Jorge Alejandro Villa Carrillo

171 Pages·2008·2.63 MB·Spanish

BEPA
UNIVERSIDAD DE SONORA
ESCUELA DE ALTOS ESTUDIOS
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Y SUS
GENERALIZACIONES,
BIBLIOTECA
DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
TESIS
a SABER DE MIS HIN*
NARA M1 GRANDUA
QUE PARA OBTENER AL TITULO DE LICENCIADO EN
MATEMATICAS
PRESENTA
Jonge Atejandto Itilia
fleizyno.5,(te.o, Sonotza.. Se,n-:c-Leinbile de. 1985.
DEDICATORIAS
A MIS PADRES:
Dolotez CaaLUo Aganza,
Manad Vílla Romo,
A MI ESPOSA:
PLffeída -Guillen Jímenez,
A MIS HIJOS:
Díana Evelyn VIJIa Guillen
Hanz VLfla Sánchez.
A LA MEMORIA DE MI ABUELO:
Rodolfo Calucalo Quíjada.
AGRADECIMIENTOS
Agradezco al DA. Rubén Floreó Emoínoza y al M.C.
Manco Antonio Valencia Axvízu pon la amabilidad
que tuvieron en brindarme bu abezoxía tiempo y -
paciencia durante la elaboración de eb-ta tebíb.
Agradezco a mí tío Rodolfo Carrillo Aganza pon
buz eonbejob, paciencia y bu ejemplo y dedica-
ción al trabajo, que me han xsetvido pana contí
nuax mí .trabajo.
Ebpecía/mente a mí emooba Placy, y a míz híjaz
Diana y Hanb porque han nido ,óíempxe apoyo y -
motivación pana caminan pon la vida.
Y pon último quiero agradecer también a -todab
aquel/az pexbonab, que de alguna u otra 6otma-
me ayudaron a realizar u-te trabajo, en pwl,ticu
lar a Blanca Inane Tapia Vázquez, por bu .traba
jo tan elícaz al mecanogtalíat cate.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Y
SUS GENERALIZACIONES
INDICE
PRESENTACION
CAPITULO I
1.1.- REFERENCIAS HISTORICAS
1.2.- FUNCION
1.3.- INTEGRACION
1.4.- INTEGRAL DE LEBESGUE
1.5.- TEOREMA FUNDAMENTAL
1.6.- TEOREMA DE RADON Y NIKODYM
1.7.- TEOREMA DE DIFERENCIACION DE LEBESGUE
1.8.- TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Y MEDIDA DE BOREL
CAPITULO II
TEOREMA FUNDAMENTAL (VERSION ELEMENTAL)
I
CAPITULO II
TEOREMA FUNDAMENTAL CON INTEGRAL DE LEBESGUE
CAPITULO IV
TEOREMA DE RADON Y NIKODYM
CAPITULO V
TEOREMA DE DIFERENCIACION DE LEBESGUE
CAPITULO VI
EL TEOREMA FUNDAMENTAL Y MEDIDA DE BOREL
VII
CAPITULO
EL TEOREMA DE BESICOVITCH Y OTRA DEMOSTRACION
DEL TEOREMA LEBESGUE-RADON-NIKODYM "
PRESENTACION
El objetivo fundamental de este trabajo es el de exhi-
bir una presentación unificada del "Teorema Fundamental del
Cálculo". el cual se ha desarrollado a la par de los conceE
tos de medida, integral y función.
1) Versión elemental. Sea f una función integrable se-
gún Riemann, entonces se tiene
x
a) f f(t)dt = f(x)
dx a
si la función es continua en el punto x, y
b
b) .f F'(t)dt = F(b) - F(a)
a
si F es absolutamente continua. Nótese que como consecuencia
de que F sea absolutamente continua, su derivada es integra-
ble según Riemann, aunque no necesariamente continua.
La importancia del T.F.C. estriba en que establece re-
laciones que involucran los conceptos y los procesos funda-
mentales del análisis, que son el concepto de función, inte-
gral, derivada, medida, intearal indefinida y bases de dife-
renciación.
La primera versión elemental que se trabajó fuá la si-
guiente:
Sea f una función continua, construimos la función
Wat
F (x)= I f C
a
así tenemos
- - d
f f(trdt C = f (x)
dxT a
como observamos F tiene derivada en todos sus puntos y al de
rivarla recuperamos el integrando, y
f f(t)dt = F(b)- F(a), donde Fe(x)= f(x).
a
o sea, al valuar F en les extremos nos da el electo total del
proceso de cambio continua. A tal F le llap:amos integral inde
finida o primitiva.
BIBLIOTECA
DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
USAWILIWRIIIJOS
RAILAWGRAAWIA
Después se dieron cuenta que no necesariamente la fun-
ción f usada para construir
F(x)= f f(t)dt + C,
a
tenia que ser continua, y que bastaba que fuera integrable,
de todas maneras la función F obtenida es absolutamente con
tinua.
En otras palabras la primera relación del T.F.C. afirma
que la velocidad con que varia el área bajo la curva es igual
al valor de la función en el punto considerado, si la función
es continua. La segunda relación del T.F.C. afirma que cada
función absolutamente continua es la integral indefinida de
su derivada.
El panorama cambia si solo le pedimos a f que sea Riemann
integrable, pues existen funciones
x
F(x) = f f(t)dt + C
a
que no tienen derivada en algunos puntos, asi no podemos afir
mar la ralación a) en este caso.
Ejemplo:
f
1 ,
si x= E y (m,n)= 1,
f (x)=
O, si x es irracional
f: E-0,31 R
sea F(x)= f f(t)dt + C
a
asi F' (x)=0 en todos los puntos, pero f no, porque tiene un
valor distinto de cero en los racionales. Este ejemplo nos
permite sospechar que la relación tal vez pueda extender al
caso casi-dondequiera, pues tenemos
Fv(x)= f(x) c.d.
Tomamos en cuenta otro ejemplo. Volterra probó la exis
tencia de una función g con derivada g', acotada en un inter
valo, tal que g' no es Riemann integrable y al aplicar b) la
integral no existe, o sea
g(b)- g(a)= I g'(x)dx
a