Irina Ginzburg Cemagref, Antony, France Lattice Boltzmann formulations for modeling variably ...

26 Pages·2012·0.38 MB·English

Irina Ginzburg
Cemagref, Antony, France
Lattice Boltzmann formulations for modeling variably
saturated flow in anisotropic heterogeneous soils
DYNAS WORKSHOP 2004
Bild1
Advocated properties of the Lattice Boltzmann methods
Each conservation law is exact as related to a microscopic
(cid:0)
quantity conserved by the collision operator
Uniform analysis/implementation in 1D, 2D and 3D
(cid:0)
Simplicity and locality: neither initial guess nor global
(cid:0)
linear/nonlinear systems of equations are needed
Computational efforts per one evolution step increase only
(cid:0)
linearly with the space resolution
Free equilibrium and collision components may improve for higher
(cid:0)
order accuracy and enhance the stability
On a regular grid, any shape boundaries may be fitted accurately
(cid:0)
Bild2
Outlook
– LB techniques to generic advection and anisotropic dispersion
equations (AADE)
(1) Expanded equilibrium functions
(2) Anisotropic collisions
– Variably saturated flow modeling
(1) Equilibrium formulations for Richards’ equation
(2) Numerical examples in homogeneous and layered media on
uniform and anisotropic grids
Bild3
Velocities (cid:0)C : D2Q9 and D3Q15 Models
q
0 0 0 0 0
(cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:2) (cid:3)
1 0 1 0 0
(cid:5)(cid:4) (cid:5)(cid:4)
(cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:2) (cid:3)
0 1 0 1 0
(cid:4) (cid:4)
(cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:2) (cid:3)
1 1 0 0 1
(cid:4) (cid:4) (cid:4)
(cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:2) (cid:3)
1 1 1
2 (cid:1)(cid:4) 8 (cid:2)(cid:4) (cid:2)(cid:4) (cid:3) 7
6 5
(cid:7)(cid:15)(cid:7)(cid:16) (cid:7)(cid:17)(cid:7)(cid:18) (cid:7)(cid:21)(cid:7)(cid:22)
(cid:15)(cid:16) (cid:17)(cid:18) (cid:21)(cid:22)
5
9
10
2
3(cid:13)(cid:7)(cid:13)(cid:14)(cid:7)(cid:14) (cid:6)(cid:7)(cid:6)(cid:8)(cid:7)(cid:8)0 (cid:19)(cid:7)(cid:19)(cid:20)(cid:7)(cid:20) 1 3 (cid:25)(cid:26)(cid:25)(cid:27)(cid:26)(cid:27) 0 1
4
11
12
6 z
y
7(cid:11)(cid:7)(cid:11)(cid:12)(cid:7)(cid:12) (cid:9)(cid:7)(cid:9)(cid:10)(cid:7)(cid:10) 4 (cid:23)(cid:7)(cid:23)(cid:24)(cid:7)(cid:24) 8
13 14 x
Also, D2Q5 D3Q7 D3Q13 D3Q19 D3Q27 D4Q25
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:29)(cid:28) (cid:28) (cid:28) Bild4
Generalized Lattice Boltzmann (GLBE) method
Evolution equation (following D.d’Humières, 1992)
(cid:0)
eq.
Conservative equilibrium f(cid:9)(cid:8)q r (cid:8) Cq t (cid:3)(cid:2)1 f(cid:9)(cid:8)q r t (cid:229)(cid:11) Qk 01l k(cid:4) (cid:13) fk (cid:4) fk ekq Qmq
(cid:1) (cid:10) (cid:2) (cid:10) (cid:3) (cid:1) (cid:2) (cid:3) (cid:10) (cid:12) (cid:1) (cid:3) (cid:10)
(cid:0)
property:
vector in population space f f , q 0 Q 1
q
For any vector en conserved by (cid:0) (cid:2) (cid:14) (cid:15) (cid:2) (cid:2)(cid:28) (cid:28) (cid:2) (cid:13)
the evolution equation
eq.
ne. fne. (cid:229)(cid:11) Q 1l (cid:4) f (cid:4) f e
(cid:0)en (cid:1) (cid:0) f (cid:3)(cid:2) 0 the (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:2) (cid:12) k 0 k(cid:1) (cid:13) k k (cid:3) k
(cid:1) (cid:3) (cid:2)
equilibrium contains the whole
l l
Basis vectors and eigenvalues: e and , 2 0
projection on e : k k k
n (cid:0) (cid:13) (cid:16) (cid:16)
(cid:4) fn f en feq. en Projection into momentum space: f (cid:229)(cid:11) Q 1(cid:4) f e ,(cid:4) f f e (cid:17) f ek
(cid:2) (cid:5) (cid:6) (cid:7)(cid:3)(cid:2) (cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:0) (cid:2) (cid:12) q 0 k k (cid:2) k (cid:5) (cid:6) (cid:2)(cid:7) k ek 2
(cid:18) (cid:18)
ne. eq. eq.
f f f , f is the equilibrium function
(cid:0) (cid:2) (cid:13)
Qm r t is a source term
(cid:9)(cid:8)
(cid:0)
(cid:1) (cid:2) (cid:3)
Bild5
Equilibrium distribution
Mass conservative equilibrium function, s (cid:229)(cid:11) Q 1 f :
feq. feq. f(cid:11)eq. (cid:0) (cid:2) (cid:12) q 0 q
q q (cid:0) q
(cid:0) e(cid:2) q. eq(cid:10).
f f
q (cid:0) q¯ (cid:0)
eq(cid:2). eq. feq. (cid:229)(cid:11) Q 1 feq. s
fq(cid:11) (cid:2) (cid:13) fq(cid:11)¯ f0eq(cid:0).(cid:10) t (cid:12)D¯qeq1. sq ,(cid:0)(cid:2) q 0
(cid:8) C (cid:8) C q q
q q¯ (cid:2) (cid:2)
(cid:2) (cid:13) (cid:1) (cid:3) (cid:2)
eq.
(cid:0) f(cid:11) (cid:2) (cid:1) tqJq ,(cid:2)Jq (cid:8) (cid:0) J(cid:8) Cq D¯ eq. s is arbitrary “diffusion” function
(cid:14) (cid:15)
(cid:0)
(cid:1) (cid:3)
a
(1) J f C , 1 D
a a
(cid:2) (cid:0) (cid:2) (cid:28) (cid:28) (cid:28) “Isotropic” weights (Qian et al. 1992):
(cid:2) (cid:2)
conserved momentum for (cid:0)
hydrodynamic equations (cid:229)(cid:11) Qq 11(cid:1) tqCqa C(cid:2)qb d ab (cid:1) (cid:2) tq f (cid:8) Cq 2
(cid:12) (cid:2) (cid:3)(cid:1) (cid:3) (cid:3)
(2) D-dimensional vecto(cid:8)r J:
Expanded Equilibrium (E-model) for AADE:
external “advection vector” (cid:0)
anisotropic weights t
q
for AADE
Bild6
Orthogonal integer “hydrodynamic basis” of DdQq models:
mass e 1
Basis vectors are obtained by 0
(cid:0) (cid:14) (cid:15)
consequent multiplication on
a
momentum C C 1 d
a qa
the velocity components Cqa (cid:14) (cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:2) (cid:15)
and orthogonalization
part of kinetic energy p e Qc2 b c2 (cid:8) C 2
(cid:1) (cid:2) (cid:13) q 2 (cid:2) q q
viscous stress tensor p xx (cid:14) DC2 (cid:15)c2(cid:2) (cid:3) (cid:3)
Maximum degrees of freedom (cid:1) (cid:2) (cid:13) qx q
(cid:0) viscous stress tensor p ww (cid:14) C2 C2(cid:15) d 3
for hydrodynamic models (cid:1) (cid:2) (cid:13) qy qz (cid:2)
ab (cid:14) (cid:15) a (cid:2) b
viscous stress tensor p C C
qa qb
(cid:1) (cid:2) (cid:2)
(cid:14) (cid:2) (cid:2) (cid:15)
Basis consists from
(cid:0) Q 1 2 1 even vectors and energy flux q(cid:1) ab (cid:2) b1(cid:13)c2q b3 Cqa
(cid:13) energy flux q a (cid:14) (cid:1) C2 C2(cid:3) C (cid:15)
(cid:1) Q 1(cid:0)(cid:3) 2(cid:10) odd vectors (cid:1) (cid:2) (cid:13) qg qb qa
(cid:13) (cid:14) (cid:1) (cid:3) (cid:15)
(cid:1) (cid:0)(cid:3)
third order momentum m xyz C C C d 3
qx qy qz
(cid:1) (cid:2) (cid:2)
(cid:14) (cid:2) (cid:15)
kinetic energy square p e a Qc4 b a Qc2 b
(cid:1) (cid:2) 1 (cid:13) q 6 2 (cid:13) q 2
kinetic energy square p xx (cid:14) B(cid:1) c2 B (cid:3) (cid:10) dC2 (cid:1) c2 (cid:3)(cid:15)
(cid:1) (cid:2) 1(cid:13) q 2 (cid:13) qx q
kinetic energy square p ww (cid:14) (cid:1) B c2 B(cid:3) (cid:1) C2 C2(cid:3)(cid:15)
(cid:1) (cid:2) 3(cid:13) q 4 (cid:13) qy qz
(cid:14) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:3)(cid:15) Bild7
Macroscopic equation is second order
approximation of the exact conservation relation:
1 f f eq. 0
(cid:0) (cid:0) (cid:3) (cid:6)(cid:5)
(cid:1)
(cid:2) (cid:4)
Expanded equilibrium E-model +
(cid:7)
l
eigenvalues a for velocity vectors C a :
q
¶ (cid:209) ¶ L l ¶ m(cid:8) (cid:9)
ts (cid:0)J a a b Kab S
(cid:0) (cid:5)
(cid:10) (cid:10)
(cid:2) (cid:4)
L l 1 1 l
, 2 0
K(cid:1) ab (cid:3)(cid:2) (cid:3) D(cid:13)¯ eq(cid:1). s2(cid:10)(cid:2) l(cid:3)(cid:13) (cid:229)(cid:11) Qq 1(cid:16)1Cqa(cid:16) Cqb fqeq(cid:0).
(cid:1) (cid:1) (cid:3) (cid:3) (cid:12)
Sm (cid:229)(cid:11) Q 1Qm
(cid:2) q 0 q
(cid:12)
Second-order tensor of the numerical diffusion,
(cid:0)
L l
sUa Ub (cid:8), J (cid:8) sU
(cid:2)
(cid:1) (cid:3)
can be removed with expanded projections:
feq. feq. 1U U t 3C C d
q (cid:0) q (cid:0) 2 a (cid:1)b q qa (cid:13) qb ab
(cid:11) (cid:10) (cid:1) (cid:3) Bild8
Anisotropic collision: L-model for AADE
BGK:
– “Link” evolution equation:
(cid:0)
d
(cid:2)eq q(cid:2) (cid:2) q 0(cid:2)(cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:2) (cid:13) Q 1 f(cid:9)(cid:8)q r (cid:8) Cq t (cid:3)(cid:2)1 fq l(cid:0) q f(cid:13)(cid:0) q fqeq(cid:0). (cid:11) l q(cid:11) f(cid:13) q fq(cid:11)eq. Qmq
(cid:1) (cid:10) (cid:2) (cid:10) (cid:3) (cid:10) (cid:1) (cid:3) (cid:10) (cid:1) (cid:3) (cid:10)
Momentum space=population
l l
space, f e f ,
q q q
(cid:3)(cid:2) (cid:2)
(cid:5) (cid:6) (cid:7)
r (cid:8) C r (cid:8) C
Even link basis vectors: (cid:8) (cid:13) q (cid:8) r (cid:8) q
(cid:10)
(cid:0)
d d l
e
q(cid:0)(cid:2) (cid:10)q (cid:11)q¯ (cid:0) q (cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:3) (cid:2)
f f e 1 f f – Mass conservation: l l q 0 Q 1 2
(cid:0)(cid:2) q (cid:5) (cid:6) (cid:7)(cid:3)(cid:2)q 2(cid:1) (cid:10)q q(cid:3)¯ (cid:0)(cid:2) q e(cid:2) (cid:2) (cid:2)(cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:2) (cid:1) (cid:13) (cid:0)(cid:3)
– Even for isotropic equilibrium:
Odd link basis vectors:
(cid:0)
d d l
e
(cid:11) q(cid:2) (cid:13) q (cid:11)q¯ (cid:11) q ¶ ts (cid:209) (cid:8) J ¶ a ab ¶ b D¯ eq. s Sm
f f e 1 f f (cid:10) (cid:0) (cid:2) (cid:4) (cid:1) (cid:3) (cid:10)
(cid:11) (cid:2) q (cid:3)(cid:2)q 2 (cid:13) q q¯ ab are linear combination of eigenvalue functions L (cid:11) l
(cid:5) (cid:6) (cid:7) (cid:1) (cid:3) q
(cid:4)
(cid:1) (cid:3)
Bild9
Contour plots s 10 3 of 2D Gauss distribution:
(cid:11)
(cid:0)
d U
ab (cid:8) U kT ab kL kT ua ub , ua a (cid:8), J (cid:8) Us
(cid:4) (cid:2) (cid:3) (cid:3) (cid:1) (cid:10) (cid:1) (cid:13) (cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:2)(cid:1) U (cid:2)
(cid:18) (cid:18)
Optimal solutions annihilate O e 3 (convective) or O e 4 (diffusion) errors
(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)
Anisotropic case Pure advection k k 0: Pure advection k k 0:
T L T L
(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)
20
k k 2 Optimal advection solution Optimal diffusion solution
L T
(cid:5) p L l opt L l opt 1 L l opt L l opt 1
(cid:5) Angle D e (cid:3)(cid:2) 12 D e (cid:3)(cid:2) 6
4 (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:3) (cid:1) (cid:3)
Pure convection with optimal advection solution Pure convection with optimal diffusion solution
Dispersion test with optimal convection solution
Angle q=p /4, kL/kT=220 30 30
40
theory: T=0, T=100, T=200 theory: T=0, T=100, T=200
theory: T=0, T=100, T=200 20 T=100 20 T=100
30 T=100 T=200 T=200
T=200
10 10
20
Z 0 Z 0
Z10
-10 -10
0
-20 -20
-10
-30 -30
-20 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 X X
X Bild10