Kapitel 8 Aktive RC-Filter

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ZHAW, ASV, FS2008 8-1

Kapitel 8 Aktive RC-Filter

Inhaltsverzeichnis

8.1 Einführung.................................................................................................................2
8.2 Filterfunktionen 1. und 2. Ordnung............................................................................3
8.2.1 Filter erster Ordnung:..................................................................................3
8.2.2. MLF Filter zweiter Ordnung........................................................................4
8.2.3 Filterdimensionierung MLF...................................................................................10
8.3 Filterschaltungen nach Sallen&Key.........................................................................12
8.3.1 Filterdimensionierung Sallen&Key............................................................15
8.4 Das Universal Aktiv Filter (UAF)..............................................................................18
8.4.1 UAF- Eigenschaften..................................................................................19
8.4.2 Biquad Filter..............................................................................................20
8.4.3 Andere Biquad-Filterschaltungen..............................................................21
8.4.4Tow-Thomas Feedforward Biquad.............................................................21
8.5 Literaturangaben.....................................................................................................23
Anhang A1: Berechnung der Übertragungsfunktion.....................................................24
Anhang A2: Praktische Design Tipps:...........................................................................25
Anhang A3: Hohe Unterdrückung bei S&K Filter..........................................................26
Anhang A4: Praktische Design Tipps:...........................................................................27
Anhang A5: UAF / Biquad Filter Block 8. Ordnung........................................................28
ZHAW, ASV, FS2008 8-2

8.1 Einführung

Die Signale im Basisbandbereich von nachrichtentechnischen Geräten, Messgeräten,
Sensoren und Aktoren müssen oft in ihrer Bandbreite exakt konditioniert werden. Zum
Beispiel ist die Begrenzung des Rauschsignalpegels im Hinblick auf ein möglichst gutes
Signal/Geräuschverhältnis wichtig, da dieses Verhältnis direkt die Bitfehlerrate einer
Übertragung bestimmt. Auch Messsignale müssen oft von Nebensignalen „gereinigt“
werden, welche sonst den Messwert verfälschen würden. Störsignale können sogar so
gross sein, dass sie in Verstärkern Verzerrungen herbeiführen und die eigentliche
Verstärkung des Nutzsignals erst gar nicht erlauben.

Fig. 8-0: Blockschaltbild eines drahtlosen Telemetrie-Sensors (WLAN basiert)

Beim Beispiel in Fig. 8-0 werden im obersten Messzweig Messsignale aus dem Rauschen
herausgepflückt, bevor sie weiter verstärkt und digitalisiert werden können. Da auch für den
A/D-Wandler das Abtasttheorem eingehalten werden muss, ist aller meistens ein gutes
präzises Filter vor dem Wandler unabdingbar. Die meist gebräuchliche und sehr präzise
Filtertechnik ist die aktive RC-Technik . Sie gibt dem Designer viel Freiheit und ist sehr Platz
sparend. In SC-Technik kann sie auch integriert werden.
RC-Filter nutzen die beliebten Op-Amp als aktive Elemente und die passiven Bauelemente
R und C sind in genügend guter Toleranz und Werte-Abstufung erhältlich, ganz im
Unterschied zu Induktivitäten.
Der Einsatzbereich reicht von einigen Hz bis einige 10 MHz und Bandbreiten von 1% -
100% der Mittenfrequenz, was Güten von bis einige 100 entspricht.
ZHAW, ASV, FS2008 8-3
8.2 Filterfunktionen 1. und 2. Ordnung
Im letzten Kapitel wurden die Übertragungsfunktionen für verschiedene Filter hergeleitet und
auf eine Serieschaltung von Blöcken erster und zweiter Ordnung zurückgeführt (Fig.8.1). Mit
Hilfe der Tabellen für den Tiefpass können alle Koeffizienten der Übertragungsfunktion für die
jeweilige Spezifikation berechnet werden. In diesem Kapitel werden nun die
schaltungstechnische Realisation und die Dimensionierung der Schaltungen behandelt. Dabei
wird jede Stufe entsprechend den Vorgabewerten ζ , ω (TP, HP), ζ’, ω ’ , ζ’’, ω ’’ (BP, BS)
i 0i i 0i i 0i
dimensioniert, welche aus den entnormierten und allenfalls transformierten
Filtertabellenwerten stammen.

Fig. 8-1: Kettenschaltung von n/2 Filterstufen zweiter Ordnung zum Gesamtfilter

Für ungerade Filterordnungen n wird zu der Kette noch eine Stufe 1. Ordnung benötigt.

8.2.1 Filter erster Ordnung:
Es werden nachfolgend lediglich aktive RC-Filter behandelt. In Figur 8-1a und 8-1b findet
man je zwei Schaltungen für den Tiefpass und den Hochpass. Sie unterscheiden sich durch
das Vorzeichen der Verstärkung. Der Pol liegt bei s = - ω in der s-Ebene. Die
0
Übertragungsfunktion fällt mit 20 dB/Dekade oberhalb, bzw. unterhalb der Grenzfrequenz
ω . K entspricht jeweils der Stufenverstärkung im Durchlassbereich.
0 0

R +R
3 2
K R
T(s)= 0 = 3
s 1+sR C
1+ 1 1
ω
0

R
− 2
−K R
T(s)= 0 = 1

s 1+sR C
1+ 2 1
ω
0

Fig. 8-1a: Schaltungsbeispiele für den Tiefpass 1. Ordnung
ZHAW, ASV, FS2008 8-4

Die Kapazität C kann frei gewählt werden, vorzugsweise aber so, dass Widerstände
erhalten werden, welche für den Op-Amp einen optimalen Betrieb gewährleisten (1 kΩ ...1
MΩ). Bei der Bemessung der Verstärkung als Teil einer gesamten Filterverstärkung ist
darauf zu achten, dass der Op-Amp im linearen Arbeitsbereich bleibt.

s R +R
K 3 2 sR C
0 ω R 1 1
T(s)= 0 = 3
s 1+sR C
1+ 1 1
ω
0

s R
−K − 2 sR C
0 ω R 1 1
T(s)= 0 = 1
s 1+sR C
1+ 1 1
ω
0

Fig. 8-1b: Schaltungsbeispiele für den Hochpass 1. Ordnung

8.2.2. MLF Filter zweiter Ordnung

Eine ganze Klasse von Filternschaltungen 2. Ordnung basiert auf passiven LCR
Schaltungen. Diese Filter haben vor allem im Hochfrequenzbereich sehr grosse Bedeutung
(siehe Kap.7). In der Elektronik sind aber Induktivitäten wegen ihrer Grösse, Kosten und
Nichtidealitäten nur noch in wenigen Fällen zu finden, zum Beispiel wenn keine
Stromversorgung vorhanden ist, wenn die Kapazitätswerte sehr gross würden und im
Bereich EMV Schutz, wo sehr hohe Störspannungen die aktiven Bauteile zerstören würden.
Wir beschränken uns auch hier auf aktive RC-Filter Schaltungen.
Als erste Implementations-Form wird die Familie der so genannten Multiple-Loop
Feedback (MLF) Filter betrachtet.
Ihre Hauptvorteile: Stets stabil, Common-Mode freie Beschaltung und wenig sensitiv auf
Bauteiltoleranzen.
Ihre Hauptnachteile: grosse Spreizung der Bauteilwerte limitiert erreichbare Güten

Nachfolgende Fig. 8-2 bis 8-4 zeigen je eine Schaltung für Tiefpass, Hochpass und
Bandpass 2. Ordnung. Der Übersichtlichkeit zu Liebe wird in den Formeln auf die Indizes i
und Striche der jeweiligen Stufenfolge verzichtet.

Je nach Filterstandardwerk wird in der Normalform der Übertragungsfunktion 2. Grades mit
dem Dämpfungsmass ζ gearbeitet oder mit der Polgüte (kurz Güte) Q.

1
Es gilt dann die Umrechnung: Q =
2ζ
ZHAW, ASV, FS2008 8-5
Die Polgüte Q entspricht der vom Parallelschwingkreis her bekannten Güte Q. Kleine Q
Werte – wenig selektiv, grosse Q-Werte - schmalbandige Wirkung. Q (cid:1) ∞ bedeutet
Oszillation.

MLF-Tiefpass

−K
T(s) = 0
ζ s2
1+2 s+
ω ω2
0 0

ζC ± ζ2C2 −(K +1)C C 1
R = 2 2 0 1 2 R = R /K R =
2 ω C C 1 2 0 3 ω2C C R
0 1 2 0 1 2 2

C 1+K
Bedingung für reellen Wert von R : 2 > 0
2 C ζ2
1
Fig. 8-2 Tiefpass 2. Ordnung

Beim Tiefpass lassen sich die Werte von C und C frei wählen, solange R noch reell bleibt.
1 2 2
Da für R zwei Lösungen möglich sind, wird diejenige mit dem besser an den ausgewählten
2
Op-Amp angepassten Widerstandswert gewählt (1kΩ…1MΩ).
Für die Reihenfolge und die Aussteuerung der einzelnen Stufen ist auf die in jeder Stufe
innewohnende Polgüte Q = 1/2ζ zu achten. Die Übertragungsfunktion erbringt bei diesen
Frequenzen u.U. markant grössere Signalpegel als das Gesamtfilter schlussendlich
aufweist.

Fig. 8-2b: Chebishev 10. Ordnung: Teilfrequenzgänge 2. Ordnung mit Polgüten Q

Fig. 8-2b zeigt ein extremes Beispiel mit einem Chebishev Tiefpass 10. Ordnung mit 3 dB
ZHAW, ASV, FS2008 8-6
Welligkeit im Durchlassbereich. Die 5. Stufe hat eine Spannungsüberhöhung im Bereich der
Grenzfrequenz von gut 30 dB. Es gilt gut zu überlegen, an welcher Stelle diese Stufe in der
Schaltung auftreten soll, um keine Verzerrungen zu erzeugen. I.A. ist eine spätere Position
in der Kette gut, da dann Signale im betreffenden Bereich schon vorgefiltert sind. Man kann
auch die Verstärkungen der einzelnen Stufen ungleichmässig verteilen um allfällige Problem
zu mildern.

MLF-Hochpass

s2
ω2
T(s) = −K 0
0 ζ s2
1+2 s+
ω ω2
0 0

2ζ 1
K = C /C R = R =
0 1 2 2 ω (C +C +C ) 1 ω2R C C
0 1 2 3 0 2 2 3

Fig. 8-3: Hochpass 2. Ordnung

Die Schaltung für den Hochpass hat dieselbe Struktur wie die des Tiefpasses, es sind aber
alle Widerstände durch Kapazitäten ersetzt worden und umgekehrt (Dualität). Die
Kapazitätswerte können beliebig vorgewählt werden. Etwas unschön ist, dass die
Verstärkung K durch das Verhältnis zweier Kapazitäten bestimmt ist. Diese Elemente sind
0
bekanntlich mit grösserer Toleranz behaftet als Widerstände. Für eine Integration ist
allerdings das Verhältnis zweier Kapazitäten sehr genau einhaltbar.

MLF-Bandpass

Das aktive Bandpassfilter in Fig. 8-4 ist aus der Vielfalt von Möglichkeiten ausgesucht
worden, weil es den Vorteil hat, dass die beiden Kapazitäten gleich gross vorgewählt
werden können. Dies ist für den diskreten Aufbau von Vorteil, da Widerstände in feinerer
Abstufung zur Verfügung stehen als Kondensatoren und meist nur wenige C-Werte mit
geringer Toleranz verfügbar sind. Die Verstärkung K ist definiert als die Verstärkung bei der
0
Resonanzfrequenz ω des 2- poligen Gliedes, also der Bandmitte der jeweiligen Stufe 2.
0
Ordnung. Man muss nun aber für eine Kettenschaltung beim Bandpass oft eine
vorgegebene Verstärkung in der Bandmitte des Gesamtfilters einhalten. Diese Verstärkung
kann prinzipiell beliebig auf die einzelnen Glieder verteilt werden.
ZHAW, ASV, FS2008 8-7

2ζ
s
ω
T(s) = −K 0
0 ζ s2
1+2 s+
ω ω2
0 0

1 1 ζ
R = R = R = Vorgabe: C
1 2K ω ζC 2 ω ζC 3 ω C(1−2K ζ2)
0 0 0 0 0

Fig. 8-4: Bandpass 2. Ordnung, in Klammer die Abstimmempfehlung

Dabei darf das Ausgangssignal jeder Stufe bei keiner Frequenz durch die Sättigung des Op-
Amp verzerrt werden. Damit ein möglichst hohes Signal/Geräuschverhältnis resultiert (z.B.
96 dB vor einem 16 Bit A/D Wandler), ist es andrerseits erwünscht alle Glieder möglichst
gut auszusteuern. In der Praxis wählt man daher für den ersten Verstärker in der Filterkette
einen rauscharmen Op-Amp und verstärkt das Eingangssignal so weit als möglich. Die
restlichen Stufen haben dann nur noch eine geringe Verstärkung.
Das ist noch nicht die ganze Wahrheit. Aus dem Vergleich der mathematischen
Übertragungsfunktion T(s) des Bandpasses (Kapitel 7) mit jener der Teilübertragung aus
Fig. 8-4 ergibt sich aber eine Verstärkungskorrektur, da ω ’(‘’) der Teilstufen nicht gleich ω
0i 0
des Gesamtfilters ist. Aus einem Koeffizientenvergleich ergibt sich folgende Formel für die
ein und zwei-gestrichenen Teilfilter:

v ω ' v ω '' 1 1
K '= 0i 0i K ''= 0i 0i Q' = Q'' =
0i ω2 2⋅ζ ' 0i ω2 2⋅ζ '' i 2ζ ' i 2ζ ''
0 i 0 i i i

Erinnerung aus Kapitel 7: v ist die i-te Grenzfrequenz der äquivalenten Tiefpassstufe, ω
0i 0
die Mittenfrequenz des Gesamtfilters und ω ’ ω ’’ ζ’ ζ’’ die Mittenfrequenzen und
0i 0i i i
Dämpfungsmasse der Teilstufen aus der Bandpasstransformation. Die Polgüten der i-ten
Teilstufen sind Q’ und Q’’. Die Gesamtverstärkung wird nach Einhaltung dieser Skalierung
i i
genau 1.
Um die in der Praxis spezifizierte Verstärkung K zu erhalten muss folgende Verstärkung
tot
K realisiert werden:
real

K = K ∏K 'K ''
real tot 0i 0i
N

Die Reihenfolge der Glieder 2 bis 2n und die tatsächliche Verteilung der Verstärkung K
real
soll so gewählt werden, dass eine Übersteuerung verhindert werden kann. Dies hängt auch
von der konkreten Signalkonstellation ab, welche es zu filtern gilt.
Die Bandpass-Transformation liefert für die meisten Stufen kleine Werte für das
Dämpfungsmass ζ, also fordert hohe Polgüten Q, um die geforderte Schmalbandigkeit zu
erhalten. Fig. 8-5 zeigt illustrativ die Wirkung eines hohen Wertes von Q an der Teilstufe 2.
Ordnung.
ZHAW, ASV, FS2008 8-8
Für jede Teilstufe 2.Ordnung entspricht die Polgüte gerade der Bandpass Güte B/ω wie
0
man sie vom Schwingkreis kennt (Indizes weggelassen).

Fig. 8-5 Normierter Frequenzgang Bandpassstufe 2. Ordnung mit Güte 1 und 10

In der Praxis ist der Abgleich der einzelnen Bandpassstufen 2. Ordnung nicht ganz einfach.
Am Besten wird anstelle von Q auf die Bandbreite der Teilstufe abgezielt. Man gleicht zuerst
ω ab und sucht danach die beiden Frequenzen mit +45o und -45o Phasendrehung zu ω .
0 0
Die Differenz entspricht der 3 dB Bandbreite und es gilt ja für deren Berechnung:

B=ω /Q =ω ⋅2⋅ζ
0 0

Dass die Verstärkungen der Einzelstufen nicht direkt mit derjenigen des gesamten
Bandpasses einhergehen, sondern durch das Dämpfungsmass mitbestimmt sind zeigt ein
Beispiel eines Bandpasses mit 2n = 4 und Bandpass Gesamtgüte Q = ω /B = 1 in Fig. 8-6,
B 0
zusammengesetzt aus den Teilfiltern A1 und A2. Ebenfalls eingetragen ist die Filterkurve
eines Bandpass 4. Ordnung mit Gesamtgüte Q = 10.
B

Fig. 8-6 Vergleich Bandpass 4. Ordnung: mit Bandpass Gesamtgüte Q = 1 und Q = 10
B B
ZHAW, ASV, FS2008 8-9
Abschliessend soll eine Schaltung für eine Bandsperre betrachtet werden. Bandsperren
brauchen ein Nullstellenpaar auf der jω-Achse, deren Erzeugung nicht so einfach ist.
Eine brauchbare aktive Schaltung basierend auf dem bekannten Doppel-T-Glied ist in Fig.
8-7 gezeichnet. Sie eignet sich nur für Bandsperren 2. Ordnung (Pollage = Nullstellenlage),
kann also nicht in Kette mehrstufig eingesetzt werden. Die Schaltung ist nicht-invertierend
und die Verstärkung leider nicht frei wählbar. Im Gegenteil, es muss die Verstärkung
abgeglichen werden um gute Sperrwirkung zu erreichen und K darf auf keinen Fall den
0
Wert 2 übersteigen, sonst wird die Schaltung instabil und zum Oszillator (Wien-Robinson-
Oszillator). Für schmalbandige Filter geht ζ --> 0, so dass die Verstärkung sehr nahe an den
Wert 2 kommen kann und die Bauteiltoleranzen mit zu berücksichtigen sind.

Bandsperren höherer Ordnung basieren auf asymmetrischen überbrückten T-Gliedern. Die
Berechnung ist sehr aufwendig und in Anbetracht der Genauigkeitsanforderungen an die
Bauelemente zur Erhaltung der Stabilität nur mit Computer und Filterprogrammen
berechenbar (z.B. Filter Wiz Pro, http://www.schematica.com/filter_wiz_files/FWPRO.htm ).
Im Abschnitt Universal Aktiv Filter werden noch andere, bedingungslos stabile und einfach
abzugleichende Implementationen vorgestellt.

s2
1+
ω2
T(s) = K 0
0 ζ s2
1+2 s+
ω ω2
0 0

1 R +R
K = 2−ζ RC = K = 1 2
0 ω 0 R
0 1

Fig. 8-7: Bandsperre 2. Ordnung

Fig. 8-8 stellt das Resultat dieser Stufe 2. Ordnung für verschiedene Polgüten dar, am
Beispiel eines 50 Hz Netzbrumm - Unterdrückungsfilters

Fig. 8-8: Bandsperre 2. Ordnung (Notch Filter)
ZHAW, ASV, FS2008 8-10

Dies sind längst nicht alle bekannten aktiven Filterschaltungen 2.Ordnung. Man kann aber
für andere Schaltungen aus der Literatur immer selber die Übertragungsfunktion berechnen,
auf die Normalform bringen und die Dimensionierungsformeln herleiten (siehe Anhang A1) .
Filter 3. Ordnung mit nur einem Op-Amp findet man eher selten, noch höhere Ordnungen
sind nicht mehr zweckmässig und schwierig abgleichbar.

8.2.3 Filterdimensionierung MLF

Tiefpass

Die Dimensionierungsformeln von Fig. 8-2 können auf 2 Arten sinnvoll umgesetzt werden:

1) Gleiche Widerstände: R = R = R = R und freie Wahl von C
1 2 3 1
Nachteil: K ist dabei nicht wählbar: K = 1
o o
C ist kein Standardwert
2

2) Standardkapazitäten: C frei wählen und C > C (K +1)/ζ2 wählen
1 2 1 o
Vorteil: K wählbar, Präzise C-Werte einsetzbar
o

Generelle Eigenschaften des MLF TP:

Benötigt nur einen Op-Amp pro Ordnung 2. Das Filter ist stets stabil.

Komponentenspreizung (Wertebereich C und/oder R) ist gross und proportional Q2
Op-Amp Transitfrequenz f muss proportional zu ω * K * Q2 gewählt werden.
T o o
Der Abgleich von ω und ζ ist i.A. nicht unabhängig voneinander möglich.
o
(cid:1) Diese Tatsachen machen den praktischen Einsatz bis zu Güten Q < 10 sinnvoll.

Hochpass

Die Dimensionierungsformeln von Fig. 8-3 können auf 2 Arten sinnvoll umgesetzt werden:

1) Drei gleiche Kapazitäten: C = C = C = C und C frei wählen
1 2 3
Vorteil: nur einen Standardwert für C
Nachteil: K ist nicht frei wählbar, K = 1
o o

2) Zwei gleiche Kapazitäten: C = C = C und C frei wählen
1 3
Vorteil: K frei wählbar
o
Nachteil: C nicht Standardwert
2

Generelle Eigenschaften des MLF HP:

Benötigt nur einen Op-Amp pro Ordnung 2. Das Filter ist stets stabil.

Komponentenspreizung (Wertebereich C und/oder R) ist gross und proportional Q2
Op-Amp Transitfrequenz f muss proportional zu ω * K * Q2 gewählt werden.
T max o
Der Abgleich von ω und ζ ist i.A. nicht unabhängig voneinander möglich.
o
(cid:1) Diese Tatsachen machen den praktischen Einsatz bis zu Güten Q < 10 sinnvoll.