KANGNI Kinvi TOURE Saliou

272 Pages·2010·1.58 MB·French

Troisième cycle
ANALYSE HARMONIQUE ABSTRAITE
Nouvelle édition,
KANGNI Kinvi

TOURE Saliou
ANALYSE HARMONIQUE ABSTRAITE
TABLE DES MATIERES
Introduction ................................................................3
Chapitre I : Groupes Topologiques ..........................................7
§ I-1 Généralités sur les groupes topologiques...........................7
I-1-1 Notions de base .................................................7
I-1-2 Intégration sur un groupe localement compact ................. 27
I-1-3 Notions de paire de Guelfand . .................................41
§ I-2 Groupes de Lie ..................................................54
I-2-1 Variétés différentiables.........................................54
I-2-2 Structure de base d’un groupe de Lie............................60
I-2-3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie...............................65
I-2-4 Groupes de Lie linéaires.........................................68
Chapitre II LES ALGEBRES DE LIE......................................89
§ II-1 Généralités sur les algèbres de Lie .............................. 90
II-1-1 Définitions et Exemples........................................90
II-1-2 Homomorphismes d’Algèbres de Lie............................94
II-1-3 Dérivation.....................................................96
II-1-4 Produit tensoriel...............................................99
II-1-5 Extension du corps des scalaires et modules...................101
§ II-2 Algèbres de Lie nilpotentes et résolubles.......................106
II-2-1 Définition et propriétés
des algèbres de Lie nilpotentes et résolubles .................... 107
II-2-2 Les théorèmes d’Engel et de Lie .............................. 117
II-2-3 Formes bilinéaires invariantes.................................124
II-2-4 Critères de Cartan pour les algèbres de Lie résolubles.........126
§ II-3 Algèbre de Lie semi-simples ................................... 133
II-3-1 Propriétés élémentaires de algèbres de Lie semi-simples.......133
II-3-2 Réductibilité complète des représentations....................139
1
II-3-3 Sous algèbre de Cartan d’une algèbre de Lie..................141
Chapitre III Théorie des Représentations ................................145
§ III-1 Représentations des Groupes Topologiques ...................145
III-1-1 Représentations des groupes localement compacts............145
III-1-2 Représentations des groupes compacts........................160
III-1-3 Applications au groupe de Heisenberg........................172
§ III-2 Représentation Induite ......................................179
III-2-1 Représentations différentiables...............................179
III-2-2 Représentations unitairement induites d’un groupe de Lie ...185
III-2-3 Système d’imprimitivité .....................................195
III-2-4 Théorème de réciprocité de Frobenius .......................202
Chapitre IV : Fonctions sphériques ......................................205
§ IV-1 Généralités sur les fonctions sphériques.........................205
IV.1-1 Notions de base .............................................205
IV.1-2 Fonctions sphériques sur un groupe de Lie résoluble.........219.
IV.1-3 Transformation de Fourier Sphérique ....................... 244.
§ IV-2 Fonctions sphériques de Type δ ................................ 251
IV.2-1 Fonction trace sphérique .....................................251
IV.2-2 Fonction Sphérique de type δ ................................255
IV.2-3 Quelques propriétés différentielles ............................264
Bibliographie..............................................................269
2
Introduction
L’analyse Harmonique fut à l’origine, l’étude des séries de Fourier et des inté-
grales de Fourier portant sur des variables réelles. Le problème consistant, pour une
fonction donnée, à trouver les harmoniques qui la constituent (Analyse harmonique)
puis à la reconstituer à partir de ces harmoniques (Synthèse harmonique).
Cesquestionsn’ontcessédesedévelopperjusqu’ànosjours.Onpeutparexemple
les travaux de Bochner, de Plancherel, de Wiener, Paley - Wiener etc...
L’analyse harmonique fut généralisée sous l’impulsion de A. Weil aux groupes
localement compacts commutatifs quelconques.
La plupart des théorèmes démontrés pour les séries et intégrales de Fourier
furent étendus aux groupes localement compacts quelconques. Les fonctions x
−→
einx(n N) pour les séries de Fourier et x eian(a R) pour les intégrales de
∈ −→ ∈
Fourier sont les caractères pour les groupes commutatifs et des représentations irré-
ductibles pour les groupes quelconques.
C’est seulement vers 1925, avec les travaux fondamentaux de H. Weyl, qu’on
s’est aperçu que les développements en série de Fourier des fonctions périodiques
n’exprimaient pas autre chose que la décomposition de la représentation régulière
du groupe compact T = R/ , cas particulier du théorème de Peter-Weyl (III-2).
Z
La connaissance d’un objet mathématique peut s’approfondir si on l’assimile à
un membre plus élémentaire ou plus simple de la même classe, le transfert respec-
tant les propriétés essentielles. Il est possible d’obtenir ainsi des renseignements sur
les structures algébriques aussi bien que sur les structures topologiques. La com-
paraison doit s’opérer, non grâce à un isomorphisme niveleur, mais plutôt via un
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homomorphisme continu approprié.
Frobenius et Burnside se rendent compte que pour l’étude des groupes abstraits,
il y a intérêt à examiner les homomorphismes d’un groupe fini dans un groupe de
transformations linéaires. D’où l’introdution de la notion de représentation.
La théorie de représentation d’un groupe fini dûe à Frobenuis, d’une part, et celle
de la représentation des algèbres de Lie sémi-simples, mise au point par E. CAR-
TAN, d’autre part, conduisent Weyl à entamer l’étude des groupes de Lie globaux.
Il considère un groupe G qui est une variété linéaire de dimension finie et auquel
est associée une loi Crochet (u,v) [u,v] qui est additive et homogène par rap-
7−→
port à chaque variable; à la place de la commutativité et de l’associativité, on a les
relations [u,v] = [v,u],
−
[u,[v,w]]+[v,[w,u]]+[w,[u,v]] = 0
Si le groupe est matriciel, on choisit [u,v] = uv vu.
−
La théorie de la représentation d’un groupe par des transformations linéaires est
particulièrement bien adaptée à l’étude de la physique quantique.
La formulation mathématique rigoureuse unifiée de la mécanique quantique est dûe
à VON NEUMANN. Le modèle associé au système mécanique quantique est fourni
par l’espace de Hilbert H admettant une base orthonormée dénombrable. La tribu
des boréliens est remplacée par les opérateurs-projecteurs sur H.
Aussi, E. CARTAN déclare que la plupart de ses travaux mathématiques gra-
vitent autour de la théorie des groupes et qu’en réalité, comme l’a fait remarquer H.
Poincaré, les mathématiciens ont depuis bien longtemps et même avant Euclide, fait
de la théorie des groupes sans s’en douter, puisque la géométrie élémentaire n’est au
fond que l’étude d’un certain groupe particulier.
Ce manuel est le résultat des trois années de cours d’Analyse Harmonique dis-
pensé par l’auteur aux étudiants du D.E.A. de l’UFR de Mathématiques et Infor-
matique de l’Université de Cocody - Abidjan,
Il espère que ce cours suscitera chez le lecteur un intérêt particulier pour l’ana-
lyse Harmonique.
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Dans ce cours, nous donnons les bases de l’analyse harmonique abstraite non
commutative.
Dans le premier chapitre, nous introduisons les groupes topologiques, l’intégra-
tionsurungroupetopologiquelocalementcompactetlanotiondepairedeGuelfand.
Dans le deuxième chapitre, nous étudions des groupes topologiques de type par-
ticulier. Il s’agit des groupes de Lie et ses propriétés essentielles après avoir rappelé
quelques notions sur les variétés différentiables. Les groupes de Lie linéaires jouent
un très grand rôle en Analyse Harmonique. Nous en donnons quelques propriétés.
Dans le chapitre III, nous donnons la théorie des représentations qui est une
généralisation de l’analyse de Fourier classique.
L’analyse de Fourier est une méthode de décomposition des oscillations en oscil-
lations simples appelées oscillations harmoniques.
On rappelle qu’une oscillation harmonique est un mouvement donné par une
équation de la forme :
x = a cos nt+b sin nt
où t est le temps et x les coordonnées du points en mouvement.
L’oscillation f définie par :
a0 ∞
f (x) = + a cos nt+b sin nt
n n
2
n=1
X
est une superposition des oscillations harmonique.
Nous introduisons également la théorie des représentations induites des groupes
de Lie suivant la méthode de Bruhat.
La méthode de construction de représentation induite a été introduite par Mackey
quigénéraliselaméthodedeV.Bergmann,deGuelfandetdeNaïmarkpourl’obten-
tion des représentations irréductible de certains groupes classiques. Cette construc-
tion est aussi une extension de la théorie de représentation induite des groupes
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compacts développée par A. Weil et celle des représentations des groupes finis étu-
diée par G. Frobenius.
Cette méthode fournit un outil puissant pour former des représentations linéaires
d’un groupe à partir de celles de certains de ses sous-groupes.
Dans le chapitre IV, nous étudions les fonctions sphériques de type δ qui est une
extension des fonctions zonales sphériques classiques. Ces fonctions conduisent à la
transformation de Fourier généralisée Cf. [7]
Les auteurs remercient Madame KOUAO née KOUAKOU Ahou Marie
qui a bien voulu se charger de la confection matériel du texte.
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Chapitre 1
LES GROUPES TOPOLOGIQUES
§ I-1
GENERALITE SUR LES GROUPES TOPOLOGIQUES
I-1-1. Notions de base
Défintion I-1-1-1 : Un groupe topologique est un ensemble G tel que :
a) G est un groupe
b) G est un espace topologique séparé
c) Les applications f : G G G et g : G G
× −→ −→
(x,y) xy x x 1
−
7−→ 7−→
sont continues (G G étant muni de la topologie produit).
×
Si U et V sont deux parties de G
on pose :
UV = xy,x U et y V
{ ∈ ∈ }
U 1 = x 1, x U
− −
∈
On dit que U est symétrique si(cid:8)U = U 1. (cid:9)
−
La condition c) s’exprime en terme de voisinage comme suite.
Pour tous x et y G et pour tout voisinage W de xy dans G, il existe des voi-
∈
sinages U de x et V de y tels que UV W.
⊂
Aussi pour tout voisinage U de x 1, il existe un voisinage V de x tel que
−
V 1 U.
−
⊂
La condition c) de compatibilité des deux structures est équivalente à
7
CHAPITRE 1. LES GROUPES TOPOLOGIQUES
c/ : h : G G G est continue
0
× −→
(x,y) xy 1
−
7−→
En effet montrons que c) c).
0
⇐⇒
Supposons f et g continues. Soit V un voisinage de xy 1. Il existe donc un voi-
−
sinage U de x et W de y 1 tels que UW V. Il existe aussi un voisinage W de y
− 1
⊂
tel que W1−1 ⊂ W. Donc UW1−1 ⊂ V et h est continue.
Réciproquement supposons h continue. Soit V un voisinage de y 1. Comme
−
ey 1 = y 1, il existe un voisinage V de y et un voisinage W de e tel que WV 1 V.
− − −
⊂
On a donc V 1 WV 1 V (car e W) et g est continue.
− −
⊂ ⊂ ∈
Montrons que f est continue.
Soit V un voisinage de xy = x(y−1)−1. Il existe un voisinage U de x et un de
voisinage W de y 1 tels que UW 1 V. Comme g est continue, il existe un voisi-
− −
⊂
nage W1 de y tel que W1−1 ⊂ W, d’où W1 ⊂ W−1 et UW1 ⊂ UW−1 ⊂ V.
Exemple I-1-1-2 1) Le groupe additif R des nombres réels, muni de la topologie
naturelle, est un groupe topologique
2)LegroupemultiplicatifR∗+ desnombresréelspositifs,munidelatopologieinduite
par celle de R est un groupe topologique.
3) Le groupe additif Rn (n 1), muni de la topologie définie par la distance eucli-
≥
dienne est un groupe topologique.
4) Soient G et G deux groupes topologiques alors G G est un groupe topolo-
1 2 1 2
×
gique.
Définissons un produit sur G G de la façon suivante :
×
(x,y) et (x0,y0) G1 G2,
∀ ∈ ×
(x,y) . (x0,y0) = (xϕ(y)x0,yy0) où ϕ : G2 Aud(G1).
−→
Ce produit confère à G G , une structure de groupe et avec la topologie produit,
1 2
×
une structure de groupe topologique noté G ϕG , appelé le groupe produit semi-
1 2
×
direct de G par G relativement à ϕ.
1 2
Quelques exemples de groupes produit semi-directs
- Le groupe des déplacements dans Rn noté
8