategorien •••••••••..•••••••••••••••••••••••••••••••••.••• 174
2. Koharenz •••.•••••.•••••••.••..•.•.••••••••••••••••••••••••••••••••• 179
3. Monoide •.••.••.••.•••.•••....•••••••...••••••••••.•••.•.•••••••••.• 185
4. Operationen •••••••.•••••••••••••••••••.••.••••••••••••.•.•••••.••.•• 189
5. Die simpliziale Kategorie •••••.•••••.•••••••••••••••••••••••••••••••• 190
6. Monaden und Homologie •••••••••.••••..••..•••••.•.••••••••••••••••.. 197
7. Abgeschlossene Kategorien •••••••••••.••.•••••••••••••••••••••••.••.• 200
8. Kompakt erzeugte Riiume •.••••.•••••.••••••••.••••••••••.••••.••••..• 201
9. Schleifenraume und Einhangungen ••..•••..•••••••••••..•••.•••.•••••.• 205
VIII. Abelsche Kategorien •..•••.••••.••.••.••••••.•••••••.••••.••••••....•••• 209
1. Kerne und Cokerne •.•••.••.••.•••••••.••••••••••••••••••.•.•.••••••• 209
2. Additive Kategorien .•••••••••.•••••••.•••••••••••••.••••••.•••••.•••• 212
3. Abelsche Kategorien •••••••.•.•••.••.•••••••••••••.•••••••••••••.•.•. 217
4. Diagrammlemmata •••..•••.••.••••..•••••.•••••••.•..••••.••...••.•• 222
IX. Spezielle Limites ••••...••••.•••••••••.•.•••••••.•.••••.•••••••.•••••••• 231
1. Filtrierende Limites •.•••.••••.••.•.••••••.•••••••••••••••••••.•••.•• 231
2. Vertauschung von Limi tes ••••••••••••••••.••••••••••••••.•••••••••••• 235
3. Finale Funktoren •••••••.••••••.•••••.•••••••••••••••••••••••.••.•••• 238
4. Diagonalnaturlichkei t ••••••••••..••••••.•••••••.•••••••.•••••.•••.•.• 240
5. Enden •.•••.•••••..••••..••••.•.••••..••••••••••••••••••.•••.•••.•.. 245
6 • Coenden •.••••••••.•.••..•.••••.•.••.•••••.•••••••••••••.••••.•.•••. 249
7. Enden mit Parametern •••••••.•.••••••••••••••••••••••••.•••••••••••• 251
VII
X. Kan-Erweiterungen ...••.••....••.•.•.••.••••••.•.••••••••..•.......•••• 257
1. Adjungierte und Limites .•.••...•..•••....•.••••••••....•.... , .•.....• 257
2. Schwach universelle Konstruktionen •..•.•.•••...•••.•..•......•.•.••.• 260
3. Die Kan-Erweiterung •.•.•...••.••....•••.•.•••••.••..•..•... , ..••.••• 261
4. Kan-Erweiterungen als Coenden ....••.•••••...•••.•.•.•••.•.. , •••.••.• 266
5. Punktweise Kan-Erweiterungen .•...••••..•••.••..••.••••.•..•...•.••• 269
6. Di chte Funktoren •••••.•••....•...•.••.•..•••.•••....••••...••••••••• 272
7. Interpretation aller Begriffe als Kan-Erweiterungen ••••.•.... , ., ..•.•••• 275
Literaturverzeichnis •••.•.••...•..•.....•..•.....•••.•...•••••••.•.....•...•• 281
Sachverzeichnis .••••••.•.••••...•..•••••.••.•••.•••••...•.•••...•..•..•••••• 285
Einleitung
Die Theorie der Kategorien beginnt mit der Beobachtung, daB sich durch eine Darstel
lung mittels Diagrammen von Pfeilen viele Eigenschaften mathematischer Systeme ein
heitlich erfassen und vereinfachen lassen. J eder Pfeil f: X -'> Y stellt eine Abbildung
dar, d. h. eine Menge X, eine Menge Y und eine Vorschrift x ~ fx, die jedem Element
xEX ein Element fxEY zuordnet (wenn moglich, lassen wir unnotige Klammern fort
und schreiben fx statt f(x». Ein typisches Diagramm von Mengen und Abbildungen ist
Y
Y"Z
X .Z
h
es ist kommutativ, wenn h von der Form h = g. fist, wobei g. f die ubliche zusam
mengesetzte Abbildung g. f: X -'> Z ist, die vermoge x ~ g(fx) definiert wird. Die
gleichen Diagramme treten auch in anderen mathematischen Zusammenhangen auf; so
stellen in der "Kategorie" aller topologischen Raume die Buchstaben X, Y und Z to
pologische Raume dar, wahrend f, g und h fur stetige Abbildungen stehen. Dagegen
bezeichnen in der "Kategorie" aller Gruppen X, Y und Z Gruppen, wahrend f, g und h
fur Homomorphismen stehen.
Viele Eigenschaften mathematischer Konstruktionen lassen sich durch universelle
Eigenschaften von Diagrammen darstellen. Man betrachte das kartesische Produkt
X X Y zweier Mengen X und Y, das wie ublich aus allen geordneten Paaren (x, y )
vonElementen xEX und yEY besteht. Die Projektionen (x,y)I-?X, (x,y)l-?y der
Produktmenge auf ihre "Koordinatenachsen" X und Y sind Abbildungen p: X X Y -'> X
bzw. q: X X Y -'> Y. Eine beliebige, auf einer dritten Menge W definierte Abbildung
h: W -'> X X Y wird eindeutig bestimmt durch ihre Komposita p. h und q. h. Sind umge
kehrt die Menge W und zwei Abbildungen fund g wie im folgenden Diagramm gegeben,
so existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung h, die das besagte Diagramm kommuta
tiv macht, namlich hw = (fw,gw):
W
/I~
X ___ xxY-Y.
p q
2
Sind also X und Y gegeben, so ist (p,q) "universell" unter den Paaren von Abbildun
gen einer beliebigen Menge in X bzw. Y, da irgendein anderes derartiges Paar (f, g) ein
deutig tiber das Paar (p,q) (durch h) faktorisiert. Durch diese Eigenschaft ist das karte
sische Produkt X x Y eindeutig (bis auf eine Bijektion) bestimmt. Wird das gleiche Dia
gramm in der Kategorie der topologischen Raume oder der Gruppen gelesen, so be
schreibt es eindeutig das kartesische Produkt von Raumen bzw. das direkte Produkt
von Gruppen.
Diese universeIlen Eigenschaften lassen sich auch mit Hilfe des Begriffs des Ad
jungiertseins formulieren. Schreiben wir Hom(W,X) fUr die Menge aller Abbildungen
f: W ~ Y und Hom ( (U , V) , (X, y» fUr die Menge aller Paare von Abbildungen f: U -7 X ,
g: V -7 Y, so ist die im obigen Diagramm angedeutete Zuordnung h >-? (ph, qh) = (f, g )
eine Bijektion
Hom(W,XXY)~Hom«W,W), (X,Y».
Diese Bijektion ist "nattirlich" in dem (spater zu prazisierenden) Sinne, daB sie "auf
gleiche Weise" fUr aIle Mengen W und ftir aIle Mengenpaare (X, Y ) definiert ist.
(Ahnlich ist sie "nattirlich", wenn sie fUr topologische Raume oder fUr Gruppen inter
pretiert wird). Die genannte Bijektion erfordert zwei Konstruktionen mit Mengen: einer
seits die Konstruktion W t-+ (W, W) , die jede Menge in das Diagonal-Paar 6W = (W, W)
tiberftihrt, andererseits die Konstruktion (X, y) t-+ X X Y, die jedes Paar von Mengen in
ihr kartesisches Produkt tiberftihrt. 1st die obige Bijektion gegeben, so bezeichnen wir
die Konstruktion X X Y als eine R e c h t sad j u n g i e r t e zur Konstruktion 6 und 6 als
eine Linksadjungierte zur Produktbildung. Wir werden sehen, daB Adjungierte
sehr haufig in der Mathematik anzutreffen sind.
Die Konstruktion "kartesisches Produkt" heiBt ein "Funktor", da sie sich in geeig
neter Form auf Mengen und auf Abbilduhgen, die zwischen ihnen definiert sind, an
wenden laBt; zwei Abbildungen k: X -7 X' und l: Y ~ Y I besitzen als kartesisches Pro
dukt die Abbildung k Xl, die vermoge
k X I: X X Y -7 X I X Y , , (x, y') t-+ (kx, ly )
= 10 I
definiert wird. Man beachte ferner, daB die einpunktige Menge 1 unter der
Operation "kartesisches Produkt" die Rolle eines Einselementes spielt, denn wir haben
die Bijektionen
A P
(1)
1XX~X(-XX1
die durch ). (O,x) = x und p (x,O) = x definiert sind.
Der Begriff eines Monoids (d.h. einer Halbgruppe mit Einheit) spielt eine zentrale
Rolle in der Theorie der Kategorien. Ein Monoid M laBt sich beschreiben als eine Menge
M, zu der zwei Abbildungen
IJ.: MXM-7M, 1]: 1~M (2)
gegeben sind derart, daB die beiden folgenden Diagramme kommutativ sind:
3
l XfJ. T]Xl lXT]
MXM!x M .. MXM lXlM .. MXlM • MXl
l~ ~ ~
( 3)
fJ. xl .. A p
~
MxM M M M M
Hierin steht 1 in 1 X ~ fiir die identische Abbildung M ~ M, wahrend 1 in 1 X M die
10 I
einpunktige Menge 1 = bezeichnet; A und p sind die Bijektionen aus dem obigen Dia
gramm (1). Die Kommutativitat dieser Diagramme bedeutet, daB die folgenden Kompo
sita einander gleich sind:
Die obigen beiden Diagramme lassen sich unter Verwendung von Elementen umformulie
reno Hierzu schreiben wir z.B. die Abbildung ~ als ein Produkt ~(x,y) = xy fiir x,yEM
und ersetzen die auf der einelementigen Menge 1 = 101 definierte Abbildung T] durch
ihren (einzigen) Bildpunkt, etwa T] (0) = u EM. Die genannten Diagramme gehen dann
iiber in
(x,y,z) 1-1----..- (x,yz) (O,xh---(u,x) (x,u)~<x,O)
t t l l l
(xy,z)...--(xy)z = x(yz) , x=====ux xu====u
Es handelt sich also genau urn die bekannten Monoid-Axiome: Die Multiplikation ist as
soziativ und besitzt ein Element u als Links- und Rechtseinheit. Dieses Beispiel macht
umgekehrt deutlich, wie sich algebraische Identitaten mit Hilfe von kommutativen Dia
grammen ausdriicken lassen. Das gleiche Verfahren laBt sich auch auf andere Identi
taten anwenden. Beispielsweise kann man eine Gruppe als ein Monoid M beschreiben,
auf dem eine Abbildung t;;: M ~ M (dies ist natiirlich die Abbildung x ~ x -1) definiert
ist derart, daB das folgende Diagramm kommutativ ist:
.. ..
Ii lxt;;
M MXM MXM (x,x) ~ (x,x-1)
x~
l tl
~ t~ (4)
..
1 M O..........--u xx
Hierin steht Ii: M ~ M X M fUr die Diagonalabbildung x ~ (x, x) , x EM, wahrend der un
10 I
markierte senkrechte Pfeil M ~ 1 = natiirlich die (eindeutig bestimmte) Abbildung
10 I
von M auf die einpunktige Menge darstellt. Wie auf der rechten Seite in (4) ange
deutet ist, besagt das Diagramm, daB die Abbildung (; jedem Element x EM ein Element
x -1 zuo rdnet, das recht sinve rs zu x i st •
Die erwahnte Definition einer Gruppe mit Hilfe von Pfeilen ~, T] und t;;, die in kom
mutativen Diagrammen der oben angegebenen Form auftreten, benutzt nicht explizit die
Gruppenelemente; sie laBt sich daher auch in anderen Fallen anwenden. Steht der Buch
stabe M fUr einen topologischen Raum (und nicht lediglich fUr eine Menge) und stellen
die Pfeile stetige Abbildungen (und nicht lediglich Abbildungen) dar, so definieren die
Bedingungen (3) und (4) eine topologische Gruppe: Aus (3) und (4) ergibt sich nam
lich, daB M ein topologischer Raum zusammen mit einer zweistelligen Verkniipfung ~