K-Theorie für Operatoralgebren [Lecture notes]

60 Pages·2012·0.565 MB·German

by  Christian Voigt

K-Theorie fu¨r Operatoralgebren
Christian Voigt

Inhaltsverzeichnis
Einleitung und U¨bersicht 1
Kapitel 1. Grundlagen 3
1. Vektorbu¨ndel 3
2. Die Grothendieckgruppe und K0 5
3. Projektive Moduln 7
4. Der Satz von Serre-Swan 9
5. Kategorien und Funktoren 11
Kapitel 2. K fu¨r C∗-Algebren 15
0
1. Ein paar Vorbereitungen 15
2. Idempotente und Projektionen 16
3. Definition von K 22
0
4. Homotopieinvarianz 28
5. Halbexaktheit 28
6. Stetigkeit und Stabilit¨at 31
Kapitel 3. K fu¨r C∗-Algebren 39
1
1. Invertierbare und unit¨are Elemente 39
2. Die Indexabbildung 40
3. Definition von K 42
1
4. Die Einh¨angung und h¨ohere K-Theorie 43
Kapitel 4. Bott-Periodizit¨at 47
1. Tensorprodukte und Nuklearit¨at 47
2. Die Toeplitzalgebra 48
3. Bott-Periodizit¨at 52
4. Einige Berechnungen 56
Literaturverzeichnis 57
i
Einleitung und U¨bersicht
K-Theorie ist ein zentrales Hilfsmittel fu¨r die Untersuchung der Struktur von
C∗-Algebren mit Anwendungen in Algebra, harmonischer Analysis, Indextheorie
und Topologie. In der Theorie der Operatoralgebren treten K-theoretische Metho-
den in einer Vielzahl von Fragestellungen auf, und einige dieser Fragestellungen
fu¨hren direkt in die aktuelle Forschung.
Urspru¨nglichwurdeK-TheorievonGrothendieckimZusammenhangmitdemSatz
von Riemann-Roch in der algebraischen Geometrie eingefu¨hrt [5]. Grothendieck
w¨ahlte den Buchstaben K in der Bezeichnung als Abku¨rzung fu¨r das deutsche
Wort Klasse“. In der Tat werden die K-Gruppen konstruiert aus Klassen von al-
”
gebraischen Vektorbu¨ndeln oder koh¨arenten Garben.
Etwas sp¨ater entwickelten Atiyah und Hirzebruch die topologische K-Theorie [2],
[3]. Hier werden die K-Gruppen aus Klassen von topologischen Vektorbu¨ndeln
u¨ber kompakten R¨aumen gebildet. Die Theorie von Atiyah-Hirzebruch fu¨hrte sehr
schnellzuwichtigengeometrischenAnwendungen.EinprominentesBeispielhierfu¨r
ist die L¨osung des Problems der Existenz von linear unabh¨angigen Vektorfeldern
auf Sph¨aren mithilfe von reeller K-Theorie durch Adams [1]. Als rein algebraische
Anwendung erlaubt die topologische K-Theorie einen verh¨altnism¨assig einfachen
und eleganten Beweis des Satzes von Bott und Milnor [6] u¨ber endliche Schiefk¨or-
pererweiterungen von R.
Eswurdeschnellklar,dassgrundlegendeDefinitionenderK-Theorieinallgemeine-
rer Weise auch fu¨r Ringe sinnvoll sind. Allerdings gibt in diesem Rahmen mehrere
verschiedene interessante M¨oglichkeiten h¨ohere K-Gruppen zu definieren. Fu¨r all-
gemeine Ringe betrachtet man algebraische K-Theorie, deren Konstruktion durch
homotopietheoretische U¨berlegungen motiviert ist. Um ein Analogon zur topologi-
schenK-TheorievonAtiyah-Hirzebruchzuerhalten,ben¨otigtmanhingegenzus¨atz-
liche analytische Struktur. Einen natu¨rlichen Rahmen hierfu¨r bilden C∗-Algebren,
oder etwas allgemeiner, Banachalgebren.
DasZieldierVorlesungistesdietopologischeK-Theoriefu¨rC∗-Algebrenzustudie-
ren.GrobgesprochenwerdenhierbeijederC∗-AlgebraAabelscheGruppenK (A)
n
zugeordnetfu¨rn∈Z,unddiewichtigstenEigenschaftendieserKonstruktionlassen
sich folgendermaßen zusammenfassen:
a) Funktorialit¨at. Jeder ∗-Homomorphismus φ:A→B induziert einen Homomor-
phismus φ :K (A)→K (B) fu¨r jedes n. Es gilt id =id und
∗ n n ∗
(ψ◦φ) =ψ ◦φ
∗ ∗ ∗
fu¨r φ:A→B und ψ :B →C.
b) Homotopieinvarianz. Sind φ,ψ : A → B homotope ∗-Homomorphismen so gilt
φ =ψ .
∗ ∗
c) Stabilit¨at.IstK(H)dieAlgebraderkompaktenOperatorenaufeinemseparablen
Hilbertraum H, so gibt es natu¨rliche Isomorphismen
K (A⊗K(H))∼=K (A)
n n
fu¨r alle n.
1
2 EINLEITUNG UND U¨BERSICHT
c) Bott-Periodizit¨at.Esexistierteinnatu¨rlicherIsomorphismusK (A)∼=K (A).
n n+2
Insbesondere erh¨alt man im wesentlichen nur zwei K-Gruppen, n¨amlich K (A)
0
und K (A).
1
d) Ausschneidung. Ist
(cid:47)(cid:47) ι (cid:47)(cid:47) π (cid:47)(cid:47) (cid:47)(cid:47)
0 I E Q 0
eine exakte Sequenz von C∗-Algebren, so erh¨alt man eine zugeh¨orige exakte
Sequenz
K (I) ι∗ (cid:47)(cid:47)K (E) π∗ (cid:47)(cid:47)K (Q)
0(cid:79)(cid:79) 0 0
(cid:15)(cid:15)
K (Q) (cid:111)(cid:111) π∗ K (E)(cid:111)(cid:111) ι∗ K (I)
1 1 1
von abelschen Gruppen.
d) Korrespondenz. Fu¨r die C∗-Algebra C (X) der stetigen Funktionen auf einem
0
lokal kompakten Raum X ist
K (C (X))∼=Kn(X)
n 0
die topologische K-Theorie von X im Sinn von Atiyah-Hirzebruch.
Die Bott-Periodizit¨at ist hierbei die zentrale Eigenschaft der topologischen K-
Theorie. Sie erm¨oglicht in Verbindung mit Ausschneidung viele konkrete Berech-
nungen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zur algebraischen K-Theorie, wo es
keine Periodizit¨at gibt und Berechnungen im allgemeinen schwieriger sind.
Es gibt zahlreiche gute Lehrbu¨cher u¨ber die K-Theorie von Operatoralgebren und
ihre Anwendungen. Fu¨r den in dieser Vorlesung behandelten Themenkreis nu¨tzlich
sind insbesondere [8], [10] und [9]. Fu¨r ein weiterfu¨hrendes Studium empfiehlt sich
das Buch von Blackadar [4].
KAPITEL 1
Grundlagen
In diesem Kapitel stellen wir grundlegende Begriffe und Definitionen der K-
Theorie zusammen. Unter einem lokal kompakten Raum verstehen wir stets einen
lokal kompakten Hausdorff-Raum, also einen Hausdorffraum, in dem jeder Punkt
eine Umgebungsbasis aus kompakten Mengen besitzt.
1. Vektorbu¨ndel
In diesem Abschnitt besprechen wir grundlegende Eigenschaften von Vektor-
bu¨ndeln.
Definition 1.1. Sei X ein topologischer Raum und K = R oder K = C. Ein
K-Vektorbu¨ndel u¨ber X ist ein topologischer Raum E zusammen mit einer stetigen
Abbildung π :E →X, so dass gilt
a) Fu¨r jeden Punkt x∈X tr¨agt die Faser E =π−1(x) die Struktur eines endlich-
x
dimensionalen K-Vektorraums.
b) (Lokale Trivialit¨at) Zu jedem x∈X existiert eine offene Umgebung U ⊂X, ein
n∈N und ein Hom¨oomorphismus φ:π−1(U)→U×Kn so dass das Diagramm
π−1(U) φ (cid:47)(cid:47)U ×Kn
π (cid:30)(cid:30) (cid:0)(cid:0)
U
kommutativ ist und die induzierten Abbildungen φ : E → {x}×Kn ∼= Kn
x x
Vektorraumisomorphismen sind fu¨r alle x∈U.
In dem Diagramm ist hierbei die Abbildung U ×Kn →U die kanonische Pro-
jektion auf die erste Komponente. Eine Abbildung φ wie in b) nennt man eine
Trivialisierung von E u¨ber U. Ein Vektorbu¨ndel π : E → X heißt trivial, wenn es
eine Trivialisierung mit U = X gibt. Insbesondere ist X ×Kn in offensichtlicher
WeiseeintrivialesVektorbu¨ndelu¨berX.Wirschreibenoftstattπ :E →X fu¨rein
K-Vektorbu¨ndel lediglich E.
Aus der lokalen Trivialit¨at folgt, dass die Dimension der Fasern E in einem Vek-
x
torbu¨ndel π : E → X lokal konstant ist. Allerdings muss sie nicht fu¨r alle Punkte
aus X u¨bereinstimmen. Ein Vektorbu¨ndel, dessen Fasern alle die feste Dimension
n haben, nennt man ein Vektorbu¨ndel vom Rang n.
Wir betrachten einige Beispiele fu¨r Vektorbu¨ndel.
a) (M¨obiusband). Sei E der Quotient von [0,1] × R bezu¨glich der Identifikation
(0,t)∼(1,−t).Dienatu¨rlicheProjektion[0,1]×R→[0,1]induziertπ :E →S1,
und auf diese Weise wird E zu einem reellen Vektorbu¨ndel vom Rang 1. Ein
Vektorbu¨ndel vom Rang 1 nennt man auch ein Geradenbu¨ndel.
b) (Tangentialbu¨ndel von Sph¨aren). Das Tangentialbu¨ndel der Einheitssph¨are
Sn ={x∈Rn+1|||x||=1}
3
4 1.GRUNDLAGEN
ist
TSn ={(x,v)∈Sn×Rn+1|x⊥v}
mit der Projektionsabbildung π :TSn →Sn,π(x,v)=x.
c) (Normalenbu¨ndel von Sn). Das Normalenbu¨ndel von Sn ⊂Rn+1 ist
NSn ={(x,v)∈Sn×Rn+1|v =λxfu¨r einλ∈R}
mit der Projektionsabbildung π :NSn →Sn,π(x,v)=x.
U¨bungsaufgabe 1. Gib lokale Trivialisierungen fu¨r diese Vektorbu¨ndel an.
Ein Morphismus von Vektorbu¨ndeln u¨ber X ist ein stetige Abbildung ψ :E →E
1 2
so dass
ψ (cid:47)(cid:47)
E E
1 2
π1 (cid:26)(cid:26) (cid:4)(cid:4) π2
X
kommutiert und fu¨r alle x ∈ X die induzierten Abbildungen ψ : (E ) → (E )
x 1 x 2 x
Vektorraum-Homomorphismen sind.
Ein Isomorphismus von Vektorbu¨ndeln u¨ber X ist ein invertierbarer Morphismus
von Vektorbu¨ndeln. Man pru¨ft leicht, dass der Morphismus ψ : E → E ein
1 2
Isomorphismus ist genau dann die faserweisen Abbildungen ψ : (E ) → (E )
x 1 x 2 x
Vektorraum-Isomorphismen sind.
Sei φ : X → Y eine stetige Abbildung und π : E → Y ein Vektorbu¨ndel u¨ber Y.
Dann ist
φ∗(E)=X× E ={(x,v)∈X×E|φ(x)=π(v)}
Y
ein Vektorbu¨ndel u¨ber X, genannt pullback. Nach Konstruktion hat man ein kom-
mutatives Diagramm
(cid:47)(cid:47)
φ∗(E) E
π
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
φ (cid:47)(cid:47)
X Y
und fu¨r die Fasern von φ∗(E) gilt φ∗(E) =E .
x φ(x)
U¨bungsaufgabe2. Pru¨fenach,dassφ∗(E)einVektorbu¨ndelist.Zeigehierfu¨r
zun¨achst, dass pullbacks von trivialen Vektorbu¨ndeln wieder triviale Vektorbu¨ndel
sind.
Sind π : E → X und π : E → X Vektorbu¨ndel u¨ber X, so ist die direkte
1 1 2 2
Summe E ⊕E definiert durch
1 2
E ⊕E ={(v ,v )∈E ×E |π (v )=π (v )}
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
mit der Projektionsabbildung π :E ⊕E →X,π(v ,v )=π (v )=π (v ).
1 2 1 2 1 1 2 2
U¨bungsaufgabe 3. Zeige, dass die direkte Summe E ⊕E ein Vektorbu¨ndel
1 2
u¨ber X ist mit Faser
(E ⊕E ) =(E ) ⊕(E )
1 2 x 1 x 2 x
fu¨r x∈X.
Betrachte das Tangentialbu¨ndel TSn und das Normalenbu¨ndel NSn aus Bei-
spiel b) und c). Die direkte Summe TSn⊕NSn ist in kanonischer Weise isomorph
zum trivialen Bu¨ndel u¨ber Sn vom Rang n+1.
2.DIE GROTHENDIECKGRUPPE UND K0 5
U¨bungsaufgabe 4. Seien E ,E ,E Vektorbu¨ndel u¨ber X. Zeige, dass es
1 2 3
einen kanonischen Isomorphismus
(E ⊕E )⊕E ∼=E ⊕(E ⊕E )
1 2 3 1 2 3
von Vektorbu¨ndeln gibt, und ebenso
E ⊕E ∼=E ⊕E .
1 2 2 1
U¨bungsaufgabe 5. Seien E ,E Vektorbu¨ndel u¨ber Y und φ:X →Y stetig.
1 2
Zeige, dass es einen kanonischen Isomorphismus
φ∗(E ⊕E )∼=φ∗(E )⊕φ∗(E )
1 2 1 2
von Vektorbu¨ndeln gibt.
Im folgenden interessieren wir uns in erster Linie fu¨r den Fall dass X ein kom-
pakter Raum ist.
Definition 1.2. Sei X ein kompakter Raum. Wir bezeichnen die Menge aller
Isomorphieklassen von K-Vektorbu¨ndeln u¨ber X mit VK(X).
Es ist an dieser Stelle nicht offensichtlich, dass Isomorphieklassen von Vektor-
bu¨ndeln eine Menge bilden (und nicht nur eine Klasse). Wir werden das Argument
hierfu¨r etwas sp¨ater angeben.
Mit der direkten Summe von Bu¨ndeln definiert VK(X) ein abelsches Monoid. Das
neutraleElementdiesesMonoidsistgegebendurchdastrivialeBu¨ndelid:X →X
vom Rang 0.
Jede stetige Abbildung φ : X → Y induziert einen Monoid-Homomorphismus
φ∗ =VK(φ):VK(Y)→VK(X) durch VK(φ)([E])=[φ∗(E)].
2. Die Grothendieckgruppe und K0
Das im vorigen Abschnitt definierte Monoid VK(X) bildet die Grundlage fu¨r
die Definition der K-Gruppen von X. Wir ben¨otigen zus¨atzlich eine Konstruktion
von Grothendieck, die einem abelschen Monoid in natu¨rlicher Weise eine abelsche
Gruppe zuordnet.
Sei M ein abelsches Monoid. Auf der Menge M ×M bildet die Relation
(m ,n )∼(m ,n )⇔es existiertx∈M mitm +n +x=m +n +x
1 1 2 2 1 2 2 1
eineA¨quivalenzrelation.HierbeisindSymmetrieundReflexivit¨atoffensichtlich.Gilt
(m ,n )∼(m ,n ) und (m ,n )∼(m ,n ) so finden wir x,y ∈M mit
1 1 2 2 2 2 3 3
m +n +x=m +n +x, m +n +y =m +n +y.
1 2 2 1 2 3 3 2
Hieraus folgt
m +n +(x+y+m )=m +x+(m +n +y)
1 3 2 1 2 3
=m +x+(m +n +y)
1 3 2
=(m +n +x)+m +y
1 2 3
=(m +n +x)+m +y
2 1 3
=n +m +(x+y+m ),
1 3 2
und somit (m ,n )∼(m ,n ). Dies zeigt die Transitivit¨at von ∼.
1 1 3 3
Die Paare (m,n) sollte man sich als formale Differenzen m−n vorstellen, dieses
Bild erkl¨art gewissermassen die Definition der Relation ∼.
Durch die kompentenweise Addition wird
G(M)=(M ×M)/∼,
6 1.GRUNDLAGEN
einabelschesMonoid.Hierfu¨rmussmannachweisen,dassdieAdditionnichtvonder
WahlderRepr¨asentantenabh¨angt.Ist(m ,n )∼(m(cid:48),n(cid:48))und(m ,n )∼(m(cid:48),n(cid:48)),
1 1 1 1 2 2 2 2
wobei
m +n(cid:48) +x=m(cid:48) +n +x, m +n(cid:48) +y =m(cid:48) +n +y,
1 1 1 1 2 2 2 2
so gilt in der Tat
(m ,n )+(m ,n )=(m +m ,n +n )
1 1 2 2 1 2 1 2
∼(m +m(cid:48) +x+m +m(cid:48) +y,n +m(cid:48) +x+n +m(cid:48) +y)
1 1 2 2 1 1 2 2
=(m +m(cid:48) +x+m +m(cid:48) +y,n(cid:48) +m +x+n(cid:48) +m +y)
1 1 2 2 1 1 2 2
∼(m(cid:48) +m(cid:48),n(cid:48) +n(cid:48))
1 2 1 2
in M ×M.
Ausserdem besitzt sogar jedes Element (m,n) in G(M) ein Inverses, denn es gilt
(m,n)+(n,m)∼(0,0) fu¨r alle m,n∈M. Also ist G(M) eine abelsche Gruppe.
Definition 1.3. Fu¨r ein abelsches Monoid M heißt G(M) die Grothendieck-
gruppe von M.
Ist φ:M →N ein Monoid-Homomorphismus, so erhalten wir einen Gruppen-
homomorphismus G(φ):G(M)→G(N) durch G(φ)(m,n)=(φ(m),φ(n)).
Offenbar ist ι : M → G(M),ι(m) = (m,0) ein Monoid-Homomorphismus. Zusam-
men mit ι erfu¨llt G(M) die folgende universelle Eigenschaft.
Proposition 1.4. Sei M ein abelsches Monoid und N eine abelsche Gruppe.
Ist f : M → N ein Monoid-Homomorphismus, so gibt es genau einen Gruppenho-
momorphismus F :G(M)→N, so dass
ι (cid:47)(cid:47)
M G(M)
f (cid:26)(cid:26) (cid:1)(cid:1) F
N
kommutiert.
Beweis. Man pru¨ft nach, dass durch die Formel F(m,n) = f(m)−f(n) ein
Gruppenhomomorphismus F : G(M) → N definiert wird. Offenbar gilt dann
Fι(m) = F(m,0) = f(m) fu¨r alle m ∈ M, also Fι = f. Sei nun F(cid:48) irgendein
Gruppenhomomorphismus mit F(cid:48)ι = f. Dann gilt F(cid:48)(m,0) = f(m) und somit
auch
F(cid:48)(m,n)=F(cid:48)((m,0)−(n,0))=F(m,0)−F(n,0)=f(m)−f(n)=F(m,n)
fu¨r alle m,n∈M. Also ist F eindeutig bestimmt. (cid:3)
U¨bungsaufgabe 6. Fu¨r das Monoid N erhalten wir G(N)=Z.
Definition 1.5 (Atiyah-Hirzebruch). Sei X ein kompakter Raum und VK(X)
das Monoid der Isomorphieklassen von K-Vektorbu¨ndeln u¨ber X fu¨r K = R oder
K=C. Die Gruppen
KR0(X)=G(VR(X)), KC0(X)=G(VC(X))
heißen die relle bzw. die komplexe K-Theorie von X.
Istf :X →Y einestetigeAbbildungzwischenkompaktenR¨aumen,soerhalten
wir einen induzierten Gruppenhomomorphismen K0(f) : K0(Y) → K0(X) in der
K K K
K-Theorie.
U¨bungsaufgabe 7. Sei (cid:63) ein einpunktiger Raum. Dann gilt K0((cid:63)) = Z fu¨r
K
K=R,C.
3.PROJEKTIVE MODULN 7
ZweiK-Vektorbu¨ndelE undE u¨berX definierendiegleicheKlasseinK0(X)
1 2 K
genau dann wenn
E ⊕F ∼=E ⊕F
1 2
fu¨r ein Vektorbu¨ndel F. In diesem Fall nennt man E und E stabil isomorph.
1 2
Betrachte die Sph¨are Sn ⊂ Rn und die oben eingefu¨hrten Bu¨ndel TSn und NSn.
Istngerade,soistTSn nichttrival.DieskannmanmithilfederEulercharakteristik
zeigen,imFalln=2istdiesderberu¨hmteSatzvomIgel.AllerdingsiststetsTSn⊕
NSn dasdastrivialeBu¨ndelvomRangn+1.InsbesondereistTSn stabilisomorph
zum trivialen Bu¨ndel vom Rang n. Fu¨r gerades n erhalten wir also Beispiele fu¨r
stabil isomorphe Vektorbu¨ndel, die nicht isomorph sind.
Wir werden uns im folgenden nur mit der komplexen K-Theorie besch¨aftigen und
schreiben daher
K0(X)=K0(X)
C
fu¨r die komplexe K-Theorie von X.
3. Projektive Moduln
In diesem Abschnitt geben wir die Definition von projektiven Moduln u¨ber
Ringen. Unter einem Ring verstehen wir einen assoziativen Ring mit 1. Beispiele
fu¨r Ringe sind Z und alle unitalen C∗-Algebren.
Im folgenden sei stets R ein fest gew¨ahlter Ring. Wir betrachten R-Linksmoduln,
und Homomorphismen sind stets R-Modul-Homomorphismen.
Definition1.6. SeiI eineIndexmenge.EinModulF zusammenmiteinerAb-
bildung ι:I →F heißt frei u¨ber I, wenn es fu¨r jeden Modul M und jede Abbildung
h:I →M genau ein Homomorphismus H :F →M existiert, so dass
ι (cid:47)(cid:47)
I F
h (cid:26)(cid:26) (cid:4)(cid:4) H
M
kommutativ ist.
Aus der Definition folgt, dass F eindeutig bestimmt ist bis auf Isomorphie. Ist
F ein freier Modul u¨ber I, so ist F isomorph zu
(cid:26) (cid:27)
(cid:77) (cid:89)
R(I) = R= (r ) ∈ R|r (cid:54)=0nur fu¨r endlich vielei .
i i∈I i
i∈I i∈I
Insbesondere ist M = Z/nZ fu¨r n > 1 Beispiel fu¨r einen Modul u¨ber R = Z, der
nicht frei ist.
Definition 1.7. Ein Modul P heißt projektiv wenn es fu¨r jeden surjektiven
Homomorphismus π : M → N und jeden Homomorphismus f : P → N einen
Homomorphismus F :P →M gibt, so dass
P
F
f
(cid:125)(cid:125) (cid:15)(cid:15)
π (cid:47)(cid:47)
M N
kommutativ ist.
Man beachte hierbei, dass F nicht eindeutig zu sein braucht.
Offenbar ist R, aufgefasst als Modul u¨ber sich selbst, projektiv. Hierfu¨r genu¨gt